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1. 如图，$\odot O$的直径$AB⊥$弦$CD$于点$E$，则下列结论不一定正确的是 （
A.$CE=DE$
B.$AE=OE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$△ OCE≌△ ODE$
第1题
B
）A.$CE=DE$
B.$AE=OE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$△ OCE≌△ ODE$
第1题答案
1.B
解析
【分析】
本题考查垂径定理、全等三角形判定及圆的基本性质，解题思路如下：首先结合已知条件“直径$AB⊥$弦$CD$”，利用垂径定理判断A、C选项的正确性；再根据全等三角形的判定定理判断D选项是否成立；最后分析B选项是否存在必然成立的条件，即可选出符合要求的答案。
【解析】
已知$\odot O$的直径$AB ⊥$弦$CD$于点$E$：
1. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可得$CE=DE$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此A、C选项结论正确。
2. 判定$△ OCE$和$△ ODE$：
$\because AB ⊥ CD$，$\therefore ∠ OEC=∠ OED=90°$，
又$\because OC=OD$（同圆的半径相等），$OE=OE$（公共边），
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCE ≌ \mathrm{Rt}△ ODE$（HL），因此D选项结论正确。
3. 分析B选项：题目仅给出$AB ⊥ CD$，没有给出线段长度的特殊关系，$AE=OE$不是必然成立的结论，仅在特殊情况下成立，因此B选项结论不一定正确。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；全等三角形判定；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容和全等三角形的判定方法，做题时要注意审题，明确题目要求选“不一定正确”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查垂径定理、全等三角形判定及圆的基本性质，解题思路如下：首先结合已知条件“直径$AB⊥$弦$CD$”，利用垂径定理判断A、C选项的正确性；再根据全等三角形的判定定理判断D选项是否成立；最后分析B选项是否存在必然成立的条件，即可选出符合要求的答案。
【解析】
已知$\odot O$的直径$AB ⊥$弦$CD$于点$E$：
1. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可得$CE=DE$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此A、C选项结论正确。
2. 判定$△ OCE$和$△ ODE$：
$\because AB ⊥ CD$，$\therefore ∠ OEC=∠ OED=90°$，
又$\because OC=OD$（同圆的半径相等），$OE=OE$（公共边），
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCE ≌ \mathrm{Rt}△ ODE$（HL），因此D选项结论正确。
3. 分析B选项：题目仅给出$AB ⊥ CD$，没有给出线段长度的特殊关系，$AE=OE$不是必然成立的结论，仅在特殊情况下成立，因此B选项结论不一定正确。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；全等三角形判定；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容和全等三角形的判定方法，做题时要注意审题，明确题目要求选“不一定正确”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
2. 点P是$\odot O$内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为（
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
B
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先明确圆内两类特殊弦的性质：①过圆内一点的最长弦是圆的直径，据此可先求出圆的半径；②过圆内一点的最短弦是与过该点的直径垂直的弦，此时弦心距最大，弦长最短。再结合垂径定理得到最短弦长度的一半，最后利用半径、半弦长、弦心距（即OP）构成的直角三角形，用勾股定理计算OP的长度即可。
【解析】
∵过⊙O内点P的最长弦为直径，最长弦长为10 cm
∴⊙O的半径$r = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm}$
过点P的最短弦是垂直于过点P的直径的弦，设该最短弦为AB，AB与OP交于点P，则$AB ⊥ OP$，且$AB=6\ \mathrm{cm}$
根据垂径定理，得：$AP = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，$OA = r = 5\ \mathrm{cm}$，$AP=3\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题考查圆内特殊弦的性质，结合垂径定理与勾股定理计算线段长度，解题关键是牢记过圆内一点的最长弦、最短弦的特征，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先明确圆内两类特殊弦的性质：①过圆内一点的最长弦是圆的直径，据此可先求出圆的半径；②过圆内一点的最短弦是与过该点的直径垂直的弦，此时弦心距最大，弦长最短。再结合垂径定理得到最短弦长度的一半，最后利用半径、半弦长、弦心距（即OP）构成的直角三角形，用勾股定理计算OP的长度即可。
【解析】
∵过⊙O内点P的最长弦为直径，最长弦长为10 cm
∴⊙O的半径$r = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm}$
过点P的最短弦是垂直于过点P的直径的弦，设该最短弦为AB，AB与OP交于点P，则$AB ⊥ OP$，且$AB=6\ \mathrm{cm}$
根据垂径定理，得：$AP = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，$OA = r = 5\ \mathrm{cm}$，$AP=3\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题考查圆内特殊弦的性质，结合垂径定理与勾股定理计算线段长度，解题关键是牢记过圆内一点的最长弦、最短弦的特征，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3.（宜宾中考）如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$于点D.若$AB=8$，$OC=5$，则$OD$的长是（
A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
A
）A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
答案
3.A
解析
【分析】
遇到圆中半径垂直弦的情况，首先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可以先求出弦AB的一半AD的长度；再结合圆的半径都相等，得到OA的长度，此时△OAD是直角三角形，最后利用勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：
∵OC是⊙O的半径，且OC⊥AB，
∴根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵⊙O的半径OC=5，
∴OA=OC=5，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$OD^2+AD^2=OA^2$，
代入数值：$OD^2+4^2=5^2$，
解得$OD^2=25-16=9$，
∵OD为线段长度，为正数，
∴OD=3。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题的核心是构造出“半径、弦长的一半、圆心到弦的垂线段”组成的直角三角形，将圆的计算问题转化为直角三角形的计算问题，是圆中常见的考法。
【难度系数】
0.8
遇到圆中半径垂直弦的情况，首先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可以先求出弦AB的一半AD的长度；再结合圆的半径都相等，得到OA的长度，此时△OAD是直角三角形，最后利用勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：
∵OC是⊙O的半径，且OC⊥AB，
∴根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵⊙O的半径OC=5，
∴OA=OC=5，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$OD^2+AD^2=OA^2$，
代入数值：$OD^2+4^2=5^2$，
解得$OD^2=25-16=9$，
∵OD为线段长度，为正数，
∴OD=3。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题的核心是构造出“半径、弦长的一半、圆心到弦的垂线段”组成的直角三角形，将圆的计算问题转化为直角三角形的计算问题，是圆中常见的考法。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AB是$\odot O$的弦，AB的长为8，P是$\odot O$上一个动点（不与点A，B重合），过点O作$OC\bot AP$于点C，$OD\bot PB$于点D，则CD的长为
4
。答案
4.4
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，结合垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得出C是AP的中点、D是PB的中点，由此判断CD是△APB的中位线，再利用三角形中位线等于第三边一半的性质，代入AB的长度即可求出CD的长。
【解析】
解：
∵OC⊥AP，OC经过圆心O，
∴由垂径定理可得，C是AP的中点，
同理，OD⊥PB，OD经过圆心O，
∴D是PB的中点，
∴CD是△APB的中位线，
根据三角形中位线定理，得：
$CD=\frac{1}{2}AB$
∵AB的长为8，
∴$CD=\frac{1}{2}×8=4$
【答案】
4
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题，解题的突破口是通过垂径定理确定线段中点，进而得到三角形中位线，将所求线段与已知线段AB建立联系，计算难度低，熟练掌握相关定理就能快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直条件入手，结合垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得出C是AP的中点、D是PB的中点，由此判断CD是△APB的中位线，再利用三角形中位线等于第三边一半的性质，代入AB的长度即可求出CD的长。
【解析】
解：
∵OC⊥AP，OC经过圆心O，
∴由垂径定理可得，C是AP的中点，
同理，OD⊥PB，OD经过圆心O，
∴D是PB的中点，
∴CD是△APB的中位线，
根据三角形中位线定理，得：
$CD=\frac{1}{2}AB$
∵AB的长为8，
∴$CD=\frac{1}{2}×8=4$
【答案】
4
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题，解题的突破口是通过垂径定理确定线段中点，进而得到三角形中位线，将所求线段与已知线段AB建立联系，计算难度低，熟练掌握相关定理就能快速解答。
【难度系数】
0.7
5. (长沙中考)如图，AB为$\odot O$的弦，$OC⊥ AB$于点C，连接OA，OB，若$AB=OA$，$AC=3$，则OA的长为
6
。答案
5.6
解析
【分析】
首先观察图形，已知OC垂直于弦AB且过圆心O，首先想到运用垂径定理求AB的长度：垂径定理指出垂直于弦的直径平分弦，因此可推出点C是AB的中点，即可由AC的长度求出AB的全长。再结合题目给出的AB=OA的条件，就能直接得到OA的长度。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，OC过圆心O，根据垂径定理可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB$
已知$AC=3$，则$AB=2AC=2×3=6$
又
∵题目给出$AB=OA$
∴$OA=AB=6$
【答案】
6
【知识点】
垂径定理、圆的基本性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查垂径定理的直接应用，只要熟练掌握垂径定理的内容，结合已知条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，已知OC垂直于弦AB且过圆心O，首先想到运用垂径定理求AB的长度：垂径定理指出垂直于弦的直径平分弦，因此可推出点C是AB的中点，即可由AC的长度求出AB的全长。再结合题目给出的AB=OA的条件，就能直接得到OA的长度。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，OC过圆心O，根据垂径定理可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB$
已知$AC=3$，则$AB=2AC=2×3=6$
又
∵题目给出$AB=OA$
∴$OA=AB=6$
【答案】
6
【知识点】
垂径定理、圆的基本性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查垂径定理的直接应用，只要熟练掌握垂径定理的内容，结合已知条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 瓷板画(图①)最早可追溯到秦汉时期,是我国非物质文化遗产,可装裱或嵌入屏风中作观赏用.图②为其平面示意图,A,C为$\odot O$上的两点,连接AC,AC$// l$(桌面),$\odot O$的半径OA=26 cm,AB,CD分别与直线l垂直,垂足分别为B,D两点,AB=CD=3 cm,AC=20 cm,过点O作OE$⊥ l$于点E,交AC于点F,求圆心O到桌面l的距离OE.
答案
6. 解:由题意可知$OF⊥AC$,$EF=AB=CD=3\ \mathrm{cm}$. $\because AC=20\ \mathrm{cm}$,$\therefore AF=CF=\frac{1}{2}AC=10\ \mathrm{cm}$. 在$\mathrm{Rt}△ AOF$中,根据勾股定理得$OF=\sqrt{AO^2-AF^2}=\sqrt{26^2-10^2}=24(\mathrm{cm})$,$\therefore OE=OF+EF=24+3=27(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
解题时首先根据$AC// l$、$OE⊥ l$可推出$OF⊥ AC$，结合垂径定理就能得到弦$AC$的一半$AF$的长度；再由$AB⊥ l$、$OE⊥ l$、$AC// l$可知四边形$ABEF$是矩形，因此$EF=AB=3\mathrm{cm}$。之后在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，已知斜边$OA$和直角边$AF$的长度，用勾股定理求出$OF$的长，最后$OE$的长度就是$OF$与$EF$的和，即可得到最终结果。
【解析】
由题意可知$OF⊥ AC$，四边形$ABEF$为矩形，因此$EF=AB=CD=3\ \mathrm{cm}$。
$\because AC=20\ \mathrm{cm}$，根据垂径定理可得$AF=CF=\frac{1}{2}AC=10\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，根据勾股定理得：
$OF=\sqrt{AO^2-AF^2}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24(\mathrm{cm})$
$\therefore OE=OF+EF=24+3=27(\mathrm{cm})$
【答案】
$27\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题以传统非遗瓷板画为背景，将几何知识和生活实际结合，解题关键是通过平行线、垂线的关系构造直角三角形与矩形，结合相关定理完成计算，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据$AC// l$、$OE⊥ l$可推出$OF⊥ AC$，结合垂径定理就能得到弦$AC$的一半$AF$的长度；再由$AB⊥ l$、$OE⊥ l$、$AC// l$可知四边形$ABEF$是矩形，因此$EF=AB=3\mathrm{cm}$。之后在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，已知斜边$OA$和直角边$AF$的长度，用勾股定理求出$OF$的长，最后$OE$的长度就是$OF$与$EF$的和，即可得到最终结果。
【解析】
由题意可知$OF⊥ AC$，四边形$ABEF$为矩形，因此$EF=AB=CD=3\ \mathrm{cm}$。
$\because AC=20\ \mathrm{cm}$，根据垂径定理可得$AF=CF=\frac{1}{2}AC=10\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，根据勾股定理得：
$OF=\sqrt{AO^2-AF^2}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24(\mathrm{cm})$
$\therefore OE=OF+EF=24+3=27(\mathrm{cm})$
【答案】
$27\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题以传统非遗瓷板画为背景，将几何知识和生活实际结合，解题关键是通过平行线、垂线的关系构造直角三角形与矩形，结合相关定理完成计算，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图,圆心在y轴的负半轴上,半径为5的$\odot B$与y轴的正半轴交于点$A(0,1)$,过点$P(0,-7)$的直线$l$与$\odot B$相交于$C,D$两点,则弦$CD$长的所有可能的整数值有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7.C
解析
【分析】
要确定弦CD长的所有可能整数值，首先需要先求出圆心B的坐标，再明确过圆内一点P的弦长的取值范围：过圆内一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心连线垂直的弦，结合垂径定理和勾股定理算出最短弦长后，就能得到CD的取值范围，进而找出范围内的所有整数。
【解析】
1. 求圆心B的坐标：
已知⊙B半径为5，与y轴正半轴交于A(0,1)，且圆心B在y轴负半轴，设B(0,b)（b＜0），则AB的长度为半径5，即$1-b=5$，解得$b=-4$，故$B(0,-4)$。
2. 判断P点位置并计算BP长度：
已知$P(0,-7)$，则$BP=|-4-(-7)|=3＜5$，说明P在⊙B内部。
3. 计算弦CD的最值：
① 最长弦：过圆内一点的最长弦为直径，因此CD的最大值为$2×5=10$；
② 最短弦：当$CD⊥ BP$时CD最短，连接BC，由垂径定理可知P为CD中点，在$Rt△ BPC$中，$BC=5$，$BP=3$，由勾股定理得$PC=\sqrt{BC^2-BP^2}=\sqrt{25-9}=4$，因此$CD=2PC=8$。
4. 确定CD的取值范围为$8≤ CD≤10$，其中整数值为8、9、10，共3个。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆内弦长最值，勾股定理
【点评】
本题核心是掌握过圆内定点的弦长的最值规律，结合垂径定理和勾股定理即可求出弦长范围，是圆的对称性相关知识的常规应用。
【难度系数】
0.7
要确定弦CD长的所有可能整数值，首先需要先求出圆心B的坐标，再明确过圆内一点P的弦长的取值范围：过圆内一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心连线垂直的弦，结合垂径定理和勾股定理算出最短弦长后，就能得到CD的取值范围，进而找出范围内的所有整数。
【解析】
1. 求圆心B的坐标：
已知⊙B半径为5，与y轴正半轴交于A(0,1)，且圆心B在y轴负半轴，设B(0,b)（b＜0），则AB的长度为半径5，即$1-b=5$，解得$b=-4$，故$B(0,-4)$。
2. 判断P点位置并计算BP长度：
已知$P(0,-7)$，则$BP=|-4-(-7)|=3＜5$，说明P在⊙B内部。
3. 计算弦CD的最值：
① 最长弦：过圆内一点的最长弦为直径，因此CD的最大值为$2×5=10$；
② 最短弦：当$CD⊥ BP$时CD最短，连接BC，由垂径定理可知P为CD中点，在$Rt△ BPC$中，$BC=5$，$BP=3$，由勾股定理得$PC=\sqrt{BC^2-BP^2}=\sqrt{25-9}=4$，因此$CD=2PC=8$。
4. 确定CD的取值范围为$8≤ CD≤10$，其中整数值为8、9、10，共3个。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆内弦长最值，勾股定理
【点评】
本题核心是掌握过圆内定点的弦长的最值规律，结合垂径定理和勾股定理即可求出弦长范围，是圆的对称性相关知识的常规应用。
【难度系数】
0.7
