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1. 如图，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线相交于点$O$.
(1)当$∠ A=50°$时，求$∠ BOC$的度数.
(2)当$∠ A=90°$时，求$∠ BOC$的度数.
(3)当$∠ A=120°$时，求$∠ BOC$的度数.
(4)从中你能发现$∠ BOC$与$∠ A$的数量关系吗？请直接写出.
(1)当$∠ A=50°$时，求$∠ BOC$的度数.
(2)当$∠ A=90°$时，求$∠ BOC$的度数.
(3)当$∠ A=120°$时，求$∠ BOC$的度数.
(4)从中你能发现$∠ BOC$与$∠ A$的数量关系吗？请直接写出.
答案
解:因为∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,
所以∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB.
在△OBC 中, ∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB).
(1)当∠A = 50°时,∠ABC + ∠ACB = 130°,
所以∠BOC = 180° - $\frac{1}{2}$ × 130° = 115°.
(2)当∠A = 90°时,∠BOC = 135°.
(3)当∠A = 120°时,∠BOC = 150°.
(4)能,∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A.
得分要点
解决本题的关键是灵活应用角平分线的定义,以及运用三角形内角和为180°来转换角.
所以∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB.
在△OBC 中, ∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB).
(1)当∠A = 50°时,∠ABC + ∠ACB = 130°,
所以∠BOC = 180° - $\frac{1}{2}$ × 130° = 115°.
(2)当∠A = 90°时,∠BOC = 135°.
(3)当∠A = 120°时,∠BOC = 150°.
(4)能,∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A.
得分要点
解决本题的关键是灵活应用角平分线的定义,以及运用三角形内角和为180°来转换角.
解析
【分析】
解题时先定位待求角∠BOC所在的△BOC，结合三角形内角和定理可将∠BOC转化为180°减去∠OBC与∠OCB的和；再根据角平分线的定义，可知∠OBC、∠OCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，因此可将∠OBC+∠OCB转化为$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)；最后在△ABC中，结合内角和定理可知∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可建立∠BOC和∠A的关联，代入∠A的度数即可求解，最后总结二者的通用数量关系。
【解析】
已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义可得：
$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
在△OBC中，由三角形内角和为180°，得：
$∠ BOC = 180° - ∠ OBC - ∠ OCB = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$。
(1)当$∠ A=50°$时，在△ABC中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$，
代入上式得：$∠ BOC = 180° - \frac{1}{2}×130° = 115°$。
(2)当$∠ A=90°$时，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 90° = 90°$，
则$∠ BOC = 180° - \frac{1}{2}×90° = 135°$。
(3)当$∠ A=120°$时，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 120° = 60°$，
则$∠ BOC = 180° - \frac{1}{2}×60° = 150°$。
(4)将$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$代入∠BOC的表达式：
$∠ BOC = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$，
即可得到二者的数量关系。
【答案】
(1)$115°$；(2)$135°$；(3)$150°$；(4)$\boldsymbol{∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A}$
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角平分线的定义
3.角度和差计算
【点评】
本题是三角形内角平分线角度计算的典型题，解题核心是通过角平分线定义和三角形内角和定理实现不同三角形内角之间的转化，推导得到的双内角平分线夹角公式可帮助快速解决同类题型。
【难度系数】
0.8
解题时先定位待求角∠BOC所在的△BOC，结合三角形内角和定理可将∠BOC转化为180°减去∠OBC与∠OCB的和；再根据角平分线的定义，可知∠OBC、∠OCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，因此可将∠OBC+∠OCB转化为$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)；最后在△ABC中，结合内角和定理可知∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可建立∠BOC和∠A的关联，代入∠A的度数即可求解，最后总结二者的通用数量关系。
【解析】
已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义可得：
$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
在△OBC中，由三角形内角和为180°，得：
$∠ BOC = 180° - ∠ OBC - ∠ OCB = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$。
(1)当$∠ A=50°$时，在△ABC中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$，
代入上式得：$∠ BOC = 180° - \frac{1}{2}×130° = 115°$。
(2)当$∠ A=90°$时，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 90° = 90°$，
则$∠ BOC = 180° - \frac{1}{2}×90° = 135°$。
(3)当$∠ A=120°$时，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 120° = 60°$，
则$∠ BOC = 180° - \frac{1}{2}×60° = 150°$。
(4)将$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$代入∠BOC的表达式：
$∠ BOC = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$，
即可得到二者的数量关系。
【答案】
(1)$115°$；(2)$135°$；(3)$150°$；(4)$\boldsymbol{∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A}$
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角平分线的定义
3.角度和差计算
【点评】
本题是三角形内角平分线角度计算的典型题，解题核心是通过角平分线定义和三角形内角和定理实现不同三角形内角之间的转化，推导得到的双内角平分线夹角公式可帮助快速解决同类题型。
【难度系数】
0.8
2. 问题情境:如图1,BO平分∠ABC,CO平分△ABC的外角∠ACD.
(1)探索发现:若∠A=60°,则∠O的度数为
(2)猜想证明:试判断∠A与∠O的关系,并说明理由.
(3)结论应用:如图2,BD平分∠MBC,且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线CD交于点D.若∠BMN=130°,∠CNM=100°,则∠D的度数为
(1)探索发现:若∠A=60°,则∠O的度数为
30
°;若∠A=130°,则∠O的度数为65
°.(2)猜想证明:试判断∠A与∠O的关系,并说明理由.
(3)结论应用:如图2,BD平分∠MBC,且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线CD交于点D.若∠BMN=130°,∠CNM=100°,则∠D的度数为
25
°.答案
解:(1)30 65
(2)猜想:∠O = $\frac{1}{2}$∠A. 理由如下:
∵ BO平分∠ABC,CO平分∠ACD,
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCD = $\frac{1}{2}$∠ACD.
∵ ∠ACD是△ABC的外角,
∴ ∠ACD = ∠A + ∠ABC.
∵ ∠OCD是△OBC的外角,
∴ ∠OCD = ∠O + ∠OBC,
∴ ∠O + ∠OBC = $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$∠A + ∠OBC,
∴ ∠O = $\frac{1}{2}$∠A.
(3)25
如图,延长 BM,CN 交于点 A.
∵ ∠BMN = 130°,∠CNM = 100°,
∴ ∠AMN = 180° - ∠BMN = 180° - 130° = 50°,∠ANM = 180° - ∠CNM = 180° - 100° = 80°,
∴ ∠A = 180° - ∠AMN - ∠ANM = 180° - 50° - 80° = 50°. 由(2)得∠D = $\frac{1}{2}$∠A,
∴ ∠D = 25°.
解析
【分析】
(1) 解题时先结合角平分线的定义，得到∠OBC与∠ABC、∠OCD与∠ACD的数量关系，再利用三角形外角的性质分别表示出∠ACD和∠OCD，消去公共角后即可得到∠O与∠A的关系，代入∠A的度数即可计算∠O的数值。
(2) 本问是将特殊值推广到一般情况，沿用第(1)问的推导思路，利用角平分线定义和三角形外角性质，通过等量代换即可证明∠O和∠A的数量关系。
(3) 解题时先延长BM、CN交于点A，构造出第(2)问的几何模型，再利用平角的定义求出△AMN中两个内角的度数，结合三角形内角和定理求出∠A的度数，最后直接套用第(2)问得到的规律即可求出∠D的度数。
【解析】
(1)
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ ACD$，
∵ $∠ ACD$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$，
∵ $∠ OCD$是$△ OBC$的外角，
∴ $∠ OCD = ∠ O + ∠ OBC$，
∴ $∠ O + ∠ OBC = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ A + ∠ OBC$，
消去$∠ OBC$得$∠ O = \frac{1}{2}∠ A$，
当$∠ A=60°$时，$∠ O=\frac{1}{2}×60°=30°$；当$∠ A=130°$时，$∠ O=\frac{1}{2}×130°=65°$。
(2) 猜想：$∠ O = \frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ ACD$。
∵ $∠ ACD$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$。
∵ $∠ OCD$是$△ OBC$的外角，
∴ $∠ OCD = ∠ O + ∠ OBC$，
∴ $∠ O + ∠ OBC = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ A + ∠ OBC$，
两边同时减去$∠ OBC$，得$∠ O = \frac{1}{2}∠ A$。
(3) 如图，延长BM，CN交于点A。
∵ $∠ BMN = 130°$，$∠ CNM = 100°$，
∴ $∠ AMN = 180° - ∠ BMN = 180° - 130° = 50°$，$∠ ANM = 180° - ∠ CNM = 180° - 100° = 80°$，
在$△ AMN$中，$∠ A = 180° - ∠ AMN - ∠ ANM = 180° - 50° - 80° = 50°$。
由(2)的结论可得$∠ D = \frac{1}{2}∠ A$，
∴ $∠ D = \frac{1}{2}×50° = 25°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$，$\boldsymbol{65}$
(2) $\boldsymbol{∠ O = \frac{1}{2}∠ A}$，理由见解析
(3) $\boldsymbol{25}$
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题从特殊值探究入手，推导得出三角形内外角平分线的夹角规律，再将规律应用到变形的四边形问题中，解题的核心是掌握几何模型的构造方法，能将陌生问题转化为已解决的熟悉模型，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
(1) 解题时先结合角平分线的定义，得到∠OBC与∠ABC、∠OCD与∠ACD的数量关系，再利用三角形外角的性质分别表示出∠ACD和∠OCD，消去公共角后即可得到∠O与∠A的关系，代入∠A的度数即可计算∠O的数值。
(2) 本问是将特殊值推广到一般情况，沿用第(1)问的推导思路，利用角平分线定义和三角形外角性质，通过等量代换即可证明∠O和∠A的数量关系。
(3) 解题时先延长BM、CN交于点A，构造出第(2)问的几何模型，再利用平角的定义求出△AMN中两个内角的度数，结合三角形内角和定理求出∠A的度数，最后直接套用第(2)问得到的规律即可求出∠D的度数。
【解析】
(1)
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ ACD$，
∵ $∠ ACD$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$，
∵ $∠ OCD$是$△ OBC$的外角，
∴ $∠ OCD = ∠ O + ∠ OBC$，
∴ $∠ O + ∠ OBC = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ A + ∠ OBC$，
消去$∠ OBC$得$∠ O = \frac{1}{2}∠ A$，
当$∠ A=60°$时，$∠ O=\frac{1}{2}×60°=30°$；当$∠ A=130°$时，$∠ O=\frac{1}{2}×130°=65°$。
(2) 猜想：$∠ O = \frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCD = \frac{1}{2}∠ ACD$。
∵ $∠ ACD$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$。
∵ $∠ OCD$是$△ OBC$的外角，
∴ $∠ OCD = ∠ O + ∠ OBC$，
∴ $∠ O + ∠ OBC = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ A + ∠ OBC$，
两边同时减去$∠ OBC$，得$∠ O = \frac{1}{2}∠ A$。
(3) 如图，延长BM，CN交于点A。
∵ $∠ BMN = 130°$，$∠ CNM = 100°$，
∴ $∠ AMN = 180° - ∠ BMN = 180° - 130° = 50°$，$∠ ANM = 180° - ∠ CNM = 180° - 100° = 80°$，
在$△ AMN$中，$∠ A = 180° - ∠ AMN - ∠ ANM = 180° - 50° - 80° = 50°$。
由(2)的结论可得$∠ D = \frac{1}{2}∠ A$，
∴ $∠ D = \frac{1}{2}×50° = 25°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$，$\boldsymbol{65}$
(2) $\boldsymbol{∠ O = \frac{1}{2}∠ A}$，理由见解析
(3) $\boldsymbol{25}$
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题从特殊值探究入手，推导得出三角形内外角平分线的夹角规律，再将规律应用到变形的四边形问题中，解题的核心是掌握几何模型的构造方法，能将陌生问题转化为已解决的熟悉模型，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
3. 已知$∠ MON$,点$A,B$分别在射线$ON,OM$上移动(不与点$O$重合),$AD$平分$∠ BAN$,$BC$平分$∠ ABM$,直线$AD$与$BC$交于点$C$.
(1)如图1,若$∠ MON=90°$,直接写出$∠ ACB$的度数.
(2)如图2,若$∠ MON=α$,问:点$A,B$分别在射线$ON,OM$上运动的过程中,$∠ ACB$的度数是否改变?若不改变,求出其值(用含$α$的式子表示);若改变,请说明理由.
(3)如图3,若$∠ MON=α$,$BC$平分$∠ ABO$,其他条件不改变,问:点$A,B$在射线$ON,OM$上运动的过程中,$∠ ACB$的度数是否改变?若不改变,求出其值(用含$α$的式子表示);若改变,请说明理由.
(1)如图1,若$∠ MON=90°$,直接写出$∠ ACB$的度数.
(2)如图2,若$∠ MON=α$,问:点$A,B$分别在射线$ON,OM$上运动的过程中,$∠ ACB$的度数是否改变?若不改变,求出其值(用含$α$的式子表示);若改变,请说明理由.
(3)如图3,若$∠ MON=α$,$BC$平分$∠ ABO$,其他条件不改变,问:点$A,B$在射线$ON,OM$上运动的过程中,$∠ ACB$的度数是否改变?若不改变,求出其值(用含$α$的式子表示);若改变,请说明理由.
答案
解:(1)∠ACB = 45°.
因为AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,所以∠NAD = ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAN,∠ABC = ∠MBC = $\frac{1}{2}$∠ABM. 因为∠BAO + ∠ABO = 180° - ∠AOB = 90°,所以∠CAB + ∠CBA = $\frac{1}{2}$(∠BAN + ∠ABM) = $\frac{1}{2}$ × (360° - 90°) = 135°,所以∠ACB = 180° - 135° = 45°.
(2)∠ACB的度数不改变.
因为AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,
所以∠NAD = ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAN,∠ABC = ∠MBC = $\frac{1}{2}$∠ABM.
因为∠BAO + ∠ABO = 180° - ∠AOB = 180° - α,
所以∠CAB + ∠CBA = $\frac{1}{2}$(∠BAN + ∠ABM) = $\frac{1}{2}$[360° - (180° - α)] = 90° + $\frac{1}{2}$α,
所以∠ACB = 180° - (∠CAB + ∠CBA) = 90° - $\frac{1}{2}$α.
(3)∠ACB的度数不改变.
因为AD平分∠BAN,BC平分∠ABO,
所以∠NAB = 2∠BAD,∠OBA = 2∠ABC.
又因为∠NAB = ∠MON + ∠OBA = α + ∠OBA,
所以2∠BAD = α + 2∠ABC,
所以∠BAD = $\frac{1}{2}$α + ∠ABC,
所以∠ACB = ∠BAD - ∠ABC = $\frac{1}{2}$α.
因为AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,所以∠NAD = ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAN,∠ABC = ∠MBC = $\frac{1}{2}$∠ABM. 因为∠BAO + ∠ABO = 180° - ∠AOB = 90°,所以∠CAB + ∠CBA = $\frac{1}{2}$(∠BAN + ∠ABM) = $\frac{1}{2}$ × (360° - 90°) = 135°,所以∠ACB = 180° - 135° = 45°.
(2)∠ACB的度数不改变.
因为AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,
所以∠NAD = ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAN,∠ABC = ∠MBC = $\frac{1}{2}$∠ABM.
因为∠BAO + ∠ABO = 180° - ∠AOB = 180° - α,
所以∠CAB + ∠CBA = $\frac{1}{2}$(∠BAN + ∠ABM) = $\frac{1}{2}$[360° - (180° - α)] = 90° + $\frac{1}{2}$α,
所以∠ACB = 180° - (∠CAB + ∠CBA) = 90° - $\frac{1}{2}$α.
(3)∠ACB的度数不改变.
因为AD平分∠BAN,BC平分∠ABO,
所以∠NAB = 2∠BAD,∠OBA = 2∠ABC.
又因为∠NAB = ∠MON + ∠OBA = α + ∠OBA,
所以2∠BAD = α + 2∠ABC,
所以∠BAD = $\frac{1}{2}$α + ∠ABC,
所以∠ACB = ∠BAD - ∠ABC = $\frac{1}{2}$α.
解析
【分析】
(1) 解题时先利用角平分线定义得到∠BAD、∠ABC分别是对应外角的一半，再结合△OAB的内角和求出邻补角∠BAN与∠ABM的总和，进而得到△ACB中两个内角的和，最后用三角形内角和180°减去这个和即可得到∠ACB的度数。
(2) 本问是第(1)问的一般化推导，解题思路和第(1)问完全一致，将90°替换为α，通过代数式运算即可得到固定角度值，判断角度不变。
(3) 本问调整了角平分线的平分对象，可利用三角形外角性质：∠BAN是△OAB的外角，等于∠MON与∠ABO的和；再结合角平分线的倍分关系，推导∠BAD与∠ABC的差，而∠BAD又是△ABC的外角，等于∠ACB+∠ABC，即可直接得到∠ACB的表达式，判断角度不变。
【解析】
(1) 因为AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，所以$∠ NAD = ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAN$，$∠ ABC = ∠ MBC = \frac{1}{2}∠ ABM$。
因为$∠ BAO + ∠ ABO = 180° - ∠ AOB = 180° - 90° = 90°$，
所以$∠ CAB + ∠ CBA = \frac{1}{2}(∠ BAN + ∠ ABM) = \frac{1}{2} × [360° - (∠ BAO + ∠ ABO)] = \frac{1}{2} × (360° - 90°) = 135°$，
所以$∠ ACB = 180° - 135° = 45°$。
(2) $∠ ACB$的度数不改变，推导如下：
因为AD平分$∠ BAN$，BC平分$∠ ABM$，
所以$∠ NAD = ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAN$，$∠ ABC = ∠ MBC = \frac{1}{2}∠ ABM$。
因为$∠ BAO + ∠ ABO = 180° - ∠ AOB = 180° - α$，
所以$∠ CAB + ∠ CBA = \frac{1}{2}(∠ BAN + ∠ ABM) = \frac{1}{2}[360° - (180° - α)] = 90° + \frac{1}{2}α$，
所以$∠ ACB = 180° - (∠ CAB + ∠ CBA) = 180° - (90° + \frac{1}{2}α) = 90° - \frac{1}{2}α$。
(3) $∠ ACB$的度数不改变，推导如下：
因为AD平分$∠ BAN$，BC平分$∠ ABO$，
所以$∠ NAB = 2∠ BAD$，$∠ OBA = 2∠ ABC$。
又因为$∠ NAB$是$△ OAB$的外角，所以$∠ NAB = ∠ MON + ∠ OBA = α + ∠ OBA$，
代入得$2∠ BAD = α + 2∠ ABC$，整理得$∠ BAD = \frac{1}{2}α + ∠ ABC$。
又因为$∠ BAD$是$△ ABC$的外角，所以$∠ BAD = ∠ ACB + ∠ ABC$，
所以$∠ ACB = ∠ BAD - ∠ ABC = \frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) 不改变，$\boldsymbol{90° - \dfrac{1}{2}α}$
(3) 不改变，$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}α}$
【知识点】
角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，按照从特殊到一般的逻辑设置问题，解题的关键是灵活运用角平分线的性质和三角形内外角的等量关系，完成未知角与已知角之间的转化。
【难度系数】
0.6
(1) 解题时先利用角平分线定义得到∠BAD、∠ABC分别是对应外角的一半，再结合△OAB的内角和求出邻补角∠BAN与∠ABM的总和，进而得到△ACB中两个内角的和，最后用三角形内角和180°减去这个和即可得到∠ACB的度数。
(2) 本问是第(1)问的一般化推导，解题思路和第(1)问完全一致，将90°替换为α，通过代数式运算即可得到固定角度值，判断角度不变。
(3) 本问调整了角平分线的平分对象，可利用三角形外角性质：∠BAN是△OAB的外角，等于∠MON与∠ABO的和；再结合角平分线的倍分关系，推导∠BAD与∠ABC的差，而∠BAD又是△ABC的外角，等于∠ACB+∠ABC，即可直接得到∠ACB的表达式，判断角度不变。
【解析】
(1) 因为AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，所以$∠ NAD = ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAN$，$∠ ABC = ∠ MBC = \frac{1}{2}∠ ABM$。
因为$∠ BAO + ∠ ABO = 180° - ∠ AOB = 180° - 90° = 90°$，
所以$∠ CAB + ∠ CBA = \frac{1}{2}(∠ BAN + ∠ ABM) = \frac{1}{2} × [360° - (∠ BAO + ∠ ABO)] = \frac{1}{2} × (360° - 90°) = 135°$，
所以$∠ ACB = 180° - 135° = 45°$。
(2) $∠ ACB$的度数不改变，推导如下：
因为AD平分$∠ BAN$，BC平分$∠ ABM$，
所以$∠ NAD = ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAN$，$∠ ABC = ∠ MBC = \frac{1}{2}∠ ABM$。
因为$∠ BAO + ∠ ABO = 180° - ∠ AOB = 180° - α$，
所以$∠ CAB + ∠ CBA = \frac{1}{2}(∠ BAN + ∠ ABM) = \frac{1}{2}[360° - (180° - α)] = 90° + \frac{1}{2}α$，
所以$∠ ACB = 180° - (∠ CAB + ∠ CBA) = 180° - (90° + \frac{1}{2}α) = 90° - \frac{1}{2}α$。
(3) $∠ ACB$的度数不改变，推导如下：
因为AD平分$∠ BAN$，BC平分$∠ ABO$，
所以$∠ NAB = 2∠ BAD$，$∠ OBA = 2∠ ABC$。
又因为$∠ NAB$是$△ OAB$的外角，所以$∠ NAB = ∠ MON + ∠ OBA = α + ∠ OBA$，
代入得$2∠ BAD = α + 2∠ ABC$，整理得$∠ BAD = \frac{1}{2}α + ∠ ABC$。
又因为$∠ BAD$是$△ ABC$的外角，所以$∠ BAD = ∠ ACB + ∠ ABC$，
所以$∠ ACB = ∠ BAD - ∠ ABC = \frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) 不改变，$\boldsymbol{90° - \dfrac{1}{2}α}$
(3) 不改变，$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}α}$
【知识点】
角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，按照从特殊到一般的逻辑设置问题，解题的关键是灵活运用角平分线的性质和三角形内外角的等量关系，完成未知角与已知角之间的转化。
【难度系数】
0.6
