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10.已知函数$y=(b+2)x^{b^2 -3}$，且$y$是$x$的正比例函数，$5a+4$的立方根是$4$，$c$是$\sqrt{11}$的整数部分.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)求$2a-b+c$的平方根.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)求$2a-b+c$的平方根.
答案
10.(1)$a=12\ \ b=2\ \ c=3$ (2)$\pm5$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：1. 求a、b、c的值时，分别对应三个已知条件：①根据正比例函数的定义，需满足自变量x的次数为1，且一次项系数不为0，即可求出b的值；②根据立方根的定义，若一个数的立方根是4，则这个数等于4的立方，列方程即可求出a的值；③估算$\sqrt{11}$的取值范围，即可得到它的整数部分c。2. 求$2a-b+c$的平方根时，先将a、b、c的值代入式子计算出结果，再根据平方根的定义求解即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1) 求a、b、c的值：
① 求b：
∵ 函数$y=(b+2)x^{b^2 -3}$是x的正比例函数
∴ 满足$\begin{cases}b^2 - 3 = 1 \\ b + 2 ≠ 0\end{cases}$
解$b^2-3=1$得$b^2=4$，即$b=\pm2$
又
∵ $b+2≠0$，即$b≠-2$
∴ $b=2$
② 求a：
∵ $5a+4$的立方根是4
∴ $5a+4 = 4^3 = 64$
移项得$5a=64-4=60$，解得$a=12$
③ 求c：
∵ $9＜11＜16$，两边开平方得$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$
∴ $\sqrt{11}$的整数部分$c=3$
(2) 求$2a-b+c$的平方根：
将$a=12$，$b=2$，$c=3$代入式子得：
$2a-b+c=2×12 - 2 + 3 = 24 - 2 + 3 = 25$
∵ $(\pm5)^2=25$
∴ 25的平方根是$\pm5$，即$2a-b+c$的平方根为$\pm5$
【答案】
(1)$a=12，b=2，c=3$；(2)$\pm5$
【知识点】
正比例函数的定义，立方根与平方根的概念，无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，考察多个基础知识点的结合应用，解题时要注意正比例函数系数不为0的隐含条件，计算平方根时不要漏掉负的结果，避免因考虑不全面失分。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：1. 求a、b、c的值时，分别对应三个已知条件：①根据正比例函数的定义，需满足自变量x的次数为1，且一次项系数不为0，即可求出b的值；②根据立方根的定义，若一个数的立方根是4，则这个数等于4的立方，列方程即可求出a的值；③估算$\sqrt{11}$的取值范围，即可得到它的整数部分c。2. 求$2a-b+c$的平方根时，先将a、b、c的值代入式子计算出结果，再根据平方根的定义求解即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1) 求a、b、c的值：
① 求b：
∵ 函数$y=(b+2)x^{b^2 -3}$是x的正比例函数
∴ 满足$\begin{cases}b^2 - 3 = 1 \\ b + 2 ≠ 0\end{cases}$
解$b^2-3=1$得$b^2=4$，即$b=\pm2$
又
∵ $b+2≠0$，即$b≠-2$
∴ $b=2$
② 求a：
∵ $5a+4$的立方根是4
∴ $5a+4 = 4^3 = 64$
移项得$5a=64-4=60$，解得$a=12$
③ 求c：
∵ $9＜11＜16$，两边开平方得$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$
∴ $\sqrt{11}$的整数部分$c=3$
(2) 求$2a-b+c$的平方根：
将$a=12$，$b=2$，$c=3$代入式子得：
$2a-b+c=2×12 - 2 + 3 = 24 - 2 + 3 = 25$
∵ $(\pm5)^2=25$
∴ 25的平方根是$\pm5$，即$2a-b+c$的平方根为$\pm5$
【答案】
(1)$a=12，b=2，c=3$；(2)$\pm5$
【知识点】
正比例函数的定义，立方根与平方根的概念，无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，考察多个基础知识点的结合应用，解题时要注意正比例函数系数不为0的隐含条件，计算平方根时不要漏掉负的结果，避免因考虑不全面失分。
【难度系数】
0.7
11. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售。通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元，乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元。
(1)求甲、乙两种水果每千克的进价。
(2)已知甲、乙两种水果每千克的售价分别为6元和9元，若水果店计划购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的质量不低于乙种水果的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
(1)求甲、乙两种水果每千克的进价。
(2)已知甲、乙两种水果每千克的售价分别为6元和9元，若水果店计划购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的质量不低于乙种水果的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
答案
11.(1)甲、乙两种水果每千克的进价分别为4元、6元.
(2)水果店应购进甲种水果200千克、乙种水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元.
(2)水果店应购进甲种水果200千克、乙种水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元.
解析
【分析】
(1) 第一问可通过列二元一次方程组求解，首先提取题目中的两个等量关系：①5千克甲种水果的进价+3千克乙种水果的进价=38元；②乙种水果每千克进价比甲种水果多2元。设甲、乙两种水果的进价分别为未知数，代入等量关系列方程组求解即可。
(2) 第二问是利润最值问题，先设购进甲种水果的质量为未知数，可表示出乙种水果的质量，再根据“甲种水果的质量不低于乙种水果的2倍”列不等式求出未知数的取值范围。随后根据“总利润=甲的总利润+乙的总利润”写出总利润关于未知数的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在取值范围内找到使总利润最大的未知数取值，即可得到最优进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 设甲种水果每千克的进价为$x$元，乙种水果每千克的进价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 3y = 38 \\ y - x = 2 \end{cases}$
将$y=x+2$代入$5x+3y=38$得：
$5x + 3(x+2) = 38$
展开计算得$8x + 6 = 38$，解得$x=4$，则$y=4+2=6$。
(2) 设购进甲种水果$x$千克，则购进乙种水果$(300-x)$千克，总利润为$W$元。
根据“甲种水果的质量不低于乙种水果的2倍”列不等式：
$x ≥ 2(300-x)$
解得$x ≥ 200$，结合实际意义得$200 ≤ x ≤ 300$。
甲每千克利润为$6-4=2$元，乙每千克利润为$9-6=3$元，因此总利润：
$W = 2x + 3(300-x) = -x + 900$
由于一次函数$W=-x+900$中$k=-1＜0$，$W$随$x$的增大而减小，因此当$x$取最小值200时，$W$最大。
此时$W_{\mathrm{最大}}=-200 + 900 = 700$元，乙种水果质量为$300-200=100$千克。
【答案】
(1)甲、乙两种水果每千克的进价分别为4元、6元。
(2)水果店应购进甲种水果200千克、乙种水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用
【点评】
本题属于生活实际类综合题，考查了方程、不等式与函数的结合应用，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系，熟练掌握一次函数增减性判断最值的方法。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可通过列二元一次方程组求解，首先提取题目中的两个等量关系：①5千克甲种水果的进价+3千克乙种水果的进价=38元；②乙种水果每千克进价比甲种水果多2元。设甲、乙两种水果的进价分别为未知数，代入等量关系列方程组求解即可。
(2) 第二问是利润最值问题，先设购进甲种水果的质量为未知数，可表示出乙种水果的质量，再根据“甲种水果的质量不低于乙种水果的2倍”列不等式求出未知数的取值范围。随后根据“总利润=甲的总利润+乙的总利润”写出总利润关于未知数的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在取值范围内找到使总利润最大的未知数取值，即可得到最优进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 设甲种水果每千克的进价为$x$元，乙种水果每千克的进价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 3y = 38 \\ y - x = 2 \end{cases}$
将$y=x+2$代入$5x+3y=38$得：
$5x + 3(x+2) = 38$
展开计算得$8x + 6 = 38$，解得$x=4$，则$y=4+2=6$。
(2) 设购进甲种水果$x$千克，则购进乙种水果$(300-x)$千克，总利润为$W$元。
根据“甲种水果的质量不低于乙种水果的2倍”列不等式：
$x ≥ 2(300-x)$
解得$x ≥ 200$，结合实际意义得$200 ≤ x ≤ 300$。
甲每千克利润为$6-4=2$元，乙每千克利润为$9-6=3$元，因此总利润：
$W = 2x + 3(300-x) = -x + 900$
由于一次函数$W=-x+900$中$k=-1＜0$，$W$随$x$的增大而减小，因此当$x$取最小值200时，$W$最大。
此时$W_{\mathrm{最大}}=-200 + 900 = 700$元，乙种水果质量为$300-200=100$千克。
【答案】
(1)甲、乙两种水果每千克的进价分别为4元、6元。
(2)水果店应购进甲种水果200千克、乙种水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用
【点评】
本题属于生活实际类综合题，考查了方程、不等式与函数的结合应用，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系，熟练掌握一次函数增减性判断最值的方法。
【难度系数】
0.7
12. 如图3，以$△ ABC$的三边为边在$BC$的同一侧分别作三个等边三角形，即$△ ABD$，$△ BCE$，$△ ACF$，连接$DE$，$EF$.
(1) 请猜想四边形$ADEF$的形状，并说明理由.
(2) 当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$ADEF$为矩形？
(3) 当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$ADEF$不存在？
(1) 请猜想四边形$ADEF$的形状，并说明理由.
(2) 当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$ADEF$为矩形？
(3) 当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$ADEF$不存在？
答案
12.(1)四边形$ADEF$是平行四边形，理由略.
(2)$∠ BAC=150°$
(3)$∠ BAC=60°$
(2)$∠ BAC=150°$
(3)$∠ BAC=60°$
解析
【分析】
(1)要判断四边形ADEF的形状，可通过证明两组对边分别相等判定其为平行四边形。利用等边三角形边相等、角相等的性质，寻找全等三角形，推导DE与AF、AD与EF的相等关系即可。
(2)平行四边形是矩形的条件是有一个内角为直角，据此计算对应∠BAC的度数即可。
(3)四边形不存在的情况为顶点共线，即D、A、F三点共线，据此计算对应∠BAC的度数即可。
【解析】
(1) 四边形ADEF是平行四边形，理由如下：
∵△ABD、△BCE都是等边三角形，
∴$BD=AB$，$BE=BC$，$∠ DBA=∠ EBC=60°$，
∴$∠ DBA - ∠ EBA = ∠ EBC - ∠ EBA$，即$∠ DBE=∠ ABC$，
在$△ DBE$和$△ ABC$中：
$\begin{cases} BD=AB \\ ∠ DBE=∠ ABC \\ BE=BC \end{cases}$
∴$△ DBE ≌ △ ABC$（SAS），
∴$DE=AC$，
又
∵△ACF是等边三角形，
∴$AC=AF$，
∴$DE=AF$。
同理可证$△ ABC ≌ △ FEC$，得$EF=AB$，
又
∵△ABD是等边三角形，
∴$AB=AD$，
∴$EF=AD$。
∴四边形ADEF两组对边分别相等，故四边形ADEF是平行四边形。
(2) 若四边形ADEF为矩形，则内角$∠ DAF=90°$，
∵△ABD、△ACF是等边三角形，
∴$∠ DAB=∠ FAC=60°$，
∴$∠ BAC=360° - ∠ DAB - ∠ FAC - ∠ DAF=360°-60°-60°-90°=150°$，
即当$∠ BAC=150°$时，四边形ADEF为矩形。
(3) 当D、A、F三点共线时，四边形ADEF不存在，此时$∠ DAF=180°$，
∴$∠ BAC=360° - ∠ DAB - ∠ FAC - ∠ DAF=360°-60°-60°-180°=60°$，
即当$∠ BAC=60°$时，四边形ADEF不存在。
【答案】
(1) 四边形ADEF是平行四边形，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{∠ BAC=150°}$；
(3) $\boldsymbol{∠ BAC=60°}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊四边形的判定
【点评】
本题将等边三角形、全等三角形、特殊四边形的判定结合考查，解题关键是利用等边三角形的性质找到全等三角形推导边的关系，再结合特殊四边形的判定条件和角的运算求解，可有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1)要判断四边形ADEF的形状，可通过证明两组对边分别相等判定其为平行四边形。利用等边三角形边相等、角相等的性质，寻找全等三角形，推导DE与AF、AD与EF的相等关系即可。
(2)平行四边形是矩形的条件是有一个内角为直角，据此计算对应∠BAC的度数即可。
(3)四边形不存在的情况为顶点共线，即D、A、F三点共线，据此计算对应∠BAC的度数即可。
【解析】
(1) 四边形ADEF是平行四边形，理由如下：
∵△ABD、△BCE都是等边三角形，
∴$BD=AB$，$BE=BC$，$∠ DBA=∠ EBC=60°$，
∴$∠ DBA - ∠ EBA = ∠ EBC - ∠ EBA$，即$∠ DBE=∠ ABC$，
在$△ DBE$和$△ ABC$中：
$\begin{cases} BD=AB \\ ∠ DBE=∠ ABC \\ BE=BC \end{cases}$
∴$△ DBE ≌ △ ABC$（SAS），
∴$DE=AC$，
又
∵△ACF是等边三角形，
∴$AC=AF$，
∴$DE=AF$。
同理可证$△ ABC ≌ △ FEC$，得$EF=AB$，
又
∵△ABD是等边三角形，
∴$AB=AD$，
∴$EF=AD$。
∴四边形ADEF两组对边分别相等，故四边形ADEF是平行四边形。
(2) 若四边形ADEF为矩形，则内角$∠ DAF=90°$，
∵△ABD、△ACF是等边三角形，
∴$∠ DAB=∠ FAC=60°$，
∴$∠ BAC=360° - ∠ DAB - ∠ FAC - ∠ DAF=360°-60°-60°-90°=150°$，
即当$∠ BAC=150°$时，四边形ADEF为矩形。
(3) 当D、A、F三点共线时，四边形ADEF不存在，此时$∠ DAF=180°$，
∴$∠ BAC=360° - ∠ DAB - ∠ FAC - ∠ DAF=360°-60°-60°-180°=60°$，
即当$∠ BAC=60°$时，四边形ADEF不存在。
【答案】
(1) 四边形ADEF是平行四边形，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{∠ BAC=150°}$；
(3) $\boldsymbol{∠ BAC=60°}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊四边形的判定
【点评】
本题将等边三角形、全等三角形、特殊四边形的判定结合考查，解题关键是利用等边三角形的性质找到全等三角形推导边的关系，再结合特殊四边形的判定条件和角的运算求解，可有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
