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19. 如图所示,在四边形ABCD中,AB//CD,AC,BD相交于点O,O是AC的中点.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)已知E,F是对角线AC上的点,且四边形BEDF是菱形,若OB=1,AB=3,求点D到AB的距离.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)已知E,F是对角线AC上的点,且四边形BEDF是菱形,若OB=1,AB=3,求点D到AB的距离.
答案
(1)略
(2)点D到AB的距离为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
(2)点D到AB的距离为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证四边形ABCD是平行四边形，已知AB//CD，只需再证AB=CD即可。结合O是AC中点的条件，可通过证明△AOB和△COD全等得到AB=CD，进而利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明。
(2) 求点D到AB的距离可采用等面积法：平行四边形面积=底×高，其中底为AB，高即为所求距离。首先由菱形BEDF的对角线互相垂直，可得AC⊥BD，因此平行四边形ABCD的面积可通过对角线乘积的一半计算；再在Rt△AOB中用勾股定理求出AO的长度，得到AC、BD的总长后算出平行四边形面积，即可求出对应高。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//CD，
∴ ∠OAB=∠OCD，
∵ O是AC中点，
∴ AO=CO，
在△AOB和△COD中：
$\{\begin{array}{l}∠OAB=∠OCD \\AO=CO \\∠AOB=∠COD（对顶角相等）\end{array} $
∴ △AOB≌△COD（ASA），
∴ AB=CD，
又
∵ AB//CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形BEDF是菱形，
∴ 对角线BD⊥EF，即BD⊥AC，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BO=OD=1，BD=2OB=2，且平行四边形面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD$，
在Rt△AOB中，OB=1，AB=3，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$，
∵ O是AC中点，
∴ AC=2AO=4$\sqrt{2}$，
代入面积公式得$S=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2=4\sqrt{2}$，
设点D到AB的距离为h，平行四边形面积也满足$S=AB·h$，
将AB=3、$S=4\sqrt{2}$代入得$3h=4\sqrt{2}$，
解得$h=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) 点D到AB的距离为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$。
【知识点】
平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形、菱形的性质判定和勾股定理、等面积法结合考查，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，灵活选择面积的计算方法。
【难度系数】
0.65
(1) 要证四边形ABCD是平行四边形，已知AB//CD，只需再证AB=CD即可。结合O是AC中点的条件，可通过证明△AOB和△COD全等得到AB=CD，进而利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明。
(2) 求点D到AB的距离可采用等面积法：平行四边形面积=底×高，其中底为AB，高即为所求距离。首先由菱形BEDF的对角线互相垂直，可得AC⊥BD，因此平行四边形ABCD的面积可通过对角线乘积的一半计算；再在Rt△AOB中用勾股定理求出AO的长度，得到AC、BD的总长后算出平行四边形面积，即可求出对应高。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//CD，
∴ ∠OAB=∠OCD，
∵ O是AC中点，
∴ AO=CO，
在△AOB和△COD中：
$\{\begin{array}{l}∠OAB=∠OCD \\AO=CO \\∠AOB=∠COD（对顶角相等）\end{array} $
∴ △AOB≌△COD（ASA），
∴ AB=CD，
又
∵ AB//CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形BEDF是菱形，
∴ 对角线BD⊥EF，即BD⊥AC，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BO=OD=1，BD=2OB=2，且平行四边形面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD$，
在Rt△AOB中，OB=1，AB=3，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$，
∵ O是AC中点，
∴ AC=2AO=4$\sqrt{2}$，
代入面积公式得$S=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2=4\sqrt{2}$，
设点D到AB的距离为h，平行四边形面积也满足$S=AB·h$，
将AB=3、$S=4\sqrt{2}$代入得$3h=4\sqrt{2}$，
解得$h=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) 点D到AB的距离为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$。
【知识点】
平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形、菱形的性质判定和勾股定理、等面积法结合考查，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，灵活选择面积的计算方法。
【难度系数】
0.65
20. 如图所示,在矩形ABCD中,AB＞2AD,点E,F分别在边AB,CD上.将△ADF沿AF折叠,点D的对应点G恰好落在对角线AC上;将△CBE沿CE折叠,点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.连接GE,FH.
(1)求证:△AFG≌△CEH;
(2)若AD=5,DC=12,求四边形FGEH的面积.
(1)求证:△AFG≌△CEH;
(2)若AD=5,DC=12,求四边形FGEH的面积.
答案
(1)略
(2)四边形FGEH的面积为10.
(2)四边形FGEH的面积为10.
解析
【分析】
(1) 证明全等需先找对应相等的边和角：结合矩形对边相等、对角相等、内错角相等的性质，以及折叠前后对应边、对应角相等的性质，可得到△AFG和△CEH的两组对应角相等、一组夹边相等，用ASA即可判定全等。
(2) 求四边形面积：先由全等结论得FG与EH平行且相等，判定四边形FGEH是平行四边形，再用勾股定理算出AC的长度，进而得到GH的长度；设DF=x，在Rt△FGC中用勾股定理求出FG的长度，最后用平行四边形底乘高的公式计算面积即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠B=90°，AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA。
由折叠的性质可得：△ADF≌△AGF，△CBE≌△CHE，
∴∠AGF=∠D=90°，∠CHE=∠B=90°，AG=AD，CH=BC，∠GAF=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠HCE=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠AGF=∠CHE，AG=CH，∠GAF=∠HCE。
在△AFG和△CEH中：
$\{\begin{array}{l}∠AGF=∠CHE \\AG=CH \\∠GAF=∠HCE\end{array} $
∴△AFG≌△CEH（ASA）。
(2) 解：在Rt△ADC中，AD=5，DC=12，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
由折叠性质得AG=AD=5，CH=BC=AD=5，
∴$GH=AC-AG-CH=13-5-5=3$。
∵∠AGF=∠CHE=90°，
∴FG⊥AC，EH⊥AC，即FG//EH，
由(1)的全等结论得FG=EH，
∴四边形FGEH是平行四边形。
设$DF=FG=x$，则$FC=12-x$，$GC=AC-AG=8$，
在Rt△FGC中，由勾股定理得：$FG^2+GC^2=FC^2$，
即$x^2+8^2=(12-x)^2$，解得$x=\frac{10}{3}$，即$FG=\frac{10}{3}$，
∴四边形FGEH的面积为$GH×FG=3×\frac{10}{3}=10$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 10
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，将矩形、折叠、全等三角形、平行四边形的判定及勾股定理结合考查，解题的核心是抓住折叠前后图形的对应关系，灵活运用勾股定理求解未知线段长度。
【难度系数】
0.65
(1) 证明全等需先找对应相等的边和角：结合矩形对边相等、对角相等、内错角相等的性质，以及折叠前后对应边、对应角相等的性质，可得到△AFG和△CEH的两组对应角相等、一组夹边相等，用ASA即可判定全等。
(2) 求四边形面积：先由全等结论得FG与EH平行且相等，判定四边形FGEH是平行四边形，再用勾股定理算出AC的长度，进而得到GH的长度；设DF=x，在Rt△FGC中用勾股定理求出FG的长度，最后用平行四边形底乘高的公式计算面积即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠B=90°，AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA。
由折叠的性质可得：△ADF≌△AGF，△CBE≌△CHE，
∴∠AGF=∠D=90°，∠CHE=∠B=90°，AG=AD，CH=BC，∠GAF=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠HCE=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠AGF=∠CHE，AG=CH，∠GAF=∠HCE。
在△AFG和△CEH中：
$\{\begin{array}{l}∠AGF=∠CHE \\AG=CH \\∠GAF=∠HCE\end{array} $
∴△AFG≌△CEH（ASA）。
(2) 解：在Rt△ADC中，AD=5，DC=12，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
由折叠性质得AG=AD=5，CH=BC=AD=5，
∴$GH=AC-AG-CH=13-5-5=3$。
∵∠AGF=∠CHE=90°，
∴FG⊥AC，EH⊥AC，即FG//EH，
由(1)的全等结论得FG=EH，
∴四边形FGEH是平行四边形。
设$DF=FG=x$，则$FC=12-x$，$GC=AC-AG=8$，
在Rt△FGC中，由勾股定理得：$FG^2+GC^2=FC^2$，
即$x^2+8^2=(12-x)^2$，解得$x=\frac{10}{3}$，即$FG=\frac{10}{3}$，
∴四边形FGEH的面积为$GH×FG=3×\frac{10}{3}=10$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 10
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，将矩形、折叠、全等三角形、平行四边形的判定及勾股定理结合考查，解题的核心是抓住折叠前后图形的对应关系，灵活运用勾股定理求解未知线段长度。
【难度系数】
0.65
