8. 已知反比例函数的表达式为$y=\frac{3a-3}{x}$，且图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（）

A.$a=1$
B.$a≠1$
C.$a＞1$
D.$a＜1$

8. C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数图象所在象限和比例系数的对应关系：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$）中，$k$的正负决定图象的分布象限。题目已知图象位于第一、三象限，说明比例系数大于0，因此只需列出关于$a$的不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）：
当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
本题中反比例函数为$y=\frac{3a-3}{x}$，且图象在第一、三象限，因此比例系数满足：
$3a-3＞0$
解不等式：
$3a＞3$
$a＞1$
因此符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题目，核心考查反比例函数图象的象限分布与比例系数的对应关系，只要熟练掌握反比例函数的基本性质，就能快速列出不等式求解，得分率较高。
【难度系数】
0.8

9. 如图，直线$ l $与双曲线交于$ A $，$ C $两点，将直线$ l $绕点$ O $顺时针旋转$ α $度角$(0°＜α≤45°)$，与双曲线交于$ B $，$ D $两点，则四边形$ ABCD $一定是 （）

A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.任意四边形

9. A

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点。由此可得过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称，即交点到原点的距离相等，得到四边形ABCD对角线的数量关系，再结合平行四边形的判定定理即可判断四边形的形状。
【解析】
∵反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点O，
∴过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称，
∵直线l过原点，与双曲线交于A、C两点，
∴OA=OC，
∵旋转后的直线也过原点，与双曲线交于B、D两点，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形。
又
∵0°＜α≤45°，对角线AC、BD不垂直也不相等，因此不可能是菱形或矩形，排除B、C，D选项显然错误。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的对称性；平行四边形的判定；中心对称的性质
【点评】
本题将反比例函数的性质与四边形判定结合考查，解题的突破口是利用反比例函数的中心对称性得到四边形对角线互相平分的关系，属于基础综合题，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

10. 点$A(2,y_1)$，$B(3,y_2)$在反比例函数$y=\frac{5}{x}$的图象上，则$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$(填“＜”“＞”或“=”)。

10. $＞$

【分析】
本题有两种常用解题思路：思路一：利用反比例函数的性质求解，先判断比例系数k的正负，确定函数的增减性，再结合两个点横坐标的大小关系，推导纵坐标的大小关系；思路二：代入求值法，将两个点的横坐标分别代入函数解析式，算出对应的y₁、y₂的具体值，直接比较大小即可。
【解析】
方法一：利用反比例函数增减性求解
∵反比例函数$y=\frac{5}{x}$中，$k=5＞0$，
∴该函数在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∵点$A(2,y_1)$、$B(3,y_2)$的横坐标均为正数，都在第一象限，且$2＜3$，
∴$y_1＞y_2$。
方法二：代入计算比较
把$x=2$代入$y=\frac{5}{x}$，得$y_1=\frac{5}{2}$，
把$x=3$代入$y=\frac{5}{x}$，得$y_2=\frac{5}{3}$，
∵$\frac{5}{2}＞\frac{5}{3}$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，两种解题方法都很直观，熟练掌握函数性质可快速得出结果，代值计算的方法也能降低出错概率。
【难度系数】
0.9

11. 如图，点A，C分别是正比例函数$y=x$的图象与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象的交点，过点A作$AD⊥ x$轴于点D，过点C作$CB⊥ x$轴于点B，则四边形ABCD的面积为。

11. 8

【分析】
要计算四边形ABCD的面积，首先需要确定各点坐标：①联立正比例函数和反比例函数的解析式，求解得到交点A、C的坐标，利用两个函数均关于原点对称的性质，也可验证A、C关于原点对称；②根据AD⊥x轴、CB⊥x轴的条件，得到B、D两点的坐标；③将四边形ABCD分割为△ABD和△BCD两个三角形，分别计算面积后求和即可得到结果。
【解析】
联立正比例函数与反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=x \\ y=\frac{4}{x} \end{cases}$
将$y=x$代入$y=\frac{4}{x}$，得$x=\frac{4}{x}$，即$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
当$x=2$时，$y=2$；当$x=-2$时，$y=-2$，因此交点A的坐标为$(2,2)$，交点C的坐标为$(-2,-2)$。
∵AD⊥x轴，CB⊥x轴，
∴D点坐标为$(2,0)$，B点坐标为$(-2,0)$，
∴BD的长度为$2 - (-2)=4$。
△ABD以BD为底，高为点A的纵坐标2，面积为：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$；
△BCD以BD为底，高为点C纵坐标的绝对值2，面积为：$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$；
因此四边形ABCD的面积为：$S_{ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=4+4=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，割补法求面积
【点评】
本题综合考察了正比例函数与反比例函数的交点求解、函数图象的对称性，以及利用割补法计算平面图形面积的能力，解题的关键是正确求出交点坐标，合理分割图形简化面积计算。
【难度系数】
0.7

12. 在平面直角坐标系中，一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象相交于点 $ A(2,4), B(4,n) $. C是y轴上的一点，连接CA、CB.
(1) 求一次函数、反比例函数的表达式；
(2) 若$ △ ABC $ 的面积是6，求点C的坐标.

12. 解:
(1) $\because$ 点 $A(2,4)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象上，$\therefore m=2×4=8$. $\therefore$ 反比例函数表达式为 $y=\dfrac{8}{x}$；又$\because$ 点 $B(4,n)$ 在 $y=\dfrac{8}{x}$ 上，$\therefore n=2$. $\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,2)$. 把 $A(2,4)$ 和 $B(4,2)$ 两点的坐标代入一次函数 $y=kx+b$ 得 $\begin{cases}2k+b=4,\\4k+b=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=6,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=-x+6$；
(2) 设一次函数 $y=-x+6$ 与 $y$ 轴的交点为 $D$，令 $x=0$，则 $y=6$，即 $D(0,6)$，根据题意得:$S_{△ ABC}=S_{△ BCD}-S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}× CD·(4-2)=6$，解得:$CD=6$，$\therefore OC=0$ 或 $12$. $\therefore C(0,0)$ 或 $(0,12)$.

【分析】
(1) 求函数解析式采用待定系数法：先将已知点A的坐标代入反比例函数表达式求出m，得到反比例函数解析式；再将点B的横坐标代入反比例解析式求出n，得到B点完整坐标；最后把A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出k和b，即可得到一次函数解析式。
(2) 点C在y轴上，计算斜三角形ABC的面积用割补法更简便：先找到一次函数与y轴的交点D，此时△ABC的面积等于△BCD与△ACD的面积差，两个三角形同底为CD，高分别为点B、点A的横坐标，根据已知面积列方程求出CD的长度，再分点C在D点上方和下方两种情况，即可求出C点坐标。
【解析】
(1) $\because$ 点 $A(2,4)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象上，
$\therefore m=2×4=8$，
$\therefore$ 反比例函数表达式为 $y=\dfrac{8}{x}$；
又$\because$ 点 $B(4,n)$ 在 $y=\dfrac{8}{x}$ 上，
$\therefore n=\dfrac{8}{4}=2$，
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,2)$。
把 $A(2,4)$ 和 $B(4,2)$ 两点的坐标代入一次函数 $y=kx+b$ 得
$\begin{cases}2k+b=4,\\4k+b=2,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=6,\end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=-x+6$。
(2) 设一次函数 $y=-x+6$ 与 $y$ 轴的交点为 $D$，
令 $x=0$，则 $y=6$，即 $D(0,6)$，
根据题意得:
$S_{△ ABC}=S_{△ BCD}-S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}× CD·(4-2)=6$，
解得:$CD=6$，
当点C在D下方时，$OC=6-6=0$，即$C(0,0)$；
当点C在D上方时，$OC=6+6=12$，即$C(0,12)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{8}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+6}$；
(2) 点C的坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$或$\boldsymbol{(0,12)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数交点，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，第一问属于基础考点，侧重待定系数法的常规应用；第二问考查割补法计算坐标系中三角形面积，解题时要注意点C位置的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=x+2$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(1,m)$,与$x$轴交于点$C$.
(1) 求点$A$的坐标和反比例函数的表达式;
(2) 点$B$是反比例函数图象上一点且纵坐标是1,连接$AB$,$CB$,求$△ ACB$的面积.

13. 解:(1) $\because$ 一次函数 $y=x+2$ 的图象过点 $A(1,m)$，$\therefore m=1+2=3$. $\therefore A(1,3)$. $\because$ 点 $A$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上，$\therefore k=1×3=3$. $\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{3}{x}$；
(2) $\because$ 点 $B$ 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，$\therefore B(3,1)$. 如图，作 $BD// x$ 轴，交直线 $AC$ 于点 $D$，则 $D$ 点的纵坐标为1，代入 $y=x+2$ 得 $1=x+2$，解得 $x=-1$，$\therefore D(-1,1)$. $\therefore BD=3+1=4$. $\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×4×3=6$.

【分析】
(1) 求点A坐标和反比例函数表达式：已知点A在一次函数图象上，将点A的横坐标代入一次函数解析式即可求出m，得到点A的坐标；再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k值即可得到反比例函数表达式。
(2) 求△ACB的面积：先根据点B在反比例函数上且纵坐标为1，求出点B的横坐标得到B点坐标；采用割补法简化计算，作BD平行于x轴交直线AC于点D，先求D点坐标得到BD的长度；△ACB的面积可拆分为△ABD和△CBD的面积之和，两个三角形同底为BD，高的和为点A到BD的垂直距离与点C到BD的垂直距离之和，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵ 一次函数$y=x+2$的图象过点$A(1,m)$，
将$x=1$代入$y=x+2$，得$m=1+2=3$，
∴ 点A的坐标为$(1,3)$。
∵ 点$A(1,3)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
将$A(1,3)$代入解析式，得$k=1×3=3$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$。
(2)
∵ 点B是反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$图象上一点，且纵坐标为1，
将$y=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$1=\dfrac{3}{x}$，解得$x=3$，
∴ 点B的坐标为$(3,1)$。
如图，作$BD// x$轴，交直线$AC$于点$D$，则点D的纵坐标为1，
将$y=1$代入$y=x+2$，得$1=x+2$，解得$x=-1$，
∴ 点D的坐标为$(-1,1)$，
∴ $BD=3 - (-1)=4$。
△ACB的面积等于△ABD与△CBD的面积之和，两个三角形同底为BD，高的和为$(3-1)+(1-0)=3$，
∴ $S_{△ ACB}=\dfrac{1}{2}×BD×3=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$(1,3)$，反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$；
(2) $△ ACB$的面积为$6$。

【知识点】
反比例函数解析式确定，一次函数图象性质，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，求解坐标系中不规则三角形面积时，通过作水平或竖直辅助线用割补法计算，可有效降低计算难度，是函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7