1. (长沙中考)如图，AC，BC为$\odot O$的弦，连接OA，OB，OC.若$∠ AOB=40°$，$∠ OCA=30°$，则$∠ BCO$的度数为 （）

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
第1题

1. C

【分析】
解题时首先抓住圆的半径都相等这一基本性质，可得OA=OC=OB，即△OAC和△OBC都是等腰三角形。第一步先在△OAC中，利用已知的∠OCA=30°，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和，算出顶角∠AOC的度数；第二步用∠AOC减去已知的∠AOB=40°，得到∠BOC的度数；第三步在等腰△OBC中，再次利用等腰三角形性质和内角和即可求出∠BCO的度数。
【解析】
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，△OAC为等腰三角形
∴ ∠OAC=∠OCA=30°
根据三角形内角和为180°，得∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°
已知∠AOB=40°，
∴ ∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°
又
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，△OBC为等腰三角形
∴ ∠BCO=∠CBO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°
【答案】
C
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题核心是利用圆的半径相等构造等腰三角形，再结合三角形内角和定理逐步推导所求角度，解题时需注意图中角的和差关系不要混淆。
【难度系数】
0.7

2. 如图，AB，CD是$\odot O$的弦，延长AB，CD相交于点P. 已知$∠ P=30°$，$∠ AOC=80°$，则BD的度数是 （）

A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$10°$

2. C

【分析】
解题时可结合圆周角定理与三角形外角性质逐步推导：第一步，根据圆周角定理，先求出弧AC对应的圆周角∠ABC的度数，它等于圆心角∠AOC的一半；第二步，利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，由∠ABC和∠P的度数求出圆周角∠C的度数；第三步，再次利用圆周角定理，弧的度数等于其所对圆周角度数的2倍，即可求出弧BD的度数。
【解析】
解：连接BC，
∵ 弧AC所对的圆心角为∠AOC，所对的圆周角为∠ABC，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$，
∵ $∠ ABC$是$△ PBC$的外角，
∴ $∠ ABC = ∠ P + ∠ C$，
将$∠ P=30°$代入得：$40° = 30° + ∠ C$，解得$∠ C=10°$，
又
∵ $∠ C$是弧BD所对的圆周角，弧的度数等于其所对圆周角度数的2倍，
∴ 弧BD的度数$=2∠ C = 2×10°=20°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质
【点评】
本题是圆周角部分的基础常考题，核心考察圆周角定理的灵活应用，解题的关键是准确找到同弧对应的圆心角和圆周角，结合三角形外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3. 在同一个圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为$(2x + 70)°$和$90°$，则$x=$。

3. 55

【分析】
解题时首先回忆圆周角定理的内容：同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，因此同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。我们可以根据这个数量关系列出关于x的一元一次方程，再解方程即可求出x的值。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于该弧所对圆周角的2倍。
已知该弧所对圆周角为90°，因此对应的圆心角度数为：$2×90°=180°$
结合题意，圆心角度数为$(2x+70)°$，可列方程：
$2x + 70 = 180$
移项得：$2x = 180 - 70$
计算得：$2x = 110$
解得：$x = 55$
【答案】
55
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题关键是熟练掌握同弧所对圆心角与圆周角的数量关系，整体计算难度低，只要细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9

4. 如图，点A，B，C在$\odot O$上，$∠ A=40°$，$∠ C=20°$，则$∠ B=$°。

4. 60

【分析】
本题要求∠ABC的度数，可利用圆周角定理求解。首先观察到∠ABC是⊙O的圆周角，所对的弧为弧AC，只需先求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数即可。已知的∠BAC、∠ACB也都是圆周角，分别对应弧BC、弧AB，我们可以先通过这两个圆周角求出对应圆心角∠BOC、∠AOB的度数，两者相加得到∠AOC的度数，再代入圆周角定理就能算出∠ABC的度数。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍。
1. ∠BAC是弧BC所对的圆周角，因此弧BC对应的圆心角∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°；
2. ∠ACB是弧AB所对的圆周角，因此弧AB对应的圆心角∠AOB=2∠ACB=2×20°=40°；
3. 弧AC对应的圆心角∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+80°=120°；
4. ∠ABC是弧AC所对的圆周角，因此∠ABC=½∠AOC=½×120°=60°。
【答案】
60
【知识点】
圆周角定理、圆心角与圆周角的关系
【点评】
本题是基础的圆的角度计算问题，解题的关键是找准每个角对应的弧，熟练运用圆周角定理建立圆周角和圆心角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5. 如图，AB是$\odot O$的直径，位于AB两侧的点C，D均在$\odot O$上，$∠ BOC=30°$，则$∠ ADC=$.

5. $75°$

【分析】
解题思路：要求∠ADC的度数，首先明确∠ADC是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，只需要先求出弧AC所对的圆心角∠AOC的度数即可。已知AB是⊙O的直径，可得∠AOB为平角180°，结合已知的∠BOC=30°，就能计算出∠AOC的度数，再代入圆周角定理公式即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，
∵∠BOC=30°，
∴∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 180° - 30° = 150°，
∵∠ADC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴∠ADC = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×150° = 75°。
【答案】
$75°$
【知识点】
圆周角定理、平角的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆周角定理的直接应用，解题的核心是找准圆周角对应的圆心角，结合已知角度条件简单计算即可得到答案，是圆周角相关知识的常规考查题目。
【难度系数】
0.85

6. 如图，A，B，C，D四点在$\odot O$上.
（1）若$∠ ABC=∠ ADB$，求证：$AB=AC$；
（2）若$∠ CAD=∠ ACD$，求证：$BD$平分$∠ ABC$.

6. 证明：
(1) $\because ∠ ABC = ∠ ADB, \therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AB}. \therefore AB = AC$；
(2) $\because ∠ CAD=∠ CBD, ∠ ACD = ∠ ABD$, 又$\because ∠ CAD = ∠ ACD, \therefore ∠ ABD=∠ CBD. \therefore BD$ 平分$∠ ABC$.

【分析】
（1）要证弦$AB=AC$，在同圆中可转化为证明两条弦所对的弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。根据圆周角定理的推论，相等的圆周角所对的弧相等，观察图形可知∠ADB对应$\overset{\frown}{AB}$，∠ABC对应$\overset{\frown}{AC}$，结合已知∠ABC=∠ADB，即可推出弧相等，进一步得到弦相等。
（2）要证BD平分∠ABC，即证∠ABD=∠CBD。根据同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠CBD（同对$\overset{\frown}{CD}$），∠ACD=∠ABD（同对$\overset{\frown}{AD}$），结合已知∠CAD=∠ACD，通过等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
【解析】
（1）在$\odot O$中，∠ADB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角。
因为相等的圆周角所对的弧相等，已知$∠ABC = ∠ADB$，所以$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AB}$。
又因为同圆中等弧对等弦，所以$AB = AC$。
（2）在$\odot O$中，同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角∠CAD和∠CBD相等，即$∠CAD=∠CBD$；$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角∠ACD和∠ABD相等，即$∠ACD = ∠ABD$。
已知$∠CAD = ∠ACD$，通过等量代换可得$∠ABD=∠CBD$，根据角平分线的定义，可知BD平分$∠ABC$。
【答案】
证明：
(1) $\because ∠ ABC = ∠ ADB, \therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AB}. \therefore AB = AC$；
(2) $\because ∠ CAD=∠ CBD, ∠ ACD = ∠ ABD$, 又$\because ∠ CAD = ∠ ACD, \therefore ∠ ABD=∠ CBD. \therefore BD$ 平分$∠ ABC$.
【知识点】
圆周角定理，弧弦关系，角平分线定义
【点评】
本题是圆周角相关的基础证明题，核心是利用圆周角定理及其推论实现角与弧、角与角之间的等量转化，熟练掌握同弧所对圆周角相等、相等圆周角所对弧相等是解题的关键。
【难度系数】
0.8

7. 如图,点A,B,C在$\odot O$上,$AC⊥OB$,垂足为D,若$∠A=35°$,则$∠C$的度数是 （）

A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

7. A

【分析】
解题时先明确已知角与所求角的关联：首先利用圆周角定理，由已知的圆周角∠A求出对应同弧的圆心角度数，再结合AC与OB垂直得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠C的度数。第一步，确定∠A是圆周角，它所对的弧为弧BC，对应圆心角是∠BOC，根据圆周角定理计算∠BOC；第二步，在直角△CDO中利用内角关系计算∠C。
【解析】
1. 已知∠A（即∠BAC）是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ BOC=2∠ A=2×35°=70°$。
2. 因为$AC⊥ OB$，垂足为D，所以$∠ CDO=90°$，即$△ CDO$是直角三角形。
3. 在$Rt△ CDO$中，两锐角互余，因此$∠ C=90°-∠ BOC=90°-70°=20°$。
【答案】A
【知识点】
圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，核心是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角，结合垂直的性质计算角度，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

8. 如图，$△ ABC$ 的顶点 $A,B,C$ 均在$\odot O$ 上，若 $∠ ABC+∠ AOC=75°$，则 $∠ OAC$ 的度数是（）

A.$25°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$75°$

8. C

【分析】
解题首先运用圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠AOC=2∠ABC，结合已知条件∠ABC+∠AOC=75°，可先求出∠AOC的度数；再由OA、OC是圆的半径，可知△OAC为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理即可求出∠OAC的度数。
【解析】
根据圆周角定理，同弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角$∠ ABC$是圆心角$∠ AOC$的一半，即$∠ AOC=2∠ ABC$。
将$∠ AOC=2∠ ABC$代入$∠ ABC+∠ AOC=75°$，得：
$∠ ABC+2∠ ABC=75°$
$3∠ ABC=75°$
解得$∠ ABC=25°$，因此$∠ AOC=2×25°=50°$。
因为$OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，所以$OA=OC$，$△ OAC$是等腰三角形，$∠ OAC=∠ OCA$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OAC=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，解题关键是准确识别同弧对应的圆周角和圆心角，结合等腰三角形性质和内角和定理计算即可，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7

9. (陕西中考)如图，AB为$\odot O$的直径，$BC=BD$，$∠ CDB=24°$，则$∠ ACD$的度数为。

9. $66°$

【分析】
解题时可先利用圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，结合已知∠CDB的度数得到对应弧BC的度数；再根据等弦对等弧，得到弧BD与弧BC度数相等；接下来结合直径对应的弧度数为180°，求出弧AD的度数；最后根据圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
1. 因为∠CDB是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，弧BC的度数为$2×∠CDB=2×24°=48°$。
2. 已知$BC=BD$，根据同圆中等弦对等弧，可得弧BD的度数=弧BC的度数=$48°$。
3. 因为AB为$\odot O$的直径，所以弧AB的度数为$180°$，因此弧AD的度数为$180°-48°=132°$。
4. ∠ACD是弧AD所对的圆周角，所以$∠ACD=\frac{1}{2}×$弧AD的度数$=\frac{1}{2}×132°=66°$。
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理、直径的性质、等弦对等弧
【点评】
本题是圆周角相关知识的基础应用类题目，解题的关键是理清弦、弧、圆周角之间的对应关系，结合直径的性质逐步推导所求角的度数，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7