7. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1=x-2$与反比例函数$y_2=\frac{3}{x}$的图象交于A,B两点,下列结论正确的是（）

A.当$x＞3$时,$y_1＜y_2$
B.当$x＜-1$时,$y_1＜y_2$
C.当$0＜x＜3$时,$y_1＞y_2$
D.当$-1＜x＜0$时,$y_1＜y_2$

7. B

【分析】
本题考查一次函数与反比例函数的函数值大小比较，解题思路为：两个函数的交点是函数值大小的分界点，先明确交点A(-1,-3)、B(3,1)，结合反比例函数自变量x≠0的特点，将x的取值范围划分为x＜-1、-1＜x＜0、0＜x＜3、x＞3四个区间，观察每个区间内两个函数图象的上下位置，图象在上方的对应函数值更大，逐一判断选项即可，也可代入区间内特殊值验证结论。
【解析】
已知一次函数$y_1=x-2$和反比例函数$y_2=\frac{3}{x}$的交点为$A(-1,-3)$、$B(3,1)$，分区间判断：
1. 当$x＞3$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，可得$y_1＞y_2$，A选项错误；
2. 当$x＜-1$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，可得$y_1＜y_2$，B选项正确；
3. 当$0＜x＜3$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，可得$y_1＜y_2$，C选项错误；
4. 当$-1＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，可得$y_1＞y_2$，D选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，函数值大小比较，数形结合思想
【点评】
本题解题核心是利用函数图象的上下关系判断函数值大小，通过交点和反比例函数间断点x=0划分讨论区间是解题关键，代入特殊值验证的方法也能快速得到结论，易错点是划分区间时遗漏x在(-1,0)的范围。
【难度系数】
0.7

8. 如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，AC//x轴，AC=2.
若点A的坐标为(2,2)，则点B的坐标为.

8. (4,1)

【分析】
解题思路如下：首先，已知点A在反比例函数图象上，可先代入A点坐标求出反比例函数的解析式；其次，根据AC平行于x轴、AC的长度以及A点坐标，可求出点C的横坐标；再结合Rt△ABC的直角特征，AC水平则BC竖直，可得点B的横坐标与点C相同；最后将B点横坐标代入反比例函数解析式，即可求出B点的纵坐标，得到B点坐标。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
∵ 点A(2,2)在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上
∴ 将A(2,2)代入解析式得：$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$
2. 求点C的坐标：
∵ AC//x轴，A点纵坐标为2，AC=2
∴ 点C的纵坐标与A相同，为2，横坐标为$2+2=4$，即C(4,2)
3. 求点B的坐标：
∵ Rt△ABC中∠C为直角，AC//x轴
∴ BC⊥x轴，即点B的横坐标与点C相同，为4
又
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上
∴ 将x=4代入得：$y=\frac{4}{4}=1$
∴ 点B的坐标为(4,1)
【答案】
(4,1)
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；坐标与图形性质；直角三角形性质
【点评】
本题是反比例函数与平面几何的综合基础题，解题核心是先确定反比例函数解析式，再结合平行线和直角三角形的特征得到待求点的横坐标，代入解析式即可求解，解题时注意结合图象分析点的坐标关系。
【难度系数】
0.7

9. 如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是。

9. 4

【分析】
解题时先结合正方形的性质确定各顶点坐标的关系，再用参数表示出反比例函数图象上点C和点E的坐标，最后利用反比例函数中k=xy的性质列方程求解即可。第一步：由正方形边长AB=2，可知正方形四条边长均为2，A、B在y轴上，因此BC、AD都是长度为2的水平线段；第二步：E是AD中点，可推出E的横坐标是D点横坐标的一半；第三步：点C、E都在反比例函数上，横纵坐标的乘积都等于k，据此列方程求出未知参数即可得到k的值。
【解析】
设点B的坐标为$(0,m)$，
∵正方形ABCD的边长$AB=2$，
∴点A坐标为$(0,m+2)$，点C坐标为$(2,m)$，点D坐标为$(2,m+2)$。
∵E是AD的中点，
∴点E的横坐标为$\frac{0+2}{2}=1$，纵坐标为$m+2$，即$E(1,m+2)$。
∵点C和E都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，根据反比例函数性质$k=xy$，可得：
$2× m = 1×(m+2)$
解得：$m=2$
将$m=2$代入$k=2m$，得$k=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，中点坐标计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础综合题，解题核心是用同一个参数表示出函数图象上两个点的坐标，利用反比例函数k的性质建立等量关系，是反比例模块的典型考查题型。
【难度系数】
0.7

10.（常州中考）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象相交于点$A(1,n)$，$B(-3,-2)$，且与$y$轴交于点$C$.
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接$OA$，求$△ OAC$的面积.

10. 解:(1) 将$B(-3,-2)$代入$y=\frac{m}{x}$,得$-2=\frac{m}{-3}$,解得$m=6$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$,将$A(1,n)$代入$y=\frac{6}{x}$,得$n=6$,$\therefore A(1,6)$,由条件可得$\begin{cases}6=k+b,\\-2=-3k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=4,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为$y=2x+4$； (2) 当$x=0$时,$y=2x+4=4$,$\therefore C(0,4)$.$\therefore OC=4$.$\therefore S_{△ OAC}=\frac{1}{2}OC·|x_A|=\frac{1}{2}×4×1=2$.

【分析】
（1）求解函数表达式可使用待定系数法：先将已知点B的坐标代入反比例函数解析式，求出m的值即可得到反比例函数表达式；再将点A的横坐标代入反比例函数，求出n得到点A的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数表达式。
（2）求解△OAC的面积，首先需要确定点C的坐标：点C是一次函数与y轴的交点，令一次函数中x=0即可求出C点纵坐标，得到OC的长度；△OAC以OC为底，点A到y轴的距离（即点A横坐标的绝对值）为高，代入三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
(1) 求两个函数的表达式：
将$B(-3,-2)$代入反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$，可得：
$-2=\dfrac{m}{-3}$，解得$m=6$，
因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$。
将$A(1,n)$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$n=\dfrac{6}{1}=6$，即$A(1,6)$。
将$A(1,6)$、$B(-3,-2)$代入一次函数$y=kx+b$，得到方程组：
$\begin{cases}k+b=6\\-3k+b=-2\end{cases}$
两式相减得$4k=8$，解得$k=2$，将$k=2$代入$k+b=6$，得$b=4$，
因此一次函数的表达式为$y=2x+4$。
(2) 计算$△ OAC$的面积：
对于一次函数$y=2x+4$，令$x=0$，得$y=4$，即点C坐标为$(0,4)$，因此$OC=4$。
点A到y轴的距离为$|x_A|=1$，根据三角形面积公式：
$S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2} × OC × |x_A|=\dfrac{1}{2} × 4 × 1=2$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+4}$；
(2) $△ OAC$的面积为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，重点考查待定系数法的应用以及平面直角坐标系中图形面积的计算，解题关键是准确求出各交点坐标，结合几何性质计算，属于函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

11. 如图,一次函数$y_1=kx+b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{6}{x}$的图象交于点$A(1,m)$和点$B(n,-2)$.
(1) 求一次函数的表达式;
(2) 结合图象,写出当$x＞0$时,满足$y_1＞y_2$的$x$的取值范围;
(3) 将一次函数的图象平移,使其经过坐标原点,直接写出一个反比例函数表达式,使它的图象与平移后的一次函数图象无交点.

11. 解：(1) 由题意得$m=\frac{6}{1}=6$,$-2=\frac{6}{n}$,$\therefore m=6$,$n=-3$.$\therefore A(1,6)$,$B(-3,-2)$.由题意得$\begin{cases}k+b=6,\\-3k+b=-2,\end{cases}$解得:$\begin{cases}k=2,\\b=4.\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为:$y=2x+4$； (2) 由图象可知,当$x＞0$时,满足$y_1＞y_2$的$x$的取值范围为$x＞1$； (3) 一次函数$y=2x+4$的图象平移后为$y=2x$,函数图象经过第一、三象限,要使正比例函数$y=2x$与反比例函数没有交点,则反比例的函数图象经过第二、四象限,则反比例函数的$k＜0$,$\therefore$ 当$k=-1$时,满足条件.$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\frac{1}{x}$(答案不唯一).

【分析】
(1) 求一次函数表达式需要先得到两个点的坐标，已知A、B两点都在反比例函数图象上，先将两点坐标代入反比例函数解析式求出m、n的值，得到A、B的完整坐标后，再代入一次函数解析式，通过解二元一次方程组即可求出k、b的值，得到一次函数表达式。
(2) 求$x＞0$时$y_1＞y_2$的x范围，本质是观察x正半轴区域内，一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的x取值，结合交点A的横坐标即可直接得到结果。
(3) 一次函数平移时k值不变，平移后过原点可得到平移后的解析式为$y=2x$，其图象在第一、三象限，要使反比例函数与它无交点，只需反比例函数图象在第二、四象限，也就是反比例系数小于0，任写一个满足条件的表达式即可。
【解析】
(1) 把$A(1,m)$代入$y_2=\frac{6}{x}$，得$m=\frac{6}{1}=6$，即$A(1,6)$；把$B(n,-2)$代入$y_2=\frac{6}{x}$，得$-2=\frac{6}{n}$，解得$n=-3$，即$B(-3,-2)$。
将$A(1,6)$、$B(-3,-2)$代入$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases}k+b=6\\-3k+b=-2\end{cases}$
两式相减得$4k=8$，解得$k=2$，将$k=2$代入$k+b=6$，得$b=4$。
因此一次函数的表达式为$y=2x+4$。
(2) 观察图象可得，当$x＞0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x取值为$x＞1$，即满足$y_1＞y_2$的x的取值范围是$x＞1$。
(3) 一次函数平移后k值不变，且过原点，因此平移后的解析式为$y=2x$，其图象经过第一、三象限。要使反比例函数与$y=2x$无交点，反比例函数图象需在第二、四象限，即反比例系数小于0，例如取反比例系数为-1，可得$y=-\frac{1}{x}$（答案不唯一）。
【答案】
(1) $y=2x+4$；
(2) $x＞1$；
(3) $y=-\frac{1}{x}$（答案不唯一，只要反比例系数小于0即可）。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，函数平移性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的常规综合题，既考察了待定系数法求函数解析式的基础方法，也需要结合图象分析不等式解集，最后一问为开放题，能很好地检验对函数图象性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7