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6. 如图,已知抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+(5-m)x+m-3$与x轴有两个交点A,B,与y轴交于点C,点A在x轴正半轴上,点B在x轴负半轴上,且$OA=OB$.
(1) 求$m$的值;
(2) 求抛物线的对称轴和顶点坐标;
(3) 求$△ ABC$的面积.
(1) 求$m$的值;
(2) 求抛物线的对称轴和顶点坐标;
(3) 求$△ ABC$的面积.
答案
6. (1) $m=5$
(2) 对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,2).$
(3) $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· OC=\dfrac{1}{2}×4×2=4.$
(2) 对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,2).$
(3) $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· OC=\dfrac{1}{2}×4×2=4.$
解析
【分析】
（1）求解m的思路：已知OA=OB，且A在x轴正半轴、B在x轴负半轴，说明抛物线的两个x轴交点关于原点对称，因此抛物线对称轴为y轴（即x=0），结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数即可建立方程求出m的值。
（2）求对称轴和顶点坐标：将求得的m代入抛物线解析式，根据解析式的形式可直接得出对称轴，代入x=0即可得到顶点纵坐标，进而得到顶点坐标。
（3）求$△ ABC$的面积：先分别求出A、B、C三点坐标，得到AB的长度作为三角形的底，OC的长度作为三角形的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线关于y轴对称，即对称轴为直线$x=0$。
对于二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+(5-m)x+m-3$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=-\frac{1}{2}$，$b=5-m$，代入得：
$-\frac{5-m}{2×(-\frac{1}{2})}=0$
化简得$5-m=0$，解得$m=5$。
(2) 将$m=5$代入抛物线解析式，得：
$y=-\frac{1}{2}x^2+(5-5)x+5-3=-\frac{1}{2}x^2+2$
因此抛物线对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
当$x=0$时，$y=2$，故顶点坐标为$(0,2)$。
(3) 求A、B点坐标：令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x^2+2=0$，解得$x^2=4$，即$x=\pm2$。
结合点A在正半轴、B在负半轴，得$A(2,0)$，$B(-2,0)$，因此$AB=2-(-2)=4$。
C点为抛物线与y轴交点，即$C(0,2)$，故$OC=2$。
$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×4×2=4$
【答案】
(1) $m=5$
(2) 对称轴为y轴（或直线$x=0$），顶点坐标为$(0,2)$
(3) $S_{△ ABC}=4$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，解题的突破口是根据OA=OB判断出抛物线对称轴为y轴，进而求出参数m，再依次求解后续问题，考察了学生对二次函数核心性质的掌握和简单的几何计算能力。
【难度系数】
0.7
（1）求解m的思路：已知OA=OB，且A在x轴正半轴、B在x轴负半轴，说明抛物线的两个x轴交点关于原点对称，因此抛物线对称轴为y轴（即x=0），结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数即可建立方程求出m的值。
（2）求对称轴和顶点坐标：将求得的m代入抛物线解析式，根据解析式的形式可直接得出对称轴，代入x=0即可得到顶点纵坐标，进而得到顶点坐标。
（3）求$△ ABC$的面积：先分别求出A、B、C三点坐标，得到AB的长度作为三角形的底，OC的长度作为三角形的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线关于y轴对称，即对称轴为直线$x=0$。
对于二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+(5-m)x+m-3$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=-\frac{1}{2}$，$b=5-m$，代入得：
$-\frac{5-m}{2×(-\frac{1}{2})}=0$
化简得$5-m=0$，解得$m=5$。
(2) 将$m=5$代入抛物线解析式，得：
$y=-\frac{1}{2}x^2+(5-5)x+5-3=-\frac{1}{2}x^2+2$
因此抛物线对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
当$x=0$时，$y=2$，故顶点坐标为$(0,2)$。
(3) 求A、B点坐标：令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x^2+2=0$，解得$x^2=4$，即$x=\pm2$。
结合点A在正半轴、B在负半轴，得$A(2,0)$，$B(-2,0)$，因此$AB=2-(-2)=4$。
C点为抛物线与y轴交点，即$C(0,2)$，故$OC=2$。
$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×4×2=4$
【答案】
(1) $m=5$
(2) 对称轴为y轴（或直线$x=0$），顶点坐标为$(0,2)$
(3) $S_{△ ABC}=4$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，解题的突破口是根据OA=OB判断出抛物线对称轴为y轴，进而求出参数m，再依次求解后续问题，考察了学生对二次函数核心性质的掌握和简单的几何计算能力。
【难度系数】
0.7
1. 二次函数$y=2x^2 -4$的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________。当$x=2\sqrt{2}$时，$y=\_\_\_\_\_\_$；当$y=4$时，$x=\_\_\_\_\_\_$。
答案
1. 上 y轴 (0,-4) 12 ±2
解析
【分析】
要解决这道题，我们结合二次函数$y=ax^2+k$的性质逐步推导即可：
1. 开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；
2. 不含一次项的二次函数对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点在对称轴上，代入解析式即可得到顶点坐标；
3. 求函数值时直接将$x$的取值代入解析式计算，求$x$的取值时将$y$的值代入解析式解一元二次方程即可。
【解析】
1. 开口方向判断：二次函数$y=2x^2-4$中，二次项系数$a=2＞0$，因此图象开口向上；
2. 求对称轴：该函数无一次项，对称轴为直线$x=0$，即y轴；
3. 求顶点坐标：将$x=0$代入解析式，得$y=2×0^2-4=-4$，因此顶点坐标为$(0,-4)$；
4. 当$x=2\sqrt{2}$时，代入解析式得：$y=2×(2\sqrt{2})^2 -4=2×8-4=12$；
5. 当$y=4$时，代入解析式得$4=2x^2-4$，移项化简得$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
【答案】
上；y轴；$(0,-4)$；12；$\pm2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数代入求值；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的基本性质和简单计算，熟练掌握$y=ax^2+k$类二次函数的图象特征，计算时注意不要漏解即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，我们结合二次函数$y=ax^2+k$的性质逐步推导即可：
1. 开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；
2. 不含一次项的二次函数对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点在对称轴上，代入解析式即可得到顶点坐标；
3. 求函数值时直接将$x$的取值代入解析式计算，求$x$的取值时将$y$的值代入解析式解一元二次方程即可。
【解析】
1. 开口方向判断：二次函数$y=2x^2-4$中，二次项系数$a=2＞0$，因此图象开口向上；
2. 求对称轴：该函数无一次项，对称轴为直线$x=0$，即y轴；
3. 求顶点坐标：将$x=0$代入解析式，得$y=2×0^2-4=-4$，因此顶点坐标为$(0,-4)$；
4. 当$x=2\sqrt{2}$时，代入解析式得：$y=2×(2\sqrt{2})^2 -4=2×8-4=12$；
5. 当$y=4$时，代入解析式得$4=2x^2-4$，移项化简得$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
【答案】
上；y轴；$(0,-4)$；12；$\pm2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数代入求值；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的基本性质和简单计算，熟练掌握$y=ax^2+k$类二次函数的图象特征，计算时注意不要漏解即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
2. 抛物线的形状、开口方向都与$y=-\frac{1}{2}x^2$相同，顶点在$(0,-2)$，则抛物线的解析式为
$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2$
。答案
2. $y=-\dfrac{1}{2}x^2-2$
解析
【分析】
解题时先明确二次函数中二次项系数$a$的作用：$a$决定抛物线的开口方向和形状，因此两条抛物线形状、开口方向相同时，$a$值相等。接下来已知抛物线顶点坐标，可选用二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），将已知的$a$值和顶点坐标代入顶点式，化简后即可得到所求解析式。
【解析】
解：
∵ 抛物线的形状、开口方向与$y=-\frac{1}{2}x^2$相同
∴ 所求抛物线的二次项系数$a=-\frac{1}{2}$
又
∵ 抛物线的顶点为$(0,-2)$，二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标）
∴ 将$a=-\frac{1}{2}$、$h=0$、$k=-2$代入顶点式得：
$y=-\frac{1}{2}(x-0)^2 + (-2)$
化简得：$y=-\frac{1}{2}x^2 - 2$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2$
【知识点】
二次项系数的意义；二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查二次项系数的几何意义和顶点式的运用，熟练掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确二次函数中二次项系数$a$的作用：$a$决定抛物线的开口方向和形状，因此两条抛物线形状、开口方向相同时，$a$值相等。接下来已知抛物线顶点坐标，可选用二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），将已知的$a$值和顶点坐标代入顶点式，化简后即可得到所求解析式。
【解析】
解：
∵ 抛物线的形状、开口方向与$y=-\frac{1}{2}x^2$相同
∴ 所求抛物线的二次项系数$a=-\frac{1}{2}$
又
∵ 抛物线的顶点为$(0,-2)$，二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标）
∴ 将$a=-\frac{1}{2}$、$h=0$、$k=-2$代入顶点式得：
$y=-\frac{1}{2}(x-0)^2 + (-2)$
化简得：$y=-\frac{1}{2}x^2 - 2$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2$
【知识点】
二次项系数的意义；二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查二次项系数的几何意义和顶点式的运用，熟练掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+c$（$a≠0$）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是
-2
。答案
3. -2
解析
【分析】首先，二次函数$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，可知正方形ABOC关于y轴对称，先确定顶点A的坐标为$(0,c)$，即正方形对角线OA的长度为$c$。再结合正方形的性质，可得点B的横、纵坐标相等，结合对角线长度推导点B的坐标，最后将点B坐标代入二次函数解析式，化简即可求出$ac$的值。
【解析】
∵二次函数$y=ax^2+c$与y轴交于点A，
∴A点坐标为$(0,c)$，即正方形对角线$OA=c$。
∵四边形ABOC是正方形，且关于y轴对称，
∴点B的横、纵坐标相等，结合正方形对角线性质可得点B的坐标为$(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$。
将$B(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$代入$y=ax^2+c$，得：
$\frac{c}{2}=a· (\frac{c}{2})^2 + c$
整理得：$\frac{ac^2}{4}=-\frac{c}{2}$
∵$c≠0$（二次函数顶点不在原点），两边同时除以$c$得：$\frac{ac}{4}=-\frac{1}{2}$
两边同乘4得：$ac=-2$
【答案】$-2$
【知识点】二次函数图象性质，正方形的性质，代数式求值
【点评】本题将二次函数图象对称性与正方形性质结合，解题核心是通过几何特征得到抛物线上点的坐标，代入解析式化简求解，能较好考查数形结合的应用能力。
【难度系数】0.65
【解析】
∵二次函数$y=ax^2+c$与y轴交于点A，
∴A点坐标为$(0,c)$，即正方形对角线$OA=c$。
∵四边形ABOC是正方形，且关于y轴对称，
∴点B的横、纵坐标相等，结合正方形对角线性质可得点B的坐标为$(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$。
将$B(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$代入$y=ax^2+c$，得：
$\frac{c}{2}=a· (\frac{c}{2})^2 + c$
整理得：$\frac{ac^2}{4}=-\frac{c}{2}$
∵$c≠0$（二次函数顶点不在原点），两边同时除以$c$得：$\frac{ac}{4}=-\frac{1}{2}$
两边同乘4得：$ac=-2$
【答案】$-2$
【知识点】二次函数图象性质，正方形的性质，代数式求值
【点评】本题将二次函数图象对称性与正方形性质结合，解题核心是通过几何特征得到抛物线上点的坐标，代入解析式化简求解，能较好考查数形结合的应用能力。
【难度系数】0.65
4. 在平面直角坐标系中,下列三个函数:① $y=2x^2+3$;② $y=-2x^2-1$;③ $y=-\frac{1}{2}x^2-1$ 的图象不可能由函数 $y=2x^2+1$ 的图象通过平移变换或轴对称变换得到的函数是
③
（填序号）。答案
4. ③
解析
【分析】
解决本题的核心是明确二次函数进行平移、轴对称变换的规律：平移变换只改变图象的位置，不会改变二次项系数a的大小和符号；关于x轴的轴对称变换会将二次项系数a变为原系数的相反数，a的绝对值保持不变。因此只需对比三个待判断函数与原函数的二次项系数的绝对值，绝对值不相等的就无法通过这两种变换得到。
【解析】
解：二次函数图象平移时，仅改变图象位置，二次项系数$a$的大小、符号均不变；沿x轴作轴对称变换时，二次项系数$a$变为原系数的相反数，即$|a|$不变。
原函数$y=2x^2+1$的二次项系数为$2$，$|a|=2$：
1. 函数①$y=2x^2+3$的二次项系数为$2$，与原函数$a$相等，将原函数图象向上平移2个单位即可得到①，符合变换要求；
2. 函数②$y=-2x^2-1$的二次项系数为$-2$，$|a|=2$，与原函数$a$的绝对值相等，将原函数图象沿x轴翻折（轴对称变换）即可得到②，符合变换要求；
3. 函数③$y=-\frac{1}{2}x^2-1$的二次项系数为$-\frac{1}{2}$，$|a|=\frac{1}{2}≠2$，平移和轴对称变换均不改变$|a|$，因此无法通过上述两种变换得到。
【答案】
③
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数轴对称变换性质；二次项系数的意义
【点评】
本题考查二次函数图象变换的本质特征，解题的突破点是抓住变换前后二次项系数绝对值不变这一核心，无需计算顶点坐标即可快速判断，避免了复杂的运算，是对二次函数图象变换基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确二次函数进行平移、轴对称变换的规律：平移变换只改变图象的位置，不会改变二次项系数a的大小和符号；关于x轴的轴对称变换会将二次项系数a变为原系数的相反数，a的绝对值保持不变。因此只需对比三个待判断函数与原函数的二次项系数的绝对值，绝对值不相等的就无法通过这两种变换得到。
【解析】
解：二次函数图象平移时，仅改变图象位置，二次项系数$a$的大小、符号均不变；沿x轴作轴对称变换时，二次项系数$a$变为原系数的相反数，即$|a|$不变。
原函数$y=2x^2+1$的二次项系数为$2$，$|a|=2$：
1. 函数①$y=2x^2+3$的二次项系数为$2$，与原函数$a$相等，将原函数图象向上平移2个单位即可得到①，符合变换要求；
2. 函数②$y=-2x^2-1$的二次项系数为$-2$，$|a|=2$，与原函数$a$的绝对值相等，将原函数图象沿x轴翻折（轴对称变换）即可得到②，符合变换要求；
3. 函数③$y=-\frac{1}{2}x^2-1$的二次项系数为$-\frac{1}{2}$，$|a|=\frac{1}{2}≠2$，平移和轴对称变换均不改变$|a|$，因此无法通过上述两种变换得到。
【答案】
③
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数轴对称变换性质；二次项系数的意义
【点评】
本题考查二次函数图象变换的本质特征，解题的突破点是抓住变换前后二次项系数绝对值不变这一核心，无需计算顶点坐标即可快速判断，避免了复杂的运算，是对二次函数图象变换基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
5. 已知二次函数$y=-x^2 + 2(m-1)x + 2m - m^2$的图象关于y轴对称，则由此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B，C构成的$△ ABC$的面积是
1
。答案
5. 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先从二次函数图象关于y轴对称的性质入手：二次函数图象关于y轴对称时，其对称轴为x=0，对应解析式的一次项系数为0，据此可先求出参数m的值；再代入m得到完整的二次函数解析式，分别求出顶点坐标和与x轴的两个交点坐标；最后根据三个点的坐标计算三角形面积即可。
【解析】
第一步：求参数m的值
已知二次函数$y=-x^2 + 2(m-1)x + 2m - m^2$的图象关于y轴对称，说明其对称轴为$x=0$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，若对称轴为0，则一次项系数$b=0$。
本题中$b=2(m-1)$，令$2(m-1)=0$，解得$m=1$。
第二步：求二次函数解析式
将$m=1$代入原函数，得：
$y=-x^2 + 2×(1-1)x + 2×1 - 1^2 = -x^2 +1$
第三步：求顶点A和x轴交点B、C的坐标
顶点A：因为函数关于y轴对称，顶点在y轴上，令$x=0$，得$y=1$，故$A(0,1)$。
与x轴交点：令$y=0$，则$-x^2 +1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=1$，故两个交点为$B(-1,0)$，$C(1,0)$。
第四步：计算$△ ABC$的面积
线段$BC$的长度为$1 - (-1)=2$，BC边上的高为顶点A到x轴的距离，即A点纵坐标的绝对值$|1|=1$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×1=1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与坐标轴的交点；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，通过对称轴性质确定参数是解题的突破口，整体逻辑清晰，只要掌握二次函数的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先从二次函数图象关于y轴对称的性质入手：二次函数图象关于y轴对称时，其对称轴为x=0，对应解析式的一次项系数为0，据此可先求出参数m的值；再代入m得到完整的二次函数解析式，分别求出顶点坐标和与x轴的两个交点坐标；最后根据三个点的坐标计算三角形面积即可。
【解析】
第一步：求参数m的值
已知二次函数$y=-x^2 + 2(m-1)x + 2m - m^2$的图象关于y轴对称，说明其对称轴为$x=0$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，若对称轴为0，则一次项系数$b=0$。
本题中$b=2(m-1)$，令$2(m-1)=0$，解得$m=1$。
第二步：求二次函数解析式
将$m=1$代入原函数，得：
$y=-x^2 + 2×(1-1)x + 2×1 - 1^2 = -x^2 +1$
第三步：求顶点A和x轴交点B、C的坐标
顶点A：因为函数关于y轴对称，顶点在y轴上，令$x=0$，得$y=1$，故$A(0,1)$。
与x轴交点：令$y=0$，则$-x^2 +1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=1$，故两个交点为$B(-1,0)$，$C(1,0)$。
第四步：计算$△ ABC$的面积
线段$BC$的长度为$1 - (-1)=2$，BC边上的高为顶点A到x轴的距离，即A点纵坐标的绝对值$|1|=1$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×1=1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与坐标轴的交点；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，通过对称轴性质确定参数是解题的突破口，整体逻辑清晰，只要掌握二次函数的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
6. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线向上平移4个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为$y=-3x^2+1$，则原抛物线的解析式为
$y=-3x^2-3$
。答案
6. $y=-3x^2-3$
解析
【分析】
解决本题首先要回忆二次函数图象上下平移的规律：上下平移时遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，解析式的常数项就加几；向下平移几个单位，常数项就减几。已知原抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，要求原抛物线，只需将新抛物线逆向向下平移4个单位即可，按照平移规则代入计算就能求出原解析式。
【解析】
二次函数图象上下平移遵循“上加下减”的规律：
已知原抛物线向上平移4个单位后得到解析式为$y=-3x^2+1$的新抛物线，因此原抛物线为新抛物线向下平移4个单位所得，即：
$y=-3x^2+1 - 4$
计算得$y=-3x^2-3$
【答案】
$y=-3x^2-3$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移“上加下减”规律
【点评】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题的核心是熟练掌握平移规律，注意平移的可逆性，是对基础知识点的直接考查，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆二次函数图象上下平移的规律：上下平移时遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，解析式的常数项就加几；向下平移几个单位，常数项就减几。已知原抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，要求原抛物线，只需将新抛物线逆向向下平移4个单位即可，按照平移规则代入计算就能求出原解析式。
【解析】
二次函数图象上下平移遵循“上加下减”的规律：
已知原抛物线向上平移4个单位后得到解析式为$y=-3x^2+1$的新抛物线，因此原抛物线为新抛物线向下平移4个单位所得，即：
$y=-3x^2+1 - 4$
计算得$y=-3x^2-3$
【答案】
$y=-3x^2-3$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移“上加下减”规律
【点评】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题的核心是熟练掌握平移规律，注意平移的可逆性，是对基础知识点的直接考查，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
