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作业(十四) 实际问题与一次函数
一、选择题
1.已知等腰三角形的周长为20 cm,则底边长y(单位:cm)与腰长x(单位:cm)的函数解析式是 （
A.$y=20-2x(5＜x＜10)$
B.$y=2x-20(5＜x＜10)$
C.$y=10-\frac{1}{2}x(x＜10)$
D.$y=\frac{1}{2}x-10(5＜x)$
一、选择题
1.已知等腰三角形的周长为20 cm,则底边长y(单位:cm)与腰长x(单位:cm)的函数解析式是 （
A
）A.$y=20-2x(5＜x＜10)$
B.$y=2x-20(5＜x＜10)$
C.$y=10-\frac{1}{2}x(x＜10)$
D.$y=\frac{1}{2}x-10(5＜x)$
答案
1.A
解析
【分析】
解决本题首先要利用等腰三角形周长的计算公式推导出底边长y与腰长x的函数关系式，再结合三角形边长为正、三边关系这两个限制条件确定自变量x的取值范围，最后匹配对应选项即可。第一步先根据等腰三角形周长=2×腰长+底边长，代入已知周长20，变形得到y关于x的表达式；第二步确定x的取值：一是底边长必须大于0，二是满足两腰之和大于底边长的三边关系，解不等式得到x的范围，就能选出正确选项。
【解析】
解：根据等腰三角形周长公式可得：
$2x + y = 20$
整理得函数解析式：$y = 20 - 2x$
接下来确定自变量x的取值范围：
① 底边长为正数，即$y＞0$，代入得：
$20 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 10$
② 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两腰之和大于底边长：
$2x ＞ y$，即$2x ＞ 20 - 2x$
移项合并得$4x ＞ 20$，解得$x ＞ 5$
综上，函数解析式为$y=20-2x(5＜x＜10)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形周长计算、三角形三边关系、函数自变量取值范围
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题，解题核心是既要正确推导函数关系式，还要注意结合几何图形的实际性质确定自变量的取值范围，避免遗漏三边关系的限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要利用等腰三角形周长的计算公式推导出底边长y与腰长x的函数关系式，再结合三角形边长为正、三边关系这两个限制条件确定自变量x的取值范围，最后匹配对应选项即可。第一步先根据等腰三角形周长=2×腰长+底边长，代入已知周长20，变形得到y关于x的表达式；第二步确定x的取值：一是底边长必须大于0，二是满足两腰之和大于底边长的三边关系，解不等式得到x的范围，就能选出正确选项。
【解析】
解：根据等腰三角形周长公式可得：
$2x + y = 20$
整理得函数解析式：$y = 20 - 2x$
接下来确定自变量x的取值范围：
① 底边长为正数，即$y＞0$，代入得：
$20 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 10$
② 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两腰之和大于底边长：
$2x ＞ y$，即$2x ＞ 20 - 2x$
移项合并得$4x ＞ 20$，解得$x ＞ 5$
综上，函数解析式为$y=20-2x(5＜x＜10)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形周长计算、三角形三边关系、函数自变量取值范围
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题，解题核心是既要正确推导函数关系式，还要注意结合几何图形的实际性质确定自变量的取值范围，避免遗漏三边关系的限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
2.王明妈妈购进一批苹果,到集贸市场零售,已知卖出的苹果重量$ x $(单位:kg)与售价$ y $(单位:元)之间的对应关系如下表,则$ y $关于$ x $的函数解析式是 (
A.$ y=2x+0.1 $
B.$ y=2.1x $
C.$ y=4x+0.2 $
D.$ y=4.2x $
B
)A.$ y=2x+0.1 $
B.$ y=2.1x $
C.$ y=4x+0.2 $
D.$ y=4.2x $
答案
2.B
解析
【分析】
要确定y关于x的函数解析式，有两种常见思路：一是观察表格中x和y的对应规律，拆分售价的组成部分，整理得到解析式；二是利用代入验证法，将表格中的x值代入各个选项，判断得到的y值是否与表格一致，排除错误选项得到答案。
【解析】
方法一：规律推导法
观察表格中售价y的表达式：
当x=1时，$y=2×1 + 0.1×1 = (2+0.1)×1 = 2.1×1$
当x=2时，$y=2×2 + 0.1×2 = (2+0.1)×2 = 2.1×2$
当x=3时，$y=2×3 + 0.1×3 = (2+0.1)×3 = 2.1×3$
……
以此类推，可得y与x的关系为$y=2.1x$。
方法二：代入验证法
①将x=1代入各选项：
A选项：$y=2×1+0.1=2.1$，符合表格；B选项：$y=2.1×1=2.1$，符合表格；C选项：$y=4×1+0.2=4.2$，不符合，排除；D选项：$y=4.2×1=4.2$，不符合，排除。
②将x=2代入剩余A、B选项：
A选项：$y=2×2+0.1=4.1$，与表格中$y=4+0.2=4.2$不符，排除；B选项：$y=2.1×2=4.2$，符合表格。
再验证x=3、x=4、x=5，代入B选项得到的y值均与表格一致，故B正确。
【答案】
B
【知识点】
列一次函数解析式；一次函数实际应用；代入验证法
【点评】
本题考查实际场景下一次函数解析式的确定，解题方法灵活，既可以通过观察数据规律直接推导关系式，也可以用代入排除法快速选出正确答案，侧重考查学生对数据的观察分析能力。
【难度系数】
0.8
要确定y关于x的函数解析式，有两种常见思路：一是观察表格中x和y的对应规律，拆分售价的组成部分，整理得到解析式；二是利用代入验证法，将表格中的x值代入各个选项，判断得到的y值是否与表格一致，排除错误选项得到答案。
【解析】
方法一：规律推导法
观察表格中售价y的表达式：
当x=1时，$y=2×1 + 0.1×1 = (2+0.1)×1 = 2.1×1$
当x=2时，$y=2×2 + 0.1×2 = (2+0.1)×2 = 2.1×2$
当x=3时，$y=2×3 + 0.1×3 = (2+0.1)×3 = 2.1×3$
……
以此类推，可得y与x的关系为$y=2.1x$。
方法二：代入验证法
①将x=1代入各选项：
A选项：$y=2×1+0.1=2.1$，符合表格；B选项：$y=2.1×1=2.1$，符合表格；C选项：$y=4×1+0.2=4.2$，不符合，排除；D选项：$y=4.2×1=4.2$，不符合，排除。
②将x=2代入剩余A、B选项：
A选项：$y=2×2+0.1=4.1$，与表格中$y=4+0.2=4.2$不符，排除；B选项：$y=2.1×2=4.2$，符合表格。
再验证x=3、x=4、x=5，代入B选项得到的y值均与表格一致，故B正确。
【答案】
B
【知识点】
列一次函数解析式；一次函数实际应用；代入验证法
【点评】
本题考查实际场景下一次函数解析式的确定，解题方法灵活，既可以通过观察数据规律直接推导关系式，也可以用代入排除法快速选出正确答案，侧重考查学生对数据的观察分析能力。
【难度系数】
0.8
3.某快递公司每天上午$9:00～10:00$为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量$y$（单位：件）与时间$x$（单位：$\mathrm{min}$）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为 （
A.$9:15$
B.$9:20$
C.$9:25$
D.$9:30$
B
）A.$9:15$
B.$9:20$
C.$9:25$
D.$9:30$
答案
3.B
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确：两仓库快递件数相同时，对应两个一次函数图象的交点，此时两个函数的y值相等。因此解题步骤为：先用待定系数法分别求出甲、乙两仓库快件数量y关于时间x的函数解析式，再联立两个解析式求解x的值，最后结合起始时间9:00推算对应的时刻即可。
【解析】
设甲仓库的快件数量y与时间x的函数解析式为$y_甲=k_1x+b_1$，
由图可知$y_甲$过点$(0,40)$和$(60,400)$，代入得：
$\begin{cases}b_1=40\\60k_1+40=400\end{cases}$
解得$k_1=6$，$b_1=40$，因此$y_甲=6x+40$。
设乙仓库的快件数量y与时间x的函数解析式为$y_乙=k_2x+b_2$，
由图可知$y_乙$过点$(0,240)$和$(60,0)$，代入得：
$\begin{cases}b_2=240\\60k_2+240=0\end{cases}$
解得$k_2=-4$，$b_2=240$，因此$y_乙=-4x+240$。
当两仓库快递件数相同时，$y_甲=y_乙$，即：
$6x+40=-4x+240$
移项得$10x=200$，解得$x=20$。
因为x是9:00开始经过的分钟数，所以此刻时间为9:20。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的应用；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题结合快递揽件派件的实际场景考查一次函数的相关应用，解题核心是熟练运用待定系数法求一次函数解析式，理解函数交点的实际意义，整体解题思路清晰，属于常见的一次函数实际应用题型。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确：两仓库快递件数相同时，对应两个一次函数图象的交点，此时两个函数的y值相等。因此解题步骤为：先用待定系数法分别求出甲、乙两仓库快件数量y关于时间x的函数解析式，再联立两个解析式求解x的值，最后结合起始时间9:00推算对应的时刻即可。
【解析】
设甲仓库的快件数量y与时间x的函数解析式为$y_甲=k_1x+b_1$，
由图可知$y_甲$过点$(0,40)$和$(60,400)$，代入得：
$\begin{cases}b_1=40\\60k_1+40=400\end{cases}$
解得$k_1=6$，$b_1=40$，因此$y_甲=6x+40$。
设乙仓库的快件数量y与时间x的函数解析式为$y_乙=k_2x+b_2$，
由图可知$y_乙$过点$(0,240)$和$(60,0)$，代入得：
$\begin{cases}b_2=240\\60k_2+240=0\end{cases}$
解得$k_2=-4$，$b_2=240$，因此$y_乙=-4x+240$。
当两仓库快递件数相同时，$y_甲=y_乙$，即：
$6x+40=-4x+240$
移项得$10x=200$，解得$x=20$。
因为x是9:00开始经过的分钟数，所以此刻时间为9:20。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的应用；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题结合快递揽件派件的实际场景考查一次函数的相关应用，解题核心是熟练运用待定系数法求一次函数解析式，理解函数交点的实际意义，整体解题思路清晰，属于常见的一次函数实际应用题型。
【难度系数】
0.7
4.一条笔直的公路旁依次有 A,B,C 三个村庄,甲、乙两人骑自行车分别从 A 村、B 村同时出发前往 C 村,甲、乙之间的距离 s(单位:km)与骑行时间 t(单位:h)之间的函数关系如图所示,下列结论:①A,B 两村相距 10 km;②出发1.25 h后两人相遇;③甲每小时比乙每小时多骑行8 km;④相遇后,乙又骑行了 15 min 或 65 min 时两人相距2 km.其中正确的个数是 (
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
D
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先明确图像中s表示甲乙两人的距离，t表示骑行时间，从图像特殊点的实际含义入手逐一验证结论：先看t=0时的s值对应AB两村距离；s=0时对应两人相遇；用追及路程除以追及时间可得甲乙速度差；最后分相遇后甲未到C村、甲已到C村两种情况，计算两人相距2km的时间即可。
【解析】
①当$t=0$时，$s=10\mathrm{km}$，即出发前甲在A村、乙在B村，两人相距10km，因此A、B两村相距10km，①正确；
②当$t=1.25\mathrm{h}$时，$s=0\mathrm{km}$，说明此时两人位置相同，即出发1.25h后两人相遇，②正确；
③1.25h甲追上乙，追及路程为10km，设甲速度为$v_甲$，乙速度为$v_乙$，可得$1.25(v_甲-v_乙)=10$，解得$v_甲-v_乙=8\mathrm{km/h}$，即甲每小时比乙多骑行8km，③正确；
④先计算两人速度：2h时甲乙距离为6km，2.5h时距离为0，说明2h时甲到达C村，之后乙骑行0.5h走了6km到达C村，因此$v_乙=6÷0.5=12\mathrm{km/h}$，$v_甲=12+8=20\mathrm{km/h}$。
相遇后相距2km分两种情况：
第一种：甲还未到达C村，两人距离随时间增大，设相遇后经过$t$小时相距2km，得$8t=2$，解得$t=0.25\mathrm{h}=15\mathrm{min}$；
第二种：甲到达C村后，两人距离随时间减小，甲到达C村是出发后2h，此时两人相距6km，设甲到C后再经过$t'$小时相距2km，得$12t'=6-2$，解得$t'=\frac{1}{3}\mathrm{h}=20\mathrm{min}$，此时距离相遇的总时间为$(2-1.25)\mathrm{h}+20\mathrm{min}=45\mathrm{min}+20\mathrm{min}=65\mathrm{min}$。
因此相遇后乙又骑行15min或65min时两人相距2km，④正确。
综上4个结论均正确。
【答案】D
【知识点】
一次函数的应用，行程追及问题，图像信息提取
【点评】
本题结合s-t图像考查行程问题，解题核心是理解图像特殊点对应的实际运动状态，分阶段分析运动过程即可逐一判断结论，注意考虑问题要全面，不要遗漏第二种运动情况。
【难度系数】
0.65
解题时首先明确图像中s表示甲乙两人的距离，t表示骑行时间，从图像特殊点的实际含义入手逐一验证结论：先看t=0时的s值对应AB两村距离；s=0时对应两人相遇；用追及路程除以追及时间可得甲乙速度差；最后分相遇后甲未到C村、甲已到C村两种情况，计算两人相距2km的时间即可。
【解析】
①当$t=0$时，$s=10\mathrm{km}$，即出发前甲在A村、乙在B村，两人相距10km，因此A、B两村相距10km，①正确；
②当$t=1.25\mathrm{h}$时，$s=0\mathrm{km}$，说明此时两人位置相同，即出发1.25h后两人相遇，②正确；
③1.25h甲追上乙，追及路程为10km，设甲速度为$v_甲$，乙速度为$v_乙$，可得$1.25(v_甲-v_乙)=10$，解得$v_甲-v_乙=8\mathrm{km/h}$，即甲每小时比乙多骑行8km，③正确；
④先计算两人速度：2h时甲乙距离为6km，2.5h时距离为0，说明2h时甲到达C村，之后乙骑行0.5h走了6km到达C村，因此$v_乙=6÷0.5=12\mathrm{km/h}$，$v_甲=12+8=20\mathrm{km/h}$。
相遇后相距2km分两种情况：
第一种：甲还未到达C村，两人距离随时间增大，设相遇后经过$t$小时相距2km，得$8t=2$，解得$t=0.25\mathrm{h}=15\mathrm{min}$；
第二种：甲到达C村后，两人距离随时间减小，甲到达C村是出发后2h，此时两人相距6km，设甲到C后再经过$t'$小时相距2km，得$12t'=6-2$，解得$t'=\frac{1}{3}\mathrm{h}=20\mathrm{min}$，此时距离相遇的总时间为$(2-1.25)\mathrm{h}+20\mathrm{min}=45\mathrm{min}+20\mathrm{min}=65\mathrm{min}$。
因此相遇后乙又骑行15min或65min时两人相距2km，④正确。
综上4个结论均正确。
【答案】D
【知识点】
一次函数的应用，行程追及问题，图像信息提取
【点评】
本题结合s-t图像考查行程问题，解题核心是理解图像特殊点对应的实际运动状态，分阶段分析运动过程即可逐一判断结论，注意考虑问题要全面，不要遗漏第二种运动情况。
【难度系数】
0.65
5.某市出租车收费方式如下:行驶距离在3 km以内(包括3 km)付起步价6元,超过3 km后,每多行驶1 km加收1.6元,则当乘车距离超过3 km时,乘车费用y(单位:元)与乘车距离x(单位:km)之间的函数解析式为
$y=1.6x+1.2(x＞3)$
.答案
5.$y=1.6x+1.2(x＞3)$
解析
【分析】
这是一道分段计费类的一次函数实际应用题，解题时首先要明确乘车费用的组成：当乘车距离超过3km时，总费用=3km以内的起步价+超过3km部分的加收费用。先算出超过3km的行驶距离，乘每公里的加收费用后，加上起步价整理化简式子，最后标注自变量x的取值范围即可。
【解析】
当乘车距离$x＞3$时，超过3km的行驶距离为$(x-3)\mathrm{km}$，这部分的费用为$1.6(x-3)$元，加上3km以内的起步价6元，可得总费用：
$\begin{aligned}y&=6+1.6(x-3)\\&=6+1.6x-4.8\\&=1.6x+1.2\end{aligned}$
其中自变量的取值范围是$x＞3$。
【答案】
$y=1.6x+1.2(x＞3)$
【知识点】
一次函数实际应用、列函数解析式、自变量取值范围
【点评】
本题考查实际生活中的分段计费问题，解题核心是梳理清楚费用的构成，分别计算各段对应的费用后求和即可，解题时需注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
这是一道分段计费类的一次函数实际应用题，解题时首先要明确乘车费用的组成：当乘车距离超过3km时，总费用=3km以内的起步价+超过3km部分的加收费用。先算出超过3km的行驶距离，乘每公里的加收费用后，加上起步价整理化简式子，最后标注自变量x的取值范围即可。
【解析】
当乘车距离$x＞3$时，超过3km的行驶距离为$(x-3)\mathrm{km}$，这部分的费用为$1.6(x-3)$元，加上3km以内的起步价6元，可得总费用：
$\begin{aligned}y&=6+1.6(x-3)\\&=6+1.6x-4.8\\&=1.6x+1.2\end{aligned}$
其中自变量的取值范围是$x＞3$。
【答案】
$y=1.6x+1.2(x＞3)$
【知识点】
一次函数实际应用、列函数解析式、自变量取值范围
【点评】
本题考查实际生活中的分段计费问题，解题核心是梳理清楚费用的构成，分别计算各段对应的费用后求和即可，解题时需注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
