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1. 下列命题错误的是 （
A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B.平行四边形的对角线互相平分
C.矩形的对角线相等
D.对角线相等的四边形是矩形
D
）A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B.平行四边形的对角线互相平分
C.矩形的对角线相等
D.对角线相等的四边形是矩形
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查特殊四边形的性质与判定、命题真假的判断，解题时需逐个分析选项，结合所学的特殊四边形相关定理判断命题是否成立，最终选出错误的命题。首先要明确：性质是某类图形具备的特征，判定是满足什么条件可以判定为某类图形，二者不能混淆，同时要注意判定定理的前提条件不能遗漏。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，该命题正确，不符合题意；
B. 平行四边形的基本性质包含对角线互相平分，该命题正确，不符合题意；
C. 矩形的性质包含对角线相等，该命题正确，不符合题意；
D. 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，但它不属于矩形，正确的矩形判定定理是“对角线相等的平行四边形是矩形”，因此该命题错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查对特殊四边形性质、判定定理的记忆和辨析能力，解题时需注意判定定理的完整适用条件，避免遗漏前提导致判断错误。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊四边形的性质与判定、命题真假的判断，解题时需逐个分析选项，结合所学的特殊四边形相关定理判断命题是否成立，最终选出错误的命题。首先要明确：性质是某类图形具备的特征，判定是满足什么条件可以判定为某类图形，二者不能混淆，同时要注意判定定理的前提条件不能遗漏。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，该命题正确，不符合题意；
B. 平行四边形的基本性质包含对角线互相平分，该命题正确，不符合题意；
C. 矩形的性质包含对角线相等，该命题正确，不符合题意；
D. 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，但它不属于矩形，正确的矩形判定定理是“对角线相等的平行四边形是矩形”，因此该命题错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查对特殊四边形性质、判定定理的记忆和辨析能力，解题时需注意判定定理的完整适用条件，避免遗漏前提导致判断错误。
【难度系数】
0.8
2. 如图1,在正方形ABCD中,E为边CD上一点,CF=CE.下列结论错误的是（
A.$BE=DF$
B.$BG⊥DF$
C.$∠F+∠CEB=90°$
D.$∠FDC+∠ABG=90°$
C
）A.$BE=DF$
B.$BG⊥DF$
C.$∠F+∠CEB=90°$
D.$∠FDC+∠ABG=90°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质得到边、角的相等关系，结合已知CE=CF证明△BCE和△DCF全等，再根据全等三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，逐一验证每个选项的正误，最终选出错误结论。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形
∴BC=DC，∠BCD=∠DCF=90°，∠ABC=90°
在△BCE和△DCF中：
$\{\begin{array}{l} BC=DC\\ ∠BCE=∠DCF=90°\\ CE=CF\end{array} $
∴△BCE≌△DCF（SAS）
A选项：由全等三角形对应边相等得BE=DF，结论正确，不符合题意；
B选项：由全等得∠CBE=∠CDF，在Rt△DCF中∠CDF+∠F=90°，因此∠CBE+∠F=90°，在△BGF中，∠BGF=180°-(∠CBE+∠F)=90°，即BG⊥DF，结论正确，不符合题意；
C选项：由全等得∠CEB=∠F，因此∠F+∠CEB=2∠CEB，仅当∠CEB=45°时和为90°，一般情况不成立，结论错误，符合题意；
D选项：
∵∠ABG+∠CBE=∠ABC=90°，且∠CBE=∠FDC，
∴∠FDC+∠ABG=90°，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何综合题，核心突破口是证明三角形全等，再结合角的等量代换推导各选项，需要熟练掌握正方形和全等三角形的基础性质才能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正方形的性质得到边、角的相等关系，结合已知CE=CF证明△BCE和△DCF全等，再根据全等三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，逐一验证每个选项的正误，最终选出错误结论。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形
∴BC=DC，∠BCD=∠DCF=90°，∠ABC=90°
在△BCE和△DCF中：
$\{\begin{array}{l} BC=DC\\ ∠BCE=∠DCF=90°\\ CE=CF\end{array} $
∴△BCE≌△DCF（SAS）
A选项：由全等三角形对应边相等得BE=DF，结论正确，不符合题意；
B选项：由全等得∠CBE=∠CDF，在Rt△DCF中∠CDF+∠F=90°，因此∠CBE+∠F=90°，在△BGF中，∠BGF=180°-(∠CBE+∠F)=90°，即BG⊥DF，结论正确，不符合题意；
C选项：由全等得∠CEB=∠F，因此∠F+∠CEB=2∠CEB，仅当∠CEB=45°时和为90°，一般情况不成立，结论错误，符合题意；
D选项：
∵∠ABG+∠CBE=∠ABC=90°，且∠CBE=∠FDC，
∴∠FDC+∠ABG=90°，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何综合题，核心突破口是证明三角形全等，再结合角的等量代换推导各选项，需要熟练掌握正方形和全等三角形的基础性质才能快速解题。
【难度系数】
0.7
3.如图2，已知E,F,G,H分别为四边形ABCD各边的中点.若AC=10 cm,BD=12 cm,则四边形EFGH的周长为（
A.10 cm
B.11 cm
C.12 cm
D.22 cm
D
）A.10 cm
B.11 cm
C.12 cm
D.22 cm
答案
3.D
解析
【分析】
遇到四边形各边中点构成新四边形的问题，首先联想到三角形中位线定理。我们可以将原四边形的对角线作为三角形的第三边，判断出新四边形的各边均为对应三角形的中位线，再根据中位线长度等于第三边的一半，分别求出新四边形各边的长度，相加即可得到周长。
【解析】
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
同理，GH是△ADC的中位线，$GH=\frac{1}{2}AC=5\ \mathrm{cm}$；
EH是△ABD的中位线，$EH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$；
FG是△BCD的中位线，$FG=\frac{1}{2}BD=6\ \mathrm{cm}$。
∴四边形EFGH的周长为$EF+FG+GH+EH=5+6+5+6=22\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；中点四边形性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形中位线定理的应用，解题的关键是将中点四边形的边与原四边形的对角线通过中位线建立联系，熟练掌握中位线的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
遇到四边形各边中点构成新四边形的问题，首先联想到三角形中位线定理。我们可以将原四边形的对角线作为三角形的第三边，判断出新四边形的各边均为对应三角形的中位线，再根据中位线长度等于第三边的一半，分别求出新四边形各边的长度，相加即可得到周长。
【解析】
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
同理，GH是△ADC的中位线，$GH=\frac{1}{2}AC=5\ \mathrm{cm}$；
EH是△ABD的中位线，$EH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$；
FG是△BCD的中位线，$FG=\frac{1}{2}BD=6\ \mathrm{cm}$。
∴四边形EFGH的周长为$EF+FG+GH+EH=5+6+5+6=22\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；中点四边形性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形中位线定理的应用，解题的关键是将中点四边形的边与原四边形的对角线通过中位线建立联系，熟练掌握中位线的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4.若菱形ABCD的两条对角线的长分别为10和24，则菱形ABCD的周长为
52
。答案
4.52
解析
【分析】
要计算菱形的周长，首先需要求出菱形的边长。根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，因此两条对角线的一半和菱形的边长可构成直角三角形，我们可以借助勾股定理求出边长，再结合菱形四条边长度相等的性质计算周长即可。
【解析】
∵ 菱形的对角线互相垂直且平分
∴ 两条对角线长度的一半分别为：$10÷2=5$，$24÷2=12$
设菱形的边长为$a$，由勾股定理可得：
$a^2=5^2+12^2=25+144=169$
∵ 边长为正数，
∴ $a=13$
又
∵ 菱形的四条边长度相等
∴ 菱形的周长为 $4×13=52$
【答案】
52
【知识点】
菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将边长求解转化为直角三角形的斜边求解，熟记特殊勾股数可快速得到边长，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
要计算菱形的周长，首先需要求出菱形的边长。根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，因此两条对角线的一半和菱形的边长可构成直角三角形，我们可以借助勾股定理求出边长，再结合菱形四条边长度相等的性质计算周长即可。
【解析】
∵ 菱形的对角线互相垂直且平分
∴ 两条对角线长度的一半分别为：$10÷2=5$，$24÷2=12$
设菱形的边长为$a$，由勾股定理可得：
$a^2=5^2+12^2=25+144=169$
∵ 边长为正数，
∴ $a=13$
又
∵ 菱形的四条边长度相等
∴ 菱形的周长为 $4×13=52$
【答案】
52
【知识点】
菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将边长求解转化为直角三角形的斜边求解，熟记特殊勾股数可快速得到边长，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
5.菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图3所示，其中点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,√3)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B……的路径在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2026秒时，点P的坐标为
$(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$
。答案
5.$(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$
解析
【分析】
解题可按四步思路推进：①先借助A、B两点坐标，用勾股定理求出菱形的边长，进而算出菱形周长，得到动点沿菱形运动一圈的周期；②用总时间除以周期得到余数，明确第2026秒时点P所在的边和距离对应端点的长度；③结合菱形性质求出各顶点坐标，确定目标边的两个端点坐标；④根据点P在边上的位置，计算出对应坐标。
【解析】
1. 计算菱形边长：
已知点A坐标为$(1,0)$，点B坐标为$(0,\sqrt{3})$，则$OA=1$，$OB=\sqrt{3}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$
即菱形边长为2，菱形周长为$4×2=8$。
2. 计算运动周期：
动点移动速度为每秒0.5个单位长度，走完整一圈的时间为$8÷0.5=16$秒，即每16秒动点P回到起点A，运动周期为16秒。
3. 定位第2026秒点P的位置：
计算$2026÷16=126······10$，即2026秒相当于走完126个完整周期后，又额外走了10秒。
10秒移动的路程为$10×0.5=5$个单位长度。
从点A出发：$A\to B$走2单位，$B\to C$走2单位，共走4单位到达点C，剩余$5-4=1$单位，即点P在CD边上，距离C点1单位，为CD边的中点（CD长为2）。
4. 计算点P的坐标：
根据菱形性质可得C点坐标为$(-1,0)$，D点坐标为$(0,-\sqrt{3})$，CD边中点坐标为两端点坐标的平均值：
$x=\frac{-1+0}{2}=-\frac{1}{2}$，$y=\frac{0+(-\sqrt{3})}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；动点周期问题
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何动点结合的典型题型，核心是先找到运动周期准确定位动点位置，再结合坐标运算求解，对规律总结能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题可按四步思路推进：①先借助A、B两点坐标，用勾股定理求出菱形的边长，进而算出菱形周长，得到动点沿菱形运动一圈的周期；②用总时间除以周期得到余数，明确第2026秒时点P所在的边和距离对应端点的长度；③结合菱形性质求出各顶点坐标，确定目标边的两个端点坐标；④根据点P在边上的位置，计算出对应坐标。
【解析】
1. 计算菱形边长：
已知点A坐标为$(1,0)$，点B坐标为$(0,\sqrt{3})$，则$OA=1$，$OB=\sqrt{3}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$
即菱形边长为2，菱形周长为$4×2=8$。
2. 计算运动周期：
动点移动速度为每秒0.5个单位长度，走完整一圈的时间为$8÷0.5=16$秒，即每16秒动点P回到起点A，运动周期为16秒。
3. 定位第2026秒点P的位置：
计算$2026÷16=126······10$，即2026秒相当于走完126个完整周期后，又额外走了10秒。
10秒移动的路程为$10×0.5=5$个单位长度。
从点A出发：$A\to B$走2单位，$B\to C$走2单位，共走4单位到达点C，剩余$5-4=1$单位，即点P在CD边上，距离C点1单位，为CD边的中点（CD长为2）。
4. 计算点P的坐标：
根据菱形性质可得C点坐标为$(-1,0)$，D点坐标为$(0,-\sqrt{3})$，CD边中点坐标为两端点坐标的平均值：
$x=\frac{-1+0}{2}=-\frac{1}{2}$，$y=\frac{0+(-\sqrt{3})}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；动点周期问题
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何动点结合的典型题型，核心是先找到运动周期准确定位动点位置，再结合坐标运算求解，对规律总结能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6.如图4,在正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O. E,F分别是边AD,DC上的点.若$AE=4\ \mathrm{cm},CF=3\ \mathrm{cm}$,且$OE⊥ OF$,则EF的长为
5
cm.答案
6.5
7.如图5,矩形ABCD的对角线交于点O,OF⊥AD于点F,OF=2 cm,AE⊥BD于点E,且BE：BD=1：4,求AC的长.
答案
7.$AC=8\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时先利用矩形的性质：矩形对角线相等且互相平分，结合OF⊥AD、O是对角线交点的条件，可判断OF是△ABD的中位线，先求出AB的长度；再根据BE:BD=1:4的比例关系，结合BD=2OB，推出E是OB的中点，再由AE⊥BD可得AE是OB的垂直平分线，进而得到AB=OA，最后结合AC=2OA即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，BD=AC，∠BAD=90°，
∵OF⊥AD，∠BAD=90°，
∴OF//AB，
又
∵O是BD的中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴AB=2OF=2×2=4cm。
∵BE:BD=1:4，且BD=2OB，
∴BE:2OB=1:4，即BE=$\frac{1}{2}$OB，
∴E是OB的中点，
又
∵AE⊥BD，
∴AE是线段OB的垂直平分线，
∴AB=OA=4cm，
∴AC=2OA=2×4=8cm。
【答案】
$AC=8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于矩形性质的典型应用题型，解题核心是灵活转化矩形对角线的线段关系，结合中位线、垂直平分线的性质推导边的等量关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题时先利用矩形的性质：矩形对角线相等且互相平分，结合OF⊥AD、O是对角线交点的条件，可判断OF是△ABD的中位线，先求出AB的长度；再根据BE:BD=1:4的比例关系，结合BD=2OB，推出E是OB的中点，再由AE⊥BD可得AE是OB的垂直平分线，进而得到AB=OA，最后结合AC=2OA即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，BD=AC，∠BAD=90°，
∵OF⊥AD，∠BAD=90°，
∴OF//AB，
又
∵O是BD的中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴AB=2OF=2×2=4cm。
∵BE:BD=1:4，且BD=2OB，
∴BE:2OB=1:4，即BE=$\frac{1}{2}$OB，
∴E是OB的中点，
又
∵AE⊥BD，
∴AE是线段OB的垂直平分线，
∴AB=OA=4cm，
∴AC=2OA=2×4=8cm。
【答案】
$AC=8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于矩形性质的典型应用题型，解题核心是灵活转化矩形对角线的线段关系，结合中位线、垂直平分线的性质推导边的等量关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
8.如图6,在矩形ABCD中,E是BC的中点,∠BAE=45°,AE=2,则四边形AECD的面积是（
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.3
D.8
C
）A.$\sqrt{2}$
B.2
C.3
D.8
答案
8.C
解析
【分析】
解题时先利用矩形的内角为直角的性质，结合∠BAE=45°，可判定△ABE是等腰直角三角形；再根据AE的长度，利用勾股定理求出AB、BE的长度；结合E是BC中点的条件得到BC的长度，最后通过矩形面积减去△ABE的面积，即可求出四边形AECD的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，
又
∵ ∠BAE=45°，
∴ ∠AEB=180°-90°-45°=45°，
∴ ∠BAE=∠AEB，
∴ AB=BE，即△ABE为等腰直角三角形。
在Rt△ABE中，AE=2，由勾股定理得：$AB^2 + BE^2 = AE^2$，
代入AB=BE，得$2AB^2=4$，解得$AB=BE=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负解）。
∵ E是BC的中点，
∴ $BC=2BE=2\sqrt{2}$。
矩形ABCD的面积为：$AB×BC=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
△ABE的面积为：$\frac{1}{2}×AB×BE=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，
∴ 四边形AECD的面积=矩形ABCD的面积 - △ABE的面积=$4-1=3$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础的几何面积计算题，解题的突破口是根据角度特征判断出等腰直角三角形，再结合线段的数量关系求出相关边长，进而计算目标图形面积，解题时注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形的内角为直角的性质，结合∠BAE=45°，可判定△ABE是等腰直角三角形；再根据AE的长度，利用勾股定理求出AB、BE的长度；结合E是BC中点的条件得到BC的长度，最后通过矩形面积减去△ABE的面积，即可求出四边形AECD的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，
又
∵ ∠BAE=45°，
∴ ∠AEB=180°-90°-45°=45°，
∴ ∠BAE=∠AEB，
∴ AB=BE，即△ABE为等腰直角三角形。
在Rt△ABE中，AE=2，由勾股定理得：$AB^2 + BE^2 = AE^2$，
代入AB=BE，得$2AB^2=4$，解得$AB=BE=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负解）。
∵ E是BC的中点，
∴ $BC=2BE=2\sqrt{2}$。
矩形ABCD的面积为：$AB×BC=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
△ABE的面积为：$\frac{1}{2}×AB×BE=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，
∴ 四边形AECD的面积=矩形ABCD的面积 - △ABE的面积=$4-1=3$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础的几何面积计算题，解题的突破口是根据角度特征判断出等腰直角三角形，再结合线段的数量关系求出相关边长，进而计算目标图形面积，解题时注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
