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8.菱形的两条对角线将它分成全等的三角形的对数是（
A.8对
B.6对
C.4对
D.2对
A
）A.8对
B.6对
C.4对
D.2对
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。我们可以采用分类计数的思路求解：第一步先数两条对角线分出的4个小直角三角形的全等对数，第二步数由两个小三角形拼成的大三角形的全等对数，两者相加就是总对数，避免漏数或重复计数。
【解析】
1. 根据菱形性质，两条对角线互相垂直平分，且菱形四边相等，因此两条对角线将菱形分成4个全等的直角三角形。从4个全等的小三角形中任选2个都全等，共可组合出$3+2+1=6$对全等三角形。
2. 再看由2个小三角形拼成的大等腰三角形：沿较长对角线拆分得到的2个大等腰三角形全等，这是1对；沿较短对角线拆分得到的2个大等腰三角形也全等，这是第2对。
3. 总全等对数：$6+2=8$对。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、图形计数
【点评】
本题易错点是计数时遗漏大三角形的全等对数，做题时按“先小后大”的顺序分类计数，就能避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆菱形的性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。我们可以采用分类计数的思路求解：第一步先数两条对角线分出的4个小直角三角形的全等对数，第二步数由两个小三角形拼成的大三角形的全等对数，两者相加就是总对数，避免漏数或重复计数。
【解析】
1. 根据菱形性质，两条对角线互相垂直平分，且菱形四边相等，因此两条对角线将菱形分成4个全等的直角三角形。从4个全等的小三角形中任选2个都全等，共可组合出$3+2+1=6$对全等三角形。
2. 再看由2个小三角形拼成的大等腰三角形：沿较长对角线拆分得到的2个大等腰三角形全等，这是1对；沿较短对角线拆分得到的2个大等腰三角形也全等，这是第2对。
3. 总全等对数：$6+2=8$对。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、图形计数
【点评】
本题易错点是计数时遗漏大三角形的全等对数，做题时按“先小后大”的顺序分类计数，就能避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.6
9.如图5,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为9和4,则阴影部分的面积为
2
. 答案
9.2
解析
【分析】
解题时先从已知的两个正方形面积入手，根据正方形面积与边长的关系，先求出两个正方形的边长；再观察图形，外部整体是矩形，它的宽等于大正方形的边长，长等于两个正方形的边长之和，因此可以先算出大矩形的总面积，再减去两个正方形的面积和，即可得到阴影部分的面积，也可以通过割补法拼接阴影部分直接计算。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴面积为4的正方形的边长为$\sqrt{4}=2$，面积为9的正方形的边长为$\sqrt{9}=3$。
观察图形可得，外部大矩形的长为两个正方形边长之和：$2+3=5$，宽为大正方形的边长3，
∴大矩形的面积为$5×3=15$。
两个正方形的面积和为$4+9=13$，
∴阴影部分的面积 = 大矩形面积 - 两个正方形的面积和 = $15-13=2$。
【答案】
2
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，矩形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是明确正方形面积和边长的关系，结合图形特征选择合适的方法计算阴影面积，常用方法有整体减部分法和割补法。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的两个正方形面积入手，根据正方形面积与边长的关系，先求出两个正方形的边长；再观察图形，外部整体是矩形，它的宽等于大正方形的边长，长等于两个正方形的边长之和，因此可以先算出大矩形的总面积，再减去两个正方形的面积和，即可得到阴影部分的面积，也可以通过割补法拼接阴影部分直接计算。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴面积为4的正方形的边长为$\sqrt{4}=2$，面积为9的正方形的边长为$\sqrt{9}=3$。
观察图形可得，外部大矩形的长为两个正方形边长之和：$2+3=5$，宽为大正方形的边长3，
∴大矩形的面积为$5×3=15$。
两个正方形的面积和为$4+9=13$，
∴阴影部分的面积 = 大矩形面积 - 两个正方形的面积和 = $15-13=2$。
【答案】
2
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，矩形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是明确正方形面积和边长的关系，结合图形特征选择合适的方法计算阴影面积，常用方法有整体减部分法和割补法。
【难度系数】
0.8
10. 如图6，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，$AN$是$△ ABC$的外角$∠ CAM$的平分线，$CE⊥ AN$，垂足为$E$。
(1)求证：四边形$ADCE$为矩形；
(2)当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$ADCE$是正方形？
(1)求证：四边形$ADCE$为矩形；
(2)当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$ADCE$是正方形？
答案
(1)提示:证$∠ DAE=90°$.
(2)$∠ BAC=90°$. 提示:先证明$AD=DC$,再结合(1)的结论.
(2)$∠ BAC=90°$. 提示:先证明$AD=DC$,再结合(1)的结论.
解析
【分析】
(1) 要证四边形ADCE为矩形，根据矩形判定定理，只需证明该四边形有3个内角为直角即可。已知AD⊥BC、CE⊥AN，已经得到∠ADC=∠CEA=90°，因此只需推导∠DAE=90°即可：利用等腰三角形三线合一得AD平分∠BAC，结合AN平分外角∠CAM，可推出∠DAC与∠CAE的和为平角的一半即90°，从而得∠DAE=90°，即可证得矩形。
(2) 矩形要成为正方形，需满足一组邻边相等，即AD=DC。在等腰△ABC中，AD⊥BC，若∠BAC=90°，则△ABC为等腰直角三角形，可得AD=DC，结合(1)的矩形结论，即可证得正方形。
【解析】
(1) 证明：
∵ 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴ ∠BAD=∠DAC（等腰三角形三线合一），∠ADC=90°，
∵ AN是△ABC外角∠CAM的角平分线，
∴ ∠MAE=∠CAE，
∵ ∠BAC + ∠CAM = 180°（平角的定义），
∴ ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠CAM) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
又
∵ CE⊥AN，
∴ ∠CEA=90°，
∴ 四边形ADCE中，∠ADC=∠DAE=∠CEA=90°，
∴ 四边形ADCE为矩形（三个内角为直角的四边形是矩形）。
(2) 解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形，理由如下：
∵ AB=AC，∠BAC=90°，
∴ ∠ACB=∠B=45°，
∵ AD⊥BC，
∴ ∠DAC=∠ACB=45°，
∴ AD=DC，
由(1)可知四边形ADCE是矩形，
∴ 矩形ADCE是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。
【答案】
(1) 四边形ADCE为矩形，证明见解析；
(2) 当△ABC满足$\boldsymbol{∠BAC=90°}$时，四边形ADCE是正方形。
【知识点】
等腰三角形的性质、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，结合等腰三角形、角平分线的性质考查特殊四边形的判定，解题时需紧扣矩形、正方形的判定条件，从已知出发逐步推导边、角的关系，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形ADCE为矩形，根据矩形判定定理，只需证明该四边形有3个内角为直角即可。已知AD⊥BC、CE⊥AN，已经得到∠ADC=∠CEA=90°，因此只需推导∠DAE=90°即可：利用等腰三角形三线合一得AD平分∠BAC，结合AN平分外角∠CAM，可推出∠DAC与∠CAE的和为平角的一半即90°，从而得∠DAE=90°，即可证得矩形。
(2) 矩形要成为正方形，需满足一组邻边相等，即AD=DC。在等腰△ABC中，AD⊥BC，若∠BAC=90°，则△ABC为等腰直角三角形，可得AD=DC，结合(1)的矩形结论，即可证得正方形。
【解析】
(1) 证明：
∵ 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴ ∠BAD=∠DAC（等腰三角形三线合一），∠ADC=90°，
∵ AN是△ABC外角∠CAM的角平分线，
∴ ∠MAE=∠CAE，
∵ ∠BAC + ∠CAM = 180°（平角的定义），
∴ ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠CAM) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
又
∵ CE⊥AN，
∴ ∠CEA=90°，
∴ 四边形ADCE中，∠ADC=∠DAE=∠CEA=90°，
∴ 四边形ADCE为矩形（三个内角为直角的四边形是矩形）。
(2) 解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形，理由如下：
∵ AB=AC，∠BAC=90°，
∴ ∠ACB=∠B=45°，
∵ AD⊥BC，
∴ ∠DAC=∠ACB=45°，
∴ AD=DC，
由(1)可知四边形ADCE是矩形，
∴ 矩形ADCE是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。
【答案】
(1) 四边形ADCE为矩形，证明见解析；
(2) 当△ABC满足$\boldsymbol{∠BAC=90°}$时，四边形ADCE是正方形。
【知识点】
等腰三角形的性质、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，结合等腰三角形、角平分线的性质考查特殊四边形的判定，解题时需紧扣矩形、正方形的判定条件，从已知出发逐步推导边、角的关系，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
11. 如图7,在四边形ABCD中,$AB// DC$,$AB=CD$,对角线AC,BD交于点O,过点C作$CE⊥ AB$交AB的延长线于点E,且$∠ ABO=∠ ACE$,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若$AB=2\sqrt{10}$,$BD=4$,求OE的长.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若$AB=2\sqrt{10}$,$BD=4$,求OE的长.
答案
(1)略
(2)6
(2)6
解析
【分析】
(1) 首先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，由AB//DC、AB=CD可判定四边形ABCD是平行四边形；接下来要证平行四边形是菱形，只需证对角线互相垂直即可：由CE⊥AB可得∠E=90°，因此∠ACE+∠CAE=90°，结合已知∠ABO=∠ACE，等量代换可得∠ABO+∠CAE=90°，从而推出∠AOB=90°，即AC⊥BD，即可得证平行四边形ABCD是菱形。
(2) 先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出OB的长度；再在Rt△AOB中用勾股定理计算出AO的长，进而得到AC的长度；最后根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，由△ACE是直角三角形、O为AC中点，即可求出OE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//DC，AB=CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠E=90°，
∴ ∠ACE + ∠CAE = 90°。
又
∵ ∠ABO=∠ACE，
∴ ∠ABO + ∠CAE = 90°，
∴ ∠AOB=180°-(∠ABO + ∠CAE)=90°，即AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，BD=4，
∴ AC⊥BD，OB=½BD=2，OA=OC=½AC。
在Rt△AOB中，AB=2√10，由勾股定理得：
OA=√(AB² - OB²)=√[(2√10)² - 2²]=√(40-4)=√36=6，
∴ AC=2OA=12。
∵ CE⊥AB，
∴ △ACE是直角三角形，∠E=90°，
又
∵ O是AC的中点，
∴ OE=½AC=½×12=6。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 6
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定、性质及直角三角形的相关性质，解题的核心是熟练掌握菱形的判定条件和性质，结合勾股定理、直角三角形斜边中线的性质逐步推导，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 首先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，由AB//DC、AB=CD可判定四边形ABCD是平行四边形；接下来要证平行四边形是菱形，只需证对角线互相垂直即可：由CE⊥AB可得∠E=90°，因此∠ACE+∠CAE=90°，结合已知∠ABO=∠ACE，等量代换可得∠ABO+∠CAE=90°，从而推出∠AOB=90°，即AC⊥BD，即可得证平行四边形ABCD是菱形。
(2) 先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出OB的长度；再在Rt△AOB中用勾股定理计算出AO的长，进而得到AC的长度；最后根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，由△ACE是直角三角形、O为AC中点，即可求出OE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//DC，AB=CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠E=90°，
∴ ∠ACE + ∠CAE = 90°。
又
∵ ∠ABO=∠ACE，
∴ ∠ABO + ∠CAE = 90°，
∴ ∠AOB=180°-(∠ABO + ∠CAE)=90°，即AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，BD=4，
∴ AC⊥BD，OB=½BD=2，OA=OC=½AC。
在Rt△AOB中，AB=2√10，由勾股定理得：
OA=√(AB² - OB²)=√[(2√10)² - 2²]=√(40-4)=√36=6，
∴ AC=2OA=12。
∵ CE⊥AB，
∴ △ACE是直角三角形，∠E=90°，
又
∵ O是AC的中点，
∴ OE=½AC=½×12=6。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 6
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定、性质及直角三角形的相关性质，解题的核心是熟练掌握菱形的判定条件和性质，结合勾股定理、直角三角形斜边中线的性质逐步推导，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
12.如图8,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,G,H分别是AB,DC的中点,E,F是对角线AC上的两个点,AE＝FC.
(1)判断四边形EGFH的形状,并说明理由；
(2)若四边形EGFH为矩形,求AE的长度.
(1)判断四边形EGFH的形状,并说明理由；
(2)若四边形EGFH为矩形,求AE的长度.
答案
(1)平行四边形,理由略.
(2)$\frac{1}{2}$或$\frac{9}{2}$
(2)$\frac{1}{2}$或$\frac{9}{2}$
解析
【分析】
(1) 判断四边形形状可从平行四边形判定入手：首先利用矩形性质得到AB与CD平行且相等，结合G、H是AB、DC中点得到AG=CH，再结合已知AE=FC，通过全等三角形证明EG与FH平行且相等，即可判定四边形形状；也可通过证明对角线互相平分得到结论。
(2) 若平行四边形EGFH为矩形，根据矩形“对角线相等”的性质可得EF=GH。先通过勾股定理求出AC长度，再结合GH等于BC的长度，分两种情况讨论E、F的位置，结合AE=FC的条件计算AE长度即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠EAG=∠FCH，
∵ G、H分别是AB、DC的中点，
∴ AG=$\frac{1}{2}$AB，CH=$\frac{1}{2}$CD，
∴ AG=CH，
在△AEG和△CFH中：
$\{\begin{array}{l}AG=CH \\∠EAG=∠FCH \\AE=CF\end{array} $
∴ △AEG≌△CFH（SAS），
∴ EG=FH，∠AEG=∠CFH，
∴ ∠GEF=∠HFE，
∴ EG//FH，
∵ EG与FH平行且相等，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
(2) 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ G、H分别是AB、DC的中点，
∴ GH//BC且GH=BC=4，
∵ 平行四边形EGFH是矩形，
∴ 平行四边形对角线相等，即EF=GH=4，
分两种情况讨论：
① 当E在A、F之间时：
$AE+FC=AC-EF=5-4=1$，
∵ AE=FC，
∴ $2AE=1$，解得$AE=\frac{1}{2}$；
② 当F在A、E之间时：
$AE+FC=AC+EF=5+4=9$，
∵ AE=FC，
∴ $2AE=9$，解得$AE=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 平行四边形
(2) $\frac{1}{2}$或$\frac{9}{2}$
【知识点】
平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定与性质及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握相关性质定理，第二问需注意E、F的位置有两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 判断四边形形状可从平行四边形判定入手：首先利用矩形性质得到AB与CD平行且相等，结合G、H是AB、DC中点得到AG=CH，再结合已知AE=FC，通过全等三角形证明EG与FH平行且相等，即可判定四边形形状；也可通过证明对角线互相平分得到结论。
(2) 若平行四边形EGFH为矩形，根据矩形“对角线相等”的性质可得EF=GH。先通过勾股定理求出AC长度，再结合GH等于BC的长度，分两种情况讨论E、F的位置，结合AE=FC的条件计算AE长度即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠EAG=∠FCH，
∵ G、H分别是AB、DC的中点，
∴ AG=$\frac{1}{2}$AB，CH=$\frac{1}{2}$CD，
∴ AG=CH，
在△AEG和△CFH中：
$\{\begin{array}{l}AG=CH \\∠EAG=∠FCH \\AE=CF\end{array} $
∴ △AEG≌△CFH（SAS），
∴ EG=FH，∠AEG=∠CFH，
∴ ∠GEF=∠HFE，
∴ EG//FH，
∵ EG与FH平行且相等，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
(2) 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ G、H分别是AB、DC的中点，
∴ GH//BC且GH=BC=4，
∵ 平行四边形EGFH是矩形，
∴ 平行四边形对角线相等，即EF=GH=4，
分两种情况讨论：
① 当E在A、F之间时：
$AE+FC=AC-EF=5-4=1$，
∵ AE=FC，
∴ $2AE=1$，解得$AE=\frac{1}{2}$；
② 当F在A、E之间时：
$AE+FC=AC+EF=5+4=9$，
∵ AE=FC，
∴ $2AE=9$，解得$AE=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 平行四边形
(2) $\frac{1}{2}$或$\frac{9}{2}$
【知识点】
平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定与性质及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握相关性质定理，第二问需注意E、F的位置有两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.65
