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6.大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离设为$ d $(单位:cm).某项研究表明,一般情况下人的身高$ h $(单位:cm)是两指尖的距离$ d $的一次函数,表格中是测得的$ d $与$ h $的一组数据.请根据所给信息确定:某人身高为196 cm,一般情况下他的两指尖的距离约是
第6题表
24
cm.第6题表
答案
6.24
解析
【分析】
已知人的身高h是两指尖距离d的一次函数，因此我们可以先设一次函数的解析式为$ h = kd + b $（$ k ≠ 0 $），从表格中选取两组对应d、h的数值代入解析式，得到二元一次方程组，求解得到k和b的值即可确定h与d的函数关系式，最后将h=196代入函数关系式，计算出对应的d值即可。
【解析】
设身高h与两指尖距离d的一次函数解析式为$ h = kd + b $（$ k ≠ 0 $）。
选取表格中两组数据$\begin{cases} d=20, h=160 \\ d=21, h=169 \end{cases}$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}20k + b = 160 \\21k + b = 169\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$ k = 9 $。
将$ k=9 $代入$ 20k + b = 160 $，得$ 20×9 + b = 160 $，解得$ b = -20 $。
因此函数解析式为$ h = 9d - 20 $，代入第三组数据$ d=22 $验证：$ h=9×22 -20=178 $，与表格数据一致，解析式正确。
当$ h=196 $时，代入解析式得：
$ 196 = 9d - 20 $
移项计算得$ 9d = 216 $，解得$ d = 24 $。
【答案】
24
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数求值
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的相关应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，再代入对应数值求解即可，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.8
已知人的身高h是两指尖距离d的一次函数，因此我们可以先设一次函数的解析式为$ h = kd + b $（$ k ≠ 0 $），从表格中选取两组对应d、h的数值代入解析式，得到二元一次方程组，求解得到k和b的值即可确定h与d的函数关系式，最后将h=196代入函数关系式，计算出对应的d值即可。
【解析】
设身高h与两指尖距离d的一次函数解析式为$ h = kd + b $（$ k ≠ 0 $）。
选取表格中两组数据$\begin{cases} d=20, h=160 \\ d=21, h=169 \end{cases}$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}20k + b = 160 \\21k + b = 169\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$ k = 9 $。
将$ k=9 $代入$ 20k + b = 160 $，得$ 20×9 + b = 160 $，解得$ b = -20 $。
因此函数解析式为$ h = 9d - 20 $，代入第三组数据$ d=22 $验证：$ h=9×22 -20=178 $，与表格数据一致，解析式正确。
当$ h=196 $时，代入解析式得：
$ 196 = 9d - 20 $
移项计算得$ 9d = 216 $，解得$ d = 24 $。
【答案】
24
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数求值
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的相关应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，再代入对应数值求解即可，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.8
7.某市为提倡居民节约用水,自今年1月1日起调整居民用水价格.图中$l_1$,$l_2$分别表示去年、今年水费$y$(单位:元)与用水量$x$(单位:$\mathrm{m}^3$)之间的关系.小雨家去年用水量为$150\ \mathrm{m}^3$,若今年用水量与去年相同,水费将比去年多________元.
答案
7.210
解析
【分析】解题思路如下：首先从图像中提取去年水费对应的函数信息，求出去年的水费单价，计算出去年用水量150m³的总水费；其次根据今年水费对应的函数图像，分析出今年的阶梯水价标准，即120m³以内的单价和超出120m³部分的单价，再计算今年用水量150m³的总水费；最后将今年和去年的总水费作差，即可得到水费多出来的金额。
【解析】
1. 计算去年150m³的水费：
已知l₁为去年水费与用水量的函数关系，过点$A(160,480)$，且为过原点的正比例函数，设解析式为$y_1=k_1x(k_1≠0)$，将$x=160,y=480$代入得：
$480=160k_1$，解得$k_1=3$，即去年水费单价为3元/$m^3$。
去年150$m^3$的水费为：$3×150=450$元。
2. 计算今年150$m^3$的水费：
已知l₂为今年水费与用水量的函数关系，由图像可得：
① 用水量不超过120$m^3$时，120$m^3$水费为480元，单价为$480÷120=4$元/$m^3$；
② 用水量超过120$m^3$时，160$m^3$水费为720元，超出120$m^3$的部分费用为$720-480=240$元，超出部分水量为$160-120=40m^3$，超出部分单价为$240÷40=6$元/$m^3$。
今年用水量150$m^3$，超出120$m^3$的水量为$150-120=30m^3$，总水费为：
$120×4 + 30×6=480+180=660$元。
3. 计算水费差额：$660-450=210$元。
【答案】210
【知识点】一次函数的实际应用，阶梯计费问题，正比例函数
【点评】本题结合生活中的水费调价场景考查一次函数的应用，解题的核心是读懂函数图像，准确提取不同用水量对应的费用信息，分阶段计算阶梯水费即可求解。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 计算去年150m³的水费：
已知l₁为去年水费与用水量的函数关系，过点$A(160,480)$，且为过原点的正比例函数，设解析式为$y_1=k_1x(k_1≠0)$，将$x=160,y=480$代入得：
$480=160k_1$，解得$k_1=3$，即去年水费单价为3元/$m^3$。
去年150$m^3$的水费为：$3×150=450$元。
2. 计算今年150$m^3$的水费：
已知l₂为今年水费与用水量的函数关系，由图像可得：
① 用水量不超过120$m^3$时，120$m^3$水费为480元，单价为$480÷120=4$元/$m^3$；
② 用水量超过120$m^3$时，160$m^3$水费为720元，超出120$m^3$的部分费用为$720-480=240$元，超出部分水量为$160-120=40m^3$，超出部分单价为$240÷40=6$元/$m^3$。
今年用水量150$m^3$，超出120$m^3$的水量为$150-120=30m^3$，总水费为：
$120×4 + 30×6=480+180=660$元。
3. 计算水费差额：$660-450=210$元。
【答案】210
【知识点】一次函数的实际应用，阶梯计费问题，正比例函数
【点评】本题结合生活中的水费调价场景考查一次函数的应用，解题的核心是读懂函数图像，准确提取不同用水量对应的费用信息，分阶段计算阶梯水费即可求解。
【难度系数】0.7
三、解答题
8.电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法.若某户居民每月应缴电费$y$(单位:元)与当月用电量$x$(单位:$\mathrm{kW}·\mathrm{h}$)的函数图象是一条折线(如图所示).
(1)求$y$与$x$之间的函数解析式；
(2)若该户居民某月用电$60\ \mathrm{kW}·\mathrm{h}$，则其应缴电费多少元？
(3)若该户居民某月缴电费$125$元，则其该月用电量是多少？
8.电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法.若某户居民每月应缴电费$y$(单位:元)与当月用电量$x$(单位:$\mathrm{kW}·\mathrm{h}$)的函数图象是一条折线(如图所示).
(1)求$y$与$x$之间的函数解析式；
(2)若该户居民某月用电$60\ \mathrm{kW}·\mathrm{h}$，则其应缴电费多少元？
(3)若该户居民某月缴电费$125$元，则其该月用电量是多少？
答案
8.(1)$y=\begin{cases}0.65x(0≤ x≤100)\\0.8x-15(x＞100)\end{cases}$
(2)当$x=60$时,$y=0.65x=0.65×60=39$(元),$\therefore$该户居民某月用电60度,则其应缴电费39元.
(3)当$y=0.8x-15=125$时,解得$x=175$,$\therefore$该户居民该月用了175度电.
(2)当$x=60$时,$y=0.65x=0.65×60=39$(元),$\therefore$该户居民某月用电60度,则其应缴电费39元.
(3)当$y=0.8x-15=125$时,解得$x=175$,$\therefore$该户居民该月用了175度电.
解析
【分析】
本题是分段一次函数在阶梯电费问题中的应用，解题思路如下：1. 求函数解析式：观察图象可知电费和用电量的关系分为两段，$0≤ x≤100$时是过原点的正比例函数，$x＞100$时是普通一次函数，分别用待定系数法，代入对应区间的已知点坐标即可求出两段的解析式，注意标注自变量的取值范围；2. 求$60\ \mathrm{kW·h}$的电费：先判断60属于哪个自变量区间，代入对应解析式计算即可；3. 已知电费125元求用电量：先比较125和100度电的电费65元的大小，判断用电量所在区间，再代入对应解析式解方程即可得到用电量。
【解析】
(1) 分两种情况求函数解析式：
① 当$0≤ x≤100$时，设$y=kx(k≠0)$，将点$(100,65)$代入解析式得：
$65=100k$，解得$k=0.65$，
∴此时解析式为$y=0.65x$；
② 当$x＞100$时，设$y=mx+n(m≠0)$，将点$(100,65)$、$(130,89)$代入解析式得方程组：
$\begin{cases}100m+n=65\\130m+n=89\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$30m=24$，解得$m=0.8$，
将$m=0.8$代入$100m+n=65$得：$80+n=65$，解得$n=-15$，
∴此时解析式为$y=0.8x-15$；
综上，$y$与$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}0.65x(0≤ x≤100)\\0.8x-15(x＞100)\end{cases}$。
(2)
∵$60＜100$，属于$0≤ x≤100$的区间，将$x=60$代入$y=0.65x$得：
$y=0.65×60=39$（元）。
(3)
∵125元＞65元，说明用电量超过$100\ \mathrm{kW·h}$，属于$x＞100$的区间，将$y=125$代入$y=0.8x-15$得：
$0.8x-15=125$
移项得$0.8x=140$，解得$x=175$（$\mathrm{kW·h}$）。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}0.65x(0≤ x≤100)\\0.8x-15(x＞100)\end{cases}$
(2)应缴电费39元；
(3)该月用电量是$175\ \mathrm{kW·h}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，分段一次函数，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中阶梯用电的收费场景，考查分段一次函数的相关知识，解题的核心是准确判断自变量或函数值所在的区间，再代入对应解析式计算，求解过程中要注意不要混淆不同区间的函数关系。
【难度系数】
0.7
本题是分段一次函数在阶梯电费问题中的应用，解题思路如下：1. 求函数解析式：观察图象可知电费和用电量的关系分为两段，$0≤ x≤100$时是过原点的正比例函数，$x＞100$时是普通一次函数，分别用待定系数法，代入对应区间的已知点坐标即可求出两段的解析式，注意标注自变量的取值范围；2. 求$60\ \mathrm{kW·h}$的电费：先判断60属于哪个自变量区间，代入对应解析式计算即可；3. 已知电费125元求用电量：先比较125和100度电的电费65元的大小，判断用电量所在区间，再代入对应解析式解方程即可得到用电量。
【解析】
(1) 分两种情况求函数解析式：
① 当$0≤ x≤100$时，设$y=kx(k≠0)$，将点$(100,65)$代入解析式得：
$65=100k$，解得$k=0.65$，
∴此时解析式为$y=0.65x$；
② 当$x＞100$时，设$y=mx+n(m≠0)$，将点$(100,65)$、$(130,89)$代入解析式得方程组：
$\begin{cases}100m+n=65\\130m+n=89\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$30m=24$，解得$m=0.8$，
将$m=0.8$代入$100m+n=65$得：$80+n=65$，解得$n=-15$，
∴此时解析式为$y=0.8x-15$；
综上，$y$与$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}0.65x(0≤ x≤100)\\0.8x-15(x＞100)\end{cases}$。
(2)
∵$60＜100$，属于$0≤ x≤100$的区间，将$x=60$代入$y=0.65x$得：
$y=0.65×60=39$（元）。
(3)
∵125元＞65元，说明用电量超过$100\ \mathrm{kW·h}$，属于$x＞100$的区间，将$y=125$代入$y=0.8x-15$得：
$0.8x-15=125$
移项得$0.8x=140$，解得$x=175$（$\mathrm{kW·h}$）。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}0.65x(0≤ x≤100)\\0.8x-15(x＞100)\end{cases}$
(2)应缴电费39元；
(3)该月用电量是$175\ \mathrm{kW·h}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，分段一次函数，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中阶梯用电的收费场景，考查分段一次函数的相关知识，解题的核心是准确判断自变量或函数值所在的区间，再代入对应解析式计算，求解过程中要注意不要混淆不同区间的函数关系。
【难度系数】
0.7
9.随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升.某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50 000元购买甲型健身器材的数量和用56 000元购买乙型健身器材的数量相同.
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元；
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元；
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
答案
9.(1)设甲型健身器材价格为$x$元,则乙型健身器材的价格为$(x+300)$元,$\dfrac{50000}{x}=\dfrac{56000}{x+300}$,$x=2500$,经检验,$x=2500$是原方程的根.此时$x+300=2800$,答:甲型健身器材价格为2500元,则乙型健身器材的价格为2800元
(2)甲型健身器材买了$a$个,则$a≤3(20-a)$即$a≤15$,且$a$为正整数.$w=2800(20-a)+2500a=-300a+56000$,由$k=-300＜0$,得$w$随$a$的增大而减小,故当$a=15$时,$w$取得最小值,且最小值为$w=-300×15+56000=51500$(元),故购买甲型健身器材15台,购买乙型健身器材5台时,费用最低,最低费用51500元
(2)甲型健身器材买了$a$个,则$a≤3(20-a)$即$a≤15$,且$a$为正整数.$w=2800(20-a)+2500a=-300a+56000$,由$k=-300＜0$,得$w$随$a$的增大而减小,故当$a=15$时,$w$取得最小值,且最小值为$w=-300×15+56000=51500$(元),故购买甲型健身器材15台,购买乙型健身器材5台时,费用最低,最低费用51500元
解析
【分析】
(1) 要求两种器材的单价，可先设甲型单价为$x$元，根据“甲型单价比乙型低300元”可表示出乙型单价为$(x+300)$元。题目给出“50000元购买甲型的数量和56000元购买乙型的数量相同”，结合“数量=总价÷单价”，就可以根据数量相等列分式方程求解，注意分式方程求解后必须检验根是否符合原方程和实际意义。
(2) 求费用最少的采购方案，先设购买甲型器材$a$台，那么乙型器材就是$(20-a)$台。首先根据“甲型购买数量不超过乙型的3倍”列不等式，求出$a$的取值范围。再将总采购费用$w$表示为关于$a$的一次函数，结合一次函数的增减性和$a$的取值范围，即可求出费用最小时的采购方案和最小费用。
【解析】
(1) 设甲型健身器材的单价为$x$元，则乙型健身器材的单价为$(x+300)$元。
由题意列方程：$\dfrac{50000}{x}=\dfrac{56000}{x+300}$
交叉相乘得：$50000(x+300)=56000x$
化简得：$50000x + 15000000 = 56000x$
移项计算得：$6000x=15000000$，解得$x=2500$
经检验，$x=2500$是原分式方程的根，且符合实际意义。
则乙型健身器材单价为：$x+300=2500+300=2800$（元）
(2) 设购买甲型健身器材$a$台，总采购费用为$w$元，则购买乙型健身器材$(20-a)$台。
根据题意列不等式：$a ≤ 3(20-a)$
解不等式：$a ≤ 60 - 3a$，$4a ≤ 60$，得$a ≤ 15$（$a$为正整数）
总费用表达式：$w=2500a + 2800(20-a)$
整理得：$w=-300a + 56000$
因为一次项系数$k=-300＜0$，所以$w$随$a$的增大而减小，因此当$a$取最大值15时，$w$取得最小值。
最小费用为：$w=-300×15 + 56000=51500$（元）
【答案】
(1) 甲型健身器材单价为2500元，乙型健身器材单价为2800元；
(2) 购买甲型健身器材15台时采购费用最少，最少采购费用是51500元。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数最值应用
【点评】
本题结合生活实际考查代数综合应用，解题关键是找准题目中的等量关系和不等关系，建立对应的方程、不等式和函数模型，注意分式方程要检验，一次函数最值需要结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.65
(1) 要求两种器材的单价，可先设甲型单价为$x$元，根据“甲型单价比乙型低300元”可表示出乙型单价为$(x+300)$元。题目给出“50000元购买甲型的数量和56000元购买乙型的数量相同”，结合“数量=总价÷单价”，就可以根据数量相等列分式方程求解，注意分式方程求解后必须检验根是否符合原方程和实际意义。
(2) 求费用最少的采购方案，先设购买甲型器材$a$台，那么乙型器材就是$(20-a)$台。首先根据“甲型购买数量不超过乙型的3倍”列不等式，求出$a$的取值范围。再将总采购费用$w$表示为关于$a$的一次函数，结合一次函数的增减性和$a$的取值范围，即可求出费用最小时的采购方案和最小费用。
【解析】
(1) 设甲型健身器材的单价为$x$元，则乙型健身器材的单价为$(x+300)$元。
由题意列方程：$\dfrac{50000}{x}=\dfrac{56000}{x+300}$
交叉相乘得：$50000(x+300)=56000x$
化简得：$50000x + 15000000 = 56000x$
移项计算得：$6000x=15000000$，解得$x=2500$
经检验，$x=2500$是原分式方程的根，且符合实际意义。
则乙型健身器材单价为：$x+300=2500+300=2800$（元）
(2) 设购买甲型健身器材$a$台，总采购费用为$w$元，则购买乙型健身器材$(20-a)$台。
根据题意列不等式：$a ≤ 3(20-a)$
解不等式：$a ≤ 60 - 3a$，$4a ≤ 60$，得$a ≤ 15$（$a$为正整数）
总费用表达式：$w=2500a + 2800(20-a)$
整理得：$w=-300a + 56000$
因为一次项系数$k=-300＜0$，所以$w$随$a$的增大而减小，因此当$a$取最大值15时，$w$取得最小值。
最小费用为：$w=-300×15 + 56000=51500$（元）
【答案】
(1) 甲型健身器材单价为2500元，乙型健身器材单价为2800元；
(2) 购买甲型健身器材15台时采购费用最少，最少采购费用是51500元。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数最值应用
【点评】
本题结合生活实际考查代数综合应用，解题关键是找准题目中的等量关系和不等关系，建立对应的方程、不等式和函数模型，注意分式方程要检验，一次函数最值需要结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.65
