登录
1. 在2,3,5,11,15这些数中，(
3和5
)是(15
)的因数，(15
)是(3和5
)的倍数。答案
1. 3和5 15 15 3和5
解析
【分析】
解题时首先要回忆因数和倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。接下来观察给出的数2、3、5、11、15，逐一判断哪两个数满足整除关系：先看较大的数15，分别用15除以其他数，15÷2=7.5（不是整数，排除），15÷3=5（整数无余数，符合），15÷5=3（整数无余数，符合），15÷11≈1.36（不是整数，排除），由此就能找到符合要求的数。
【解析】
首先明确因数和倍数的概念：若整数a除以非零整数b，商为整数且余数为0，则b是a的因数，a是b的倍数。
对给出的数进行整除判断：
15÷3=5，商是整数且没有余数；
15÷5=3，商是整数且没有余数。
因此3和5是15的因数，15是3和5的倍数。
【答案】
3和5 15 15 3和5
【知识点】
因数的概念、倍数的概念
【点评】
本题考查因数与倍数的基础应用，解题核心是准确判断两个整数是否存在整除关系，牢记因数和倍数的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆因数和倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。接下来观察给出的数2、3、5、11、15，逐一判断哪两个数满足整除关系：先看较大的数15，分别用15除以其他数，15÷2=7.5（不是整数，排除），15÷3=5（整数无余数，符合），15÷5=3（整数无余数，符合），15÷11≈1.36（不是整数，排除），由此就能找到符合要求的数。
【解析】
首先明确因数和倍数的概念：若整数a除以非零整数b，商为整数且余数为0，则b是a的因数，a是b的倍数。
对给出的数进行整除判断：
15÷3=5，商是整数且没有余数；
15÷5=3，商是整数且没有余数。
因此3和5是15的因数，15是3和5的倍数。
【答案】
3和5 15 15 3和5
【知识点】
因数的概念、倍数的概念
【点评】
本题考查因数与倍数的基础应用，解题核心是准确判断两个整数是否存在整除关系，牢记因数和倍数的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 3×8=24,我们说3和8是24的(
因数
),24是3和8的(倍数
)。答案
2. 因数 倍数
解析
【分析】
解题时先回忆因数和倍数的定义：在非0自然数的乘法算式中，相乘的两个数是积的因数，积是这两个乘数的倍数，且因数和倍数是相互依存的关系。本题给出乘法算式3×8=24，3、8、24均为非0自然数，直接对应概念填空即可。
【解析】
根据因数和倍数的定义：若两个非0自然数a、b相乘得到c（a×b=c），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
本题中3、8都是非0自然数，且3×8=24，符合上述定义，因此3和8是24的因数，24是3和8的倍数。
【答案】
因数 倍数
【知识点】
1.因数的概念 2.倍数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对因数、倍数定义的理解，掌握二者的概念及相互依存的特点就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆因数和倍数的定义：在非0自然数的乘法算式中，相乘的两个数是积的因数，积是这两个乘数的倍数，且因数和倍数是相互依存的关系。本题给出乘法算式3×8=24，3、8、24均为非0自然数，直接对应概念填空即可。
【解析】
根据因数和倍数的定义：若两个非0自然数a、b相乘得到c（a×b=c），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
本题中3、8都是非0自然数，且3×8=24，符合上述定义，因此3和8是24的因数，24是3和8的倍数。
【答案】
因数 倍数
【知识点】
1.因数的概念 2.倍数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对因数、倍数定义的理解，掌握二者的概念及相互依存的特点就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
3. 35 的因数有(
4
)个,35 的倍数有(无数
)个。一个数既是 4 的因数,又是 4 的倍数,这个数是(4
)。答案
3. 4 无数 4
解析
【分析】
解题时先回忆因数和倍数的相关概念：①找一个数的因数时，可以用成对枚举的方法，找出所有能整除这个数的非0自然数，数出个数即可；②找一个数的倍数时，用这个数依次乘1、2、3……即可得到对应的倍数，因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数个数也是无限的；③一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，据此可以求解第三空。
【解析】
1. 求35的因数个数：
能整除35的非0自然数有：1（35÷1=35）、5（35÷5=7）、7（35÷7=5）、35（35÷35=1），共4个，所以35的因数有4个。
2. 求35的倍数个数：
用35分别乘1、2、3、4……得到的35、70、105、140……都是35的倍数，因为自然数的个数是无限的，所以35的倍数有无数个。
3. 求既是4的因数又是4的倍数的数：
一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，所以符合条件的数就是4本身。
【答案】
4 无数 4
【知识点】
因数的认识，倍数的认识，因数与倍数的特征
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，难度较低，核心是要牢记：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大的倍数，掌握这些结论就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆因数和倍数的相关概念：①找一个数的因数时，可以用成对枚举的方法，找出所有能整除这个数的非0自然数，数出个数即可；②找一个数的倍数时，用这个数依次乘1、2、3……即可得到对应的倍数，因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数个数也是无限的；③一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，据此可以求解第三空。
【解析】
1. 求35的因数个数：
能整除35的非0自然数有：1（35÷1=35）、5（35÷5=7）、7（35÷7=5）、35（35÷35=1），共4个，所以35的因数有4个。
2. 求35的倍数个数：
用35分别乘1、2、3、4……得到的35、70、105、140……都是35的倍数，因为自然数的个数是无限的，所以35的倍数有无数个。
3. 求既是4的因数又是4的倍数的数：
一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，所以符合条件的数就是4本身。
【答案】
4 无数 4
【知识点】
因数的认识，倍数的认识，因数与倍数的特征
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，难度较低，核心是要牢记：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大的倍数，掌握这些结论就能快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 50以内8的倍数有(
8,16,24,32,40,48
)。答案
4. 8,16,24,32,40,48
解析
【分析】
解题时首先明确题目有两个要求：一是所求的数是8的倍数，二是这些数要小于50。首先回忆找一个数倍数的方法：用这个数依次和正整数1、2、3……相乘，得到的积就是这个数的倍数。接下来从8乘1开始计算，每次算出结果后判断是否小于50，符合条件就记录，直到乘积超过50就停止计算，最后整理所有符合条件的数即可。
【解析】
找8的倍数可通过8依次乘正整数得到，再筛选出50以内的数：
1. $8 × 1 = 8$，8＜50，符合要求；
2. $8 × 2 = 16$，16＜50，符合要求；
3. $8 × 3 = 24$，24＜50，符合要求；
4. $8 × 4 = 32$，32＜50，符合要求；
5. $8 × 5 = 40$，40＜50，符合要求；
6. $8 × 6 = 48$，48＜50，符合要求；
7. $8 × 7 = 56$，56＞50，不符合要求，停止计算。
因此50以内8的倍数为8、16、24、32、40、48。
【答案】
8,16,24,32,40,48
【知识点】
1. 倍数的认识
2. 找一个数的倍数的方法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对倍数概念的掌握情况，以及查找指定范围内某数倍数的能力，解题时需注意取值范围的限制，避免多算超出范围的数或者漏算符合条件的数。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目有两个要求：一是所求的数是8的倍数，二是这些数要小于50。首先回忆找一个数倍数的方法：用这个数依次和正整数1、2、3……相乘，得到的积就是这个数的倍数。接下来从8乘1开始计算，每次算出结果后判断是否小于50，符合条件就记录，直到乘积超过50就停止计算，最后整理所有符合条件的数即可。
【解析】
找8的倍数可通过8依次乘正整数得到，再筛选出50以内的数：
1. $8 × 1 = 8$，8＜50，符合要求；
2. $8 × 2 = 16$，16＜50，符合要求；
3. $8 × 3 = 24$，24＜50，符合要求；
4. $8 × 4 = 32$，32＜50，符合要求；
5. $8 × 5 = 40$，40＜50，符合要求；
6. $8 × 6 = 48$，48＜50，符合要求；
7. $8 × 7 = 56$，56＞50，不符合要求，停止计算。
因此50以内8的倍数为8、16、24、32、40、48。
【答案】
8,16,24,32,40,48
【知识点】
1. 倍数的认识
2. 找一个数的倍数的方法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对倍数概念的掌握情况，以及查找指定范围内某数倍数的能力，解题时需注意取值范围的限制，避免多算超出范围的数或者漏算符合条件的数。
【难度系数】
0.9
5. 一个数的最小倍数除以它的最大因数,商是(
1
)。一个自然数比20小,它既是2的倍数,又有因数7,这个自然数是(14
)。答案
5. 1 14
解析
【分析】
解题分两步思考：①解决第一空时，先回忆因数和倍数的基础性质：一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，两个相同的数相除商为1，就能得出结果。②解决第二空时，先明确“既是2的倍数，又有因数7”说明这个数是2和7的公倍数，再结合“比20小”的限制条件，筛选出符合要求的数即可。
【解析】
1. 计算第一个空：
根据因数和倍数的性质，一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，因此这个数除以它本身的商是1。
2. 计算第二个空：
这个数既是2的倍数、又有因数7，说明它是2和7的公共倍数。先计算2和7的最小公倍数：$2×7=14$。验证大小：14小于20，符合要求；2和7的下一个公倍数是$14×2=28$，28大于20，不符合要求，因此这个自然数是14。
【答案】
1 14
【知识点】
因数与倍数的特征，公倍数的应用
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查因数、倍数、公倍数相关概念的理解和简单运用，牢记核心性质就能快速解答。
【难度系数】
0.85
解题分两步思考：①解决第一空时，先回忆因数和倍数的基础性质：一个非零自然数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，两个相同的数相除商为1，就能得出结果。②解决第二空时，先明确“既是2的倍数，又有因数7”说明这个数是2和7的公倍数，再结合“比20小”的限制条件，筛选出符合要求的数即可。
【解析】
1. 计算第一个空：
根据因数和倍数的性质，一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，因此这个数除以它本身的商是1。
2. 计算第二个空：
这个数既是2的倍数、又有因数7，说明它是2和7的公共倍数。先计算2和7的最小公倍数：$2×7=14$。验证大小：14小于20，符合要求；2和7的下一个公倍数是$14×2=28$，28大于20，不符合要求，因此这个自然数是14。
【答案】
1 14
【知识点】
因数与倍数的特征，公倍数的应用
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查因数、倍数、公倍数相关概念的理解和简单运用，牢记核心性质就能快速解答。
【难度系数】
0.85
二、根据算式填一填,谁是谁的因数,谁是谁的倍数。
48÷16=3
3是48的,48是3的。
16是48的,48是16的。
60÷12=5
5是60的,60是5的。
12是60的,60是12的。
48÷16=3
3是48的,48是3的。
16是48的,48是16的。
60÷12=5
5是60的,60是5的。
12是60的,60是12的。
答案
48÷16=3
3是48的因数，48是3的倍数。
16是48的因数，48是16的倍数。
60÷12=5
5是60的因数，60是5的倍数。
12是60的因数，60是12的倍数。
3是48的因数，48是3的倍数。
16是48的因数，48是16的倍数。
60÷12=5
5是60的因数，60是5的倍数。
12是60的因数，60是12的倍数。
解析
【分析】
解题前首先要明确因数和倍数的核心判定规则：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，除数和商就是被除数的因数，被除数就是除数和商的倍数。解题时先验证给出的除法算式是否满足“整数、无余数”的前提，再对应规则填空即可。首先看48÷16=3，所有数都是整数且无余数，直接对应规则判断3、16和48的关系；再看60÷12=5，同理判断5、12和60的关系。
【解析】
先回忆因数、倍数的定义：整数a除以非0整数b，商为整数且没有余数时，b和商是a的因数，a是b和商的倍数。
1. 分析算式48÷16=3：
计算结果没有余数，参与运算的数都是整数，因此3是48的因数，48是3的倍数；16是48的因数，48是16的倍数。
2. 分析算式60÷12=5：
计算结果没有余数，参与运算的数都是整数，因此5是60的因数，60是5的倍数；12是60的因数，60是12的倍数。
【答案】
48÷16=3
3是48的因数，48是3的倍数。
16是48的因数，48是16的倍数。
60÷12=5
5是60的因数，60是5的倍数。
12是60的因数，60是12的倍数。
【知识点】
1.因数的定义
2.倍数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对因数、倍数判定规则的记忆，只要掌握整除前提下的对应关系就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题前首先要明确因数和倍数的核心判定规则：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，除数和商就是被除数的因数，被除数就是除数和商的倍数。解题时先验证给出的除法算式是否满足“整数、无余数”的前提，再对应规则填空即可。首先看48÷16=3，所有数都是整数且无余数，直接对应规则判断3、16和48的关系；再看60÷12=5，同理判断5、12和60的关系。
【解析】
先回忆因数、倍数的定义：整数a除以非0整数b，商为整数且没有余数时，b和商是a的因数，a是b和商的倍数。
1. 分析算式48÷16=3：
计算结果没有余数，参与运算的数都是整数，因此3是48的因数，48是3的倍数；16是48的因数，48是16的倍数。
2. 分析算式60÷12=5：
计算结果没有余数，参与运算的数都是整数，因此5是60的因数，60是5的倍数；12是60的因数，60是12的倍数。
【答案】
48÷16=3
3是48的因数，48是3的倍数。
16是48的因数，48是16的倍数。
60÷12=5
5是60的因数，60是5的倍数。
12是60的因数，60是12的倍数。
【知识点】
1.因数的定义
2.倍数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对因数、倍数判定规则的记忆，只要掌握整除前提下的对应关系就能快速解答。
【难度系数】
0.9
三、猜数游戏。
1. 我的最小倍数是8。
我是。
2. 我是50以内9的倍数，还有一个因数是5。
我是。
1. 我的最小倍数是8。
我是。
2. 我是50以内9的倍数，还有一个因数是5。
我是。
答案
1. 8
2. 50以内9的倍数有：9、18、27、36、45
其中含有因数5的是45
答：这个数是45。
2. 50以内9的倍数有：9、18、27、36、45
其中含有因数5的是45
答：这个数是45。
解析
【分析】
1. 解第一问时，先回忆倍数的基本性质：一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，因此直接根据“最小倍数是8”的条件就能得出对应的数。
2. 解第二问时，可采用分步筛选的思路：先找出满足“50以内9的倍数”的所有数，再从这些数里筛选出同时满足“有因数5”的数，即可得到最终结果。
【解析】
1. 根据“一个数的最小倍数是它本身”的性质，最小倍数为8的数就是8。
2. 第一步：先列举出50以内所有9的倍数：
9×1=9，9×2=18，9×3=27，9×4=36，9×5=45，9×6=54（54大于50，不符合要求，舍去），因此50以内9的倍数有9、18、27、36、45。
第二步：“有一个因数是5”说明这个数是5的倍数，5的倍数的特征是个位为0或5，上述数中只有45符合要求，因此这个数是45。
【答案】
1. 8
2. 45
【知识点】
倍数的特征、因数的概念、5的倍数特征
【点评】
本题是因数与倍数模块的基础习题，解题时可先通过一个条件划定候选范围，再结合其他条件逐一筛选排除，只要熟练掌握相关基础概念就能顺利作答。
【难度系数】
0.9
1. 解第一问时，先回忆倍数的基本性质：一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，因此直接根据“最小倍数是8”的条件就能得出对应的数。
2. 解第二问时，可采用分步筛选的思路：先找出满足“50以内9的倍数”的所有数，再从这些数里筛选出同时满足“有因数5”的数，即可得到最终结果。
【解析】
1. 根据“一个数的最小倍数是它本身”的性质，最小倍数为8的数就是8。
2. 第一步：先列举出50以内所有9的倍数：
9×1=9，9×2=18，9×3=27，9×4=36，9×5=45，9×6=54（54大于50，不符合要求，舍去），因此50以内9的倍数有9、18、27、36、45。
第二步：“有一个因数是5”说明这个数是5的倍数，5的倍数的特征是个位为0或5，上述数中只有45符合要求，因此这个数是45。
【答案】
1. 8
2. 45
【知识点】
倍数的特征、因数的概念、5的倍数特征
【点评】
本题是因数与倍数模块的基础习题，解题时可先通过一个条件划定候选范围，再结合其他条件逐一筛选排除，只要熟练掌握相关基础概念就能顺利作答。
【难度系数】
0.9
1. 因为$m÷ n=3$，所以下列说法正确的是(
A.m一定是n的倍数
B.m,n的最大公因数是n
C.3可能是m的因数
D.3一定是n的倍数
C
)。A.m一定是n的倍数
B.m,n的最大公因数是n
C.3可能是m的因数
D.3一定是n的倍数
答案
1.C
解析
【分析】
首先要明确：因数和倍数的研究范围是非0自然数，只有当被除数、除数、商都是非0自然数且没有余数时，才能说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数，最大公因数的研究也只针对非0自然数。题目仅给出$m÷n=3$，没有说明m、n是非0自然数，需要结合这个前提逐个分析选项，区分“一定”和“可能”的表述是否正确。
【解析】
先明确因数、倍数、最大公因数的研究前提：均针对非0自然数，再逐个分析选项：
A选项：如果m、n是小数，例如$0.6÷0.2=3$，不符合倍数的研究前提，不能说m是n的倍数，“一定”的表述错误。
B选项：最大公因数是仅针对非0自然数的概念，若m、n是小数，不存在公因数的说法，“一定”的表述错误。
C选项：当m、n都是非0自然数时，例如$6÷2=3$，此时3就是m=6的因数，这种情况是存在的，因此“3可能是m的因数”的表述正确。
D选项：倍数指一个数是另一个数的整数倍，例如n=2时，$3÷2=1.5$，3不是2的倍数，表述错误。
【答案】
C
【知识点】
1.因数与倍数的意义
2.最大公因数的概念
【点评】
本题易错点是容易忽略因数和倍数的研究范围是非0自然数，误选A或B选项，做题时要注意区分“一定”和“可能”的表述差异，仔细审题。
【难度系数】
0.6
首先要明确：因数和倍数的研究范围是非0自然数，只有当被除数、除数、商都是非0自然数且没有余数时，才能说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数，最大公因数的研究也只针对非0自然数。题目仅给出$m÷n=3$，没有说明m、n是非0自然数，需要结合这个前提逐个分析选项，区分“一定”和“可能”的表述是否正确。
【解析】
先明确因数、倍数、最大公因数的研究前提：均针对非0自然数，再逐个分析选项：
A选项：如果m、n是小数，例如$0.6÷0.2=3$，不符合倍数的研究前提，不能说m是n的倍数，“一定”的表述错误。
B选项：最大公因数是仅针对非0自然数的概念，若m、n是小数，不存在公因数的说法，“一定”的表述错误。
C选项：当m、n都是非0自然数时，例如$6÷2=3$，此时3就是m=6的因数，这种情况是存在的，因此“3可能是m的因数”的表述正确。
D选项：倍数指一个数是另一个数的整数倍，例如n=2时，$3÷2=1.5$，3不是2的倍数，表述错误。
【答案】
C
【知识点】
1.因数与倍数的意义
2.最大公因数的概念
【点评】
本题易错点是容易忽略因数和倍数的研究范围是非0自然数，误选A或B选项，做题时要注意区分“一定”和“可能”的表述差异，仔细审题。
【难度系数】
0.6
