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14. 如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，将矩形纸片ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕是EF，连接BE，DF，则四边形BEDF的周长是
20
。答案
20
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到边和角的等量关系：折叠后点B与D重合，因此折痕EF是BD的垂直平分线，可得BE=DE、BF=DF，且∠BEF=∠DEF；再结合矩形AD//BC的性质，推出∠DEF=∠BFE，等量代换得∠BEF=∠BFE，即可证得BE=BF，因此四边形BEDF四边相等是菱形，只需算出菱形边长即可求周长。接下来设未知数，利用直角三角形ABE的勾股定理列方程求解边长即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD//BC。
∵将矩形纸片折叠使点B与点D重合，折痕为EF，
∴EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，∠BEF=∠DEF。
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴BE=DE=DF=BF，即四边形BEDF是菱形。
设AE=x，则DE=AD-AE=8-x，因此BE=DE=8-x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入数值：$4^2 + x^2 = (8-x)^2$，
展开得：$16 + x^2 = 64 - 16x + x^2$，
化简得：$16x=48$，解得$x=3$。
∴DE=8-3=5，菱形BEDF的周长为$4×5=20$。
【答案】
20
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是通过折叠性质推导四边形BEDF为菱形，再借助勾股定理建立方程求解边长，掌握折叠变换的特点和勾股定理的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先利用折叠的性质得到边和角的等量关系：折叠后点B与D重合，因此折痕EF是BD的垂直平分线，可得BE=DE、BF=DF，且∠BEF=∠DEF；再结合矩形AD//BC的性质，推出∠DEF=∠BFE，等量代换得∠BEF=∠BFE，即可证得BE=BF，因此四边形BEDF四边相等是菱形，只需算出菱形边长即可求周长。接下来设未知数，利用直角三角形ABE的勾股定理列方程求解边长即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD//BC。
∵将矩形纸片折叠使点B与点D重合，折痕为EF，
∴EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，∠BEF=∠DEF。
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴BE=DE=DF=BF，即四边形BEDF是菱形。
设AE=x，则DE=AD-AE=8-x，因此BE=DE=8-x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入数值：$4^2 + x^2 = (8-x)^2$，
展开得：$16 + x^2 = 64 - 16x + x^2$，
化简得：$16x=48$，解得$x=3$。
∴DE=8-3=5，菱形BEDF的周长为$4×5=20$。
【答案】
20
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是通过折叠性质推导四边形BEDF为菱形，再借助勾股定理建立方程求解边长，掌握折叠变换的特点和勾股定理的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.7
15. 如图所示，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，若BC=7，EF=1，则AB为
4
。答案
4
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线定义和平行线内错角相等的性质，推导得到等腰三角形，得出AB=AE、CD=DF，再结合平行四边形对边相等的性质可知AE=DF=AB，最后梳理AE、DF、AD、EF之间的和差关系列等式即可求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC=7，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理，CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴CD=DF，
又
∵AB=CD，
∴AE=DF=AB，
∵AE和DF的重叠部分为EF，二者相加时EF被重复计算一次，
∴AE + DF = AD + EF，
代入已知数据得：AB + AB = 7 + 1，
即2AB=8，解得AB=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形性质和等腰三角形判定的综合应用题，解题的关键是通过平行线+角平分线的组合特征推导出等角，进而得到等边，再准确梳理线段的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线定义和平行线内错角相等的性质，推导得到等腰三角形，得出AB=AE、CD=DF，再结合平行四边形对边相等的性质可知AE=DF=AB，最后梳理AE、DF、AD、EF之间的和差关系列等式即可求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC=7，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理，CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴CD=DF，
又
∵AB=CD，
∴AE=DF=AB，
∵AE和DF的重叠部分为EF，二者相加时EF被重复计算一次，
∴AE + DF = AD + EF，
代入已知数据得：AB + AB = 7 + 1，
即2AB=8，解得AB=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形性质和等腰三角形判定的综合应用题，解题的关键是通过平行线+角平分线的组合特征推导出等角，进而得到等边，再准确梳理线段的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
16.如图所示，菱形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长度为
3
。答案
3
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用菱形四边相等的性质，由周长求出菱形的边长；再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得到直角三角形BOC，结合已知的AC长度，用勾股定理求出对角线BD的长度；最后根据DE⊥BC得到直角三角形BDE，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，周长为20，
∴BC=20÷4=5，AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
∵AC=8，
∴$OC=\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{BC^2-OC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴BD=2OB=6。
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，△BDE是直角三角形，
又
∵O是BD的中点，
∴$OE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何常规题型，综合考查了特殊四边形和直角三角形的相关性质，解题的核心是熟练掌握各类几何图形的基本性质，准确找到线段间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用菱形四边相等的性质，由周长求出菱形的边长；再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得到直角三角形BOC，结合已知的AC长度，用勾股定理求出对角线BD的长度；最后根据DE⊥BC得到直角三角形BDE，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，周长为20，
∴BC=20÷4=5，AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
∵AC=8，
∴$OC=\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{BC^2-OC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴BD=2OB=6。
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，△BDE是直角三角形，
又
∵O是BD的中点，
∴$OE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何常规题型，综合考查了特殊四边形和直角三角形的相关性质，解题的核心是熟练掌握各类几何图形的基本性质，准确找到线段间的数量关系。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17. 如图所示，在$□ ABCD$中，$∠ BAD$的平分线$AE$交$DC$于点$E$，$∠ DAE=25°$.
(1) 求$∠ B$，$∠ C$的度数；
(2) 若$BC=5$，$AB=8$，求$CE$的长.
17. 如图所示，在$□ ABCD$中，$∠ BAD$的平分线$AE$交$DC$于点$E$，$∠ DAE=25°$.
(1) 求$∠ B$，$∠ C$的度数；
(2) 若$BC=5$，$AB=8$，求$CE$的长.
答案
(1)$∠ B=130°,∠ C=50°$;
(2)CE的长为3.
(2)CE的长为3.
解析
【分析】
(1) 首先根据角平分线的定义，由已知∠DAE=25°可求出∠BAD的度数；再利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，即可分别求出∠C和∠B的度数。
(2) 要求CE的长，已知AB=8，由平行四边形对边相等可得DC=AB=8，因此只需算出DE的长度即可；结合平行四边形对边平行的性质可得内错角∠DEA=∠EAB，再结合角平分线的定义可推出∠DEA=∠DAE，得到△ADE是等腰三角形，DE=AD，而AD=BC=5，最后用DC减去DE即可得到CE的长度。
【解析】
(1)
∵AE平分∠BAD，∠DAE=25°，
∴∠BAD=2∠DAE=2×25°=50°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD=50°，AD//BC，
∴∠BAD+∠B=180°，
∴∠B=180°-50°=130°。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，DC=AB=8，AB//DC，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD=5，
∴CE=DC-DE=8-5=3。
【答案】
(1)∠B=130°，∠C=50°；
(2)CE的长为3。
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题时需要结合图形梳理角与边的对应关系，将角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质与平行四边形的性质结合运用即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据角平分线的定义，由已知∠DAE=25°可求出∠BAD的度数；再利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，即可分别求出∠C和∠B的度数。
(2) 要求CE的长，已知AB=8，由平行四边形对边相等可得DC=AB=8，因此只需算出DE的长度即可；结合平行四边形对边平行的性质可得内错角∠DEA=∠EAB，再结合角平分线的定义可推出∠DEA=∠DAE，得到△ADE是等腰三角形，DE=AD，而AD=BC=5，最后用DC减去DE即可得到CE的长度。
【解析】
(1)
∵AE平分∠BAD，∠DAE=25°，
∴∠BAD=2∠DAE=2×25°=50°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD=50°，AD//BC，
∴∠BAD+∠B=180°，
∴∠B=180°-50°=130°。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，DC=AB=8，AB//DC，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD=5，
∴CE=DC-DE=8-5=3。
【答案】
(1)∠B=130°，∠C=50°；
(2)CE的长为3。
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题时需要结合图形梳理角与边的对应关系，将角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质与平行四边形的性质结合运用即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
18. 如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF//BC,交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)试判断四边形ADCF的形状,并加以证明;
(2)若AB=13,BC=10,求四边形ADCF的面积.
(1)试判断四边形ADCF的形状,并加以证明;
(2)若AB=13,BC=10,求四边形ADCF的面积.
答案
(1)四边形ADCF是矩形,证明略;
(2)四边形ADCF的面积为60.
(2)四边形ADCF的面积为60.
解析
【分析】
(1) 要判断四边形ADCF的形状，首先利用AF//BC得到内错角相等，结合E是AD中点的条件证明△AEF≌△DEB，可得AF=BD；再结合D是BC中点推出AF=DC，且AF//DC，可先判定四边形ADCF是平行四边形；最后利用等腰三角形“三线合一”的性质证明AD⊥BC，即∠ADC=90°，即可判定该平行四边形是矩形。
(2) 要求矩形ADCF的面积，先由D是BC中点得DC=5，再在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长度，最后用矩形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 四边形ADCF是矩形，证明如下：
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中：
$\{\begin{array}{l}∠ AFE=∠ DBE\\ ∠ AEF=∠ DEB\\ AE=DE\end{array} $
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∴AF=DC，
又
∵AF//DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCF是矩形。
(2) 解：
∵D是BC的中点，BC=10，
∴BD=DC=5，
在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
∵四边形ADCF是矩形，
∴$S_{ADCF}=AD× DC=12×5=60$。
【答案】
(1) 四边形ADCF是矩形；
(2) 四边形ADCF的面积为60。
【知识点】
矩形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，综合考查了等腰三角形性质、全等三角形判定、特殊四边形判定及几何计算，解题逻辑清晰，侧重对基础几何定理的理解和应用考查，掌握核心定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断四边形ADCF的形状，首先利用AF//BC得到内错角相等，结合E是AD中点的条件证明△AEF≌△DEB，可得AF=BD；再结合D是BC中点推出AF=DC，且AF//DC，可先判定四边形ADCF是平行四边形；最后利用等腰三角形“三线合一”的性质证明AD⊥BC，即∠ADC=90°，即可判定该平行四边形是矩形。
(2) 要求矩形ADCF的面积，先由D是BC中点得DC=5，再在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长度，最后用矩形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 四边形ADCF是矩形，证明如下：
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中：
$\{\begin{array}{l}∠ AFE=∠ DBE\\ ∠ AEF=∠ DEB\\ AE=DE\end{array} $
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∴AF=DC，
又
∵AF//DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCF是矩形。
(2) 解：
∵D是BC的中点，BC=10，
∴BD=DC=5，
在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
∵四边形ADCF是矩形，
∴$S_{ADCF}=AD× DC=12×5=60$。
【答案】
(1) 四边形ADCF是矩形；
(2) 四边形ADCF的面积为60。
【知识点】
矩形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，综合考查了等腰三角形性质、全等三角形判定、特殊四边形判定及几何计算，解题逻辑清晰，侧重对基础几何定理的理解和应用考查，掌握核心定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
