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11.如图4，已知在矩形ABCD中，R，P分别是DC，BC边上的点，E，F分别是AP，RP的中点.当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，下列结论成立的是（
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变
D.线段EF的长先增大后减小
C
）A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变
D.线段EF的长先增大后减小
答案
11.C
解析
【分析】
拿到题目首先观察已知条件：E、F分别是AP、RP的中点，结合八年级学过的三角形中位线定理，我们可以通过连接AR构造△ARP，此时EF就是△ARP的中位线。根据中位线性质，EF的长度等于AR长度的一半，接下来判断AR的长度是否变化：点A是矩形的固定顶点，题目明确说明点R不动，因此AR是定长，由此可推出EF的长度也不会随点P的移动发生改变。
【解析】
解：连接AR，
∵E是AP的中点，F是RP的中点，
∴EF是△ARP的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AR$，
∵点A、R的位置固定，即线段AR的长度为定值，
∴EF的长度为定值，不随点P在BC上的移动而变化。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，动态几何定值判断
【点评】
本题是典型的动态几何定值类题目，解题的突破口是结合中点特征，通过作辅助线构造中位线，将待判断的线段长度转化为定长线段的一半，侧重考查基础几何定理的应用能力，掌握中位线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先观察已知条件：E、F分别是AP、RP的中点，结合八年级学过的三角形中位线定理，我们可以通过连接AR构造△ARP，此时EF就是△ARP的中位线。根据中位线性质，EF的长度等于AR长度的一半，接下来判断AR的长度是否变化：点A是矩形的固定顶点，题目明确说明点R不动，因此AR是定长，由此可推出EF的长度也不会随点P的移动发生改变。
【解析】
解：连接AR，
∵E是AP的中点，F是RP的中点，
∴EF是△ARP的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AR$，
∵点A、R的位置固定，即线段AR的长度为定值，
∴EF的长度为定值，不随点P在BC上的移动而变化。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，动态几何定值判断
【点评】
本题是典型的动态几何定值类题目，解题的突破口是结合中点特征，通过作辅助线构造中位线，将待判断的线段长度转化为定长线段的一半，侧重考查基础几何定理的应用能力，掌握中位线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12.如图5,一个平行四边形被AB,CD分成面积为$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$的四个小平行四边形,当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时,$S_{1}· S_{4}$与$S_{2}· S_{3}$的大小关系是
相等
.答案
12.相等
解析
【分析】
要比较$S_1·S_4$和$S_2·S_3$的大小，可利用平行四边形面积公式“面积=底×高”，通过设参数表示四个小平行四边形的面积，再分别计算两个乘积，对比结果即可得到大小关系。这种将几何面积问题转化为代数运算的方法，简单直观，无需复杂的几何推导。
【解析】
解：设CD分割大平行四边形得到的左右两组对边的长度分别为$m$、$n$，AB分割大平行四边形得到的上下两部分对应的高分别为$h_1$、$h_2$。
根据平行四边形面积公式可得：
$S_1 = m · h_1$，$S_2 = n · h_1$，
$S_3 = m · h_2$，$S_4 = n · h_2$。
分别计算两个乘积：
$S_1 · S_4 = m h_1 · n h_2 = m n h_1 h_2$，
$S_2 · S_3 = n h_1 · m h_2 = m n h_1 h_2$，
因此$S_1 · S_4 = S_2 · S_3$。
【答案】
相等
【知识点】
1. 平行四边形面积公式 2. 代数式大小比较
【点评】
本题是平行四边形分割面积的典型问题，通过设参数量化面积的方法，能快速推导得到乘积相等的结论，体现了几何问题代数化的解题思想，这类结论也可作为常用规律直接应用在选择填空题中。
【难度系数】
0.7
要比较$S_1·S_4$和$S_2·S_3$的大小，可利用平行四边形面积公式“面积=底×高”，通过设参数表示四个小平行四边形的面积，再分别计算两个乘积，对比结果即可得到大小关系。这种将几何面积问题转化为代数运算的方法，简单直观，无需复杂的几何推导。
【解析】
解：设CD分割大平行四边形得到的左右两组对边的长度分别为$m$、$n$，AB分割大平行四边形得到的上下两部分对应的高分别为$h_1$、$h_2$。
根据平行四边形面积公式可得：
$S_1 = m · h_1$，$S_2 = n · h_1$，
$S_3 = m · h_2$，$S_4 = n · h_2$。
分别计算两个乘积：
$S_1 · S_4 = m h_1 · n h_2 = m n h_1 h_2$，
$S_2 · S_3 = n h_1 · m h_2 = m n h_1 h_2$，
因此$S_1 · S_4 = S_2 · S_3$。
【答案】
相等
【知识点】
1. 平行四边形面积公式 2. 代数式大小比较
【点评】
本题是平行四边形分割面积的典型问题，通过设参数量化面积的方法，能快速推导得到乘积相等的结论，体现了几何问题代数化的解题思想，这类结论也可作为常用规律直接应用在选择填空题中。
【难度系数】
0.7
13. 如图6,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D,E分别为AB,BC的中点,点F在AC的延长线上,$∠ FEC=∠ B$.
(1)求证:$CF=DE$;
(2)若$AC=6$,$AB=10$,求四边形DCFE的面积.
(1)求证:$CF=DE$;
(2)若$AC=6$,$AB=10$,求四边形DCFE的面积.
答案
13.(1)略 (2)$S_{四边形DCFE}=12$
解析
【分析】
(1) 要证CF=DE，可先证四边形DCFE是平行四边形：首先利用三角形中位线性质得DE平行于CF，再结合直角三角形斜边中线的性质推出∠DCE=∠B，结合已知∠FEC=∠B，可得∠FEC=∠DCE，进而推出DC平行于EF，两组对边分别平行即可判定四边形为平行四边形，对边相等得证。
(2) 求四边形面积，先由勾股定理求出BC的长度，再根据中位线性质得DE的长度，由E是BC中点得CE的长度，结合DE与BC垂直的位置关系，用平行四边形面积公式底乘高即可求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ D、E分别为AB、BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AC，即DE//CF。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，
∴ CD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ∠B=∠DCE。
又
∵ ∠FEC=∠B，
∴ ∠FEC=∠DCE，
∴ DC//EF。
∵ DE//CF，DC//EF，
∴ 四边形DCFE是平行四边形，
∴ CF=DE。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵ E是BC中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}BC=4$。
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
∵ DE//AC，∠ACB=90°，
∴ DE⊥BC，即平行四边形DCFE的高为CE的长度。
∴ $S_{四边形DCFE}=DE× CE=3×4=12$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是灵活运用三角形中位线、直角三角形性质和平行四边形的判定性质，通过角的等量代换得到边的平行关系，再结合勾股定理计算边长即可求出面积。
【难度系数】
0.7
(1) 要证CF=DE，可先证四边形DCFE是平行四边形：首先利用三角形中位线性质得DE平行于CF，再结合直角三角形斜边中线的性质推出∠DCE=∠B，结合已知∠FEC=∠B，可得∠FEC=∠DCE，进而推出DC平行于EF，两组对边分别平行即可判定四边形为平行四边形，对边相等得证。
(2) 求四边形面积，先由勾股定理求出BC的长度，再根据中位线性质得DE的长度，由E是BC中点得CE的长度，结合DE与BC垂直的位置关系，用平行四边形面积公式底乘高即可求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ D、E分别为AB、BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AC，即DE//CF。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，
∴ CD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ∠B=∠DCE。
又
∵ ∠FEC=∠B，
∴ ∠FEC=∠DCE，
∴ DC//EF。
∵ DE//CF，DC//EF，
∴ 四边形DCFE是平行四边形，
∴ CF=DE。
(2) 解：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵ E是BC中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}BC=4$。
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
∵ DE//AC，∠ACB=90°，
∴ DE⊥BC，即平行四边形DCFE的高为CE的长度。
∴ $S_{四边形DCFE}=DE× CE=3×4=12$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是灵活运用三角形中位线、直角三角形性质和平行四边形的判定性质，通过角的等量代换得到边的平行关系，再结合勾股定理计算边长即可求出面积。
【难度系数】
0.7
14.如图7,在$□ ABCD$中,$∠ ABC$的平分线BE交AD于点E,$∠ BCD$的平分线CF交AD于点F,交BE于点G,$AD=6$,$EF=3$.求AF的长度.
答案
14.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，利用平行四边形对边平行且相等的特点，结合角平分线的定义和平行线的内错角相等的性质，推导出等腰三角形，得到AE=AB、DF=CD；再由平行四边形对边相等的性质得到AE=DF，进而推出AF=DE；最后结合AD、EF的长度，通过线段和差关系列等式即可求出AF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE。
同理，CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴CD=DF。
∵AB=CD，
∴AE=DF，
又
∵AE=AF+EF，DF=DE+EF，
∴AF+EF=DE+EF，即AF=DE。
已知AD=6，EF=3，且AD=AF+EF+DE，
代入得：2AF + 3 = 6，
解得AF= $\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过角的等量转换得到等腰三角形，从而建立线段之间的等量关系，再结合线段和差计算求解，是平行四边形相关考点的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时先从平行四边形的性质入手，利用平行四边形对边平行且相等的特点，结合角平分线的定义和平行线的内错角相等的性质，推导出等腰三角形，得到AE=AB、DF=CD；再由平行四边形对边相等的性质得到AE=DF，进而推出AF=DE；最后结合AD、EF的长度，通过线段和差关系列等式即可求出AF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE。
同理，CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴CD=DF。
∵AB=CD，
∴AE=DF，
又
∵AE=AF+EF，DF=DE+EF，
∴AF+EF=DE+EF，即AF=DE。
已知AD=6，EF=3，且AD=AF+EF+DE，
代入得：2AF + 3 = 6，
解得AF= $\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过角的等量转换得到等腰三角形，从而建立线段之间的等量关系，再结合线段和差计算求解，是平行四边形相关考点的典型考法。
【难度系数】
0.7
15.如图8,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE=DF,AC=EF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若CE=2BE,且AE=BE,AB=2,求AC的长.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若CE=2BE,且AE=BE,AB=2,求AC的长.
答案
15.(1)略 (2)$\sqrt{10}$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形AECF是矩形，先利用平行四边形的性质推导出AECF是平行四边形，再结合对角线相等的条件判定为矩形。首先由平行四边形ABCD得AD平行且等于BC，结合BE=DF推出AF和EC平行且相等，即可证得AECF是平行四边形，再根据已知AC=EF，利用矩形判定定理即可得证。
(2) 由(1)的结论可知∠AEC为直角，因此△ABE和△AEC都是直角三角形。先在Rt△ABE中结合AE=BE、AB=2的条件，用勾股定理求出BE、AE的长度，再根据CE=2BE得到CE的长，最后在Rt△AEC中用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC，
又
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又
∵AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB=180°-∠AEC=90°，
设BE=x，
∵AE=BE，
∴AE=x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2=AE^2+BE^2$，
将AB=2代入得：
$2^2=x^2+x^2$，即$2x^2=4$，
解得$x=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根），
∴$BE=AE=\sqrt{2}$，
∵CE=2BE，
∴$CE=2\sqrt{2}$，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
$AC^2=AE^2+CE^2=(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=2+8=10$，
∴$AC=\sqrt{10}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
(1) 见上述证明；(2) $\sqrt{10}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，结合了平行四边形、矩形的相关性质和判定，以及勾股定理的应用，解题的关键是先得到四边形AECF是矩形，构造直角三角形后通过勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形AECF是矩形，先利用平行四边形的性质推导出AECF是平行四边形，再结合对角线相等的条件判定为矩形。首先由平行四边形ABCD得AD平行且等于BC，结合BE=DF推出AF和EC平行且相等，即可证得AECF是平行四边形，再根据已知AC=EF，利用矩形判定定理即可得证。
(2) 由(1)的结论可知∠AEC为直角，因此△ABE和△AEC都是直角三角形。先在Rt△ABE中结合AE=BE、AB=2的条件，用勾股定理求出BE、AE的长度，再根据CE=2BE得到CE的长，最后在Rt△AEC中用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC，
又
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又
∵AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB=180°-∠AEC=90°，
设BE=x，
∵AE=BE，
∴AE=x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2=AE^2+BE^2$，
将AB=2代入得：
$2^2=x^2+x^2$，即$2x^2=4$，
解得$x=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根），
∴$BE=AE=\sqrt{2}$，
∵CE=2BE，
∴$CE=2\sqrt{2}$，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
$AC^2=AE^2+CE^2=(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=2+8=10$，
∴$AC=\sqrt{10}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
(1) 见上述证明；(2) $\sqrt{10}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，结合了平行四边形、矩形的相关性质和判定，以及勾股定理的应用，解题的关键是先得到四边形AECF是矩形，构造直角三角形后通过勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
