1. (河北中考)在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，若$2＜y＜4$，则（）

A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$

1. B

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。本题中$y$的取值范围是$2＜y＜4$，均为正数，说明$x$为正，函数图象在第一象限。我们可以先计算出$y=2$和$y=4$时对应的$x$值，再结合增减性就能推导出$x$的取值范围。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{4}{x}$中$k=4＞0$，
∴ 在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小，且$x＞0,y＞0$。
当$y=2$时，代入解析式得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入解析式得$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$。
∵ $2＜y＜4$，结合增减性可知：$y$越大对应的$x$越小，
∴ $1＜x＜2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，核心是利用反比例函数的增减性，结合已知的函数值范围推导自变量的范围，解题时注意先判断函数所在的象限，避免因忽略象限范围出错。
【难度系数】
0.8

2. 如图，一次函数$y_1=k_1x+b$与反比例函数$y_2=\dfrac{k_2}{x}$的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为-1，则不等式$k_1x+b＜\dfrac{k_2}{x}$的解集是（）

A.$-1＜x＜0$或$x＞2$
B.$x＜-1$或$0＜x＜2$
C.$x＜-1$或$x＞2$
D.$-1＜x＜2$

2. A

【分析】
要解不等式$k_1x+b＜\dfrac{k_2}{x}$，本质是找一次函数$y_1=k_1x+b$的图像位于反比例函数$y_2=\dfrac{k_2}{x}$图像下方时对应的x的取值范围。解题时需注意反比例函数图像分为两支，定义域为$x≠0$，因此要分$x＜0$和$x＞0$两个区间，结合已知交点的横坐标分别观察图像的上下位置关系，即可确定解集。
【解析】
不等式$k_1x+b＜\dfrac{k_2}{x}$等价于$y_1＜y_2$，即一次函数图像在反比例函数图像下方时x的取值范围：
1. 当$x＜0$时，两函数交点B的横坐标为-1，观察图像可得：当$-1＜x＜0$时，一次函数图像在反比例函数图像下方，满足$y_1＜y_2$；
2. 当$x＞0$时，两函数交点A的横坐标为2，观察图像可得：当$x＞2$时，一次函数图像在反比例函数图像下方，满足$y_1＜y_2$。
因此不等式的解集为$-1＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数图像与性质
2.一次函数图像与性质
3.数形结合解函数不等式
【点评】
本题是函数类不等式的典型考题，重点考查数形结合思想的应用，解题时要注意结合函数图像的位置关系判断取值范围，不要忽略反比例函数自变量不为0的隐含限制。
【难度系数】
0.7

3. 下列关于反比例函数$y=\frac{21}{x}$的3个结论：① 它的图象经过点$(7,3)$；② 它的图象在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；③ 它的图象在第二、四象限内。其中正确的是。

3. ①②

【分析】
解决本题需要结合反比例函数的图象与性质，逐个验证3个结论是否正确：第一步验证点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，判断计算出的纵坐标是否与点的纵坐标一致即可；第二步先确定反比例函数中k的正负，再根据k的正负判断函数图象的分布象限，以及增减性，进而判断②③是否正确。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 验证结论①：将$x=7$代入$y=\frac{21}{x}$，得$y=\frac{21}{7}=3$，因此点$(7,3)$在该反比例函数的图象上，结论①正确。
2. 反比例函数$y=\frac{21}{x}$中$k=21＞0$，根据反比例函数性质：当$k＞0$时，函数图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小。因此结论②正确，结论③错误。
综上，正确的结论是①②。
【答案】
①②
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，掌握k的取值对函数图象位置、增减性的影响，以及函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题核心，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

4. 设函数$y=\dfrac{3}{x}$与$y=-2x-6$的图象的交点坐标为$(a,b)$，则$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}$的值是.

4. -2

【分析】
首先，函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可以先将交点坐标$(a,b)$分别代入反比例函数和一次函数的解析式，得到关于$a$、$b$的关系式。再观察所求代数式$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}$的结构，将其通分变形后，就可以用整体代入法代入得到的关系式计算，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ 点$(a,b)$是函数$y=\dfrac{3}{x}$与$y=-2x-6$的图象的交点，
∴ 将$(a,b)$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得：$b=\dfrac{3}{a}$，整理得$ab=3$；
将$(a,b)$代入$y=-2x-6$，得：$b=-2a-6$，整理得$2a + b = -6$；
对所求代数式通分变形：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{b + 2a}{ab}$
将$ab=3$，$2a + b = -6$整体代入上式，得：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{-6}{3}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
函数交点的性质，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心是理解函数交点坐标的意义，解题时运用整体代入的思想可以避免求解方程组的复杂运算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7

5. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象相交于点$A(-2,-1)$。
（1）求出这两个函数的表达式；
（2）当$x$取什么范围时，反比例函数值大于0？
（3）试判断点$P(1,1)$关于$y$轴的对称点$P'$是否在一次函数$y=kx+b$的图象上。

5. (1) $y=\frac{2}{x}$，$y=2x+3$ (2) $x＞0$ (3) 点$P(1,1)$关于$y$轴的对称点$P'(-1,1)$在一次函数$y=kx+b$的图象上

【分析】
解题思路分三步推进：
1. 求两个函数表达式：已知两个函数都过点A(-2,-1)，先将点A坐标代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数表达式；再将求出的k值和点A坐标代入一次函数解析式，求出b值，即可得到一次函数表达式。
2. 求反比例函数值大于0的x范围：根据得到的反比例函数解析式，令y＞0，解不等式即可得到x的取值范围。
3. 判断对称点是否在一次函数图象上：先根据关于y轴对称的点的坐标特征（横坐标互为相反数，纵坐标不变）求出P'的坐标，再将P'的横坐标代入一次函数解析式，计算对应的y值，若和P'的纵坐标相等，则点在图象上，反之则不在。
【解析】
（1）将点A(-2,-1)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，得：
$-1=\frac{k}{-2}$，解得$k=2$
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$
将$k=2$，点A(-2,-1)代入一次函数$y=kx+b$中，得：
$-1=2×(-2)+b$，解得$b=3$
∴一次函数的表达式为$y=2x+3$
（2）对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，令$y＞0$，即$\frac{2}{x}＞0$
∵分子$2＞0$，要使分式值为正，则分母$x＞0$
∴当$x＞0$时，反比例函数值大于0
（3）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此点P(1,1)关于y轴的对称点$P'$的坐标为$(-1,1)$
将$x=-1$代入一次函数$y=2x+3$中，得：
$y=2×(-1)+3=1$，与$P'$的纵坐标相等
∴点$P'$在一次函数$y=2x+3$的图象上
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\frac{2}{x}$，一次函数表达式为$y=2x+3$
(2) $x＞0$
(3) 点$P(1,1)$关于$y$轴的对称点$P'(-1,1)$在一次函数$y=kx+b$的图象上
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 反比例函数的性质
3. 关于y轴对称点的坐标特征
【点评】
本题是函数基础综合题，核心考查待定系数法求函数解析式的常规方法，同时结合了反比例函数的性质和对称点坐标的求解，考点基础，运算量小，是巩固函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8

6. 如图，点A在函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，点B在函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，且$AB// x$轴，$BC⊥ x$轴于点C，则四边形ABCO的面积为 （）

A.1
B.2
C.3
D.4

6. B

【分析】
解题思路：可通过两种方法求解：方法一利用反比例函数k的几何意义，观察图形可知AB平行x轴说明A、B两点纵坐标相同，延长BA交y轴于点D，可得到矩形ODBC，结合反比例函数k的几何意义直接求出矩形和三角形的面积，作差即可得到四边形面积；方法二为坐标法，设出A点坐标，根据纵坐标相同推出B点坐标，代入梯形面积公式计算，计算过程中参数会自然消去得到定值。
【解析】
解法一：延长BA交y轴于点D。
∵$AB// x$轴，$BC⊥ x$轴，
∴四边形ODBC为矩形。
∵点B在$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，得$S_{矩形ODBC}=3$。
∵点A在$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，同理得$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}×2=1$。
∴$S_{四边形ABCO}=S_{矩形ODBC}-S_{△ OAD}=3-1=2$。
解法二：设点A的坐标为$(a,\frac{2}{a})(a＞0)$，
∵$AB// x$轴，
∴点B的纵坐标为$\frac{2}{a}$，
将$y=\frac{2}{a}$代入$y=\frac{3}{x}$，解得$x=\frac{3a}{2}$，即$B(\frac{3a}{2},\frac{2}{a})$，
∴$AB=\frac{3a}{2}-a=\frac{a}{2}$，$OC=\frac{3a}{2}$，$BC=\frac{2}{a}$，
四边形ABCO为直角梯形，由梯形面积公式得：
$S=\frac{1}{2}×(AB+OC)× BC=\frac{1}{2}×(\frac{a}{2}+\frac{3a}{2})×\frac{2}{a}=2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，坐标与图形性质，面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的常见题型，既可以通过反比例函数的几何性质快速求解，也可以通过设坐标的常规方法计算，灵活运用平行于坐标轴的点的坐标特征可大幅简化运算。
【难度系数】
0.7