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1. 函数$y=(x-2)^2$的图象与函数$y=x^2$的图象形状
相同
，只是对称轴
变化，把函数$y=x^2$的图象沿x
轴向右
平移2
个单位长度可得到函数$y=(x-2)^2$的图象。答案
1. 相同 对称轴 x 右 2
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图象的相关性质：1. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，即决定图象的形状，a相同的抛物线形状完全相同；2. 二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，其中针对自变量x的加减对应水平方向（x轴方向）的平移，针对常数项的加减对应竖直方向（y轴方向）的平移。首先对比两个函数的二次项系数，判断形状关系；再对比两个函数的对称轴差异，判断变化的内容；最后根据平移规则确定平移的方向和距离。
【解析】
1. 对比二次项系数：函数$y=(x-2)^2$和$y=x^2$的二次项系数均为1，因此二者图象形状相同；
2. 对比函数性质：$y=x^2$的对称轴为直线$x=0$（y轴），$y=(x-2)^2$的对称轴为直线$x=2$，因此二者只是对称轴发生了变化；
3. 根据平移规则“左加右减”：将$y=x^2$中的$x$替换为$x-2$，对应沿x轴向右平移2个单位长度，即可得到$y=(x-2)^2$的图象。
【答案】
相同 对称轴 x 右 2
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数图象的基础考查题，核心是掌握二次项系数对图象形状的决定作用，以及“左加右减、上加下减”的平移规则，区分水平平移和竖直平移的对应变换即可得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆二次函数图象的相关性质：1. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，即决定图象的形状，a相同的抛物线形状完全相同；2. 二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，其中针对自变量x的加减对应水平方向（x轴方向）的平移，针对常数项的加减对应竖直方向（y轴方向）的平移。首先对比两个函数的二次项系数，判断形状关系；再对比两个函数的对称轴差异，判断变化的内容；最后根据平移规则确定平移的方向和距离。
【解析】
1. 对比二次项系数：函数$y=(x-2)^2$和$y=x^2$的二次项系数均为1，因此二者图象形状相同；
2. 对比函数性质：$y=x^2$的对称轴为直线$x=0$（y轴），$y=(x-2)^2$的对称轴为直线$x=2$，因此二者只是对称轴发生了变化；
3. 根据平移规则“左加右减”：将$y=x^2$中的$x$替换为$x-2$，对应沿x轴向右平移2个单位长度，即可得到$y=(x-2)^2$的图象。
【答案】
相同 对称轴 x 右 2
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数图象的基础考查题，核心是掌握二次项系数对图象形状的决定作用，以及“左加右减、上加下减”的平移规则，区分水平平移和竖直平移的对应变换即可得分。
【难度系数】
0.85
2. 二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的图象是一条抛物线，它的对称轴是
直线$x=h$
，顶点坐标为$(h,0)$
。答案
2. 直线$x=h$ $(h,0)$
解析
【分析】
拿到这道题首先明确考查的是二次函数顶点式的基础性质，我们可以通过两种思路推导：一是直接套用顶点式的通用性质，二是通过代入计算推导：当x取h时，(x-h)=0，此时y取得最值0，说明顶点的横坐标为h、纵坐标为0；而二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，因此可直接得到对称轴和顶点坐标。
【解析】
解：二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的特殊形式，其中常数项$k=0$。
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其对称轴为过顶点且垂直于x轴的直线，即直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
将$k=0$代入可得，该二次函数的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
【答案】
直线$x=h$；$(h,0)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的对称轴
3. 二次函数的顶点坐标
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对二次函数顶点式参数意义的掌握程度，解题时要注意区分h的符号，避免出现把对称轴写成x=-h的错误。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确考查的是二次函数顶点式的基础性质，我们可以通过两种思路推导：一是直接套用顶点式的通用性质，二是通过代入计算推导：当x取h时，(x-h)=0，此时y取得最值0，说明顶点的横坐标为h、纵坐标为0；而二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，因此可直接得到对称轴和顶点坐标。
【解析】
解：二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的特殊形式，其中常数项$k=0$。
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其对称轴为过顶点且垂直于x轴的直线，即直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
将$k=0$代入可得，该二次函数的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
【答案】
直线$x=h$；$(h,0)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的对称轴
3. 二次函数的顶点坐标
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对二次函数顶点式参数意义的掌握程度，解题时要注意区分h的符号，避免出现把对称轴写成x=-h的错误。
【难度系数】
0.9
3. 二次函数$y=a(x-h)^2$与$y=ax^2(a≠0)$的图象形状
相同
，对称轴
不同. 把$y=ax^2$的图象向左
（或向右
）平移$|h|$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象，当$h＞0$时，向右
平移；当$h＜0$时，向左
平移.答案
3. 相同 对称轴 左 右 右 左
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数的相关性质：首先二次项系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，即决定抛物线的形状，因此a相同的二次函数图象形状相同；再对比两个函数的顶点、对称轴，即可得出二者的差异；最后结合二次函数平移“左加右减”的规律，判断不同h取值对应的平移方向。
【解析】
1. 图象形状判断：二次函数的图象形状仅由二次项系数a决定，两个函数的a相同，因此图象形状相同；
2. 二者差异：$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点为$(0,0)$；$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，顶点为$(h,0)$，因此二者对称轴不同；
3. 平移规律：二次函数图象左右平移遵循“左加右减”的规律（针对自变量x的变化）：将$y=ax^2$的图象向左或向右平移$|h|$个单位可得到$y=a(x-h)^2$的图象；当$h＞0$时，$x$变为$x-h$，符合“右减”，即向右平移$h$个单位；当$h＜0$时，$x-h = x + |h|$，符合“左加”，即向左平移$|h|$个单位。
【答案】
相同 对称轴 左 右 右 左
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数平移规律
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查二次函数$y=ax^2$和$y=a(x-h)^2$的联系与区别，核心是对二次项系数的作用、“左加右减”平移规律的掌握，牢记基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆二次函数的相关性质：首先二次项系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，即决定抛物线的形状，因此a相同的二次函数图象形状相同；再对比两个函数的顶点、对称轴，即可得出二者的差异；最后结合二次函数平移“左加右减”的规律，判断不同h取值对应的平移方向。
【解析】
1. 图象形状判断：二次函数的图象形状仅由二次项系数a决定，两个函数的a相同，因此图象形状相同；
2. 二者差异：$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点为$(0,0)$；$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，顶点为$(h,0)$，因此二者对称轴不同；
3. 平移规律：二次函数图象左右平移遵循“左加右减”的规律（针对自变量x的变化）：将$y=ax^2$的图象向左或向右平移$|h|$个单位可得到$y=a(x-h)^2$的图象；当$h＞0$时，$x$变为$x-h$，符合“右减”，即向右平移$h$个单位；当$h＜0$时，$x-h = x + |h|$，符合“左加”，即向左平移$|h|$个单位。
【答案】
相同 对称轴 左 右 右 左
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数平移规律
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查二次函数$y=ax^2$和$y=a(x-h)^2$的联系与区别，核心是对二次项系数的作用、“左加右减”平移规律的掌握，牢记基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
1. 小明在白纸上画了一个平面直角坐标系，然后将透明纸覆盖在白纸上，在透明纸上描出了抛物线$y=-2(x-3)^2$，欣赏时不小心将画有坐标系的白纸向右移动了2个单位长度，这时透明纸上的抛物线的解析式是
$y=-2(x-1)^2$
。答案
1. $y=-2(x-1)^2$
解析
【分析】
解题时首先要明确运动的相对性：白纸（平面直角坐标系）向右移动2个单位，而透明纸上的抛物线位置固定，这一过程等价于“坐标系保持不动，抛物线向左平移2个单位”。接下来回忆二次函数图象平移的“左加右减”规律（平移仅针对自变量x进行操作），即可代入原解析式求出新坐标系下抛物线的解析式。也可以通过顶点坐标的变化求解：先找到原抛物线的顶点，再计算顶点在新坐标系下的坐标，结合a值不变，代入顶点式得到结果。
【解析】
方法一（平移规律法）：
坐标系向右平移2个单位，等价于抛物线相对于新坐标系向左平移2个单位。
根据二次函数平移“左加右减”的规则，将原抛物线解析式$y=-2(x-3)^2$中的$x$替换为$x+2$，得：
$y=-2[(x+2)-3]^2=-2(x-1)^2$。
方法二（顶点坐标法）：
原抛物线$y=-2(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$，二次项系数$a=-2$（开口方向、大小不变）。
坐标系向右平移2个单位后，原顶点在新坐标系中的横坐标为$3-2=1$，纵坐标不变，即新顶点坐标为$(1,0)$。
代入二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得新解析式为$y=-2(x-1)^2$。
【答案】
$y=-2(x-1)^2$
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题的易错点是容易混淆平移方向，误将坐标系向右平移等价为抛物线向右平移，从而得到错误结果。解题关键是理解相对运动的逻辑，将坐标系的移动转化为熟悉的抛物线平移问题，再结合平移规律或顶点坐标的变化求解即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确运动的相对性：白纸（平面直角坐标系）向右移动2个单位，而透明纸上的抛物线位置固定，这一过程等价于“坐标系保持不动，抛物线向左平移2个单位”。接下来回忆二次函数图象平移的“左加右减”规律（平移仅针对自变量x进行操作），即可代入原解析式求出新坐标系下抛物线的解析式。也可以通过顶点坐标的变化求解：先找到原抛物线的顶点，再计算顶点在新坐标系下的坐标，结合a值不变，代入顶点式得到结果。
【解析】
方法一（平移规律法）：
坐标系向右平移2个单位，等价于抛物线相对于新坐标系向左平移2个单位。
根据二次函数平移“左加右减”的规则，将原抛物线解析式$y=-2(x-3)^2$中的$x$替换为$x+2$，得：
$y=-2[(x+2)-3]^2=-2(x-1)^2$。
方法二（顶点坐标法）：
原抛物线$y=-2(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$，二次项系数$a=-2$（开口方向、大小不变）。
坐标系向右平移2个单位后，原顶点在新坐标系中的横坐标为$3-2=1$，纵坐标不变，即新顶点坐标为$(1,0)$。
代入二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得新解析式为$y=-2(x-1)^2$。
【答案】
$y=-2(x-1)^2$
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题的易错点是容易混淆平移方向，误将坐标系向右平移等价为抛物线向右平移，从而得到错误结果。解题关键是理解相对运动的逻辑，将坐标系的移动转化为熟悉的抛物线平移问题，再结合平移规律或顶点坐标的变化求解即可。
【难度系数】
0.6
2. 抛物线 $ y=2(x-2)^2 $ 与抛物线 $ y=2x^2 $ 的
形状
相同，对称轴
不同.答案
2. 形状 对称轴
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数的图象性质：二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状大小，只要$a$相同，抛物线的形状完全一致，仅位置存在差异。首先对比两个函数的二次项系数，判断形状是否相同；再分别分析两个函数的对称轴、顶点等位置属性，找到不同的特征即可。
【解析】
1. 分析形状：两个抛物线的二次项系数$a$均为2，因此二者的开口方向、形状大小完全相同；
2. 分析位置属性：抛物线$y=2x^2$的对称轴是直线$x=0$（即$y$轴），顶点为$(0,0)$；抛物线$y=2(x-2)^2$是$y=2x^2$向右平移2个单位得到的，对称轴为直线$x=2$，顶点为$(2,0)$，因此二者的对称轴、顶点位置不同。
结合题干要求，依次填入形状、对称轴。
【答案】
形状；对称轴
【知识点】
1. 二次函数图象性质 2. 二次函数平移规律
【点评】
本题是基础类题目，主要考查二次函数中参数$a$的意义，以及平移后图象的位置变化特征，熟练掌握二次函数的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数的图象性质：二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状大小，只要$a$相同，抛物线的形状完全一致，仅位置存在差异。首先对比两个函数的二次项系数，判断形状是否相同；再分别分析两个函数的对称轴、顶点等位置属性，找到不同的特征即可。
【解析】
1. 分析形状：两个抛物线的二次项系数$a$均为2，因此二者的开口方向、形状大小完全相同；
2. 分析位置属性：抛物线$y=2x^2$的对称轴是直线$x=0$（即$y$轴），顶点为$(0,0)$；抛物线$y=2(x-2)^2$是$y=2x^2$向右平移2个单位得到的，对称轴为直线$x=2$，顶点为$(2,0)$，因此二者的对称轴、顶点位置不同。
结合题干要求，依次填入形状、对称轴。
【答案】
形状；对称轴
【知识点】
1. 二次函数图象性质 2. 二次函数平移规律
【点评】
本题是基础类题目，主要考查二次函数中参数$a$的意义，以及平移后图象的位置变化特征，熟练掌握二次函数的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 抛物线 $y=2(x-n)^2$ 向右平移3个单位长度后得到抛物线 $y=2(x+1)^2$，则 $n=$
$-4$
.答案
3. $-4$
解析
【分析】
解题首先要掌握二次函数图象平移的“左加右减”规则：左右平移是针对自变量x本身操作，向右平移几个单位，就把原解析式中的x替换为x减去平移的单位长度。我们可以先根据平移规则写出原抛物线平移后的解析式，再和题目给出的平移后解析式对比，令对应部分相等即可建立方程求出n的值；也可以通过顶点平移的思路：原抛物线顶点坐标为(n,0)，向右平移3个单位后顶点坐标为(n+3,0)，平移后抛物线顶点为(-1,0)，直接列方程求解。
【解析】
方法1（利用平移规则）：
根据二次函数左右平移“左加右减”的规律，抛物线$y=2(x-n)^2$向右平移3个单位后，需将原式中的$x$替换为$x-3$，得到平移后的解析式：
$y=2[(x-3)-n]^2=2(x-3-n)^2$
已知平移后抛物线为$y=2(x+1)^2$，因此两个解析式的自变量部分相等：
$x-3-n = x+1$
消去$x$后解方程：
$-3-n=1$
移项得：$-n=4$，即$n=-4$。
方法2（利用顶点平移）：
抛物线$y=2(x-n)^2$的顶点坐标为$(n,0)$，向右平移3个单位后，顶点横坐标加3，纵坐标不变，即平移后顶点坐标为$(n+3,0)$。
平移后抛物线$y=2(x+1)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$，因此可得方程：
$n+3=-1$
解得：$n=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查对“左加右减、上加下减”平移规则的理解和应用，注意左右平移仅针对自变量x进行运算，不要和上下平移的操作混淆，掌握平移规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先要掌握二次函数图象平移的“左加右减”规则：左右平移是针对自变量x本身操作，向右平移几个单位，就把原解析式中的x替换为x减去平移的单位长度。我们可以先根据平移规则写出原抛物线平移后的解析式，再和题目给出的平移后解析式对比，令对应部分相等即可建立方程求出n的值；也可以通过顶点平移的思路：原抛物线顶点坐标为(n,0)，向右平移3个单位后顶点坐标为(n+3,0)，平移后抛物线顶点为(-1,0)，直接列方程求解。
【解析】
方法1（利用平移规则）：
根据二次函数左右平移“左加右减”的规律，抛物线$y=2(x-n)^2$向右平移3个单位后，需将原式中的$x$替换为$x-3$，得到平移后的解析式：
$y=2[(x-3)-n]^2=2(x-3-n)^2$
已知平移后抛物线为$y=2(x+1)^2$，因此两个解析式的自变量部分相等：
$x-3-n = x+1$
消去$x$后解方程：
$-3-n=1$
移项得：$-n=4$，即$n=-4$。
方法2（利用顶点平移）：
抛物线$y=2(x-n)^2$的顶点坐标为$(n,0)$，向右平移3个单位后，顶点横坐标加3，纵坐标不变，即平移后顶点坐标为$(n+3,0)$。
平移后抛物线$y=2(x+1)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$，因此可得方程：
$n+3=-1$
解得：$n=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查对“左加右减、上加下减”平移规则的理解和应用，注意左右平移仅针对自变量x进行运算，不要和上下平移的操作混淆，掌握平移规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 在同一平面直角坐标系中，与抛物线$y=3(x-4)^2$关于$y$轴对称的抛物线的解析式为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
4. $y=3(x+4)^2$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从两种符合当前学段的思路入手：一是利用关于y轴对称的点的坐标特征，对称点横坐标互为相反数、纵坐标不变，将原解析式中的x替换为-x即可推导对称后的解析式；二是利用二次函数顶点式的特点，先找到原抛物线的顶点坐标，求出其关于y轴对称的顶点坐标，再结合抛物线对称后开口方向、大小不变（即a值不变），代入顶点式直接得到结果。
【解析】
方法1：坐标替换法
平面内关于y轴对称的点的坐标规律为：任意点$(x,y)$关于y轴对称的点坐标为$(-x,y)$。
因此求与抛物线$y=3(x-4)^2$关于y轴对称的抛物线解析式，只需将原解析式中的$x$替换为$-x$：
代入得：$y=3(-x -4)^2$
化简：$(-x-4)^2=[-(x+4)]^2=(x+4)^2$，因此对称后的抛物线解析式为$y=3(x+4)^2$。
方法2：顶点对称法
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h, 0)$，抛物线的开口大小、方向由参数$a$决定。
原抛物线$y=3(x-4)^2$的顶点为$(4, 0)$，$a=3$；
点$(4,0)$关于y轴对称的点坐标为$(-4, 0)$，抛物线对称后形状不变，$a$仍为3；
代入顶点式得新抛物线解析式为$y=3[x - (-4)]^2$，即$y=3(x+4)^2$。
【答案】
$y=3(x+4)^2$
【知识点】
二次函数图象变换；关于y轴对称的坐标特征；二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数的轴对称变换，两种解题方法都是该部分的基础常用方法，熟练掌握坐标变换规律或顶点对称的思路都能快速解题，属于二次函数图象性质板块的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以从两种符合当前学段的思路入手：一是利用关于y轴对称的点的坐标特征，对称点横坐标互为相反数、纵坐标不变，将原解析式中的x替换为-x即可推导对称后的解析式；二是利用二次函数顶点式的特点，先找到原抛物线的顶点坐标，求出其关于y轴对称的顶点坐标，再结合抛物线对称后开口方向、大小不变（即a值不变），代入顶点式直接得到结果。
【解析】
方法1：坐标替换法
平面内关于y轴对称的点的坐标规律为：任意点$(x,y)$关于y轴对称的点坐标为$(-x,y)$。
因此求与抛物线$y=3(x-4)^2$关于y轴对称的抛物线解析式，只需将原解析式中的$x$替换为$-x$：
代入得：$y=3(-x -4)^2$
化简：$(-x-4)^2=[-(x+4)]^2=(x+4)^2$，因此对称后的抛物线解析式为$y=3(x+4)^2$。
方法2：顶点对称法
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h, 0)$，抛物线的开口大小、方向由参数$a$决定。
原抛物线$y=3(x-4)^2$的顶点为$(4, 0)$，$a=3$；
点$(4,0)$关于y轴对称的点坐标为$(-4, 0)$，抛物线对称后形状不变，$a$仍为3；
代入顶点式得新抛物线解析式为$y=3[x - (-4)]^2$，即$y=3(x+4)^2$。
【答案】
$y=3(x+4)^2$
【知识点】
二次函数图象变换；关于y轴对称的坐标特征；二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数的轴对称变换，两种解题方法都是该部分的基础常用方法，熟练掌握坐标变换规律或顶点对称的思路都能快速解题，属于二次函数图象性质板块的基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 开口向上，对称轴为$ x = -2 $，顶点在$ x $轴上，并与$ y $轴交于点$ (0,3) $的抛物线的解析式为
$y=\frac{3}{4}(x+2)^2$(答案不唯一)
答案
5. $y=\frac{3}{4}(x+2)^2$(答案不唯一)
解析
【分析】
本题要求抛物线解析式，已知抛物线的对称轴、顶点位置和过定点，优先选用二次函数的顶点式求解。第一步，先回忆顶点式的形式：$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$是顶点坐标，对称轴为直线$x=h$；第二步，结合已知条件：对称轴为$x=-2$，顶点在x轴上，可得顶点坐标为$(-2,0)$，即可确定$h$和$k$的值，得到含参数$a$的解析式；第三步，将抛物线与y轴的交点$(0,3)$代入解析式，求解$a$的值，再结合开口向上验证$a$的符号符合要求，即可得到最终解析式。
【解析】
解：设抛物线的解析式为顶点式$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $）。
∵ 抛物线对称轴为$ x=-2 $，且顶点在x轴上，
∴ 抛物线的顶点坐标为$ (-2,0) $，即$ h=-2 $，$ k=0 $，
∴ 解析式可写为$ y=a(x+2)^2 $。
∵ 抛物线开口向上，
∴ $ a＞0 $。
又
∵ 抛物线与y轴交于点$ (0,3) $，将$ x=0 $，$ y=3 $代入解析式得：
$ 3 = a(0+2)^2 $
$ 3 = 4a $
解得$ a=\frac{3}{4} $，符合$ a＞0 $的要求。
∴ 抛物线的解析式为$ y=\frac{3}{4}(x+2)^2 $，展开为一般式$ y=\frac{3}{4}x^2+3x+3 $也正确。
【答案】
$y=\frac{3}{4}(x+2)^2$（答案不唯一）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题关键是根据给出的顶点相关信息选择顶点式简化计算，代入已知点求解参数时注意验证开口方向对参数符号的要求。
【难度系数】
0.8
本题要求抛物线解析式，已知抛物线的对称轴、顶点位置和过定点，优先选用二次函数的顶点式求解。第一步，先回忆顶点式的形式：$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$是顶点坐标，对称轴为直线$x=h$；第二步，结合已知条件：对称轴为$x=-2$，顶点在x轴上，可得顶点坐标为$(-2,0)$，即可确定$h$和$k$的值，得到含参数$a$的解析式；第三步，将抛物线与y轴的交点$(0,3)$代入解析式，求解$a$的值，再结合开口向上验证$a$的符号符合要求，即可得到最终解析式。
【解析】
解：设抛物线的解析式为顶点式$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $）。
∵ 抛物线对称轴为$ x=-2 $，且顶点在x轴上，
∴ 抛物线的顶点坐标为$ (-2,0) $，即$ h=-2 $，$ k=0 $，
∴ 解析式可写为$ y=a(x+2)^2 $。
∵ 抛物线开口向上，
∴ $ a＞0 $。
又
∵ 抛物线与y轴交于点$ (0,3) $，将$ x=0 $，$ y=3 $代入解析式得：
$ 3 = a(0+2)^2 $
$ 3 = 4a $
解得$ a=\frac{3}{4} $，符合$ a＞0 $的要求。
∴ 抛物线的解析式为$ y=\frac{3}{4}(x+2)^2 $，展开为一般式$ y=\frac{3}{4}x^2+3x+3 $也正确。
【答案】
$y=\frac{3}{4}(x+2)^2$（答案不唯一）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题关键是根据给出的顶点相关信息选择顶点式简化计算，代入已知点求解参数时注意验证开口方向对参数符号的要求。
【难度系数】
0.8
6. 抛物线 $y=-3(x-2)^2$ 与抛物线 $y=-3x^2$ 的关系是 （
A.抛物线 $y=-3(x-2)^2$ 向左平移2个单位长度得抛物线 $y=-3x^2$
B.抛物线 $y=-3(x-2)^2$ 向右平移2个单位长度得抛物线 $y=-3x^2$
C.抛物线 $y=-3(x-2)^2$ 向上平移2个单位长度得抛物线 $y=-3x^2$
D.抛物线 $y=-3(x-2)^2$ 向下平移2个单位长度得抛物线 $y=-3x^2$
A
）A.抛物线 $y=-3(x-2)^2$ 向左平移2个单位长度得抛物线 $y=-3x^2$
B.抛物线 $y=-3(x-2)^2$ 向右平移2个单位长度得抛物线 $y=-3x^2$
C.抛物线 $y=-3(x-2)^2$ 向上平移2个单位长度得抛物线 $y=-3x^2$
D.抛物线 $y=-3(x-2)^2$ 向下平移2个单位长度得抛物线 $y=-3x^2$
答案
6. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要掌握二次函数图象平移的核心规律：平移不改变抛物线的开口方向和大小，即二次项系数a不变，平移规则为“左加右减（针对自变量x的变换），上加下减（针对常数项的变换）”。我们可以通过对比两个抛物线的顶点坐标来直观判断平移方式：首先分别求出两个抛物线的顶点，再分析顶点的平移路径，顶点的平移规律和抛物线整体的平移规律完全一致，就能快速得到答案。
【解析】
1. 回忆二次函数顶点式的性质：二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$。
2. 分别确定两个抛物线的顶点坐标：
抛物线$y=-3x^2$可写成$y=-3(x-0)^2$，顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=-3(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$。
3. 分析顶点的平移方式：要将点$(2,0)$移动到$(0,0)$，需要向左平移2个单位长度。
4. 抛物线的平移规律与顶点的平移规律一致，因此抛物线$y=-3(x-2)^2$向左平移2个单位长度可得到抛物线$y=-3x^2$，对应选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，解题时既可以直接用“左加右减”的规则判断，也可以通过顶点坐标的移动推导，后者能有效避免混淆左右平移对应的加减规则，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要掌握二次函数图象平移的核心规律：平移不改变抛物线的开口方向和大小，即二次项系数a不变，平移规则为“左加右减（针对自变量x的变换），上加下减（针对常数项的变换）”。我们可以通过对比两个抛物线的顶点坐标来直观判断平移方式：首先分别求出两个抛物线的顶点，再分析顶点的平移路径，顶点的平移规律和抛物线整体的平移规律完全一致，就能快速得到答案。
【解析】
1. 回忆二次函数顶点式的性质：二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$。
2. 分别确定两个抛物线的顶点坐标：
抛物线$y=-3x^2$可写成$y=-3(x-0)^2$，顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=-3(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$。
3. 分析顶点的平移方式：要将点$(2,0)$移动到$(0,0)$，需要向左平移2个单位长度。
4. 抛物线的平移规律与顶点的平移规律一致，因此抛物线$y=-3(x-2)^2$向左平移2个单位长度可得到抛物线$y=-3x^2$，对应选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，解题时既可以直接用“左加右减”的规则判断，也可以通过顶点坐标的移动推导，后者能有效避免混淆左右平移对应的加减规则，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
7. 已知抛物线$y=a(x-2)^2$过点$(1,-2)$。
（1）求抛物线的解析式；
（2）画出函数的图象；
（3）求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（4）从图象上观察当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？
（1）求抛物线的解析式；
（2）画出函数的图象；
（3）求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（4）从图象上观察当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？
答案
7. (1) $y=-2(x-2)^2$ (2)略 (3) 对称轴为直线$x=2$ 顶点坐标为$(2,0)$ (4) 当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
解析
【分析】
（1）已知抛物线为顶点式形式，且给出函数图象上的一个点，只需将点的坐标代入解析式，求解参数a的值即可确定完整的抛物线解析式；
（2）画二次函数图象可采用五点法：先确定顶点坐标、对称轴，再选取对称轴两侧对称的4个点，描点后用平滑曲线连接即可得到函数图象；
（3）对于顶点式$y=a(x-h)^2$，可直接根据解析式结构得到对应性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$；
（4）先由a的符号判断抛物线开口方向，再结合对称轴即可判断增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小。
【解析】
（1）将点$(1,-2)$代入$y=a(x-2)^2$得：
$\begin{aligned}-2&=a×(1-2)^2\\-2&=a×1\\a&=-2\end{aligned}$
因此抛物线的解析式为$y=-2(x-2)^2$；
（2）画图参考步骤：①确定顶点坐标为$(2,0)$，对称轴为直线$x=2$；②取对称点：$x=0$时$y=-8$，$x=1$时$y=-2$，$x=3$时$y=-2$，$x=4$时$y=-8$；③描点后用平滑曲线连接各点即可，图象略；
（3）由抛物线顶点式$y=-2(x-2)^2$，直接可得：对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$；
（4）$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，结合对称轴为直线$x=2$可得：当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $y=-2(x-2)^2$ (2)略 (3) 对称轴为直线$x=2$ 顶点坐标为$(2,0)$ (4) 当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数顶点式性质
3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考查题型，重点要求熟练掌握二次函数顶点式的参数意义、图象特征及增减性规律，是后续学习更复杂二次函数的核心基础。
【难度系数】
0.8
（1）已知抛物线为顶点式形式，且给出函数图象上的一个点，只需将点的坐标代入解析式，求解参数a的值即可确定完整的抛物线解析式；
（2）画二次函数图象可采用五点法：先确定顶点坐标、对称轴，再选取对称轴两侧对称的4个点，描点后用平滑曲线连接即可得到函数图象；
（3）对于顶点式$y=a(x-h)^2$，可直接根据解析式结构得到对应性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$；
（4）先由a的符号判断抛物线开口方向，再结合对称轴即可判断增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小。
【解析】
（1）将点$(1,-2)$代入$y=a(x-2)^2$得：
$\begin{aligned}-2&=a×(1-2)^2\\-2&=a×1\\a&=-2\end{aligned}$
因此抛物线的解析式为$y=-2(x-2)^2$；
（2）画图参考步骤：①确定顶点坐标为$(2,0)$，对称轴为直线$x=2$；②取对称点：$x=0$时$y=-8$，$x=1$时$y=-2$，$x=3$时$y=-2$，$x=4$时$y=-8$；③描点后用平滑曲线连接各点即可，图象略；
（3）由抛物线顶点式$y=-2(x-2)^2$，直接可得：对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$；
（4）$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，结合对称轴为直线$x=2$可得：当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $y=-2(x-2)^2$ (2)略 (3) 对称轴为直线$x=2$ 顶点坐标为$(2,0)$ (4) 当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数顶点式性质
3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考查题型，重点要求熟练掌握二次函数顶点式的参数意义、图象特征及增减性规律，是后续学习更复杂二次函数的核心基础。
【难度系数】
0.8
