登录
1.如图1,两条笔直的公路$l_1$和$l_2$相交,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D.已知$AB=BC=CD=DA=5\ \mathrm{km}$,村庄C到公路$l_1$的距离为4 km,则村庄C到公路$l_2$的距离是（
A.3 km
B.4 km
C.5 km
D.6 km
B
）A.3 km
B.4 km
C.5 km
D.6 km
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先根据已知的四条边相等的条件判定四边形ABCD的形状，再结合其性质得到角平分线，最后利用角平分线的性质求解距离。首先，由AB=BC=CD=DA可判定四边形ABCD是菱形，菱形的对角线平分一组对角，因此点C在l₁和l₂夹角的角平分线上，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可直接得到C到l₂的距离等于已知的到l₁的距离。
【解析】
解：
∵AB=BC=CD=DA=5 km，
∴四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形），
∴AC平分l₁与l₂的夹角（菱形的对角线平分一组对角），
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
已知C到公路l₁的距离为4 km，
∴C到公路l₂的距离也为4 km。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；菱形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的关键是先通过边的关系判定菱形，再结合角平分线的性质快速得到结果，不需要复杂计算，掌握基础几何图形的性质即可解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知的四条边相等的条件判定四边形ABCD的形状，再结合其性质得到角平分线，最后利用角平分线的性质求解距离。首先，由AB=BC=CD=DA可判定四边形ABCD是菱形，菱形的对角线平分一组对角，因此点C在l₁和l₂夹角的角平分线上，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可直接得到C到l₂的距离等于已知的到l₁的距离。
【解析】
解：
∵AB=BC=CD=DA=5 km，
∴四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形），
∴AC平分l₁与l₂的夹角（菱形的对角线平分一组对角），
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
已知C到公路l₁的距离为4 km，
∴C到公路l₂的距离也为4 km。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；菱形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的关键是先通过边的关系判定菱形，再结合角平分线的性质快速得到结果，不需要复杂计算，掌握基础几何图形的性质即可解题。
【难度系数】
0.8
2.边长为2的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离之和是（
A.$2\sqrt{5}$
B.$2+\sqrt{3}$
C.$2+2\sqrt{5}$
D.$2+\sqrt{5}$
C
）A.$2\sqrt{5}$
B.$2+\sqrt{3}$
C.$2+2\sqrt{5}$
D.$2+\sqrt{5}$
答案
2.C
解析
【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系简化计算：首先将目标顶点设为坐标原点，令正方形各边平行于坐标轴，标注出正方形各边中点的坐标，再利用勾股定理分别计算原点到各边中点的距离，最后求和即可得到结果。
【解析】
设边长为2的正方形的一个顶点A为坐标原点(0,0)，正方形其余三个顶点坐标分别为(2,0)、(2,2)、(0,2)，则正方形四条边的中点坐标分别为：(1,0)、(2,1)、(1,2)、(0,1)。
根据勾股定理，分别计算点A到四个中点的距离：
1. 到(1,0)的距离：$\sqrt{(1-0)^2+(0-0)^2}=1$
2. 到(0,1)的距离：$\sqrt{(0-0)^2+(1-0)^2}=1$
3. 到(2,1)的距离：$\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$
4. 到(1,2)的距离：$\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$
将四个距离求和：$1+1+\sqrt{5}+\sqrt{5}=2+2\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；两点间距离计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，采用建系法可将几何距离问题转化为代数运算，降低解题难度，解题核心是准确确定各点坐标，正确运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
我们可以通过建立平面直角坐标系简化计算：首先将目标顶点设为坐标原点，令正方形各边平行于坐标轴，标注出正方形各边中点的坐标，再利用勾股定理分别计算原点到各边中点的距离，最后求和即可得到结果。
【解析】
设边长为2的正方形的一个顶点A为坐标原点(0,0)，正方形其余三个顶点坐标分别为(2,0)、(2,2)、(0,2)，则正方形四条边的中点坐标分别为：(1,0)、(2,1)、(1,2)、(0,1)。
根据勾股定理，分别计算点A到四个中点的距离：
1. 到(1,0)的距离：$\sqrt{(1-0)^2+(0-0)^2}=1$
2. 到(0,1)的距离：$\sqrt{(0-0)^2+(1-0)^2}=1$
3. 到(2,1)的距离：$\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$
4. 到(1,2)的距离：$\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$
将四个距离求和：$1+1+\sqrt{5}+\sqrt{5}=2+2\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；两点间距离计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，采用建系法可将几何距离问题转化为代数运算，降低解题难度，解题核心是准确确定各点坐标，正确运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
3.有下列说法:①对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;②对角线互相垂直的矩形是正方形;③对角线相等且四条边也相等的四边形是正方形;④既是矩形,又是菱形的四边形是正方形.其中正确的有
②③④
.(填序号)答案
3.②③④
解析
【分析】
本题考查正方形的判定，解题时需结合正方形、矩形、菱形的性质与判定关系，逐一验证每个说法是否符合正方形的判定条件：首先明确正方形是特殊的矩形（有一组邻边相等）、特殊的菱形（有一个角是直角），判定正方形时需同时满足矩形和菱形的核心特征，对错误说法可通过举反例验证。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形。例如对角线相等且垂直，但不互相平分的四边形，既不是平行四边形也不是正方形，故①错误。
2. 分析说法②：矩形的对角线已经满足相等且互相平分的条件，若对角线互相垂直，则该矩形同时满足菱形的判定（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故②正确。
3. 分析说法③：四条边相等的四边形是菱形，若菱形的对角线相等，则该菱形同时满足矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形），既是菱形又是矩形的四边形是正方形，故③正确。
4. 分析说法④：正方形的定义就是同时具备矩形和菱形特征的四边形，因此既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故④正确。
综上，正确的是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
正方形的判定；矩形的性质；菱形的性质
【点评】
本题核心是区分特殊四边形的判定条件，易错点是忽略正方形判定中“对角线需互相平分”的隐含前提，误判说法①正确，解题时要牢记正方形需同时满足矩形和菱形的所有核心特征。
【难度系数】
0.7
本题考查正方形的判定，解题时需结合正方形、矩形、菱形的性质与判定关系，逐一验证每个说法是否符合正方形的判定条件：首先明确正方形是特殊的矩形（有一组邻边相等）、特殊的菱形（有一个角是直角），判定正方形时需同时满足矩形和菱形的核心特征，对错误说法可通过举反例验证。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形。例如对角线相等且垂直，但不互相平分的四边形，既不是平行四边形也不是正方形，故①错误。
2. 分析说法②：矩形的对角线已经满足相等且互相平分的条件，若对角线互相垂直，则该矩形同时满足菱形的判定（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故②正确。
3. 分析说法③：四条边相等的四边形是菱形，若菱形的对角线相等，则该菱形同时满足矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形），既是菱形又是矩形的四边形是正方形，故③正确。
4. 分析说法④：正方形的定义就是同时具备矩形和菱形特征的四边形，因此既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故④正确。
综上，正确的是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
正方形的判定；矩形的性质；菱形的性质
【点评】
本题核心是区分特殊四边形的判定条件，易错点是忽略正方形判定中“对角线需互相平分”的隐含前提，误判说法①正确，解题时要牢记正方形需同时满足矩形和菱形的所有核心特征。
【难度系数】
0.7
4. 如图2，在矩形纸片ABCD中，BC=2，∠ABD=30°. 将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为
$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
.答案
4.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先从矩形性质入手，利用矩形对边相等、对边平行的特征得到已知边的长度和内错角相等的关系；再结合翻折前后对应角相等的性质，推导得出△FDB为等腰三角形；要求点F到DB的距离，可过F作BD的垂线，利用等腰三角形三线合一得到垂足为BD中点，最后结合勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可求出垂线段的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=2，AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD=30°。
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=2，
∴BD=2AD=4。
由翻折的性质可知，∠EBD=∠ABD=30°，
∴∠FDB=∠FBD=30°，即FD=FB，△FDB为等腰三角形。
过点F作FG⊥BD于点G，根据等腰三角形三线合一的性质，G为BD的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$BD=2。
在Rt△FDG中，∠FDG=30°，设FG=x，则FD=2x，
由勾股定理得：$DG^2 + FG^2 = FD^2$，
即$2^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$（负根舍去），即FG的长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题将矩形、折叠变换和等腰三角形的知识点结合考查，解题的突破口是通过角的等量关系证明得到等腰三角形，再结合特殊三角形的性质计算所求距离，需要学生熟练掌握常见几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.6
解题时先从矩形性质入手，利用矩形对边相等、对边平行的特征得到已知边的长度和内错角相等的关系；再结合翻折前后对应角相等的性质，推导得出△FDB为等腰三角形；要求点F到DB的距离，可过F作BD的垂线，利用等腰三角形三线合一得到垂足为BD中点，最后结合勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可求出垂线段的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=2，AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD=30°。
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=2，
∴BD=2AD=4。
由翻折的性质可知，∠EBD=∠ABD=30°，
∴∠FDB=∠FBD=30°，即FD=FB，△FDB为等腰三角形。
过点F作FG⊥BD于点G，根据等腰三角形三线合一的性质，G为BD的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$BD=2。
在Rt△FDG中，∠FDG=30°，设FG=x，则FD=2x，
由勾股定理得：$DG^2 + FG^2 = FD^2$，
即$2^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$（负根舍去），即FG的长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题将矩形、折叠变换和等腰三角形的知识点结合考查，解题的突破口是通过角的等量关系证明得到等腰三角形，再结合特殊三角形的性质计算所求距离，需要学生熟练掌握常见几何图形的基本性质。
【难度系数】
0.6
5.如图3，正方形ABCD的边长为1 cm，E，F分别是BC，CD的中点，连接BF，DE，则图中阴影部分的面积是
$\frac{2}{3}$
cm².答案
5.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题要求阴影部分的面积，阴影为不规则四边形，直接计算边长和高较困难，因此采用“整体减空白”的思路求解。首先观察到E、F是正方形边的中点，可得到多组等长线段，结合“等底等高的三角形面积相等”的性质，通过连接CG，将右下角空白部分分割为面积相等的小三角形，先求出空白部分总面积，再用正方形总面积减去空白面积即可得到阴影面积。
【解析】
设BF、DE的交点为G，连接CG。
1. 正方形ABCD的边长为1cm，因此正方形面积为：
$S_{正方形ABCD}=1×1=1\ \mathrm{cm}^2$
2. 已知E是BC中点，F是CD中点，因此$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\mathrm{cm}$。
3. 计算$△ DCE$的面积：
$S_{△ DCE}=\frac{1}{2}× DC× CE=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$
4. 由等底等高的三角形面积相等：
E是BC中点，故$S_{△ BEG}=S_{△ CEG}$；F是CD中点，故$S_{△ DFG}=S_{△ CFG}$；又$△ CEG$和$△ CFG$等底（$CE=CF$）、高相同（G到BC、CD的距离相等），故$S_{△ CEG}=S_{△ CFG}$。
设$S_{△ CEG}=a$，则$S_{△ BEG}=S_{△ CFG}=S_{△ DFG}=a$。
5. $△ DCE$由$△ DFG$、$△ CFG$、$△ CEG$组成，因此：
$S_{△ DCE}=a+a+a=3a=\frac{1}{4}$，解得$a=\frac{1}{12}\ \mathrm{cm}^2$
6. 右下角空白部分总面积为4个小三角形面积和：
$S_{空白}=4a=4×\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\ \mathrm{cm}^2$
7. 阴影部分面积为正方形面积减去空白面积：
$S_{阴影}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
正方形的性质，三角形面积计算，等积变换
【点评】
本题是典型的不规则图形面积求解问题，核心是利用中点构造等底等高的三角形，通过等积变换将未知的空白面积转化为可计算的小三角形面积和，整体减空白的思路能大大降低解题难度。
【难度系数】
0.6
本题要求阴影部分的面积，阴影为不规则四边形，直接计算边长和高较困难，因此采用“整体减空白”的思路求解。首先观察到E、F是正方形边的中点，可得到多组等长线段，结合“等底等高的三角形面积相等”的性质，通过连接CG，将右下角空白部分分割为面积相等的小三角形，先求出空白部分总面积，再用正方形总面积减去空白面积即可得到阴影面积。
【解析】
设BF、DE的交点为G，连接CG。
1. 正方形ABCD的边长为1cm，因此正方形面积为：
$S_{正方形ABCD}=1×1=1\ \mathrm{cm}^2$
2. 已知E是BC中点，F是CD中点，因此$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\mathrm{cm}$。
3. 计算$△ DCE$的面积：
$S_{△ DCE}=\frac{1}{2}× DC× CE=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$
4. 由等底等高的三角形面积相等：
E是BC中点，故$S_{△ BEG}=S_{△ CEG}$；F是CD中点，故$S_{△ DFG}=S_{△ CFG}$；又$△ CEG$和$△ CFG$等底（$CE=CF$）、高相同（G到BC、CD的距离相等），故$S_{△ CEG}=S_{△ CFG}$。
设$S_{△ CEG}=a$，则$S_{△ BEG}=S_{△ CFG}=S_{△ DFG}=a$。
5. $△ DCE$由$△ DFG$、$△ CFG$、$△ CEG$组成，因此：
$S_{△ DCE}=a+a+a=3a=\frac{1}{4}$，解得$a=\frac{1}{12}\ \mathrm{cm}^2$
6. 右下角空白部分总面积为4个小三角形面积和：
$S_{空白}=4a=4×\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\ \mathrm{cm}^2$
7. 阴影部分面积为正方形面积减去空白面积：
$S_{阴影}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
正方形的性质，三角形面积计算，等积变换
【点评】
本题是典型的不规则图形面积求解问题，核心是利用中点构造等底等高的三角形，通过等积变换将未知的空白面积转化为可计算的小三角形面积和，整体减空白的思路能大大降低解题难度。
【难度系数】
0.6
6.如图4，在正方形ABCD的对角线BD上取BE＝BC，作EF⊥BD于点E，交CD于点F.求证：EF＝CF＝DE.
答案
提示:连接$BF$,证$\mathrm{Rt}△ BEF≌\mathrm{Rt}△ BCF$.证$△ DEF$是等腰直角三角形.
解析
【分析】
要证明EF=CF=DE，可分两步推导：①证EF=CF：已知BE=BC，EF⊥BD，正方形ABCD中∠C为直角，因此连接BF，构造Rt△BEF和Rt△BCF，利用HL证明两三角形全等即可得到EF=CF；②证EF=DE：正方形对角线BD平分∠ADC，可得∠EDF=45°，结合EF⊥BD，可判定△DEF为等腰直角三角形，得到DE=EF，最后通过等量代换即可证明三条线段相等。
【解析】
证明：连接$BF$，
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $∠ C=90°$，$BD$平分$∠ ADC$，即$∠ EDF=45°$，
∵ $EF⊥ BD$，
∴ $∠ BEF=∠ DEF=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BEF$和$\mathrm{Rt}△BCF$中：
$\begin{cases} BE=BC \\ BF=BF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△BEF≌\mathrm{Rt}△BCF(\mathrm{HL})$，
∴ $EF=CF$。
在$\mathrm{Rt}△DEF$中，$∠ EDF=45°$，
∴ $∠ DFE=90°-∠ EDF=45°$，
∴ $∠ EDF=∠ DFE$，
∴ $DE=EF$，
∴ $EF=CF=DE$。
【答案】
$EF=CF=DE$，证明成立。
【知识点】
正方形的性质，直角三角形全等的判定，等腰直角三角形的判定
【点评】
本题是特殊四边形与三角形全等的综合应用题，通过作辅助线构造全等直角三角形是解题的突破口，需要熟练掌握正方形、直角三角形、等腰三角形的相关性质进行逻辑推导。
【难度系数】
0.7
要证明EF=CF=DE，可分两步推导：①证EF=CF：已知BE=BC，EF⊥BD，正方形ABCD中∠C为直角，因此连接BF，构造Rt△BEF和Rt△BCF，利用HL证明两三角形全等即可得到EF=CF；②证EF=DE：正方形对角线BD平分∠ADC，可得∠EDF=45°，结合EF⊥BD，可判定△DEF为等腰直角三角形，得到DE=EF，最后通过等量代换即可证明三条线段相等。
【解析】
证明：连接$BF$，
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $∠ C=90°$，$BD$平分$∠ ADC$，即$∠ EDF=45°$，
∵ $EF⊥ BD$，
∴ $∠ BEF=∠ DEF=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BEF$和$\mathrm{Rt}△BCF$中：
$\begin{cases} BE=BC \\ BF=BF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△BEF≌\mathrm{Rt}△BCF(\mathrm{HL})$，
∴ $EF=CF$。
在$\mathrm{Rt}△DEF$中，$∠ EDF=45°$，
∴ $∠ DFE=90°-∠ EDF=45°$，
∴ $∠ EDF=∠ DFE$，
∴ $DE=EF$，
∴ $EF=CF=DE$。
【答案】
$EF=CF=DE$，证明成立。
【知识点】
正方形的性质，直角三角形全等的判定，等腰直角三角形的判定
【点评】
本题是特殊四边形与三角形全等的综合应用题，通过作辅助线构造全等直角三角形是解题的突破口，需要熟练掌握正方形、直角三角形、等腰三角形的相关性质进行逻辑推导。
【难度系数】
0.7
7.已知AC为矩形ABCD的对角线，则下面图中∠1与∠2一定不相等的是 （
D
）答案
7.D
解析
【分析】
解题时结合矩形的性质，依次分析每个选项中∠1与∠2的大小关系：首先看A选项利用对顶角性质判断，B、C选项判断是否存在相等的可能性，D选项利用三角形外角性质判断二者大小，最终确定一定不相等的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：图中∠1和∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠1=∠2，不符合“一定不相等”的要求，排除；
2. 选项B：当图中两条相交线段对应的三角形全等时，可推出∠1=∠2，存在相等的可能，不符合要求，排除；
3. 选项C：当图中从B点引出的线段与AC构成等腰三角形时，可得到∠1=∠2，存在相等的可能，不符合要求，排除；
4. 选项D：根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，图中∠2是包含∠1的三角形的外角，且∠1是与∠2不相邻的内角，因此∠2＞∠1，二者一定不相等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的性质；三角形外角的性质；矩形的性质
【点评】
本题结合矩形背景考查角的大小比较，解题的关键是熟练掌握相关几何性质，对每个选项逐一分析判断即可，需要注意区分“可能相等”和“一定不相等”的差异。
【难度系数】
0.7
解题时结合矩形的性质，依次分析每个选项中∠1与∠2的大小关系：首先看A选项利用对顶角性质判断，B、C选项判断是否存在相等的可能性，D选项利用三角形外角性质判断二者大小，最终确定一定不相等的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：图中∠1和∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠1=∠2，不符合“一定不相等”的要求，排除；
2. 选项B：当图中两条相交线段对应的三角形全等时，可推出∠1=∠2，存在相等的可能，不符合要求，排除；
3. 选项C：当图中从B点引出的线段与AC构成等腰三角形时，可得到∠1=∠2，存在相等的可能，不符合要求，排除；
4. 选项D：根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，图中∠2是包含∠1的三角形的外角，且∠1是与∠2不相邻的内角，因此∠2＞∠1，二者一定不相等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的性质；三角形外角的性质；矩形的性质
【点评】
本题结合矩形背景考查角的大小比较，解题的关键是熟练掌握相关几何性质，对每个选项逐一分析判断即可，需要注意区分“可能相等”和“一定不相等”的差异。
【难度系数】
0.7
