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21.如图1所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于点G，AG交BD于点F。
(1)说明OE=OF的道理。
(2)在(1)中，若E为AC延长线上一点，AG⊥EB交EB延长线上于点G，AG，DB的延长线交于点F，其他条件不变，如图2所示，则结论“OE=OF”还成立吗？请说明理由。
(1)说明OE=OF的道理。
(2)在(1)中，若E为AC延长线上一点，AG⊥EB交EB延长线上于点G，AG，DB的延长线交于点F，其他条件不变，如图2所示，则结论“OE=OF”还成立吗？请说明理由。
答案
(1)略
(2)成立,证明略.
(2)成立,证明略.
解析
【分析】
要证明OE=OF，通常可证明两条线段所在的三角形全等。（1）中先利用正方形的性质得到OA=OB、∠AOF=∠BOE=90°，再结合AG⊥EB的条件，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，即可证明△AOF和△BOE全等，进而得到OE=OF；（2）的解题思路和（1）完全一致，同样利用正方形性质找全等的条件，即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 对角线AC⊥BD，OA=OB，即$∠ AOF=∠ BOE=90°$，
∵ AG⊥EB，
∴ $∠ AGE=90°$，
∴ $∠ OAF + ∠ OEB = 90°$，
又
∵ 在Rt△BOE中，$∠ OBE + ∠ OEB = 90°$，
∴ $∠ OAF = ∠ OBE$，
在△AOF和△BOE中：
$\begin{cases}∠ AOF = ∠ BOE \\OA = OB \\∠ OAF = ∠ OBE\end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ BOE$（ASA），
∴ $OE = OF$。
(2) 结论“OE=OF”仍然成立，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 对角线AC⊥BD，OA=OB，即$∠ AOF=∠ BOE=90°$，
∵ AG⊥EB，
∴ $∠ AGE=90°$，
∴ $∠ OAF + ∠ OEB = 90°$，
又
∵ 在Rt△BOE中，$∠ OBE + ∠ OEB = 90°$，
∴ $∠ OAF = ∠ OBE$，
在△AOF和△BOE中：
$\begin{cases}∠ AOF = ∠ BOE \\OA = OB \\∠ OAF = ∠ OBE\end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ BOE$（ASA），
∴ $OE = OF$。
【答案】
(1) OE=OF，理由见解析；
(2) 成立，理由见解析。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；同角的余角相等
【点评】
本题是典型的几何类比探究题，两小问的解题逻辑一致，核心是结合正方形的性质，通过找角相等证明三角形全等，进而得到对应边相等，熟练掌握全等三角形的判定方法和正方形的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明OE=OF，通常可证明两条线段所在的三角形全等。（1）中先利用正方形的性质得到OA=OB、∠AOF=∠BOE=90°，再结合AG⊥EB的条件，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，即可证明△AOF和△BOE全等，进而得到OE=OF；（2）的解题思路和（1）完全一致，同样利用正方形性质找全等的条件，即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 对角线AC⊥BD，OA=OB，即$∠ AOF=∠ BOE=90°$，
∵ AG⊥EB，
∴ $∠ AGE=90°$，
∴ $∠ OAF + ∠ OEB = 90°$，
又
∵ 在Rt△BOE中，$∠ OBE + ∠ OEB = 90°$，
∴ $∠ OAF = ∠ OBE$，
在△AOF和△BOE中：
$\begin{cases}∠ AOF = ∠ BOE \\OA = OB \\∠ OAF = ∠ OBE\end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ BOE$（ASA），
∴ $OE = OF$。
(2) 结论“OE=OF”仍然成立，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 对角线AC⊥BD，OA=OB，即$∠ AOF=∠ BOE=90°$，
∵ AG⊥EB，
∴ $∠ AGE=90°$，
∴ $∠ OAF + ∠ OEB = 90°$，
又
∵ 在Rt△BOE中，$∠ OBE + ∠ OEB = 90°$，
∴ $∠ OAF = ∠ OBE$，
在△AOF和△BOE中：
$\begin{cases}∠ AOF = ∠ BOE \\OA = OB \\∠ OAF = ∠ OBE\end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ BOE$（ASA），
∴ $OE = OF$。
【答案】
(1) OE=OF，理由见解析；
(2) 成立，理由见解析。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；同角的余角相等
【点评】
本题是典型的几何类比探究题，两小问的解题逻辑一致，核心是结合正方形的性质，通过找角相等证明三角形全等，进而得到对应边相等，熟练掌握全等三角形的判定方法和正方形的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
博观而约取
平行四边形家族的生活舞台
在生活的舞台上，平行四边形家族是不可或缺的“主角团”，从宏伟建筑到日常小物，处处都有它们的身影。
先看平行四边形本“员”，小区里电动栅栏门的拉伸与收缩，利用平行四边形易变形的特性，灵活调整通道宽度；升降云梯工作平台部分采用平行四边形结构，借助其不稳定性，实现平稳的升降操作。
再瞧特殊成员矩形（长方形），家里的门框和窗框，四条边两两平行且四个角都是直角，既保证稳固性，又能让阳光顺畅进屋；书桌桌面、课本封面，用矩形的规整，给我们营造整齐的学习空间；还有马路上的地砖，好多也是矩形，有序拼接，铺出平整路面，方便行人和车辆通行。
当然，菱形也不甘示弱，一些精致的丝巾、窗棂，采用菱形设计，四条相等的边，搭配独特的角度，让图案更具艺术感；还有体育场馆的网架结构，部分用菱形拼接，在保证强度的同时，能减轻整体重量。
正方形更是“集大成者”，地砖、魔方的面、正方形礼盒等，凭借四边相等、四角直角的特性，既美观又实用，成为生活里的“完美担当”。
平行四边形家族凭借各自特性，在建筑、日常用品、艺术设计里大显身手，它们用几何之美，默默装点、便利我们的生活，只要你留心观察，就能发现这些藏在身边的“几何明星”。
思考：
为什么平行四边形变形时不会散架？如果用三角形代替平行四边形做伸缩推拉门，还能自由伸缩吗？为什么？
平行四边形家族的生活舞台
在生活的舞台上，平行四边形家族是不可或缺的“主角团”，从宏伟建筑到日常小物，处处都有它们的身影。
先看平行四边形本“员”，小区里电动栅栏门的拉伸与收缩，利用平行四边形易变形的特性，灵活调整通道宽度；升降云梯工作平台部分采用平行四边形结构，借助其不稳定性，实现平稳的升降操作。
再瞧特殊成员矩形（长方形），家里的门框和窗框，四条边两两平行且四个角都是直角，既保证稳固性，又能让阳光顺畅进屋；书桌桌面、课本封面，用矩形的规整，给我们营造整齐的学习空间；还有马路上的地砖，好多也是矩形，有序拼接，铺出平整路面，方便行人和车辆通行。
当然，菱形也不甘示弱，一些精致的丝巾、窗棂，采用菱形设计，四条相等的边，搭配独特的角度，让图案更具艺术感；还有体育场馆的网架结构，部分用菱形拼接，在保证强度的同时，能减轻整体重量。
正方形更是“集大成者”，地砖、魔方的面、正方形礼盒等，凭借四边相等、四角直角的特性，既美观又实用，成为生活里的“完美担当”。
平行四边形家族凭借各自特性，在建筑、日常用品、艺术设计里大显身手，它们用几何之美，默默装点、便利我们的生活，只要你留心观察，就能发现这些藏在身边的“几何明星”。
思考：
为什么平行四边形变形时不会散架？如果用三角形代替平行四边形做伸缩推拉门，还能自由伸缩吗？为什么？
答案
解：
平行四边形变形时，它的四条边的长度始终保持不变，仅相邻两边的夹角发生改变，各边的连接没有断开，因此变形过程中不会散架。
用三角形代替平行四边形制作伸缩推拉门，不能自由伸缩。
原因是三角形具有稳定性：只要三角形的三条边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定，无法随意改变其形状，因此不能实现自由伸缩的功能。
答：平行四边形变形时边长不变仅夹角改变，因此不会散架；用三角形代替平行四边形做伸缩推拉门不能自由伸缩，因为三角形具有稳定性，边长确定后形状大小就固定，无法随意变形。
平行四边形变形时，它的四条边的长度始终保持不变，仅相邻两边的夹角发生改变，各边的连接没有断开，因此变形过程中不会散架。
用三角形代替平行四边形制作伸缩推拉门，不能自由伸缩。
原因是三角形具有稳定性：只要三角形的三条边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定，无法随意改变其形状，因此不能实现自由伸缩的功能。
答：平行四边形变形时边长不变仅夹角改变，因此不会散架；用三角形代替平行四边形做伸缩推拉门不能自由伸缩，因为三角形具有稳定性，边长确定后形状大小就固定，无法随意变形。
解析
【分析】
解答本题可分两步梳理思路：①先围绕平行四边形的结构特性分析，平行四边形具有不稳定性，变形过程中仅改变相邻两边的夹角，四条边的长度始终不变，各边连接不会断裂，就能推出它变形不散架的原因；②再回忆三角形的核心特性，三角形具有稳定性，三边长度确定后形状和大小就完全固定，结合伸缩推拉门需要自由变形的功能需求，就能判断三角形是否能替代平行四边形制作伸缩门。
【解析】
1. 平行四边形变形不散架的原因：平行四边形变形时，它的四条边的长度始终保持不变，仅相邻两边的夹角发生改变，各边的连接没有断开，因此变形过程中不会散架。
2. 三角形代替平行四边形做伸缩推拉门的情况：不能自由伸缩。
原因：三角形具有稳定性，只要三角形的三条边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定，无法随意改变其形状，因此不能实现自由伸缩的功能。
【答案】
平行四边形变形时边长不变仅夹角改变，因此不会散架；用三角形代替平行四边形做伸缩推拉门不能自由伸缩，因为三角形具有稳定性，边长确定后形状大小就固定，无法随意变形。
【知识点】
平行四边形的不稳定性，三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活常见的几何应用场景出题，引导学生将所学的几何特性知识和生活实际关联，有助于提升学生用数学知识解释生活现象、解决实际问题的能力，体会数学的实用性。
【难度系数】
0.8
解答本题可分两步梳理思路：①先围绕平行四边形的结构特性分析，平行四边形具有不稳定性，变形过程中仅改变相邻两边的夹角，四条边的长度始终不变，各边连接不会断裂，就能推出它变形不散架的原因；②再回忆三角形的核心特性，三角形具有稳定性，三边长度确定后形状和大小就完全固定，结合伸缩推拉门需要自由变形的功能需求，就能判断三角形是否能替代平行四边形制作伸缩门。
【解析】
1. 平行四边形变形不散架的原因：平行四边形变形时，它的四条边的长度始终保持不变，仅相邻两边的夹角发生改变，各边的连接没有断开，因此变形过程中不会散架。
2. 三角形代替平行四边形做伸缩推拉门的情况：不能自由伸缩。
原因：三角形具有稳定性，只要三角形的三条边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定，无法随意改变其形状，因此不能实现自由伸缩的功能。
【答案】
平行四边形变形时边长不变仅夹角改变，因此不会散架；用三角形代替平行四边形做伸缩推拉门不能自由伸缩，因为三角形具有稳定性，边长确定后形状大小就固定，无法随意变形。
【知识点】
平行四边形的不稳定性，三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活常见的几何应用场景出题，引导学生将所学的几何特性知识和生活实际关联，有助于提升学生用数学知识解释生活现象、解决实际问题的能力，体会数学的实用性。
【难度系数】
0.8
