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9.如图7，正方形ABCD的对角线长为$8\sqrt{2}$，E为AB上一点.若$EF⊥ AC$于点F，$EG⊥ BD$于点G，则$EF+EG=$
$4\sqrt{2}$
. 答案
9.$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
我们可以结合正方形的性质求解：首先设正方形对角线AC、BD交于点O，正方形对角线互相垂直且平分，与边的夹角为45°。观察到EF⊥AC、EG⊥BD，可先判断四边形EFOG是矩形，得到EG=OF；再判断△AEF是等腰直角三角形，得到EF=AF，由此可将EF+EG转化为对角线的一半AO，代入数值计算即可。也可以用面积法，通过△ABO的面积等于△AEO与△BEO的面积和推导，两种方法均符合现阶段知识要求。
【解析】
设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，∠OAB=45°，$OA=\frac{1}{2}AC$。
已知对角线长$AC=8\sqrt{2}$，因此$OA=\frac{1}{2}×8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
∵ $EF⊥AC$，$EG⊥BD$，$AC⊥BD$，
∴ 四边形EFOG的三个内角都是直角，是矩形，因此$EG=OF$。
又
∵ $∠EAF=45°$，$∠AFE=90°$，
∴ △AEF是等腰直角三角形，因此$EF=AF$。
∴ $EF+EG=AF+OF=OA=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题是几何中典型的线段和求值问题，解题核心是利用特殊三角形、特殊四边形的性质，将分散的两条线段的和转化为固定长度的线段，也可通过面积法快速得到结果，能很好地考查对正方形相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
我们可以结合正方形的性质求解：首先设正方形对角线AC、BD交于点O，正方形对角线互相垂直且平分，与边的夹角为45°。观察到EF⊥AC、EG⊥BD，可先判断四边形EFOG是矩形，得到EG=OF；再判断△AEF是等腰直角三角形，得到EF=AF，由此可将EF+EG转化为对角线的一半AO，代入数值计算即可。也可以用面积法，通过△ABO的面积等于△AEO与△BEO的面积和推导，两种方法均符合现阶段知识要求。
【解析】
设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，∠OAB=45°，$OA=\frac{1}{2}AC$。
已知对角线长$AC=8\sqrt{2}$，因此$OA=\frac{1}{2}×8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
∵ $EF⊥AC$，$EG⊥BD$，$AC⊥BD$，
∴ 四边形EFOG的三个内角都是直角，是矩形，因此$EG=OF$。
又
∵ $∠EAF=45°$，$∠AFE=90°$，
∴ △AEF是等腰直角三角形，因此$EF=AF$。
∴ $EF+EG=AF+OF=OA=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题是几何中典型的线段和求值问题，解题核心是利用特殊三角形、特殊四边形的性质，将分散的两条线段的和转化为固定长度的线段，也可通过面积法快速得到结果，能很好地考查对正方形相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10.如图8，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(点P不与点A,C重合)，且PE//BC，交AB于点E，PF//CD，交AD于点F，则阴影部分的面积是
2.5
.答案
10.2.5
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，直接计算各阴影图形的面积条件不足，需采用等积转化的思路。首先先根据菱形面积公式（对角线乘积的一半）求出整个菱形的面积，再结合平行线的性质判定四边形AEPF为平行四边形，利用平行四边形的性质得到两个小三角形面积相等，进而可推出阴影部分的面积等于菱形面积的一半，代入计算即可。
【解析】
第一步：计算菱形ABCD的面积
菱形的面积等于对角线乘积的一半，已知菱形对角线长分别为2和5，因此
$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×2×5=5$
第二步：判定四边形AEPF的形状
∵四边形ABCD是菱形
∴BC//AD，CD//AB
又
∵PE//BC，PF//CD
∴PE//AD，PF//AB，即PE//AF，PF//AE
∴四边形AEPF是平行四边形
第三步：转化阴影部分面积
平行四边形的对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，因此$S_{△ AFP}=S_{△ AEP}$
由此可得，阴影部分的面积等于$△ ABC$的面积，而$△ ABC$的面积为菱形面积的一半，即
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×5=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定与性质；等积变换求面积
【点评】
本题考查了菱形相关的面积计算，核心是运用等积转化的思想，将难以直接计算的阴影面积转化为易求的三角形面积，解题的关键是发现平行四边形AEPF中两个小三角形的面积相等关系，巧妙简化计算。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，直接计算各阴影图形的面积条件不足，需采用等积转化的思路。首先先根据菱形面积公式（对角线乘积的一半）求出整个菱形的面积，再结合平行线的性质判定四边形AEPF为平行四边形，利用平行四边形的性质得到两个小三角形面积相等，进而可推出阴影部分的面积等于菱形面积的一半，代入计算即可。
【解析】
第一步：计算菱形ABCD的面积
菱形的面积等于对角线乘积的一半，已知菱形对角线长分别为2和5，因此
$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×2×5=5$
第二步：判定四边形AEPF的形状
∵四边形ABCD是菱形
∴BC//AD，CD//AB
又
∵PE//BC，PF//CD
∴PE//AD，PF//AB，即PE//AF，PF//AE
∴四边形AEPF是平行四边形
第三步：转化阴影部分面积
平行四边形的对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，因此$S_{△ AFP}=S_{△ AEP}$
由此可得，阴影部分的面积等于$△ ABC$的面积，而$△ ABC$的面积为菱形面积的一半，即
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×5=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定与性质；等积变换求面积
【点评】
本题考查了菱形相关的面积计算，核心是运用等积转化的思想，将难以直接计算的阴影面积转化为易求的三角形面积，解题的关键是发现平行四边形AEPF中两个小三角形的面积相等关系，巧妙简化计算。
【难度系数】
0.7
11.如图9，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.判断四边形AEDF的形状，并证明.
答案
11.菱形，证明略.
解析
【分析】
要判断四边形AEDF的形状，可按以下思路推导：首先利用线段垂直平分线的性质，得到垂直关系和相等的边；再结合角平分线的定义，可通过证明三角形全等得到四条边相等，或者推导对边平行先判定为平行四边形，最后结合菱形的判定定理得出结论。
【解析】
解：四边形AEDF是菱形，证明如下：
设EF与AD交于点O。
∵ EF是AD的垂直平分线，
∴ AE=DE，AF=DF，∠AOE=∠AOF=90°。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAO=∠FAO。
在△AEO和△AFO中：
$\{\begin{array}{l}∠ EAO=∠ FAO\\ AO=AO\\ ∠ AOE=∠ AOF\end{array} $
∴ $△ AEO≌△ AFO(\mathrm{ASA})$，
∴ AE=AF，
∴ AE=AF=DE=DF，
∴ 四边形AEDF是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
【答案】
四边形AEDF是菱形
【知识点】
垂直平分线的性质，角平分线的定义，菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是熟练运用角平分线、垂直平分线的性质得到边角的等量关系，再结合菱形的判定定理完成证明，侧重对基础定理应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
要判断四边形AEDF的形状，可按以下思路推导：首先利用线段垂直平分线的性质，得到垂直关系和相等的边；再结合角平分线的定义，可通过证明三角形全等得到四条边相等，或者推导对边平行先判定为平行四边形，最后结合菱形的判定定理得出结论。
【解析】
解：四边形AEDF是菱形，证明如下：
设EF与AD交于点O。
∵ EF是AD的垂直平分线，
∴ AE=DE，AF=DF，∠AOE=∠AOF=90°。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAO=∠FAO。
在△AEO和△AFO中：
$\{\begin{array}{l}∠ EAO=∠ FAO\\ AO=AO\\ ∠ AOE=∠ AOF\end{array} $
∴ $△ AEO≌△ AFO(\mathrm{ASA})$，
∴ AE=AF，
∴ AE=AF=DE=DF，
∴ 四边形AEDF是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
【答案】
四边形AEDF是菱形
【知识点】
垂直平分线的性质，角平分线的定义，菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是熟练运用角平分线、垂直平分线的性质得到边角的等量关系，再结合菱形的判定定理完成证明，侧重对基础定理应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
12.如图10,在$□ ABCD$中,$∠ BAD,∠ ABC$的平分线交于点$F$,延长$BF$,交$AD$于点$E$,延长$AF$,交$BC$于点$G$,连接$GE$.
(1)猜想$AF$与$BE$之间的位置关系;
(2)试判断四边形$ABGE$的形状.
(1)猜想$AF$与$BE$之间的位置关系;
(2)试判断四边形$ABGE$的形状.
答案
12.(1)AF垂直平分BE.
(2)四边形ABGE是菱形.
(2)四边形ABGE是菱形.
解析
【分析】
(1)要判断AF与BE的位置关系，先利用平行四边形邻角互补得到∠BAD+∠ABC=180°，结合角平分线性质可推出∠BAF+∠ABF=90°，得到AF⊥BE；再通过平行线和角平分线得到∠ABE=∠AEB，推出△ABE为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一即可得到AF平分BE，最终得AF垂直平分BE。
(2)判断四边形形状，先利用平行线和角平分线推出AB=BG，结合(1)中AB=AE可得AE平行且等于BG，先证得四边形ABGE是平行四边形，再结合邻边AB=AE，即可判定其为菱形。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴$∠ BAD + ∠ ABC = 180°$。
∵AF平分$∠ BAD$，BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ BAF = \frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABC$，
∴$∠ BAF + ∠ ABF = \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ ABC) = 90°$，
∴$∠ AFB = 90°$，即$AF⊥ BE$。
又
∵AD//BC，
∴$∠ AEB = ∠ EBC$，
∵BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE = ∠ EBC$，
∴$∠ ABE = ∠ AEB$，
∴$AB = AE$，即$△ ABE$为等腰三角形，
又
∵$AF⊥ BE$，
∴AF平分BE（等腰三角形三线合一），
综上，AF垂直平分BE。
(2)证明：
∵AD//BC，
∴$∠ EAG = ∠ AGB$，
∵AF平分$∠ BAD$，
∴$∠ BAG = ∠ EAG$，
∴$∠ BAG = ∠ AGB$，
∴$AB = BG$，
由(1)可知$AB = AE$，
∴$AE = BG$，
又
∵$AE// BG$，
∴四边形ABGE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又
∵$AB = AE$，
∴平行四边形ABGE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
(1)AF垂直平分BE；
(2)四边形ABGE是菱形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；等腰三角形的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将角平分线、平行线性质和特殊四边形的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、平行四边形及菱形的判定定理，通过等角推导得到边相等的关系。
【难度系数】
0.7
(1)要判断AF与BE的位置关系，先利用平行四边形邻角互补得到∠BAD+∠ABC=180°，结合角平分线性质可推出∠BAF+∠ABF=90°，得到AF⊥BE；再通过平行线和角平分线得到∠ABE=∠AEB，推出△ABE为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一即可得到AF平分BE，最终得AF垂直平分BE。
(2)判断四边形形状，先利用平行线和角平分线推出AB=BG，结合(1)中AB=AE可得AE平行且等于BG，先证得四边形ABGE是平行四边形，再结合邻边AB=AE，即可判定其为菱形。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴$∠ BAD + ∠ ABC = 180°$。
∵AF平分$∠ BAD$，BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ BAF = \frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABC$，
∴$∠ BAF + ∠ ABF = \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ ABC) = 90°$，
∴$∠ AFB = 90°$，即$AF⊥ BE$。
又
∵AD//BC，
∴$∠ AEB = ∠ EBC$，
∵BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE = ∠ EBC$，
∴$∠ ABE = ∠ AEB$，
∴$AB = AE$，即$△ ABE$为等腰三角形，
又
∵$AF⊥ BE$，
∴AF平分BE（等腰三角形三线合一），
综上，AF垂直平分BE。
(2)证明：
∵AD//BC，
∴$∠ EAG = ∠ AGB$，
∵AF平分$∠ BAD$，
∴$∠ BAG = ∠ EAG$，
∴$∠ BAG = ∠ AGB$，
∴$AB = BG$，
由(1)可知$AB = AE$，
∴$AE = BG$，
又
∵$AE// BG$，
∴四边形ABGE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又
∵$AB = AE$，
∴平行四边形ABGE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
(1)AF垂直平分BE；
(2)四边形ABGE是菱形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；等腰三角形的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将角平分线、平行线性质和特殊四边形的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、平行四边形及菱形的判定定理，通过等角推导得到边相等的关系。
【难度系数】
0.7
13. 如图11，在平行四边形ABCD中，$∠ ACB=90°$，过点D作$DE⊥ BC$，交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F。
(1)求证:四边形ACED是矩形；
(2)连接BF，若$∠ ABC=60°$，$CE=3$，求BF的长。
(1)求证:四边形ACED是矩形；
(2)连接BF，若$∠ ABC=60°$，$CE=3$，求BF的长。
答案
13.(1)略
(2)$3\sqrt{3}$
(2)$3\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ACED是矩形，先根据平行四边形的性质得到AD与BC平行，结合已知的AC⊥BC、DE⊥BC，可推出AC与DE平行，先判定ACED为平行四边形，再结合有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即可完成证明；
(2) 先结合平行四边形和矩形的边的性质，推出BC=CE=3，得到BE的长度，再根据∠ABC=60°、∠ACB=90°推出AB=BE，得到△ABE是等边三角形，再根据矩形对角线互相平分的性质得到F是AE中点，最后利用等边三角形三线合一的性质计算高，即可得到BF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∵$∠ACB=90°$，
∴$AC⊥BC$，
又
∵$DE⊥BC$，
∴$AC// DE$，
∴四边形ACED是平行四边形，
又
∵$∠ACE=90°$，
∴平行四边形ACED是矩形。
(2) 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC$，
∵四边形ACED是矩形，
∴$AD=CE$，
∴$BC=CE=3$，则$BE=BC+CE=6$，
∵$∠ACB=90°$，$∠ABC=60°$，
∴$∠BAC=30°$，
∴$AB=2BC=6$，
∴$AB=BE=6$，又$∠ABC=60°$，
∴△ABE是等边三角形，
∵矩形ACED的对角线AE、CD交于点F，
∴F是AE的中点，
根据等边三角形三线合一，BF是等边ABE的高，
∴$BF=\frac{\sqrt{3}}{2}× AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2)$3\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和等边三角形的相关性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定定理，结合已知条件推出边的等量关系，转化为等边三角形的问题求解。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明四边形ACED是矩形，先根据平行四边形的性质得到AD与BC平行，结合已知的AC⊥BC、DE⊥BC，可推出AC与DE平行，先判定ACED为平行四边形，再结合有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即可完成证明；
(2) 先结合平行四边形和矩形的边的性质，推出BC=CE=3，得到BE的长度，再根据∠ABC=60°、∠ACB=90°推出AB=BE，得到△ABE是等边三角形，再根据矩形对角线互相平分的性质得到F是AE中点，最后利用等边三角形三线合一的性质计算高，即可得到BF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∵$∠ACB=90°$，
∴$AC⊥BC$，
又
∵$DE⊥BC$，
∴$AC// DE$，
∴四边形ACED是平行四边形，
又
∵$∠ACE=90°$，
∴平行四边形ACED是矩形。
(2) 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC$，
∵四边形ACED是矩形，
∴$AD=CE$，
∴$BC=CE=3$，则$BE=BC+CE=6$，
∵$∠ACB=90°$，$∠ABC=60°$，
∴$∠BAC=30°$，
∴$AB=2BC=6$，
∴$AB=BE=6$，又$∠ABC=60°$，
∴△ABE是等边三角形，
∵矩形ACED的对角线AE、CD交于点F，
∴F是AE的中点，
根据等边三角形三线合一，BF是等边ABE的高，
∴$BF=\frac{\sqrt{3}}{2}× AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2)$3\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和等边三角形的相关性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定定理，结合已知条件推出边的等量关系，转化为等边三角形的问题求解。
【难度系数】
0.65
