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8. 如图,在两个同心圆中,大圆半径OA是小圆半径OC的2倍,点D,E,B均在圆上,若$∠ AOB=∠ COD=∠ DOE$,连接AB,DE,CD和CE,则下列说法不正确的是 (
A.点O到弦CD的距离等于点O到弦DE的距离
B.$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{DE}$
C.$AB=2DE$
D.$AB=CE$
D
)A.点O到弦CD的距离等于点O到弦DE的距离
B.$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{DE}$
C.$AB=2DE$
D.$AB=CE$
答案
8. D
解析
【分析】
解题时我们可以先设小圆半径为r，那么大圆半径OA=OB=2r，再设∠COD=∠DOE=∠AOB=α，结合同圆半径相等、圆心角与弧、弦、弦心距的对应关系，以及相似三角形的性质，逐个验证四个选项的正误，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
设小圆半径OC=OD=OE=r，由题意得大圆半径OA=OB=2r，设∠COD=∠DOE=∠AOB=α。
选项A：
∵OC=OD=OE，∠COD=∠DOE，
∴△COD≌△EOD，两个等腰三角形底边上的高（即O到弦的距离）相等，因此点O到弦CD的距离等于点O到弦DE的距离，A正确，不符合题意。
选项B：∠COE=∠COD+∠DOE=2α，同圆中弧长之比等于对应圆心角之比，因此$\overset{\frown}{CE}$的长度是$\overset{\frown}{DE}$的2倍，即$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{DE}$，B正确，不符合题意。
选项C：在△AOB和△DOE中，$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OE}=\frac{2r}{r}=2$，且∠AOB=∠DOE=α，
∴△AOB∽△DOE，相似比为2:1，因此$\frac{AB}{DE}=2$，即AB=2DE，C正确，不符合题意。
选项D：弦长公式为$l=2R\sin\frac{θ}{2}$（R为圆半径，θ为弦对应的圆心角），则AB=$2×2r×\sin\frac{α}{2}=4r\sin\frac{α}{2}$，CE对应的圆心角为2α，所在圆半径为r，因此CE=$2× r×\sin\frac{2α}{2}=2r\sinα=4r\sin\frac{α}{2}\cos\frac{α}{2}$，仅当$\cos\frac{α}{2}=1$（即α=0，不符合实际）时AB=CE，因此AB≠CE，D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，圆心角与弧弦的关系
【点评】
本题考查圆的对称性相关知识，需要熟练掌握同圆中圆心角、弧、弦、弦心距的对应关系，结合相似三角形等知识进行推导，属于圆章节的基础综合题型，注意不要默认不同半径的圆中弦长与圆心角成正比。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以先设小圆半径为r，那么大圆半径OA=OB=2r，再设∠COD=∠DOE=∠AOB=α，结合同圆半径相等、圆心角与弧、弦、弦心距的对应关系，以及相似三角形的性质，逐个验证四个选项的正误，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
设小圆半径OC=OD=OE=r，由题意得大圆半径OA=OB=2r，设∠COD=∠DOE=∠AOB=α。
选项A：
∵OC=OD=OE，∠COD=∠DOE，
∴△COD≌△EOD，两个等腰三角形底边上的高（即O到弦的距离）相等，因此点O到弦CD的距离等于点O到弦DE的距离，A正确，不符合题意。
选项B：∠COE=∠COD+∠DOE=2α，同圆中弧长之比等于对应圆心角之比，因此$\overset{\frown}{CE}$的长度是$\overset{\frown}{DE}$的2倍，即$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{DE}$，B正确，不符合题意。
选项C：在△AOB和△DOE中，$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OE}=\frac{2r}{r}=2$，且∠AOB=∠DOE=α，
∴△AOB∽△DOE，相似比为2:1，因此$\frac{AB}{DE}=2$，即AB=2DE，C正确，不符合题意。
选项D：弦长公式为$l=2R\sin\frac{θ}{2}$（R为圆半径，θ为弦对应的圆心角），则AB=$2×2r×\sin\frac{α}{2}=4r\sin\frac{α}{2}$，CE对应的圆心角为2α，所在圆半径为r，因此CE=$2× r×\sin\frac{2α}{2}=2r\sinα=4r\sin\frac{α}{2}\cos\frac{α}{2}$，仅当$\cos\frac{α}{2}=1$（即α=0，不符合实际）时AB=CE，因此AB≠CE，D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，圆心角与弧弦的关系
【点评】
本题考查圆的对称性相关知识，需要熟练掌握同圆中圆心角、弧、弦、弦心距的对应关系，结合相似三角形等知识进行推导，属于圆章节的基础综合题型，注意不要默认不同半径的圆中弦长与圆心角成正比。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在$\odot O$中，直径$AB$与弦$CD$平行.若$∠ COD=110°$，则$\overset{\frown}{AC}$的度数为
35
°.答案
9. 35
解析
【分析】
解题思路可分三步推导：首先，OC和OD都是圆的半径，长度相等，因此△COD是等腰三角形，已知顶角∠COD的度数，可先求出底角∠OCD的度数；其次，利用AB与CD平行的性质，可得内错角∠AOC与∠OCD相等，即得到弧AC对应的圆心角度数；最后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数，即可求出$\overset{\frown}{AC}$的度数。
【解析】
解：
∵OC、OD都是$\odot O$的半径
∴OC=OD，$△ COD$为等腰三角形
∴$∠ OCD=∠ ODC=\frac{180°-∠ COD}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$
∵AB//CD
∴$∠ AOC=∠ OCD=35°$（两直线平行，内错角相等）
∵圆心角的度数等于它所对弧的度数
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数为$35°$
【答案】
35
【知识点】
1.等腰三角形性质
2.平行线的性质
3.圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的基本性质和三角形、平行线的知识点结合考察，解题的核心是通过平行线的性质建立所求弧对应的圆心角和已知角的关联。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步推导：首先，OC和OD都是圆的半径，长度相等，因此△COD是等腰三角形，已知顶角∠COD的度数，可先求出底角∠OCD的度数；其次，利用AB与CD平行的性质，可得内错角∠AOC与∠OCD相等，即得到弧AC对应的圆心角度数；最后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数，即可求出$\overset{\frown}{AC}$的度数。
【解析】
解：
∵OC、OD都是$\odot O$的半径
∴OC=OD，$△ COD$为等腰三角形
∴$∠ OCD=∠ ODC=\frac{180°-∠ COD}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$
∵AB//CD
∴$∠ AOC=∠ OCD=35°$（两直线平行，内错角相等）
∵圆心角的度数等于它所对弧的度数
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数为$35°$
【答案】
35
【知识点】
1.等腰三角形性质
2.平行线的性质
3.圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的基本性质和三角形、平行线的知识点结合考察，解题的核心是通过平行线的性质建立所求弧对应的圆心角和已知角的关联。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，点A，C之间的距离为4，则线段BD的长为
4
。答案
10. 4
解析
【分析】
首先观察题目条件，已知同圆中两段弧相等，结合圆的对称性相关知识，同圆中等弧所对的圆心角相等，可先得到$∠ AOB=∠ COD$；再观察待求线段BD和已知线段AC的关系，只需证明二者对应的圆心角相等即可，将上述两个相等的圆心角同时加上公共角$∠ BOC$，就能得到$∠ AOC=∠ BOD$，最后根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ AOB = ∠ COD$（同圆中，等弧所对的圆心角相等），
∴ $∠ AOB + ∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOC$，即$∠ AOC = ∠ BOD$，
∴ $AC = BD$（同圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
又
∵ $AC=4$，
∴ $BD=4$。
【答案】
4
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆心角与弦的关系；圆的对称性
【点评】
本题考查同圆中圆心角、弧、弦三者的对应转化关系，解题的核心是通过已知等弧推导得到待求弦对应的圆心角与已知弦对应的圆心角相等，属于对基础概念应用的考查，熟练掌握三者的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先观察题目条件，已知同圆中两段弧相等，结合圆的对称性相关知识，同圆中等弧所对的圆心角相等，可先得到$∠ AOB=∠ COD$；再观察待求线段BD和已知线段AC的关系，只需证明二者对应的圆心角相等即可，将上述两个相等的圆心角同时加上公共角$∠ BOC$，就能得到$∠ AOC=∠ BOD$，最后根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ AOB = ∠ COD$（同圆中，等弧所对的圆心角相等），
∴ $∠ AOB + ∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOC$，即$∠ AOC = ∠ BOD$，
∴ $AC = BD$（同圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
又
∵ $AC=4$，
∴ $BD=4$。
【答案】
4
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆心角与弦的关系；圆的对称性
【点评】
本题考查同圆中圆心角、弧、弦三者的对应转化关系，解题的核心是通过已知等弧推导得到待求弦对应的圆心角与已知弦对应的圆心角相等，属于对基础概念应用的考查，熟练掌握三者的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
11. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=40°$，以点$B$为圆心，$BC$长为半径的圆交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，求$\overset{\frown}{DE}$的度数.
答案
11. 解:连接BE,
∵ AB=AC,∠A=40°,
∴ ∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=70°.
∵ BE=BC,
∴ ∠BEC=∠C=70°.
∵ ∠BEC=∠A+∠ABE,
∴ ∠ABE=70°−40°=30°.
∴ $\overset{\frown}{DE}$的度数为30°.
∵ AB=AC,∠A=40°,
∴ ∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=70°.
∵ BE=BC,
∴ ∠BEC=∠C=70°.
∵ ∠BEC=∠A+∠ABE,
∴ ∠ABE=70°−40°=30°.
∴ $\overset{\frown}{DE}$的度数为30°.
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{DE}$的度数，根据“弧的度数等于它所对圆心角的度数”，可知需先求出$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角$∠ ABE$的度数。首先利用等腰$△ ABC$的性质和三角形内角和算出底角$∠ C$的度数，再结合圆的半径相等可得$BE=BC$，即$△ BEC$为等腰三角形，推出$∠ BEC=∠ C$，最后利用三角形外角的性质，即可求出$∠ ABE$的度数，进而得到$\overset{\frown}{DE}$的度数。
【解析】
连接$BE$，
$\because AB=AC$，$∠ A=40°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$，
$\because BE$、$BC$都是$\odot B$的半径，
$\therefore BE=BC$，
$\therefore ∠ BEC=∠ C=70°$，
$\because ∠ BEC$是$△ ABE$的外角，
$\therefore ∠ BEC=∠ A+∠ ABE$，
$\therefore ∠ ABE=∠ BEC-∠ A=70°-40°=30°$，
$\because$弧的度数等于它所对圆心角的度数，
$\therefore \overset{\frown}{DE}$的度数为$30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角定理，弧与圆心角的关系
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题关键是连接辅助线$BE$，将弧的度数问题转化为求圆心角度数的问题，结合等腰三角形和三角形外角的性质即可求解，解题时要注意弧的度数与对应圆心角度数相等这一结论的应用。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{DE}$的度数，根据“弧的度数等于它所对圆心角的度数”，可知需先求出$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角$∠ ABE$的度数。首先利用等腰$△ ABC$的性质和三角形内角和算出底角$∠ C$的度数，再结合圆的半径相等可得$BE=BC$，即$△ BEC$为等腰三角形，推出$∠ BEC=∠ C$，最后利用三角形外角的性质，即可求出$∠ ABE$的度数，进而得到$\overset{\frown}{DE}$的度数。
【解析】
连接$BE$，
$\because AB=AC$，$∠ A=40°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$，
$\because BE$、$BC$都是$\odot B$的半径，
$\therefore BE=BC$，
$\therefore ∠ BEC=∠ C=70°$，
$\because ∠ BEC$是$△ ABE$的外角，
$\therefore ∠ BEC=∠ A+∠ ABE$，
$\therefore ∠ ABE=∠ BEC-∠ A=70°-40°=30°$，
$\because$弧的度数等于它所对圆心角的度数，
$\therefore \overset{\frown}{DE}$的度数为$30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角定理，弧与圆心角的关系
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题关键是连接辅助线$BE$，将弧的度数问题转化为求圆心角度数的问题，结合等腰三角形和三角形外角的性质即可求解，解题时要注意弧的度数与对应圆心角度数相等这一结论的应用。
【难度系数】
0.7
12. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D是$\odot O$上的两点，且$OC// BD$. 求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$. 
第12题
第12题答案
12. 解:
∵ OB=OD,
∴ ∠OBD=∠ODB.
∵ OC//BD,
∴ ∠OBD=∠AOC,∠ODB=∠DOC.
∴ ∠DOC=∠AOC.
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$.
∵ OB=OD,
∴ ∠OBD=∠ODB.
∵ OC//BD,
∴ ∠OBD=∠AOC,∠ODB=∠DOC.
∴ ∠DOC=∠AOC.
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$.
解析
【分析】
要证明同圆中两条弧相等，根据圆的对称性相关性质，只需证明两条弧所对的圆心角相等，即证$∠ AOC=∠ DOC$。首先利用同圆半径相等得到等腰$△ OBD$，推出底角相等，再结合平行线的性质得到角的等量关系，通过等量代换即可得到两个圆心角相等，最终证得弧相等。
【解析】
证明：
∵ $OB$、$OD$都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OD$，
∴ $∠ OBD=∠ ODB$。
∵ $OC// BD$，
∴ $∠ OBD=∠ AOC$，$∠ ODB=∠ DOC$。
∴ $∠ DOC=∠ AOC$。
∵ 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$。
【答案】
$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，得证
【知识点】
1. 同圆半径相等
2. 平行线的性质
3. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心是掌握弧相等与圆心角相等的转化关系，同时结合了等腰三角形、平行线的性质考察，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明同圆中两条弧相等，根据圆的对称性相关性质，只需证明两条弧所对的圆心角相等，即证$∠ AOC=∠ DOC$。首先利用同圆半径相等得到等腰$△ OBD$，推出底角相等，再结合平行线的性质得到角的等量关系，通过等量代换即可得到两个圆心角相等，最终证得弧相等。
【解析】
证明：
∵ $OB$、$OD$都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OD$，
∴ $∠ OBD=∠ ODB$。
∵ $OC// BD$，
∴ $∠ OBD=∠ AOC$，$∠ ODB=∠ DOC$。
∴ $∠ DOC=∠ AOC$。
∵ 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$。
【答案】
$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，得证
【知识点】
1. 同圆半径相等
2. 平行线的性质
3. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心是掌握弧相等与圆心角相等的转化关系，同时结合了等腰三角形、平行线的性质考察，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
13. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD与AB相交于点E，且$OE=DE$. 试确定$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{AD}$之间的数量关系. 
第13题
第13题答案
13. 解:连接OC,OD. 由OE=DE 可得∠ODE=∠DOA,∠OEC=2∠DOA; 由OC=OD 可得∠ODE=∠OCD.
∴ ∠OCD=∠ODE=∠DOA.
∴ ∠BOC=∠OEC+∠OCD=3∠DOA.
∴ $\overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AD}$.
∴ ∠OCD=∠ODE=∠DOA.
∴ ∠BOC=∠OEC+∠OCD=3∠DOA.
∴ $\overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AD}$.
解析
【分析】
要确定两段弧的数量关系，根据圆的性质，同圆中弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此只需推导$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角$∠ BOC$与$∠ DOA$的数量关系即可。解题时先连接OC、OD构造等腰三角形，结合已知$OE=DE$，利用等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质逐步推导两个圆心角的倍数关系，即可得到弧的数量关系。
【解析】
解：连接$OC$、$OD$。
$\because OE=DE$，$\therefore ∠ ODE=∠ DOA$，
$\because ∠ OEC$是$△ ODE$的外角，$\therefore ∠ OEC=∠ ODE+∠ DOA=2∠ DOA$。
$\because OC$、$OD$都是$\odot O$的半径，$\therefore OC=OD$，$\therefore ∠ ODE=∠ OCD$，
$\therefore ∠ OCD=∠ ODE=∠ DOA$。
$\because ∠ BOC$是$△ OCE$的外角，$\therefore ∠ BOC=∠ OEC+∠ OCD=2∠ DOA+∠ DOA=3∠ DOA$。
$\because$同圆中弧的度数等于所对圆心角的度数，$\therefore \overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AD}$。
【答案】
$\overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AD}$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 等腰三角形性质
3. 三角形外角性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的关键是通过连接半径构造等腰三角形，结合三角形的相关性质进行角的等量代换，进而得到圆心角的倍数关系，最终推导出弧的数量关系，这类题目是圆相关角度、弧长计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
要确定两段弧的数量关系，根据圆的性质，同圆中弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此只需推导$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角$∠ BOC$与$∠ DOA$的数量关系即可。解题时先连接OC、OD构造等腰三角形，结合已知$OE=DE$，利用等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质逐步推导两个圆心角的倍数关系，即可得到弧的数量关系。
【解析】
解：连接$OC$、$OD$。
$\because OE=DE$，$\therefore ∠ ODE=∠ DOA$，
$\because ∠ OEC$是$△ ODE$的外角，$\therefore ∠ OEC=∠ ODE+∠ DOA=2∠ DOA$。
$\because OC$、$OD$都是$\odot O$的半径，$\therefore OC=OD$，$\therefore ∠ ODE=∠ OCD$，
$\therefore ∠ OCD=∠ ODE=∠ DOA$。
$\because ∠ BOC$是$△ OCE$的外角，$\therefore ∠ BOC=∠ OEC+∠ OCD=2∠ DOA+∠ DOA=3∠ DOA$。
$\because$同圆中弧的度数等于所对圆心角的度数，$\therefore \overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AD}$。
【答案】
$\overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AD}$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 等腰三角形性质
3. 三角形外角性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的关键是通过连接半径构造等腰三角形，结合三角形的相关性质进行角的等量代换，进而得到圆心角的倍数关系，最终推导出弧的数量关系，这类题目是圆相关角度、弧长计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
