登录
8. 一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在$\odot O$上，CD垂直平分AB于点D.现测得$AB=16\ \mathrm{dm}$，$DC=4\ \mathrm{dm}$，则圆形标志牌的半径为 （
A.6 dm
B.5 dm
C.10 dm
D.3 dm
C
）A.6 dm
B.5 dm
C.10 dm
D.3 dm
答案
8.C
解析
【分析】
首先根据CD垂直平分AB，结合垂径定理的推论可知直线CD过圆心O，我们可以通过连接半径OA构造直角三角形OAD。设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的各边长，再利用勾股定理列方程即可求出半径长度。
【解析】
连接OA，设圆形标志牌的半径为$ r\ \mathrm{dm} $。
∵ CD垂直平分AB，$ AB=16\ \mathrm{dm} $
∴ 根据垂径定理的推论，CD经过圆心O，且$ AD=\frac{1}{2}AB=8\ \mathrm{dm} $
∵ $ OA=OC=r\ \mathrm{dm} $，$ DC=4\ \mathrm{dm} $
∴ $ OD=OC-DC=(r-4)\ \mathrm{dm} $
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2=AD^2+OD^2 $
代入得：$ r^2=8^2+(r-4)^2 $
展开计算：$ r^2=64+r^2-8r+16 $
移项化简得：$ 8r=80 $
解得：$ r=10 $
即圆形标志牌的半径为10 dm。
【答案】
C
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理 3.线段垂直平分线性质
【点评】
本题是圆中求线段长度的典型题型，解题关键是通过连接半径构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，需熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合应用。
【难度系数】
0.7
首先根据CD垂直平分AB，结合垂径定理的推论可知直线CD过圆心O，我们可以通过连接半径OA构造直角三角形OAD。设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的各边长，再利用勾股定理列方程即可求出半径长度。
【解析】
连接OA，设圆形标志牌的半径为$ r\ \mathrm{dm} $。
∵ CD垂直平分AB，$ AB=16\ \mathrm{dm} $
∴ 根据垂径定理的推论，CD经过圆心O，且$ AD=\frac{1}{2}AB=8\ \mathrm{dm} $
∵ $ OA=OC=r\ \mathrm{dm} $，$ DC=4\ \mathrm{dm} $
∴ $ OD=OC-DC=(r-4)\ \mathrm{dm} $
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2=AD^2+OD^2 $
代入得：$ r^2=8^2+(r-4)^2 $
展开计算：$ r^2=64+r^2-8r+16 $
移项化简得：$ 8r=80 $
解得：$ r=10 $
即圆形标志牌的半径为10 dm。
【答案】
C
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理 3.线段垂直平分线性质
【点评】
本题是圆中求线段长度的典型题型，解题关键是通过连接半径构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，需熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图，点E在y轴上，$\odot E$与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D。若点C，D的坐标分别为$C(0,4)$，$D(0,-1)$，则线段AB的长度为
4
。答案
9.4
解析
【分析】
解题思路如下：①首先明确圆心E在y轴上，y轴与x轴垂直，根据垂径定理，y轴平分弦AB，因此求AB长度只需求出OA的长度再乘2即可；②已知C、D是圆与y轴的交点，可先通过C、D的坐标计算出CD的长度，得到圆的半径，同时求出圆心E的坐标，得到圆心E到x轴的距离OE；③最后连接EA，在Rt△EOA中利用勾股定理计算OA的长度，进而得到AB的长度。
【解析】
连接EA，
∵点C、D的坐标分别为(0,4)、(0,-1)，
∴CD的长度为$4 - (-1) = 5$，CD中点即为圆心E，
∴⊙E的半径$EA = EC = \frac{5}{2}$，点E的纵坐标为$\frac{4 + (-1)}{2} = \frac{3}{2}$，即$OE = \frac{3}{2}$。
∵y轴⊥x轴，根据垂径定理，y轴垂直平分AB，即$AB = 2OA$。
在Rt△EOA中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{EA^2 - OE^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{9}{4}} = \sqrt{4} = 2$，
∴$AB = 2 × 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题是圆的对称性应用的典型题型，解题的关键是结合坐标特征和垂径定理构造直角三角形，将弦长求解转化为直角三角形边长计算，难度适中，注重基础知识点的结合应用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先明确圆心E在y轴上，y轴与x轴垂直，根据垂径定理，y轴平分弦AB，因此求AB长度只需求出OA的长度再乘2即可；②已知C、D是圆与y轴的交点，可先通过C、D的坐标计算出CD的长度，得到圆的半径，同时求出圆心E的坐标，得到圆心E到x轴的距离OE；③最后连接EA，在Rt△EOA中利用勾股定理计算OA的长度，进而得到AB的长度。
【解析】
连接EA，
∵点C、D的坐标分别为(0,4)、(0,-1)，
∴CD的长度为$4 - (-1) = 5$，CD中点即为圆心E，
∴⊙E的半径$EA = EC = \frac{5}{2}$，点E的纵坐标为$\frac{4 + (-1)}{2} = \frac{3}{2}$，即$OE = \frac{3}{2}$。
∵y轴⊥x轴，根据垂径定理，y轴垂直平分AB，即$AB = 2OA$。
在Rt△EOA中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{EA^2 - OE^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{9}{4}} = \sqrt{4} = 2$，
∴$AB = 2 × 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题是圆的对称性应用的典型题型，解题的关键是结合坐标特征和垂径定理构造直角三角形，将弦长求解转化为直角三角形边长计算，难度适中，注重基础知识点的结合应用。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$\odot O$中，弦$AB=1$，点C在AB上移动，连接OC，过点C作$CD⊥ OC$交$\odot O$于点D，则CD长的最大值为
$\frac{1}{2}$
。答案
10.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决CD的最大值问题，先观察CD与OC的位置关系：CD⊥OC，因此△OCD是直角三角形，OD为圆的半径是定值，根据勾股定理可将CD的长度转化为和OC相关的表达式：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}$，因此要让CD最大，只需让OC的长度最小即可。根据垂线段最短，OC的最小值是圆心O到弦AB的垂线段长度，此时结合垂径定理即可求出CD的最大值。
【解析】
解：连接OD，
∵ $CD⊥OC$，
∴ $∠ OCD=90°$，
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：$CD^2 = OD^2 - OC^2$，
∵ OD是$\odot O$的半径，为定值，
∴ 要使CD的长度最大，需使OC的长度最小，
根据垂线段最短可知，当$OC⊥AB$时，OC的长度最小，
此时由垂径定理可得，C为AB中点，$OC^2 = OA^2 - (\frac{AB}{2})^2$，
又
∵ $OA=OD$（都是$\odot O$的半径），
∴ $CD^2 = OD^2 - OC^2 = OA^2 - [OA^2 - (\frac{AB}{2})^2] = (\frac{AB}{2})^2$，
∴ $CD=\frac{AB}{2}$，
∵ $AB=1$，
∴ CD的最大值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
垂线段最短，勾股定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合最值问题，解题核心是将CD的最值转化为OC的最值，结合直角三角形勾股定理、垂线段最短和垂径定理即可求解，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要解决CD的最大值问题，先观察CD与OC的位置关系：CD⊥OC，因此△OCD是直角三角形，OD为圆的半径是定值，根据勾股定理可将CD的长度转化为和OC相关的表达式：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}$，因此要让CD最大，只需让OC的长度最小即可。根据垂线段最短，OC的最小值是圆心O到弦AB的垂线段长度，此时结合垂径定理即可求出CD的最大值。
【解析】
解：连接OD，
∵ $CD⊥OC$，
∴ $∠ OCD=90°$，
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：$CD^2 = OD^2 - OC^2$，
∵ OD是$\odot O$的半径，为定值，
∴ 要使CD的长度最大，需使OC的长度最小，
根据垂线段最短可知，当$OC⊥AB$时，OC的长度最小，
此时由垂径定理可得，C为AB中点，$OC^2 = OA^2 - (\frac{AB}{2})^2$，
又
∵ $OA=OD$（都是$\odot O$的半径），
∴ $CD^2 = OD^2 - OC^2 = OA^2 - [OA^2 - (\frac{AB}{2})^2] = (\frac{AB}{2})^2$，
∴ $CD=\frac{AB}{2}$，
∵ $AB=1$，
∴ CD的最大值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
垂线段最短，勾股定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合最值问题，解题核心是将CD的最值转化为OC的最值，结合直角三角形勾股定理、垂线段最短和垂径定理即可求解，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
11. 已知$\odot O$的半径为10 cm，AB，CD是$\odot O$的两条弦，$AB// CD$，$AB=16$ cm，$CD=12$ cm，则弦AB和CD之间的距离是
2或14
cm.答案
11.2或14
解析
【分析】
求解本题首先要明确两条平行弦与圆心的位置关系存在两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧，需分类讨论计算。解题时先利用垂径定理，过圆心作两条平行弦的垂线，得到半弦长，再结合圆的半径用勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据弦与圆心的位置关系，通过弦心距的和或差计算两弦的距离。
【解析】
过圆心O作OE⊥AB于点E，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD于点F。
根据垂径定理可得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6\mathrm{cm}$，
已知$\odot O$半径$OA=OC=10\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
1. 当AB、CD在圆心O的同侧时，两弦之间的距离$EF=OF-OE=8-6=2\mathrm{cm}$；
2. 当AB、CD在圆心O的异侧时，两弦之间的距离$EF=OF+OE=8+6=14\mathrm{cm}$。
综上，弦AB和CD之间的距离为2cm或14cm。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆中平行弦距离计算的常考题型，易错点为忽略平行弦与圆心的两种位置关系导致漏解，解题时需结合图形分析所有可能的位置，熟练运用垂径定理转化线段长度、结合勾股定理计算是解题的核心。
【难度系数】
0.6
求解本题首先要明确两条平行弦与圆心的位置关系存在两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧，需分类讨论计算。解题时先利用垂径定理，过圆心作两条平行弦的垂线，得到半弦长，再结合圆的半径用勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据弦与圆心的位置关系，通过弦心距的和或差计算两弦的距离。
【解析】
过圆心O作OE⊥AB于点E，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD于点F。
根据垂径定理可得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6\mathrm{cm}$，
已知$\odot O$半径$OA=OC=10\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
1. 当AB、CD在圆心O的同侧时，两弦之间的距离$EF=OF-OE=8-6=2\mathrm{cm}$；
2. 当AB、CD在圆心O的异侧时，两弦之间的距离$EF=OF+OE=8+6=14\mathrm{cm}$。
综上，弦AB和CD之间的距离为2cm或14cm。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆中平行弦距离计算的常考题型，易错点为忽略平行弦与圆心的两种位置关系导致漏解，解题时需结合图形分析所有可能的位置，熟练运用垂径定理转化线段长度、结合勾股定理计算是解题的核心。
【难度系数】
0.6
12. 如图，正方形ABCD的顶点A，B和正方形EFGH的顶点G，H在一个半径为5 cm的⊙O上，点E，F在线段CD上，正方形ABCD的边长为6 cm，则正方形EFGH的边长为
2.8
cm.答案
12.2.8
解析
【分析】
解题时可结合垂径定理与勾股定理求解：第一步作辅助线，过圆心O作AB的垂线，依次交AB、CD、GH于点M、N、P，由垂径定理可知M是AB中点、P是GH中点；第二步先求圆心O到AB的距离，结合正方形ABCD的边长求出O到CD的距离；第三步设正方形EFGH的边长为x，用x表示出O到GH的距离，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：过点O作$OM⊥ AB$于点M，延长MO分别交CD、GH于点N、P。
∵四边形ABCD是正方形，$AB// CD$，
∴$OP⊥ CD$，$OP⊥ GH$。
根据垂径定理，M是AB中点，P是GH中点。
已知$AB=6\mathrm{cm}$，$\odot O$半径$OA=OG=5\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，$AM=\frac{AB}{2}=3\mathrm{cm}$，
∴$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\mathrm{cm}$。
∵正方形ABCD边长为$6\mathrm{cm}$，AB与CD的距离为$6\mathrm{cm}$，
∴$ON=MN-OM=6-4=2\mathrm{cm}$。
设正方形EFGH的边长为$x\mathrm{cm}$，则$GH=x\mathrm{cm}$，$PN=EF=x\mathrm{cm}$，
∴$OP=ON+PN=(2+x)\mathrm{cm}$，$GP=\frac{GH}{2}=\frac{x}{2}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OGP$中，由勾股定理得$GP^2+OP^2=OG^2$，
即$(\frac{x}{2})^2+(2+x)^2=5^2$，
整理得$5x^2+16x-84=0$，
解得$x_1=2.8$，$x_2=-6$（边长为正，舍去）。
【答案】
$\boxed{2.8}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题综合考查了圆的对称性、正方形性质与勾股定理的应用，解题核心是通过作弦的垂线，利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时可结合垂径定理与勾股定理求解：第一步作辅助线，过圆心O作AB的垂线，依次交AB、CD、GH于点M、N、P，由垂径定理可知M是AB中点、P是GH中点；第二步先求圆心O到AB的距离，结合正方形ABCD的边长求出O到CD的距离；第三步设正方形EFGH的边长为x，用x表示出O到GH的距离，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：过点O作$OM⊥ AB$于点M，延长MO分别交CD、GH于点N、P。
∵四边形ABCD是正方形，$AB// CD$，
∴$OP⊥ CD$，$OP⊥ GH$。
根据垂径定理，M是AB中点，P是GH中点。
已知$AB=6\mathrm{cm}$，$\odot O$半径$OA=OG=5\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，$AM=\frac{AB}{2}=3\mathrm{cm}$，
∴$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\mathrm{cm}$。
∵正方形ABCD边长为$6\mathrm{cm}$，AB与CD的距离为$6\mathrm{cm}$，
∴$ON=MN-OM=6-4=2\mathrm{cm}$。
设正方形EFGH的边长为$x\mathrm{cm}$，则$GH=x\mathrm{cm}$，$PN=EF=x\mathrm{cm}$，
∴$OP=ON+PN=(2+x)\mathrm{cm}$，$GP=\frac{GH}{2}=\frac{x}{2}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OGP$中，由勾股定理得$GP^2+OP^2=OG^2$，
即$(\frac{x}{2})^2+(2+x)^2=5^2$，
整理得$5x^2+16x-84=0$，
解得$x_1=2.8$，$x_2=-6$（边长为正，舍去）。
【答案】
$\boxed{2.8}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题综合考查了圆的对称性、正方形性质与勾股定理的应用，解题核心是通过作弦的垂线，利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
13. 如图,在$\odot O$中,直径$AB⊥ CD$于点$F$,连接$DO$并延长交$AC$于点$E$,且$DE⊥ AC$.
（1）求证：$CE=DF$；
（2）求$∠ BOD$的度数.
（1）求证：$CE=DF$；
（2）求$∠ BOD$的度数.
答案
13.（1）证明:连接AD,$\because DE⊥AC$,$\therefore AE=CE$.$\therefore AD=CD$,同理可得$AC=AD$. $\therefore AC=AD=CD$. $\therefore \frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}CD$,即$CE=DF$；
（2）解:$\because$ 由(1)知$△ ACD$是等边三角形,$\therefore ∠ DAC=60°$. $\because$ 直径$AB⊥CD$于点F,$\therefore ∠ DAO=30°$. $\therefore ∠ BOD=2∠ DAO=60°$.
（2）解:$\because$ 由(1)知$△ ACD$是等边三角形,$\therefore ∠ DAC=60°$. $\because$ 直径$AB⊥CD$于点F,$\therefore ∠ DAO=30°$. $\therefore ∠ BOD=2∠ DAO=60°$.
解析
【分析】
（1）要证明CE=DF，可先利用垂径定理推导△ACD的形状：首先，过圆心的直线DE垂直于弦AC，根据垂径定理可得DE平分AC、平分弧AC，即AD=CD；同理直径AB垂直于弦CD，可得AB平分CD、平分弧CD，即AC=AD，由此可证△ACD是等边三角形，再结合CE、DF分别为等边三角形边长的一半，即可得证。
（2）求∠BOD的度数，可利用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先由等边三角形的性质得∠DAC=60°，再结合垂径定理推出AB平分∠DAC，得到∠DAO=30°，即可求出对应圆心角∠BOD的度数。
【解析】
（1）证明：连接$AD$，
$\because DE⊥ AC$，且$DE$过圆心$O$，
$\therefore$根据垂径定理可得$AE=CE$，弧$AD=$弧$CD$，
$\therefore AD=CD$。
又$\because$直径$AB⊥ CD$，且$AB$过圆心$O$，
$\therefore$同理可得弧$AC=$弧$AD$，$CF=DF$，
$\therefore AC=AD$，
$\therefore AC=AD=CD$，即$△ ACD$是等边三角形，
$\therefore AC=CD$，
$\therefore \frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}CD$，
即$CE=DF$。
（2）解：由（1）可知$△ ACD$是等边三角形，
$\therefore ∠ DAC=60°$，
$\because$直径$AB⊥ CD$，
$\therefore AB$平分$∠ DAC$，即$∠ DAO=\frac{1}{2}∠ DAC=30°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ BOD=2∠ DAO=2×30°=60°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{∠BOD=60°}$
【知识点】
垂径定理；等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的对称性的综合应用类题目，核心是熟练运用垂径定理得到相等的弦、相等的弧，进而推导出等边三角形作为中间桥梁，再结合圆周角定理求解角度，解题时要注意合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7
（1）要证明CE=DF，可先利用垂径定理推导△ACD的形状：首先，过圆心的直线DE垂直于弦AC，根据垂径定理可得DE平分AC、平分弧AC，即AD=CD；同理直径AB垂直于弦CD，可得AB平分CD、平分弧CD，即AC=AD，由此可证△ACD是等边三角形，再结合CE、DF分别为等边三角形边长的一半，即可得证。
（2）求∠BOD的度数，可利用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先由等边三角形的性质得∠DAC=60°，再结合垂径定理推出AB平分∠DAC，得到∠DAO=30°，即可求出对应圆心角∠BOD的度数。
【解析】
（1）证明：连接$AD$，
$\because DE⊥ AC$，且$DE$过圆心$O$，
$\therefore$根据垂径定理可得$AE=CE$，弧$AD=$弧$CD$，
$\therefore AD=CD$。
又$\because$直径$AB⊥ CD$，且$AB$过圆心$O$，
$\therefore$同理可得弧$AC=$弧$AD$，$CF=DF$，
$\therefore AC=AD$，
$\therefore AC=AD=CD$，即$△ ACD$是等边三角形，
$\therefore AC=CD$，
$\therefore \frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}CD$，
即$CE=DF$。
（2）解：由（1）可知$△ ACD$是等边三角形，
$\therefore ∠ DAC=60°$，
$\because$直径$AB⊥ CD$，
$\therefore AB$平分$∠ DAC$，即$∠ DAO=\frac{1}{2}∠ DAC=30°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ BOD=2∠ DAO=2×30°=60°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{∠BOD=60°}$
【知识点】
垂径定理；等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的对称性的综合应用类题目，核心是熟练运用垂径定理得到相等的弦、相等的弧，进而推导出等边三角形作为中间桥梁，再结合圆周角定理求解角度，解题时要注意合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7
14. 如图，弓形弦长$AB=48\ \mathrm{m}$，高$CD=18\ \mathrm{m}$，有一内接矩形$EFGH$，边$FG$在$AB$上，顶点$E$，$H$在弓形弧上，边$EH$的长比$EF$的2倍多4 m.
（1）求该弓形所在圆的半径；
（2）求$EF$的长.
（1）求该弓形所在圆的半径；
（2）求$EF$的长.
答案
14. 解:(1) 如图,设圆心为O,连接OA. 设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$,则$OA=r\ \mathrm{m}$,$OD=OC-DC=(r-18)\ \mathrm{m}$,$\because OC⊥AB$,$\therefore AD=DB=\frac{1}{2}AB=48×\frac{1}{2}=24(\mathrm{m})$,在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,$24^2+(r-18)^2=r^2$,解得$r=25$.
答:该弓形所在圆的半径为25 m；
（2）由(1)得:$OD=25-18=7(\mathrm{m})$,连接OE,设OC交EH于点M,设$EF=x\ \mathrm{m}$,则$EH=(2x+4)\mathrm{m}$,$\because OC⊥EH$,$\therefore EM=MH=\frac{1}{2}EH=(x+2)\mathrm{m}$,在$\mathrm{Rt}△ EOM$中,$25^2=(x+2)^2+(7+x)^2$,整理得$x^2+9x-286=0$,解得$x_1=13$,$x_2=-22$(舍去). $\therefore EF=13\ \mathrm{m}$.
第14题解析
【分析】
（1）求弓形所在圆的半径时，根据垂径定理可知，弓形的高CD的延长线必过圆心，连接半径OA即可构造直角三角形AOD。设半径为r，用含r的代数式表示OD的长度，结合AB的长得到AD的长度，代入勾股定理列方程即可求解半径。
（2）求EF的长度时，先设EF为x m，根据题意表示出EH的长度。结合矩形对边平行的性质可得EH与AB平行，因此OC垂直EH，连接OE构造直角三角形EOM，用含x的代数式分别表示EM、OM的长度，代入勾股定理列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
(1) 设圆心为O，连接OA，设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=r\ \mathrm{m}$。
$\because CD$是弓形的高，$\therefore OC⊥ AB$，由垂径定理得：
$AD=DB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×48=24(\mathrm{m})$，$OD=OC-CD=(r-18)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理可得$AD^2+OD^2=OA^2$，代入得：
$24^2+(r-18)^2=r^2$
展开计算得：$576 + r^2 - 36r + 324 = r^2$
化简解得：$r=25$。
(2) 由(1)得$OD=25-18=7(\mathrm{m})$。
连接OE，设OC交EH于点M，设$EF=x\ \mathrm{m}$，由题意得$EH=(2x+4)\ \mathrm{m}$。
$\because$四边形EFGH是矩形，$\therefore EH// AB$，$EF=MD=x\ \mathrm{m}$，
$\therefore OC⊥ EH$，由垂径定理得$EM=\frac{1}{2}EH=(x+2)\ \mathrm{m}$，$OM=OD+DM=(7+x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EOM$中，由勾股定理可得$EM^2+OM^2=OE^2$，代入得：
$(x+2)^2+(7+x)^2=25^2$
整理得：$x^2+9x-286=0$
解得$x_1=13$，$x_2=-22$（长度为正，舍去）。
【答案】
(1) 该弓形所在圆的半径为$\boxed{25\ \mathrm{m}}$；
(2) $EF$的长为$\boxed{13\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于圆的综合应用类题目，将圆的对称性与矩形性质结合，核心考查垂径定理的应用，通过构造直角三角形、建立方程求解的思路是这类几何计算问题的常用方法。
【难度系数】
0.65
（1）求弓形所在圆的半径时，根据垂径定理可知，弓形的高CD的延长线必过圆心，连接半径OA即可构造直角三角形AOD。设半径为r，用含r的代数式表示OD的长度，结合AB的长得到AD的长度，代入勾股定理列方程即可求解半径。
（2）求EF的长度时，先设EF为x m，根据题意表示出EH的长度。结合矩形对边平行的性质可得EH与AB平行，因此OC垂直EH，连接OE构造直角三角形EOM，用含x的代数式分别表示EM、OM的长度，代入勾股定理列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
(1) 设圆心为O，连接OA，设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=r\ \mathrm{m}$。
$\because CD$是弓形的高，$\therefore OC⊥ AB$，由垂径定理得：
$AD=DB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×48=24(\mathrm{m})$，$OD=OC-CD=(r-18)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理可得$AD^2+OD^2=OA^2$，代入得：
$24^2+(r-18)^2=r^2$
展开计算得：$576 + r^2 - 36r + 324 = r^2$
化简解得：$r=25$。
(2) 由(1)得$OD=25-18=7(\mathrm{m})$。
连接OE，设OC交EH于点M，设$EF=x\ \mathrm{m}$，由题意得$EH=(2x+4)\ \mathrm{m}$。
$\because$四边形EFGH是矩形，$\therefore EH// AB$，$EF=MD=x\ \mathrm{m}$，
$\therefore OC⊥ EH$，由垂径定理得$EM=\frac{1}{2}EH=(x+2)\ \mathrm{m}$，$OM=OD+DM=(7+x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EOM$中，由勾股定理可得$EM^2+OM^2=OE^2$，代入得：
$(x+2)^2+(7+x)^2=25^2$
整理得：$x^2+9x-286=0$
解得$x_1=13$，$x_2=-22$（长度为正，舍去）。
【答案】
(1) 该弓形所在圆的半径为$\boxed{25\ \mathrm{m}}$；
(2) $EF$的长为$\boxed{13\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于圆的综合应用类题目，将圆的对称性与矩形性质结合，核心考查垂径定理的应用，通过构造直角三角形、建立方程求解的思路是这类几何计算问题的常用方法。
【难度系数】
0.65
