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10.某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在比赛中表现优秀的师生.已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元.
(1)求购买1个甲种文具、1个乙种文具各需多少元？
(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1 000元，设购买甲种文具$ x $个，求有多少种购买方案？
(3)设学校投入资金$ W $元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
(1)求购买1个甲种文具、1个乙种文具各需多少元？
(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1 000元，设购买甲种文具$ x $个，求有多少种购买方案？
(3)设学校投入资金$ W $元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
答案
10.(1)设购买一个甲种文具$a$元,一个乙种文具$b$元,由题意得:$\begin{cases}2a+b=35,\\a+3b=30,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=15,\\b=5.\end{cases}$答:购买一个甲种文具15元,一个乙种文具5元
(2)根据题意得:$955≤15x+5(120-x)≤1000$,解得$35.5≤ x≤40$,$\because x$是整数,$\therefore x=36,37,38,39,40$,$\therefore$有5种购买方案
(3)$W=15x+5(120-x)=10x+600$,$\because10＞0$,$\therefore W$随$x$的增大而增大,当$x=36$时,$W_{\mathrm{最小}}=10×36+600=960$(元),$\therefore120-36=84$.答:购买甲种文具36个,乙种文具84个时需要的资金最少,最少资金是960元
(2)根据题意得:$955≤15x+5(120-x)≤1000$,解得$35.5≤ x≤40$,$\because x$是整数,$\therefore x=36,37,38,39,40$,$\therefore$有5种购买方案
(3)$W=15x+5(120-x)=10x+600$,$\because10＞0$,$\therefore W$随$x$的增大而增大,当$x=36$时,$W_{\mathrm{最小}}=10×36+600=960$(元),$\therefore120-36=84$.答:购买甲种文具36个,乙种文具84个时需要的资金最少,最少资金是960元
解析
【分析】
(1) 第一问需要求两种文具的单价，题干给出了两组购买数量对应总花费的等量关系，可设甲、乙文具的单价分别为未知数列二元一次方程组，求解即可得到单价。
(2) 第二问已知两种文具总购买量为120个，设甲种文具为$x$个，则乙种文具为$(120-x)$个，结合投入资金的范围，根据“总资金=甲文具总费用+乙文具总费用”列一元一次不等式，求出$x$的取值范围后，结合$x$为整数的条件，统计符合要求的$x$的个数即为购买方案数。
(3) 第三问先写出总资金$W$关于$x$的一次函数关系式，根据一次函数的增减性，结合$x$的取值范围，找到使$W$最小的$x$值，代入计算即可得到最少资金和对应购买方案。
【解析】
(1) 设购买一个甲种文具$a$元，一个乙种文具$b$元，由题意得:
$\begin{cases}2a+b=35\\a+3b=30\end{cases}$
将第一个方程变形为$b=35-2a$，代入第二个方程得$a+3(35-2a)=30$，解得$a=15$，再代入$b=35-2a$得$b=5$。
答:购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元。
(2) 根据题意得:
$955≤15x+5(120-x)≤1000$
化简得$955≤10x+600≤1000$，解得$35.5≤ x≤40$。
$\because x$是整数，$\therefore x=36,37,38,39,40$，共5个取值，即有5种购买方案。
(3) 总资金$W=15x+5(120-x)=10x+600$，
$\because10＞0$，$\therefore W$随$x$的增大而增大，
当$x=36$时，$W_{\mathrm{最小}}=10×36+600=960$（元），
此时乙种文具数量为$120-36=84$（个）。
答:购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元。
【答案】
(1) 购买1个甲种文具15元，1个乙种文具5元；
(2) 有5种购买方案；
(3) 购买甲种文具36个、乙种文具84个时资金最少，最少资金为960元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，一次函数最值应用
【点评】
本题是贴近生活的综合应用题，依次考查了方程组、不等式、一次函数的核心知识点，解题关键是准确梳理题干中的等量关系与不等关系，结合一次函数性质求解最值，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问需要求两种文具的单价，题干给出了两组购买数量对应总花费的等量关系，可设甲、乙文具的单价分别为未知数列二元一次方程组，求解即可得到单价。
(2) 第二问已知两种文具总购买量为120个，设甲种文具为$x$个，则乙种文具为$(120-x)$个，结合投入资金的范围，根据“总资金=甲文具总费用+乙文具总费用”列一元一次不等式，求出$x$的取值范围后，结合$x$为整数的条件，统计符合要求的$x$的个数即为购买方案数。
(3) 第三问先写出总资金$W$关于$x$的一次函数关系式，根据一次函数的增减性，结合$x$的取值范围，找到使$W$最小的$x$值，代入计算即可得到最少资金和对应购买方案。
【解析】
(1) 设购买一个甲种文具$a$元，一个乙种文具$b$元，由题意得:
$\begin{cases}2a+b=35\\a+3b=30\end{cases}$
将第一个方程变形为$b=35-2a$，代入第二个方程得$a+3(35-2a)=30$，解得$a=15$，再代入$b=35-2a$得$b=5$。
答:购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元。
(2) 根据题意得:
$955≤15x+5(120-x)≤1000$
化简得$955≤10x+600≤1000$，解得$35.5≤ x≤40$。
$\because x$是整数，$\therefore x=36,37,38,39,40$，共5个取值，即有5种购买方案。
(3) 总资金$W=15x+5(120-x)=10x+600$，
$\because10＞0$，$\therefore W$随$x$的增大而增大，
当$x=36$时，$W_{\mathrm{最小}}=10×36+600=960$（元），
此时乙种文具数量为$120-36=84$（个）。
答:购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元。
【答案】
(1) 购买1个甲种文具15元，1个乙种文具5元；
(2) 有5种购买方案；
(3) 购买甲种文具36个、乙种文具84个时资金最少，最少资金为960元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，一次函数最值应用
【点评】
本题是贴近生活的综合应用题，依次考查了方程组、不等式、一次函数的核心知识点，解题关键是准确梳理题干中的等量关系与不等关系，结合一次函数性质求解最值，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
11.(1)【问题发现】如图①,已知在$△ ABC$中,$AC=BC,∠ C=90°$,顶点$C$在直线$l$上.过点$A$作$AD⊥ l$于点$D$,过点$B$作$BE⊥ l$于点$E$,求证:$△ CAD≌△ BCE$;
(2)【探究运用】如图②,将等腰直角$△ ABC$置于直角坐标系中,顶点$A(0,2)$,直角顶点$B(1,0)$,顶点$C$在第一象限.求直线$BC$的解析式;
(3)【拓展延伸】如图③,直线$l_1:y=\dfrac{8}{3}x+8$与$y$轴交于点$A$,与$x$轴交于点$B$,将直线$l_1$绕点$A$顺时针旋转$45°$得到$l_2$,求$l_2$的函数解析式.
(2)【探究运用】如图②,将等腰直角$△ ABC$置于直角坐标系中,顶点$A(0,2)$,直角顶点$B(1,0)$,顶点$C$在第一象限.求直线$BC$的解析式;
(3)【拓展延伸】如图③,直线$l_1:y=\dfrac{8}{3}x+8$与$y$轴交于点$A$,与$x$轴交于点$B$,将直线$l_1$绕点$A$顺时针旋转$45°$得到$l_2$,求$l_2$的函数解析式.
答案
11.(1)$\because AD⊥ l$,$BE⊥ l$,$\therefore ∠ ADC=∠ BEC=90°$,$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore∠ ACD=90°-∠ BCE=∠ CBE$,$\because AC=CB$,$\therefore△ CAD≌△ BCE(\mathrm{AAS})$
(2)过点$C$作$CD⊥ x$轴于$D$点,$\because$顶点$A(0,2)$,直角顶点$B(1,0)$,$\therefore AO=2$,$BO=1$,$\because∠ ABC=∠ AOB=∠ BDC=90°$,$\therefore∠ ABO+∠ CBD=90°=∠ CBD+∠ BCD$,$\therefore∠ ABO=∠ BCD$,$\because AB=BC$,$\therefore△ ABO≌△ BCD(\mathrm{AAS})$,$\therefore CD=BO=1$,$AO=BD=2$,$\therefore OD=3$,$\therefore$点$C(3,1)$;设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$,把$B(1,0)$,$C(3,1)$分别代入,得$\begin{cases}k+b=0,\\3k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=-\dfrac{1}{2},\end{cases}$$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$
(3)如图③,作$CB⊥ AB$交$l_2$于点$C$,作$CD⊥ x$轴于点$D$,在$y=\dfrac{8}{3}x+8$中,令$x=0$得$y=8$,令$y=0$得$x=-3$,$\therefore A(0,8)$,$B(-3,0)$,$\therefore OA=8$,$OB=3$,$\because∠ BAC=45°$,$CB⊥ AB$,$\therefore△ ABC$是等腰直角三角形,$\therefore AB=BC$,$∠ CBD=90°-∠ ABO=∠ BAO$,而$∠ CDB=∠ AOB=90°$,$\therefore△ CDB≌△ BOA(\mathrm{AAS})$,$\therefore CD=OB=3$,$BD=OA=8$,$\therefore OD=OB+BD=11$,$\therefore C(-11,3)$,设$l_2$的解析式为$y=ax+8$,把$C(-11,3)$代入,得$3=-11a+8$,解得$a=\dfrac{5}{11}$,$\therefore l_2$的解析式为$y=\dfrac{5}{11}x+8$
解析
【分析】
(1) 要证明△CAD≌△BCE，已知AC=BC、∠ACB=90°，结合AD、BE均垂直于直线l可得两个直角相等，再通过同角的余角相等推出一组锐角相等，即可用AAS判定全等。
(2) 求直线BC的解析式需要两个点的坐标，已知B点坐标，仅需先求C点坐标：过C作x轴垂线，利用第(1)问的“一线三等角”全等模型证明△ABO≌△BCD，根据全等性质得到C点横纵坐标，再用待定系数法求解即可。
(3) 直线旋转45°后∠BAC=45°，过B作AB的垂线交l₂于C即可得到等腰直角△ABC，再次用“一线三等角”全等模型证明△CDB≌△BOA求出C点坐标，已知l₂过A点，代入C点坐标用待定系数法即可求出l₂的解析式。
【解析】
(1) 证明：$\because AD⊥ l$，$BE⊥ l$，$\therefore ∠ ADC=∠ BEC=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore∠ ACD=90°-∠ BCE=∠ CBE$，
又$\because AC=CB$，$\therefore△ CAD≌△ BCE(\mathrm{AAS})$。
(2) 过点$C$作$CD⊥ x$轴于$D$点，$\because$顶点$A(0,2)$，直角顶点$B(1,0)$，$\therefore AO=2$，$BO=1$，
$\because∠ ABC=∠ AOB=∠ BDC=90°$，$\therefore∠ ABO+∠ CBD=90°=∠ CBD+∠ BCD$，$\therefore∠ ABO=∠ BCD$，
$\because AB=BC$，$\therefore△ ABO≌△ BCD(\mathrm{AAS})$，$\therefore CD=BO=1$，$AO=BD=2$，$\therefore OD=3$，$\therefore$点$C(3,1)$；
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，把$B(1,0)$、$C(3,1)$分别代入，得$\begin{cases}k+b=0,\\3k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=-\dfrac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$。
(3) 作$CB⊥ AB$交$l_2$于点$C$，作$CD⊥ x$轴于点$D$，在$y=\dfrac{8}{3}x+8$中，令$x=0$得$y=8$，令$y=0$得$x=-3$，$\therefore A(0,8)$，$B(-3,0)$，$\therefore OA=8$，$OB=3$，
$\because∠ BAC=45°$，$CB⊥ AB$，$\therefore△ ABC$是等腰直角三角形，$\therefore AB=BC$，$∠ CBD=90°-∠ ABO=∠ BAO$，
而$∠ CDB=∠ AOB=90°$，$\therefore△ CDB≌△ BOA(\mathrm{AAS})$，$\therefore CD=OB=3$，$BD=OA=8$，$\therefore OD=OB+BD=11$，$\therefore C(-11,3)$，
设$l_2$的解析式为$y=ax+8$，把$C(-11,3)$代入，得$3=-11a+8$，解得$a=\dfrac{5}{11}$，
$\therefore l_2$的解析式为$y=\dfrac{5}{11}x+8$。
【答案】
11.(1)$\because AD⊥ l$,$BE⊥ l$,$\therefore ∠ ADC=∠ BEC=90°$,$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore∠ ACD=90°-∠ BCE=∠ CBE$,$\because AC=CB$,$\therefore△ CAD≌△ BCE(\mathrm{AAS})$
(2)过点$C$作$CD⊥ x$轴于$D$点,$\because$顶点$A(0,2)$,直角顶点$B(1,0)$,$\therefore AO=2$,$BO=1$,$\because∠ ABC=∠ AOB=∠ BDC=90°$,$\therefore∠ ABO+∠ CBD=90°=∠ CBD+∠ BCD$,$\therefore∠ ABO=∠ BCD$,$\because AB=BC$,$\therefore△ ABO≌△ BCD(\mathrm{AAS})$,$\therefore CD=BO=1$,$AO=BD=2$,$\therefore OD=3$,$\therefore$点$C(3,1)$;设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$,把$B(1,0)$,$C(3,1)$分别代入,得$\begin{cases}k+b=0,\\3k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=-\dfrac{1}{2},\end{cases}$$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$
(3)如图③,作$CB⊥ AB$交$l_2$于点$C$,作$CD⊥ x$轴于点$D$,在$y=\dfrac{8}{3}x+8$中,令$x=0$得$y=8$,令$y=0$得$x=-3$,$\therefore A(0,8)$,$B(-3,0)$,$\therefore OA=8$,$OB=3$,$\because∠ BAC=45°$,$CB⊥ AB$,$\therefore△ ABC$是等腰直角三角形,$\therefore AB=BC$,$∠ CBD=90°-∠ ABO=∠ BAO$,而$∠ CDB=∠ AOB=90°$,$\therefore△ CDB≌△ BOA(\mathrm{AAS})$,$\therefore CD=OB=3$,$BD=OA=8$,$\therefore OD=OB+BD=11$,$\therefore C(-11,3)$,设$l_2$的解析式为$y=ax+8$,把$C(-11,3)$代入,得$3=-11a+8$,解得$a=\dfrac{5}{11}$,$\therefore l_2$的解析式为$y=\dfrac{5}{11}x+8$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何变换
【点评】
本题采用分层递进的命题方式，从基础的全等证明入手，逐步延伸到一次函数与几何变换的综合应用，核心考查“一线三等角”的全等模型，解题时要注意前后问的方法关联，灵活迁移已掌握的模型解决新问题，有利于提升几何与代数结合的综合解题能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△CAD≌△BCE，已知AC=BC、∠ACB=90°，结合AD、BE均垂直于直线l可得两个直角相等，再通过同角的余角相等推出一组锐角相等，即可用AAS判定全等。
(2) 求直线BC的解析式需要两个点的坐标，已知B点坐标，仅需先求C点坐标：过C作x轴垂线，利用第(1)问的“一线三等角”全等模型证明△ABO≌△BCD，根据全等性质得到C点横纵坐标，再用待定系数法求解即可。
(3) 直线旋转45°后∠BAC=45°，过B作AB的垂线交l₂于C即可得到等腰直角△ABC，再次用“一线三等角”全等模型证明△CDB≌△BOA求出C点坐标，已知l₂过A点，代入C点坐标用待定系数法即可求出l₂的解析式。
【解析】
(1) 证明：$\because AD⊥ l$，$BE⊥ l$，$\therefore ∠ ADC=∠ BEC=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore∠ ACD=90°-∠ BCE=∠ CBE$，
又$\because AC=CB$，$\therefore△ CAD≌△ BCE(\mathrm{AAS})$。
(2) 过点$C$作$CD⊥ x$轴于$D$点，$\because$顶点$A(0,2)$，直角顶点$B(1,0)$，$\therefore AO=2$，$BO=1$，
$\because∠ ABC=∠ AOB=∠ BDC=90°$，$\therefore∠ ABO+∠ CBD=90°=∠ CBD+∠ BCD$，$\therefore∠ ABO=∠ BCD$，
$\because AB=BC$，$\therefore△ ABO≌△ BCD(\mathrm{AAS})$，$\therefore CD=BO=1$，$AO=BD=2$，$\therefore OD=3$，$\therefore$点$C(3,1)$；
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，把$B(1,0)$、$C(3,1)$分别代入，得$\begin{cases}k+b=0,\\3k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=-\dfrac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$。
(3) 作$CB⊥ AB$交$l_2$于点$C$，作$CD⊥ x$轴于点$D$，在$y=\dfrac{8}{3}x+8$中，令$x=0$得$y=8$，令$y=0$得$x=-3$，$\therefore A(0,8)$，$B(-3,0)$，$\therefore OA=8$，$OB=3$，
$\because∠ BAC=45°$，$CB⊥ AB$，$\therefore△ ABC$是等腰直角三角形，$\therefore AB=BC$，$∠ CBD=90°-∠ ABO=∠ BAO$，
而$∠ CDB=∠ AOB=90°$，$\therefore△ CDB≌△ BOA(\mathrm{AAS})$，$\therefore CD=OB=3$，$BD=OA=8$，$\therefore OD=OB+BD=11$，$\therefore C(-11,3)$，
设$l_2$的解析式为$y=ax+8$，把$C(-11,3)$代入，得$3=-11a+8$，解得$a=\dfrac{5}{11}$，
$\therefore l_2$的解析式为$y=\dfrac{5}{11}x+8$。
【答案】
11.(1)$\because AD⊥ l$,$BE⊥ l$,$\therefore ∠ ADC=∠ BEC=90°$,$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore∠ ACD=90°-∠ BCE=∠ CBE$,$\because AC=CB$,$\therefore△ CAD≌△ BCE(\mathrm{AAS})$
(2)过点$C$作$CD⊥ x$轴于$D$点,$\because$顶点$A(0,2)$,直角顶点$B(1,0)$,$\therefore AO=2$,$BO=1$,$\because∠ ABC=∠ AOB=∠ BDC=90°$,$\therefore∠ ABO+∠ CBD=90°=∠ CBD+∠ BCD$,$\therefore∠ ABO=∠ BCD$,$\because AB=BC$,$\therefore△ ABO≌△ BCD(\mathrm{AAS})$,$\therefore CD=BO=1$,$AO=BD=2$,$\therefore OD=3$,$\therefore$点$C(3,1)$;设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$,把$B(1,0)$,$C(3,1)$分别代入,得$\begin{cases}k+b=0,\\3k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=-\dfrac{1}{2},\end{cases}$$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$
(3)如图③,作$CB⊥ AB$交$l_2$于点$C$,作$CD⊥ x$轴于点$D$,在$y=\dfrac{8}{3}x+8$中,令$x=0$得$y=8$,令$y=0$得$x=-3$,$\therefore A(0,8)$,$B(-3,0)$,$\therefore OA=8$,$OB=3$,$\because∠ BAC=45°$,$CB⊥ AB$,$\therefore△ ABC$是等腰直角三角形,$\therefore AB=BC$,$∠ CBD=90°-∠ ABO=∠ BAO$,而$∠ CDB=∠ AOB=90°$,$\therefore△ CDB≌△ BOA(\mathrm{AAS})$,$\therefore CD=OB=3$,$BD=OA=8$,$\therefore OD=OB+BD=11$,$\therefore C(-11,3)$,设$l_2$的解析式为$y=ax+8$,把$C(-11,3)$代入,得$3=-11a+8$,解得$a=\dfrac{5}{11}$,$\therefore l_2$的解析式为$y=\dfrac{5}{11}x+8$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何变换
【点评】
本题采用分层递进的命题方式，从基础的全等证明入手，逐步延伸到一次函数与几何变换的综合应用，核心考查“一线三等角”的全等模型，解题时要注意前后问的方法关联，灵活迁移已掌握的模型解决新问题，有利于提升几何与代数结合的综合解题能力。
【难度系数】
0.6
