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8. 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在对角线AC上，已知BA＝BE，∠ABE＝50°，则∠AOB的度数为（
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$65°$
B
）A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$65°$
答案
B
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先利用等腰△ABE的已知顶角，计算出底角∠BAC的度数；第二步，结合矩形对角线相等且互相平分的性质，推导得出△AOB为等腰三角形，得到两底角相等的关系；第三步，利用三角形内角和定理计算∠AOB的度数。
【解析】
解：1. 在△ABE中，
∵BA=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
已知∠ABE=50°，根据等腰三角形两底角相等可得：
∠BAE=(180°-∠ABE)÷2=(180°-50°)÷2=65°，即∠BAC=65°。
2.
∵四边形ABCD是矩形，矩形对角线相等且互相平分，
∴OA=OB，△AOB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=65°。
3. 根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-65°-65°=50°。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查矩形和等腰三角形的相关性质，解题关键是找准图形中的等腰三角形，利用角度的等量关系完成计算，逻辑链条清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，先利用等腰△ABE的已知顶角，计算出底角∠BAC的度数；第二步，结合矩形对角线相等且互相平分的性质，推导得出△AOB为等腰三角形，得到两底角相等的关系；第三步，利用三角形内角和定理计算∠AOB的度数。
【解析】
解：1. 在△ABE中，
∵BA=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
已知∠ABE=50°，根据等腰三角形两底角相等可得：
∠BAE=(180°-∠ABE)÷2=(180°-50°)÷2=65°，即∠BAC=65°。
2.
∵四边形ABCD是矩形，矩形对角线相等且互相平分，
∴OA=OB，△AOB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=65°。
3. 根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-65°-65°=50°。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查矩形和等腰三角形的相关性质，解题关键是找准图形中的等腰三角形，利用角度的等量关系完成计算，逻辑链条清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
9.如图所示，在$□ ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若$□ ABCD$的周长为28，则$△ ABE$的周长为（
A.12
B.14
C.24
D.28
B
）A.12
B.14
C.24
D.28
答案
B
解析
【分析】
解题时首先从已知的平行四边形性质入手：①平行四边形对边相等，周长为28可推出邻边AB与AD的和为14；②平行四边形对角线互相平分，可得O是BD的中点。再结合OE⊥BD的条件，可判断OE是线段BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得BE=DE。最后将△ABE的周长中的BE替换为DE，即可将周长转化为AB+AD，直接求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵▱ABCD的周长为28，
∴$2(AB+AD)=28$，即$AB+AD=14$，
∵OE⊥BD，且OB=OD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴$BE=DE$，
∴△ABE的周长$=AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=14$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成等量代换，将未知的三角形周长转化为平行四边形的邻边之和，解题时要熟练掌握平行四边形和垂直平分线的相关性质，灵活进行线段的代换。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的平行四边形性质入手：①平行四边形对边相等，周长为28可推出邻边AB与AD的和为14；②平行四边形对角线互相平分，可得O是BD的中点。再结合OE⊥BD的条件，可判断OE是线段BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得BE=DE。最后将△ABE的周长中的BE替换为DE，即可将周长转化为AB+AD，直接求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵▱ABCD的周长为28，
∴$2(AB+AD)=28$，即$AB+AD=14$，
∵OE⊥BD，且OB=OD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴$BE=DE$，
∴△ABE的周长$=AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=14$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成等量代换，将未知的三角形周长转化为平行四边形的邻边之和，解题时要熟练掌握平行四边形和垂直平分线的相关性质，灵活进行线段的代换。
【难度系数】
0.8
10. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④
B
）A.①②
B.③④
C.②③
D.①④
答案
B
解析
【分析】
要配出和原来完全相同的平行四边形玻璃，核心是确定原平行四边形的两组对边的走向，进而确定四个顶点的位置，还原出原平行四边形的形状和大小。我们可以结合平行四边形两组对边分别平行的性质，逐一判断每个选项的两块玻璃是否能确定两组对边的方向：仅含单个角和部分边的碎玻璃无法确定其余边的走向，只有包含两组对边残留部分的两块玻璃，才能通过延长边得到完整的平行四边形。
【解析】
解：根据平行四边形两组对边分别平行的性质，要还原原平行四边形，需要能确定两组对边的走向。观察四块碎玻璃：①、②都仅包含原平行四边形的一个角和少量邻边，无法确定其余对边的方向；③和④两块相邻，③保留了原平行四边形上边、左边的部分线段，④保留了原平行四边形下边、右边的部分线段，将两组对边的残留线段分别延长，即可得到原平行四边形的四个顶点，确定其形状和大小。其余选项的组合都无法完整确定两组对边的全部走向，因此带③④两块即可配出相同的平行四边形。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题结合生活场景考查平行四边形相关知识的实际应用，需要学生灵活运用平行四边形对边平行的性质分析问题，核心是明确确定平行四边形形状需要的条件。
【难度系数】
0.7
要配出和原来完全相同的平行四边形玻璃，核心是确定原平行四边形的两组对边的走向，进而确定四个顶点的位置，还原出原平行四边形的形状和大小。我们可以结合平行四边形两组对边分别平行的性质，逐一判断每个选项的两块玻璃是否能确定两组对边的方向：仅含单个角和部分边的碎玻璃无法确定其余边的走向，只有包含两组对边残留部分的两块玻璃，才能通过延长边得到完整的平行四边形。
【解析】
解：根据平行四边形两组对边分别平行的性质，要还原原平行四边形，需要能确定两组对边的走向。观察四块碎玻璃：①、②都仅包含原平行四边形的一个角和少量邻边，无法确定其余对边的方向；③和④两块相邻，③保留了原平行四边形上边、左边的部分线段，④保留了原平行四边形下边、右边的部分线段，将两组对边的残留线段分别延长，即可得到原平行四边形的四个顶点，确定其形状和大小。其余选项的组合都无法完整确定两组对边的全部走向，因此带③④两块即可配出相同的平行四边形。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题结合生活场景考查平行四边形相关知识的实际应用，需要学生灵活运用平行四边形对边平行的性质分析问题，核心是明确确定平行四边形形状需要的条件。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=3，M，N分别为边CD，AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为(
A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{6}$
C
)A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{6}$
答案
C
解析
【分析】
解题时我们可以先通过建立平面直角坐标系简化计算，首先根据正方形性质和MN⊥AE的条件，构造全等三角形得到M、N两点坐标的关系，再将AM+NE的长度转化为x轴上一点到两个定点的距离之和，最后利用“两点之间线段最短”的原理，通过对称法求出最小值。具体步骤：1. 标注各点坐标，确定定点E的位置；2. 构造全等三角形推导M、N坐标的数量关系；3. 用含同一变量的式子表示AM、NE的长度；4. 转化为最短路径问题计算最小值。
【解析】
建立平面直角坐标系，设B(0,0)，A(0,3)，C(3,0)，D(3,3)。
∵AB=3BE=3，
∴BE=1，即E点坐标为(1,0)。
设N(0,n)（0≤n≤3，在AB边上），M(3,m)（0≤m≤3，在CD边上），过N作NF⊥CD于F，
则四边形NFBC是矩形，
∴NF=BC=AB，∠NFM=∠B=90°。
∵MN⊥AE，
∴∠BAE + ∠ANM=90°，
又
∵∠FNM + ∠ANM=90°，
∴∠BAE=∠FNM。
在△ABE和△NFM中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠NFM \\AB=NF \\∠BAE=∠FNM\end{array} $
∴△ABE≌△NFM（ASA），
∴FM=BE=1，即m-n=1，n=m-1，其中1≤m≤3。
则AM的长度为A(0,3)到M(3,m)的距离：
$AM=\sqrt{(3-0)^2 + (m-3)^2}=\sqrt{9 + (m-3)^2}$
NE的长度为N(0,n)到E(1,0)的距离：
$NE=\sqrt{(1-0)^2 + (0-n)^2}=\sqrt{1 + n^2}=\sqrt{1 + (m-1)^2}$
因此$AM+NE=\sqrt{(m-3)^2 + (0-3)^2} + \sqrt{(m-1)^2 + (0-1)^2}$，该式的几何意义是x轴上的点P(m,0)到点(3,3)和点(1,1)的距离之和。
将点(1,1)关于x轴对称得到点(1,-1)，根据两点之间线段最短，距离和的最小值为点(3,3)到(1,-1)的距离：
最小值$=\sqrt{(3-1)^2 + [3-(-1)]^2}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形判定与性质，最短路径问题
【点评】
本题将正方形性质、全等三角形与最短路径问题结合考查，解题的关键是通过构造全等找到两个动点坐标的关系，将两条线段的和转化为可利用两点之间线段最短求解的形式，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以先通过建立平面直角坐标系简化计算，首先根据正方形性质和MN⊥AE的条件，构造全等三角形得到M、N两点坐标的关系，再将AM+NE的长度转化为x轴上一点到两个定点的距离之和，最后利用“两点之间线段最短”的原理，通过对称法求出最小值。具体步骤：1. 标注各点坐标，确定定点E的位置；2. 构造全等三角形推导M、N坐标的数量关系；3. 用含同一变量的式子表示AM、NE的长度；4. 转化为最短路径问题计算最小值。
【解析】
建立平面直角坐标系，设B(0,0)，A(0,3)，C(3,0)，D(3,3)。
∵AB=3BE=3，
∴BE=1，即E点坐标为(1,0)。
设N(0,n)（0≤n≤3，在AB边上），M(3,m)（0≤m≤3，在CD边上），过N作NF⊥CD于F，
则四边形NFBC是矩形，
∴NF=BC=AB，∠NFM=∠B=90°。
∵MN⊥AE，
∴∠BAE + ∠ANM=90°，
又
∵∠FNM + ∠ANM=90°，
∴∠BAE=∠FNM。
在△ABE和△NFM中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠NFM \\AB=NF \\∠BAE=∠FNM\end{array} $
∴△ABE≌△NFM（ASA），
∴FM=BE=1，即m-n=1，n=m-1，其中1≤m≤3。
则AM的长度为A(0,3)到M(3,m)的距离：
$AM=\sqrt{(3-0)^2 + (m-3)^2}=\sqrt{9 + (m-3)^2}$
NE的长度为N(0,n)到E(1,0)的距离：
$NE=\sqrt{(1-0)^2 + (0-n)^2}=\sqrt{1 + n^2}=\sqrt{1 + (m-1)^2}$
因此$AM+NE=\sqrt{(m-3)^2 + (0-3)^2} + \sqrt{(m-1)^2 + (0-1)^2}$，该式的几何意义是x轴上的点P(m,0)到点(3,3)和点(1,1)的距离之和。
将点(1,1)关于x轴对称得到点(1,-1)，根据两点之间线段最短，距离和的最小值为点(3,3)到(1,-1)的距离：
最小值$=\sqrt{(3-1)^2 + [3-(-1)]^2}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形判定与性质，最短路径问题
【点评】
本题将正方形性质、全等三角形与最短路径问题结合考查，解题的关键是通过构造全等找到两个动点坐标的关系，将两条线段的和转化为可利用两点之间线段最短求解的形式，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
12. 如图所示，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=70°. 动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D(包括端点)运动. 点E关于AD，AB的对称点分别为$E_1$，$E_2$；点F关于BC，CD的对称点分别为$F_1$，$F_2$. 在整个过程中，四边形$E_1E_2F_1F_2$形状的变化依次是(
A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B.平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
C.菱形→矩形→平行四边形→菱形
D.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D
)A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B.平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
C.菱形→矩形→平行四边形→菱形
D.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
答案
D
解析
【分析】
解题时首先抓住运动过程中的不变量：点E、F同速从O出发，故运动全程始终有OE=OF，结合O是BD中点的条件，再利用轴对称的性质分阶段分析四边形$E_1E_2F_1F_2$的边、角特征，依次判断各阶段的形状即可。首先判断初始时刻（E、F都与O重合）的形状，其次判断运动初期的形状，再次判断内角为直角时的形状，最后判断运动后期直到端点的形状，对应选项选出答案。
【解析】
1. 初始阶段（E、F均与O重合）：根据轴对称的性质，$E_1$、$E_2$是O关于AD、AB的对称点，$F_1$、$F_2$是O关于BC、CD的对称点，可证四边形$E_1E_2F_1F_2$的四条边长度相等，且$∠ ABD=70°≠45°$，内角不为直角，此时四边形为菱形。
2. 运动开始后（E向B运动、F向D运动，未到特殊位置）：由OE=OF，结合轴对称性质可得四边形的两组对边分别平行且相等，符合平行四边形的判定条件，此时四边形为平行四边形。
3. 运动到某一特殊时刻：平行四边形的一个内角为$90°$，此时平行四边形变为矩形。
4. 继续运动直到E、F到达端点：此时四边形内角不再为$90°$，但仍满足两组对边分别平行且相等，故变回平行四边形。
综上，形状变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，平行四边形的判定，特殊四边形的判定
【点评】
本题综合了动点问题、轴对称性质和特殊四边形的判定，解题的核心是抓住运动过程中OE=OF这一不变量，分阶段分析图形的边、角特征，对动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
解题时首先抓住运动过程中的不变量：点E、F同速从O出发，故运动全程始终有OE=OF，结合O是BD中点的条件，再利用轴对称的性质分阶段分析四边形$E_1E_2F_1F_2$的边、角特征，依次判断各阶段的形状即可。首先判断初始时刻（E、F都与O重合）的形状，其次判断运动初期的形状，再次判断内角为直角时的形状，最后判断运动后期直到端点的形状，对应选项选出答案。
【解析】
1. 初始阶段（E、F均与O重合）：根据轴对称的性质，$E_1$、$E_2$是O关于AD、AB的对称点，$F_1$、$F_2$是O关于BC、CD的对称点，可证四边形$E_1E_2F_1F_2$的四条边长度相等，且$∠ ABD=70°≠45°$，内角不为直角，此时四边形为菱形。
2. 运动开始后（E向B运动、F向D运动，未到特殊位置）：由OE=OF，结合轴对称性质可得四边形的两组对边分别平行且相等，符合平行四边形的判定条件，此时四边形为平行四边形。
3. 运动到某一特殊时刻：平行四边形的一个内角为$90°$，此时平行四边形变为矩形。
4. 继续运动直到E、F到达端点：此时四边形内角不再为$90°$，但仍满足两组对边分别平行且相等，故变回平行四边形。
综上，形状变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，平行四边形的判定，特殊四边形的判定
【点评】
本题综合了动点问题、轴对称性质和特殊四边形的判定，解题的核心是抓住运动过程中OE=OF这一不变量，分阶段分析图形的边、角特征，对动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
13. 如图所示，$□ ABCD$的对角线相交于点$O$.
(1)若$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，则$BD$的取值范围是
(2)若$□ ABCD$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$，则$△ AOB$的面积为
(1)若$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，则$BD$的取值范围是
2 cm＜BD＜22 cm
.(2)若$□ ABCD$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$，则$△ AOB$的面积为
2 cm²
.答案
(1)$2\ \mathrm{cm}＜BD＜22\ \mathrm{cm}$
(2)$2\ \mathrm{cm}^2$
(2)$2\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
(1) 先利用平行四边形对角线互相平分的性质，求出OA的长度，再将OB放在△AOB中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边、两边之和大于第三边求出OB的取值范围，最后结合BD=2OB即可得到BD的取值范围。
(2) 根据平行四边形对角线的性质，对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形，△AOB的面积是平行四边形面积的四分之一，代入平行四边形面积计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm
∴OA = $\frac{1}{2}$AC = 5cm，OB = $\frac{1}{2}$BD
在△AOB中，AB=6cm，根据三角形三边关系可得：
$AB - OA ＜ OB ＜ AB + OA$
即$6 - 5 ＜ OB ＜ 6 + 5$，解得$1\ \mathrm{cm} ＜ OB ＜ 11\ \mathrm{cm}$
∴$BD=2OB$，即$2\ \mathrm{cm} ＜ BD ＜ 22\ \mathrm{cm}$
(2)
∵平行四边形的对角线互相平分，OA=OC，OB=OD
∴△AOB与△BOC等底（OA=OC）同高（点B到AC的距离为公共高），面积相等；同理可得四个小三角形的面积均相等
∴$S_{△ AOB} = \frac{1}{4}S_{▱ABCD} = \frac{1}{4}×8 = 2\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1)$2\ \mathrm{cm}＜BD＜22\ \mathrm{cm}$
(2)$2\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题考查平行四边形性质的基础应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线互相平分的特点，结合三角形三边关系、面积关系求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
(1) 先利用平行四边形对角线互相平分的性质，求出OA的长度，再将OB放在△AOB中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边、两边之和大于第三边求出OB的取值范围，最后结合BD=2OB即可得到BD的取值范围。
(2) 根据平行四边形对角线的性质，对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形，△AOB的面积是平行四边形面积的四分之一，代入平行四边形面积计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm
∴OA = $\frac{1}{2}$AC = 5cm，OB = $\frac{1}{2}$BD
在△AOB中，AB=6cm，根据三角形三边关系可得：
$AB - OA ＜ OB ＜ AB + OA$
即$6 - 5 ＜ OB ＜ 6 + 5$，解得$1\ \mathrm{cm} ＜ OB ＜ 11\ \mathrm{cm}$
∴$BD=2OB$，即$2\ \mathrm{cm} ＜ BD ＜ 22\ \mathrm{cm}$
(2)
∵平行四边形的对角线互相平分，OA=OC，OB=OD
∴△AOB与△BOC等底（OA=OC）同高（点B到AC的距离为公共高），面积相等；同理可得四个小三角形的面积均相等
∴$S_{△ AOB} = \frac{1}{4}S_{▱ABCD} = \frac{1}{4}×8 = 2\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1)$2\ \mathrm{cm}＜BD＜22\ \mathrm{cm}$
(2)$2\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题考查平行四边形性质的基础应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线互相平分的特点，结合三角形三边关系、面积关系求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
