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9.已知$\sqrt{\dfrac{9-x}{x-6}}=\dfrac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{x-6}}$，且$x$为偶数，则$(1+x)\sqrt{\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-1}}=$
$3\sqrt{7}$
.答案
9.$3\sqrt{7}$
解析
【分析】
首先根据二次根式的除法法则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件（$a≥0$，$b＞0$）列出不等式组，求出$x$的取值范围，再结合$x$为偶数确定$x$的具体值；然后对所求代数式利用因式分解和二次根式的性质进行化简，最后将$x$代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
第一步：求$x$的取值范围
已知$\sqrt{\dfrac{9-x}{x-6}}=\dfrac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{x-6}}$，根据二次根式除法法则的成立条件，可得：
$\begin{cases}9-x≥0 \\x-6＞0\end{cases}$
解不等式$9-x≥0$，得$x≤9$；
解不等式$x-6＞0$，得$x＞6$；
所以$x$的取值范围是$6＜x≤9$。
又因为$x$为偶数，所以$x=8$。
第二步：化简并计算所求代数式
先化简$(1+x)\sqrt{\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-1}}$：
对被开方数的分子分母因式分解：
$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，
因为$x=8＞1$，所以$x-1＞0$，$x+1＞0$，因此：
$\sqrt{\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}}=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}$
代入原式得：
$(1+x)\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}=(x+1)·\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}·\sqrt{x-1}=\sqrt{(x+1)(x-1)}$
将$x=8$代入化简后的式子：
$\sqrt{(8+1)×(8-1)}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$
【答案】
$3\sqrt{7}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的化简
3. 代数式求值
【点评】
本题属于二次根式的综合应用题目，解题核心是先根据二次根式的运算规则确定未知数的取值，再代入化简计算，注意化简二次根式时要结合未知数的范围判断被开方数的正负，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
首先根据二次根式的除法法则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件（$a≥0$，$b＞0$）列出不等式组，求出$x$的取值范围，再结合$x$为偶数确定$x$的具体值；然后对所求代数式利用因式分解和二次根式的性质进行化简，最后将$x$代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
第一步：求$x$的取值范围
已知$\sqrt{\dfrac{9-x}{x-6}}=\dfrac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{x-6}}$，根据二次根式除法法则的成立条件，可得：
$\begin{cases}9-x≥0 \\x-6＞0\end{cases}$
解不等式$9-x≥0$，得$x≤9$；
解不等式$x-6＞0$，得$x＞6$；
所以$x$的取值范围是$6＜x≤9$。
又因为$x$为偶数，所以$x=8$。
第二步：化简并计算所求代数式
先化简$(1+x)\sqrt{\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-1}}$：
对被开方数的分子分母因式分解：
$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，
因为$x=8＞1$，所以$x-1＞0$，$x+1＞0$，因此：
$\sqrt{\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}}=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}$
代入原式得：
$(1+x)\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}=(x+1)·\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}·\sqrt{x-1}=\sqrt{(x+1)(x-1)}$
将$x=8$代入化简后的式子：
$\sqrt{(8+1)×(8-1)}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$
【答案】
$3\sqrt{7}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的化简
3. 代数式求值
【点评】
本题属于二次根式的综合应用题目，解题核心是先根据二次根式的运算规则确定未知数的取值，再代入化简计算，注意化简二次根式时要结合未知数的范围判断被开方数的正负，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
10.若一个三角形的三边长分别是$m+1,m+2,m+3$,则当$m=$
2
时,它是直角三角形.答案
10.2
解析
【分析】
要使该三角形为直角三角形，需运用勾股定理的逆定理求解。首先根据三边长的大小关系确定最长边为斜边，再根据“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列方程，最后求解方程并验证解是否符合三角形边长为正的要求即可。
【解析】
首先判断三边长的大小：$m+3＞m+2＞m+1$，因此边长为$m+3$的边是直角三角形的斜边，另外两条为直角边。
根据勾股定理的逆定理可得：
$(m+1)^2 + (m+2)^2 = (m+3)^2$
展开等式左右两边：
左边：$m^2 + 2m + 1 + m^2 + 4m + 4 = 2m^2 + 6m + 5$
右边：$m^2 + 6m + 9$
移项整理得：
$2m^2 + 6m + 5 - m^2 - 6m - 9 = 0$
即$m^2 - 4 = 0$
解得$m=2$或$m=-2$
由于三角形边长必须为正数，当$m=-2$时，$m+1=-1＜0$，不符合实际，舍去。
因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理逆定理，解一元二次方程，三角形边长性质
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题关键是先确定最长边为斜边，避免列错等式，求出方程的解后要注意检验是否符合边长为正的隐含条件，防止出现增根。
【难度系数】
0.7
要使该三角形为直角三角形，需运用勾股定理的逆定理求解。首先根据三边长的大小关系确定最长边为斜边，再根据“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列方程，最后求解方程并验证解是否符合三角形边长为正的要求即可。
【解析】
首先判断三边长的大小：$m+3＞m+2＞m+1$，因此边长为$m+3$的边是直角三角形的斜边，另外两条为直角边。
根据勾股定理的逆定理可得：
$(m+1)^2 + (m+2)^2 = (m+3)^2$
展开等式左右两边：
左边：$m^2 + 2m + 1 + m^2 + 4m + 4 = 2m^2 + 6m + 5$
右边：$m^2 + 6m + 9$
移项整理得：
$2m^2 + 6m + 5 - m^2 - 6m - 9 = 0$
即$m^2 - 4 = 0$
解得$m=2$或$m=-2$
由于三角形边长必须为正数，当$m=-2$时，$m+1=-1＜0$，不符合实际，舍去。
因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理逆定理，解一元二次方程，三角形边长性质
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题关键是先确定最长边为斜边，避免列错等式，求出方程的解后要注意检验是否符合边长为正的隐含条件，防止出现增根。
【难度系数】
0.7
11.某公司需招聘一名员工,对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核.甲、乙、丙各项得分(单位:分)如下表:
(1)根据三项得分的平均分,从高到低确定三名应聘者的排名顺序.
(2)该公司规定:笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分,并按60%,30%,10%的比例计入总分.根据规定,请你说明谁将被录用.
(1)根据三项得分的平均分,从高到低确定三名应聘者的排名顺序.
(2)该公司规定:笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分,并按60%,30%,10%的比例计入总分.根据规定,请你说明谁将被录用.
答案
11.(1)甲、丙、乙
(2)乙将被录用.
(2)乙将被录用.
解析
【分析】
(1) 要根据平均分确定排名，需先计算三人的算术平均分，算术平均分等于三项得分总和除以3，算出结果后比较大小即可得到排名顺序。
(2) 首先按照公司的最低得分要求排查应聘者，淘汰不符合要求的人员；再对符合条件的人员，按照笔试60%、面试30%、体能10%的权重计算加权总分，总分最高的人员将被录用。
【解析】
(1) 分别计算三人的平均分：
甲的平均分：$\overline{x}_甲=\frac{83+79+90}{3}=84$（分）
乙的平均分：$\overline{x}_乙=\frac{85+80+75}{3}=80$（分）
丙的平均分：$\overline{x}_丙=\frac{80+90+73}{3}=81$（分）
比较大小得$84＞81＞80$，因此排名顺序为甲、丙、乙。
(2) 先按招聘要求筛选：
甲的面试得分为79分，低于要求的80分，不符合招聘条件，直接淘汰；
乙、丙的各项得分均满足最低分要求，计算两人加权总分：
乙的总分：$85×60\% + 80×30\% +75×10\% =51+24+7.5=82.5$（分）
丙的总分：$80×60\% +90×30\% +73×10\% =48+27+7.3=82.3$（分）
因为$82.5＞82.3$，乙的总分更高，因此乙将被录用。
【答案】
(1) 排名顺序为甲、丙、乙；
(2) 乙将被录用。
【知识点】
算术平均数，加权平均数，统计应用
【点评】
本题结合实际招聘场景考查平均数的相关计算，解题时要注意第二问需先筛选出符合条件的应聘者，再计算加权总分，避免忽略限定条件直接计算导致出错。
【难度系数】
0.8
(1) 要根据平均分确定排名，需先计算三人的算术平均分，算术平均分等于三项得分总和除以3，算出结果后比较大小即可得到排名顺序。
(2) 首先按照公司的最低得分要求排查应聘者，淘汰不符合要求的人员；再对符合条件的人员，按照笔试60%、面试30%、体能10%的权重计算加权总分，总分最高的人员将被录用。
【解析】
(1) 分别计算三人的平均分：
甲的平均分：$\overline{x}_甲=\frac{83+79+90}{3}=84$（分）
乙的平均分：$\overline{x}_乙=\frac{85+80+75}{3}=80$（分）
丙的平均分：$\overline{x}_丙=\frac{80+90+73}{3}=81$（分）
比较大小得$84＞81＞80$，因此排名顺序为甲、丙、乙。
(2) 先按招聘要求筛选：
甲的面试得分为79分，低于要求的80分，不符合招聘条件，直接淘汰；
乙、丙的各项得分均满足最低分要求，计算两人加权总分：
乙的总分：$85×60\% + 80×30\% +75×10\% =51+24+7.5=82.5$（分）
丙的总分：$80×60\% +90×30\% +73×10\% =48+27+7.3=82.3$（分）
因为$82.5＞82.3$，乙的总分更高，因此乙将被录用。
【答案】
(1) 排名顺序为甲、丙、乙；
(2) 乙将被录用。
【知识点】
算术平均数，加权平均数，统计应用
【点评】
本题结合实际招聘场景考查平均数的相关计算，解题时要注意第二问需先筛选出符合条件的应聘者，再计算加权总分，避免忽略限定条件直接计算导致出错。
【难度系数】
0.8
12. 如图4①,在$△ ABC$中,若$3∠ A+∠ B=180°$,$BC=8$,$AC=10$,求$AB$的长.
小明的思路:如图4②,作$BE⊥ AC$于点$E$,在$AC$的延长线上取点$D$,使得$DE=AE$,连接$BD$,易得$∠ A=∠ D$,$△ ABD$为等腰三角形,由$3∠ A+∠ B=180°$和$∠ A+∠ ABC+∠ BCA=180°$,易得$∠ BCA=2∠ A$,则$△ BCD$为等腰三角形,依据已知条件可得$AE$和$AB$的长.
结合小明的分析过程解决下列问题:
(1)图4②中,$AE=$
(2)在$△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别为$a,b,c$.如图4③,当$3∠ A+2∠ B=180°$时,用含$a,c$的代数式表示$b$.
小明的思路:如图4②,作$BE⊥ AC$于点$E$,在$AC$的延长线上取点$D$,使得$DE=AE$,连接$BD$,易得$∠ A=∠ D$,$△ ABD$为等腰三角形,由$3∠ A+∠ B=180°$和$∠ A+∠ ABC+∠ BCA=180°$,易得$∠ BCA=2∠ A$,则$△ BCD$为等腰三角形,依据已知条件可得$AE$和$AB$的长.
结合小明的分析过程解决下列问题:
(1)图4②中,$AE=$
9
,$AB=$12
;(2)在$△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别为$a,b,c$.如图4③,当$3∠ A+2∠ B=180°$时,用含$a,c$的代数式表示$b$.
答案
12.(1)9 12
(2)$b=\dfrac{c^2-a^2}{c}$
(2)$b=\dfrac{c^2-a^2}{c}$
解析
【分析】
(1) 先根据垂直平分线的性质得到AB=BD、∠A=∠D，结合已知角的关系和三角形内角和定理推导∠BCA=2∠A，再利用三角形外角性质得到△BCD为等腰三角形，求出AD长度后得到AE的长，最后用勾股定理计算AB的长度。
(2) 类比(1)的方法，构造辅助线得到等腰△ABD，结合已知角的关系推导△BCD为等腰三角形，再利用公共直角边BE的平方相等建立等式，化简后得到b与a、c的关系。
【解析】
(1)
∵BE⊥AC，DE=AE，
∴BE是AD的垂直平分线，
∴AB=BD，∠A=∠D。
已知$3∠ A+∠ B=180°$，结合△ABC内角和$∠A+∠ABC+∠ACB=180°$，两式相减得$∠ACB=2∠A$。
∵∠ACB是△BCD的外角，
∴$∠ACB=∠D+∠CBD$，又$∠D=∠A$，代入得$2∠A=∠A+∠CBD$，即$∠CBD=∠A=∠D$，
∴$CD=BC=8$。
∴$AD=AC+CD=10+8=18$，
∵E是AD中点，
∴$AE=\frac{AD}{2}=9$，$CE=AC-AE=10-9=1$。
在Rt△BCE中，$BE^2=BC^2-CE^2=8^2-1^2=63$；在Rt△ABE中，$AB^2=BE^2+AE^2=63+9^2=144$，
∴$AB=12$。
(2) 作BE⊥AC，交AC的延长线于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD。
∴BE是AD的垂直平分线，
∴$BD=AB=c$，$∠A=∠D$。
已知$3∠ A+2∠ B=180°$，结合△ABC内角和$∠A+∠ABC+∠ACB=180°$，得$∠ABC=180°-∠A-∠ACB$，代入条件化简得$2∠ACB=∠A+180°$，即$∠ACB=90°+\frac{∠A}{2}$。
∴$∠BCD=180°-∠ACB=90°-\frac{∠A}{2}$，在△BCD中，$∠CBD=180°-∠D-∠BCD=90°-\frac{∠A}{2}$，
∴$∠CBD=∠BCD$，
∴$CD=BD=c$。
∴$AD=AC+CD=b+c$，E为AD中点，
∴$AE=\frac{b+c}{2}$，$CE=AE-AC=\frac{c-b}{2}$。
在Rt△BCE和Rt△ABE中，$BE^2=BC^2-CE^2=AB^2-AE^2$，代入得：
$a^2 - (\frac{c-b}{2})^2 = c^2 - (\frac{b+c}{2})^2$
展开整理得$bc=c^2-a^2$，即$b=\frac{c^2-a^2}{c}$。
【答案】
(1) $\boxed{9}$，$\boxed{12}$；(2) $\boxed{b=\dfrac{c^2-a^2}{c}}$
【知识点】
等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形内角和与外角性质
【点评】
本题考查几何类比探究，通过构造垂直平分线得到等腰三角形，结合角的等量关系转化边的关系，再利用勾股定理建立等式求解，侧重考查逻辑推导能力和知识迁移能力，解题关键是理清角的等量关系，正确构造辅助线。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据垂直平分线的性质得到AB=BD、∠A=∠D，结合已知角的关系和三角形内角和定理推导∠BCA=2∠A，再利用三角形外角性质得到△BCD为等腰三角形，求出AD长度后得到AE的长，最后用勾股定理计算AB的长度。
(2) 类比(1)的方法，构造辅助线得到等腰△ABD，结合已知角的关系推导△BCD为等腰三角形，再利用公共直角边BE的平方相等建立等式，化简后得到b与a、c的关系。
【解析】
(1)
∵BE⊥AC，DE=AE，
∴BE是AD的垂直平分线，
∴AB=BD，∠A=∠D。
已知$3∠ A+∠ B=180°$，结合△ABC内角和$∠A+∠ABC+∠ACB=180°$，两式相减得$∠ACB=2∠A$。
∵∠ACB是△BCD的外角，
∴$∠ACB=∠D+∠CBD$，又$∠D=∠A$，代入得$2∠A=∠A+∠CBD$，即$∠CBD=∠A=∠D$，
∴$CD=BC=8$。
∴$AD=AC+CD=10+8=18$，
∵E是AD中点，
∴$AE=\frac{AD}{2}=9$，$CE=AC-AE=10-9=1$。
在Rt△BCE中，$BE^2=BC^2-CE^2=8^2-1^2=63$；在Rt△ABE中，$AB^2=BE^2+AE^2=63+9^2=144$，
∴$AB=12$。
(2) 作BE⊥AC，交AC的延长线于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD。
∴BE是AD的垂直平分线，
∴$BD=AB=c$，$∠A=∠D$。
已知$3∠ A+2∠ B=180°$，结合△ABC内角和$∠A+∠ABC+∠ACB=180°$，得$∠ABC=180°-∠A-∠ACB$，代入条件化简得$2∠ACB=∠A+180°$，即$∠ACB=90°+\frac{∠A}{2}$。
∴$∠BCD=180°-∠ACB=90°-\frac{∠A}{2}$，在△BCD中，$∠CBD=180°-∠D-∠BCD=90°-\frac{∠A}{2}$，
∴$∠CBD=∠BCD$，
∴$CD=BD=c$。
∴$AD=AC+CD=b+c$，E为AD中点，
∴$AE=\frac{b+c}{2}$，$CE=AE-AC=\frac{c-b}{2}$。
在Rt△BCE和Rt△ABE中，$BE^2=BC^2-CE^2=AB^2-AE^2$，代入得：
$a^2 - (\frac{c-b}{2})^2 = c^2 - (\frac{b+c}{2})^2$
展开整理得$bc=c^2-a^2$，即$b=\frac{c^2-a^2}{c}$。
【答案】
(1) $\boxed{9}$，$\boxed{12}$；(2) $\boxed{b=\dfrac{c^2-a^2}{c}}$
【知识点】
等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形内角和与外角性质
【点评】
本题考查几何类比探究，通过构造垂直平分线得到等腰三角形，结合角的等量关系转化边的关系，再利用勾股定理建立等式求解，侧重考查逻辑推导能力和知识迁移能力，解题关键是理清角的等量关系，正确构造辅助线。
【难度系数】
0.6
