1.关于四边形ABCD:①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③一组对边平行且相等;④对角线AC和BD相等.以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆平行四边形的定义和判定定理，再逐一核对给出的4个条件，判断哪些可以判定四边形是平行四边形，最后统计符合条件的数量即可。解题时要注意区分平行四边形的判定条件和其他特殊四边形的性质，避免概念混淆。
【解析】
我们逐个分析4个条件：
①两组对边分别平行：这是平行四边形的定义，满足该条件的四边形是平行四边形，符合要求；
②两组对边分别相等：属于平行四边形的判定定理，满足该条件的四边形是平行四边形，符合要求；
③一组对边平行且相等：属于平行四边形的判定定理，满足该条件的四边形是平行四边形，符合要求；
④对角线相等：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，比如等腰梯形的对角线也相等，但等腰梯形不是平行四边形，因此该条件不能判定是平行四边形，不符合要求。
综上，可判定为平行四边形的条件有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、特殊四边形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要学生熟练掌握平行四边形的判定规则，注意不要将对角线相等作为平行四边形的判定条件，解题时可以通过举反例的方式排除错误条件，提高正确率。
【难度系数】
0.75

2.在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别是$a,b,c$，下列条件不能判断$△ ABC$是直角三角形的是（）

A.三个角的比为$1:2:3$
B.三条边满足关系$a^2 = b^2 - c^2$
C.三条边的比为$1:2:3$
D.三个角满足关系$∠ B + ∠ C = ∠ A$

2.C

【分析】
这道题考查直角三角形的判定，我们可以结合直角三角形的角的性质、勾股定理逆定理两个核心判定方法，逐个分析选项：首先回忆判定规则，从角的角度，只要能推出有一个内角为90°即可判定为直角三角形；从边的角度，满足两边平方和等于第三边平方即可判定，同时要先验证三边是否符合三角形基本构成条件，最终找出不能判定的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：三个角的比为1:2:3，三角形内角和为180°，设三个角分别为$x,2x,3x$，则$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，最大角为$3x=90°$，可判定是直角三角形，不符合题意；
B选项：三边关系为$a^2=b^2-c^2$，移项得$a^2+c^2=b^2$，符合勾股定理逆定理，说明$b$为斜边，对应角$∠ B$是直角，可判定是直角三角形，不符合题意；
C选项：三边比为1:2:3，设三边长分别为$x,2x,3x(x＞0)$，首先根据三角形三边关系，$x+2x=3x$，两边之和等于第三边，无法构成三角形，更不可能是直角三角形，符合题意；
D选项：角的关系为$∠ B+∠ C=∠ A$，结合内角和$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$2∠ A=180°$，解得$∠ A=90°$，可判定是直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础考查题，结合了角、边两类判定规则，解题时要注意先验证三边是否满足三角形的基本构成条件，避免遗漏细节出错。
【难度系数】
0.8

3.若点$A(-5,y_1),B(-2,y_2)$都在直线$y=\frac{1}{2}x-3$上，则$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$.（填“＞”或“＜”）

3.＜

【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常见解题思路：第一种是代入求值法，将两点的横坐标分别代入直线解析式，算出$y_1$、$y_2$的具体数值后直接比较；第二种是利用一次函数的增减性判断，先根据解析式中$k$的正负确定$y$随$x$的变化规律，再比较两点横坐标的大小，即可推出对应函数值的大小关系。
【解析】
方法一：代入计算法
将$x=-5$代入$y=\frac{1}{2}x-3$，得：
$y_1=\frac{1}{2}×(-5)-3=-2.5-3=-5.5$
将$x=-2$代入$y=\frac{1}{2}x-3$，得：
$y_2=\frac{1}{2}×(-2)-3=-1-3=-4$
因为$-5.5＜-4$，所以$y_1＜y_2$。
方法二：一次函数增减性法
在直线$y=\frac{1}{2}x-3$中，$k=\frac{1}{2}＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大。
已知两点横坐标$-5＜-2$，所以对应函数值$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
一次函数的增减性；函数值计算
【点评】
本题为基础题型，两种解题方法都适用，熟练运用一次函数的增减性可以不用计算直接判断大小，大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.9

4.将2,8,10,4,12按大小顺序分成两组,组内离差平方和最小是.

4.10

【分析】
首先将给定的5个数按从小到大排序，明确“按大小顺序分成两组”指的是分组为连续的序列，不能打乱排序，因此仅存在4种分组情况（前1后4、前2后3、前3后2、前4后1，其中前3后2和前2后3、前4后1和前1后4的计算结果对称）。接下来分别计算每种分组下两组的离差平方和之和，对比得到最小值即可。离差平方和的计算方法为：组内每个数减去组内平均数的差的平方相加，两组的离差平方和相加就是总离差平方和。
【解析】
第一步：将5个数按从小到大排序：2，4，8，10，12。
第二步：分别计算不同分组的总离差平方和：
① 分组为$\{2\}$和$\{4,8,10,12\}$：
第一组仅1个数，离差平方和为0；
第二组平均数：$(4+8+10+12)÷4=8.5$，
离差平方和$=(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=20.25+0.25+2.25+12.25=35$，
总离差平方和$=0+35=35$。
② 分组为$\{2,4\}$和$\{8,10,12\}$：
第一组平均数：$(2+4)÷2=3$，
离差平方和$=(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$；
第二组平均数：$(8+10+12)÷3=10$，
离差平方和$=(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8$；
总离差平方和$=2+8=10$。
③ 分组为$\{2,4,8\}$和$\{10,12\}$：
第一组平均数：$(2+4+8)÷3=\frac{14}{3}$，
离差平方和$=(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{56}{3}\approx18.67$；
第二组平均数：$(10+12)÷2=11$，
离差平方和$=(10-11)^2+(12-11)^2=2$；
总离差平方和$\approx18.67+2=20.67$。
④ 分组为$\{2,4,8,10\}$和$\{12\}$，总离差平方和与①相等，为35。
第三步：对比所有总离差平方和，最小值为10。
【答案】
10
【知识点】
平均数计算，离差平方和，统计分组
【点评】
本题解题关键是正确理解“按大小顺序分组”的要求，避免无效的分组计算，再熟练运用平均数和离差平方和的计算方法对比结果即可。
【难度系数】
0.6

5.如图1,在平行四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC边上的一点.若再增加一个条件:,就可得BE=DF.

5. $AE=CF$(答案不唯一)

【分析】
首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形对边相等、对角相等。要得到BE=DF，可通过两种思路推导：一是证明△ABE和△CDF全等，利用全等三角形对应边相等得到结论；二是证明四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形对边相等得到结论。若选择全等的思路，已知AB=CD、∠A=∠C，只需再添加一组对应边相等（如AE=CF），即可用SAS判定全等，进而推出BE=DF，也可添加其他满足逻辑的条件。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，∠A=∠C
若添加条件$AE=CF$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}AB=CD \\∠A=∠C \\AE=CF\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ CDF$（SAS）
∴$BE=DF$
（注：也可添加$DE=BF$、$BE// DF$等条件，均可推出$BE=DF$）
【答案】
$AE=CF$(答案不唯一)
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是开放性试题，可从结论倒推所需满足的条件，解题思路灵活，熟练掌握平行四边形、全等三角形的相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8

6.如图2①是一张直角三角形纸片,已知∠A=30°,BC=4 cm,将其折叠,使点C落在斜边上的点C'处,折痕为BD,如图2②；再将AD沿DE折叠,使点A落在DC'的延长线上的点A'处,如图2③.折痕DE的长为.

6.$\frac{8}{3}$ cm

【分析】
解题时先利用直角三角形30°角的性质求出原三角形的边长和角度，再结合两次折叠前后对应角相等、对应边相等的性质，逐步推导所求折痕DE所在直角三角形的边角关系，最终求出DE的长度：第一步先根据Rt△ABC的已知条件求AB长和∠ABC的度数；第二步通过第一次折叠的性质得出角平分线和相等的边、角，求出DC'的长度和∠ADC'的度数；第三步通过第二次折叠的性质得出∠C'DE的度数，最后在Rt△DC'E中计算DE的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=4\ \mathrm{cm}$
∴$∠ ABC=90°-∠ A=60°$，$AB=2BC=8\ \mathrm{cm}$（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）
由第一次折叠的性质可得$△ BCD≌△ BC'D$，因此：
$BC=BC'=4\ \mathrm{cm}$，$∠ CBD=∠ C'BD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，$∠ C=∠ BC'D=90°$，$CD=C'D$
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD=30°$，由$\tan30°=\frac{CD}{BC}$得：
$CD=BC·\tan30°=4×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$，即$C'D=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$
∵$∠ AC'D=180°-∠ BC'D=90°$，在$Rt△ AC'D$中，$∠ A=30°$
∴$∠ ADC'=90°-∠ A=60°$
由第二次折叠的性质可得$△ ADE≌△ A'DE$，因此：
$∠ ADE=∠ A'DE=\frac{1}{2}∠ ADC'=30°$
在$Rt△ DC'E$中，$∠ DC'E=90°$，$∠ C'DE=30°$，由$\cos30°=\frac{C'D}{DE}$得：
$DE=\frac{C'D}{\cos30°}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\frac{8}{3}$ cm
【知识点】
折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何折叠类计算题，解题核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的特点，结合特殊直角三角形的边角关系逐步推导，需要学生熟练掌握折叠变换的性质和特殊直角三角形的相关结论。
【难度系数】
0.6

7.计算：
(1)$\frac{2}{\sqrt{2}-1} + \sqrt{18} -4\sqrt{\frac{1}{2}}$；
(2)$\frac{2}{\sqrt{3}-1} + \sqrt{27} - (\sqrt{3}-1)^0$。

7.(1)$2+3\sqrt{2}$ (2)$4\sqrt{3}$

【分析】
这两道题均为二次根式的混合运算，解题思路如下：第一步先对分母含二次根式的分式进行分母有理化，消除分母中的根号；第二步将所有二次根式化简为最简二次根式；第二小题还需根据零指数幂的运算规则计算零次幂项；最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
(1) 先对各项分别化简：
① 分母有理化：$\frac{2}{\sqrt{2}-1}=\frac{2(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2(\sqrt{2}+1)}{2-1}=2\sqrt{2}+2$
② 化简二次根式：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$4\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$
代入原式合并计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2}+2 + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\\&=2 + (2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2})\\&=2+3\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先对各项分别化简：
① 分母有理化：$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\sqrt{3}+1$
② 化简二次根式：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
③ 零指数幂运算：$\sqrt{3}-1≠0$，故$(\sqrt{3}-1)^0=1$
代入原式合并计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3}+1 + 3\sqrt{3} -1\\&=(\sqrt{3}+3\sqrt{3})+(1-1)\\&=4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)$2+3\sqrt{2}$；(2)$4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简，分母有理化，零指数幂运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，核心考查分母有理化的操作方法、最简二次根式的化简规则以及零指数幂的性质，计算时需注意同类二次根式的合并规则，熟练掌握这类运算是后续解决根式相关综合题的基础。
【难度系数】
0.7

8.已知直线$y=3x+m$与$x$轴交点的坐标为$(6,0)$，则关于$x$的不等式$3x+m≤0$的解集是（）

A.$x≤6$
B.$x＜6$
C.$x≥6$
D.$x＞6$

8.A

【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式的联系，解题思路如下：首先明确不等式$3x+m≤0$对应的是一次函数$y=3x+m$的函数值小于等于0的情况；其次根据已知的直线与x轴交点坐标，可得到方程$3x+m=0$的解；再结合一次函数的增减性，就能确定函数值≤0时对应的x的取值范围，也就是不等式的解集。也可以先代入交点坐标求出m的值，再直接解不等式得到结果。
【解析】
方法一（函数性质法）：
1. 已知直线$y=3x+m$与x轴交点为$(6,0)$，即当$x=6$时，$y=0$，因此方程$3x+m=0$的解为$x=6$。
2. 一次函数$y=3x+m$中，$k=3＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大。
3. 不等式$3x+m≤0$即函数值$y≤0$，结合函数增减性可知，当$x≤6$时，函数值满足$y≤0$，因此不等式的解集为$x≤6$。
方法二（直接计算法）：
1. 把交点$(6,0)$代入$y=3x+m$，得$0=3×6+m$，解得$m=-18$。
2. 将$m=-18$代入不等式$3x+m≤0$，得$3x-18≤0$，移项解得$x≤6$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与不等式的关系，一次函数的性质，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是一次函数与一元一次不等式结合的基础题型，既可以通过函数性质直接判断解集，也可以通过代入计算求解，两种方法都需要熟练掌握，解题核心是理解一次函数与对应一元一次方程、不等式的内在联系。
【难度系数】
0.8

9.“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”.自开展“阳光体育运动”以来，学校师生的锻炼
意识都增强了.某校有学生8200名，为了了解学生每天的锻炼时间，学校体育组随机调查了部分学生，统计结果如下表：

表格中，$m=$；这组数据的众数是；该校每天锻炼时间达到1小时及以上的学生约有人.

9. 30 29分钟及以下 820

【分析】
解题思路如下：首先需要先求出本次随机调查的总人数，利用已知频数和对应百分比的关系（总人数=频数÷对应百分比）即可算出；接着用总人数乘40~49分钟对应的百分比就能得到m的值；众数是一组数据中出现次数最多的数值，对应频数分布表即占比最高的组别；最后计算全校锻炼1小时及以上的人数，利用用样本估计总体的思想，用全校总人数乘样本中该组的百分比即可得到结果。
【解析】
1. 计算调查总人数：
已知“29分钟及以下”的频数为108，对应百分比为54%，因此调查总人数为：$108÷54\%=200$（人）
2. 求m的值：
“40~49分钟”对应的百分比为15%，因此$m=200×15\%=30$
3. 确定众数：
观察表格各组百分比，“29分钟及以下”占比54%为最高，说明该组出现次数最多，因此众数是29分钟及以下。
4. 估算全校锻炼1小时及以上的人数：
样本中“1小时及以上”的占比为10%，全校共8200名学生，因此对应人数为：$8200×10\%=820$（人）
【答案】
30；29分钟及以下；820
【知识点】
频数分布表；众数；用样本估计总体
【点评】
本题是统计类基础题，考查频数、百分比、总人数之间的数量关系，众数的概念以及用样本特征估计总体特征的统计方法，整体计算量小，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8