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7. 已知二次函数 $y=2x^2-(k-1)x+k+1$，当 $k$ 为何值时，此二次函数以 $y$ 轴为对称轴？写出其函数解析式并画出图象.
答案
7. $k=1$ $y=2x^2+2$ 图略
解析
【分析】
要解决该问题，首先明确：二次函数以y轴为对称轴等价于其对称轴为直线$x=0$。对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，我们先确定题中函数的$a、b$取值，代入对称轴公式令其等于0，即可求出$k$的值；再将$k$代回原解析式得到所求函数式；最后结合函数的开口方向、顶点坐标等特征即可画出图象。
【解析】
已知二次函数$y=2x^2-(k-1)x+k+1$，其中$a=2$，$b=-(k-1)$，
根据对称轴公式可得该函数的对称轴为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-(k-1)}{2×2}=\frac{k-1}{4}$
∵ 二次函数以y轴为对称轴，即对称轴为直线$x=0$
∴ $\frac{k-1}{4}=0$，解得$k=1$
将$k=1$代入原解析式，得：
$y=2x^2-(1-1)x+1+1=2x^2+2$
图象绘制：该函数开口向上，顶点坐标为$(0,2)$，对称轴为y轴，可选取$(0,2)、(1,4)、(-1,4)、(2,10)、(-2,10)$五点描点连线即可，图略。
【答案】
$k=1$，函数解析式为$y=2x^2+2$，图略
【知识点】
二次函数对称轴公式；求二次函数解析式；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题核心是牢记二次函数一般式的对称轴公式，明确y轴对应的对称轴方程为$x=0$，计算量小，易于掌握。
【难度系数】
0.85
要解决该问题，首先明确：二次函数以y轴为对称轴等价于其对称轴为直线$x=0$。对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，我们先确定题中函数的$a、b$取值，代入对称轴公式令其等于0，即可求出$k$的值；再将$k$代回原解析式得到所求函数式；最后结合函数的开口方向、顶点坐标等特征即可画出图象。
【解析】
已知二次函数$y=2x^2-(k-1)x+k+1$，其中$a=2$，$b=-(k-1)$，
根据对称轴公式可得该函数的对称轴为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-(k-1)}{2×2}=\frac{k-1}{4}$
∵ 二次函数以y轴为对称轴，即对称轴为直线$x=0$
∴ $\frac{k-1}{4}=0$，解得$k=1$
将$k=1$代入原解析式，得：
$y=2x^2-(1-1)x+1+1=2x^2+2$
图象绘制：该函数开口向上，顶点坐标为$(0,2)$，对称轴为y轴，可选取$(0,2)、(1,4)、(-1,4)、(2,10)、(-2,10)$五点描点连线即可，图略。
【答案】
$k=1$，函数解析式为$y=2x^2+2$，图略
【知识点】
二次函数对称轴公式；求二次函数解析式；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题核心是牢记二次函数一般式的对称轴公式，明确y轴对应的对称轴方程为$x=0$，计算量小，易于掌握。
【难度系数】
0.85
8. 如图,二次函数$y=-mx^2+4m$($m≠0$)的图象的顶点坐标为$(0,2)$,矩形$ABCD$的顶点$B,C$在$x$轴上,$A,D$在抛物线上(点$A$在第一象限),矩形$ABCD$在抛物线与$x$轴所围成的图形内.
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点$A$的坐标$(x,y)$,试求矩形$ABCD$的周长$P$关于自变量$x$的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围.
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点$A$的坐标$(x,y)$,试求矩形$ABCD$的周长$P$关于自变量$x$的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围.
答案
8. (1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 2$
(2) $\because$四边形$ABCD$是矩形,点$A(x,y)$,$\therefore AD$与抛物线的对称轴($y$轴)垂直. 由抛物线对称性可知 $AD=BC=2x.$ 又$\because$点$A$ 在抛物线上,矩形在抛物线与 $x$ 轴围成的图形内,$\therefore$点 $A$ 的纵坐标 $y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 2.$ 又$\because$ 抛物线与 $x$ 轴的交点为$(-2,0),(2,0),\therefore$ 点 $A$ 的横坐标 $x$ 满足 $0＜x＜2,$ $\therefore P=2(AB+AD)=2(-\dfrac{1}{2}x^2 + 2 + 2x)=-x^2 + 4x + 4(0＜x＜2).$
(2) $\because$四边形$ABCD$是矩形,点$A(x,y)$,$\therefore AD$与抛物线的对称轴($y$轴)垂直. 由抛物线对称性可知 $AD=BC=2x.$ 又$\because$点$A$ 在抛物线上,矩形在抛物线与 $x$ 轴围成的图形内,$\therefore$点 $A$ 的纵坐标 $y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 2.$ 又$\because$ 抛物线与 $x$ 轴的交点为$(-2,0),(2,0),\therefore$ 点 $A$ 的横坐标 $x$ 满足 $0＜x＜2,$ $\therefore P=2(AB+AD)=2(-\dfrac{1}{2}x^2 + 2 + 2x)=-x^2 + 4x + 4(0＜x＜2).$
解析
【分析】
（1）已知二次函数的顶点坐标为$(0,2)$，该函数解析式的常数项即为顶点纵坐标，因此将顶点纵坐标代入解析式即可求出参数$m$，进而得到二次函数的解析式。
（2）要求矩形$ABCD$的周长，需先确定矩形的长和宽：根据抛物线关于$y$轴对称的性质，点$A$横坐标为$x$，则对称点$D$的横坐标为$-x$，可得$AD$的长度为$2x$；矩形的宽$AB$等于点$A$的纵坐标，即二次函数的函数值。将长和宽代入矩形周长公式，结合矩形在抛物线与$x$轴围成的图形内的条件，$x$需满足$x＞0$且纵坐标$y＞0$，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
（1）$\because$二次函数$y=-mx^2+4m$的顶点坐标为$(0,2)$
$\therefore$当$x=0$时，$y=4m=2$
解得$m=\dfrac{1}{2}$
将$m=\dfrac{1}{2}$代入原式，得二次函数解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 4×\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}x^2 + 2$
（2）$\because$点$A$的坐标为$(x,y)$，抛物线关于$y$轴对称，四边形$ABCD$为矩形
$\therefore$矩形的长$AD=2x$，矩形的宽$AB=y$
又$\because$点$A$在抛物线上，$\therefore y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 2$
矩形周长$P=2(AD+AB)$，代入得：
$P=2(2x -\dfrac{1}{2}x^2 + 2)=-x^2 + 4x + 4$
接下来确定$x$的取值范围：
$\because$点$A$在第一象限，且矩形在抛物线与$x$轴围成的图形内
$\therefore x＞0$，且$y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 2＞0$
解不等式$-\dfrac{1}{2}x^2 + 2＞0$，得$x^2＜4$，即$x＜2$（$x＞0$）
综上，$x$的取值范围为$0＜x＜2$
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 2$
（2）$P=-x^2 + 4x + 4(0＜x＜2)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的对称性
3. 矩形周长计算
【点评】
本题将二次函数性质与几何图形周长计算结合，考查了基础的参数求解能力和数形结合思想，解题的关键是利用抛物线对称性表示出矩形的边长，整体考查方向偏基础，适合巩固二次函数的基础性质。
【难度系数】
0.7
（1）已知二次函数的顶点坐标为$(0,2)$，该函数解析式的常数项即为顶点纵坐标，因此将顶点纵坐标代入解析式即可求出参数$m$，进而得到二次函数的解析式。
（2）要求矩形$ABCD$的周长，需先确定矩形的长和宽：根据抛物线关于$y$轴对称的性质，点$A$横坐标为$x$，则对称点$D$的横坐标为$-x$，可得$AD$的长度为$2x$；矩形的宽$AB$等于点$A$的纵坐标，即二次函数的函数值。将长和宽代入矩形周长公式，结合矩形在抛物线与$x$轴围成的图形内的条件，$x$需满足$x＞0$且纵坐标$y＞0$，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
（1）$\because$二次函数$y=-mx^2+4m$的顶点坐标为$(0,2)$
$\therefore$当$x=0$时，$y=4m=2$
解得$m=\dfrac{1}{2}$
将$m=\dfrac{1}{2}$代入原式，得二次函数解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 4×\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}x^2 + 2$
（2）$\because$点$A$的坐标为$(x,y)$，抛物线关于$y$轴对称，四边形$ABCD$为矩形
$\therefore$矩形的长$AD=2x$，矩形的宽$AB=y$
又$\because$点$A$在抛物线上，$\therefore y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 2$
矩形周长$P=2(AD+AB)$，代入得：
$P=2(2x -\dfrac{1}{2}x^2 + 2)=-x^2 + 4x + 4$
接下来确定$x$的取值范围：
$\because$点$A$在第一象限，且矩形在抛物线与$x$轴围成的图形内
$\therefore x＞0$，且$y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 2＞0$
解不等式$-\dfrac{1}{2}x^2 + 2＞0$，得$x^2＜4$，即$x＜2$（$x＞0$）
综上，$x$的取值范围为$0＜x＜2$
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 2$
（2）$P=-x^2 + 4x + 4(0＜x＜2)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的对称性
3. 矩形周长计算
【点评】
本题将二次函数性质与几何图形周长计算结合，考查了基础的参数求解能力和数形结合思想，解题的关键是利用抛物线对称性表示出矩形的边长，整体考查方向偏基础，适合巩固二次函数的基础性质。
【难度系数】
0.7
