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1. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象如图，点M是该函数图象上一点，$MN⊥x$轴，垂足是点N，如果$S_{△ MON}=3$，则k的值为（
A.3
B.$-3$
C.6
D.$-6$
D
）A.3
B.$-3$
C.6
D.$-6$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先利用反比例函数系数k的几何意义建立三角形面积与|k|的等量关系，求出|k|的数值，再结合反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的取值。首先回忆：过反比例函数图象上一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积等于$\frac{1}{2}|k|$，根据已知面积可先求出|k|，再结合图象象限确定k的符号即可。
【解析】
设点M的坐标为$(x,y)$，
∵点M在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$MN⊥x$轴，N为垂足，
∴$ON=|x|$，$MN=|y|$，
$△ MON$的面积$S_{△ MON}=\frac{1}{2}× ON× MN=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ MON}=3$，代入得$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$。
由图可知反比例函数图象位于第二、四象限，因此$k＜0$，
∴$k=-6$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题的关键是牢记k的几何意义，注意要结合图象所在象限判断k的符号，避免只计算绝对值忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时先利用反比例函数系数k的几何意义建立三角形面积与|k|的等量关系，求出|k|的数值，再结合反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的取值。首先回忆：过反比例函数图象上一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积等于$\frac{1}{2}|k|$，根据已知面积可先求出|k|，再结合图象象限确定k的符号即可。
【解析】
设点M的坐标为$(x,y)$，
∵点M在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$MN⊥x$轴，N为垂足，
∴$ON=|x|$，$MN=|y|$，
$△ MON$的面积$S_{△ MON}=\frac{1}{2}× ON× MN=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ MON}=3$，代入得$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$。
由图可知反比例函数图象位于第二、四象限，因此$k＜0$，
∴$k=-6$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题的关键是牢记k的几何意义，注意要结合图象所在象限判断k的符号，避免只计算绝对值忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.7
2. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象如图，$AB// y$轴，若$△ ABC$的面积为5，则$k$的值为（
A.$-5$
B.$\frac{5}{2}$
C.$-10$
D.$-\frac{5}{2}$
C
）A.$-5$
B.$\frac{5}{2}$
C.$-10$
D.$-\frac{5}{2}$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先观察图像确定反比例函数位于第二象限，可先判断k为负数，排除正数选项；再利用AB平行y轴的性质，可知A、B横坐标相同，AB的长度等于A点纵坐标，AB到y轴的水平距离为B点横坐标的绝对值；结合三角形面积公式，将A点坐标满足反比例函数解析式（即$xy=k$）代入面积等式，即可求出k的值。
【解析】
设点B的坐标为$(a,0)$，其中$a＜0$。
∵$AB// y$轴，
∴点A的横坐标也为$a$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴点A的纵坐标为$\frac{k}{a}$，即线段AB的长度为$\frac{k}{a}$（$k＜0,a＜0$，故$\frac{k}{a}＞0$，符合长度为正的要求）。
又
∵点C在y轴上，
∴AB边到y轴的水平距离为$|a|=-a$，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB ×$AB到y轴的水平距离$=\frac{1}{2} × \frac{k}{a} × (-a)$，
化简后得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×(-k)$，
已知$S_{△ ABC}=5$，代入得$\frac{1}{2}×(-k)=5$，
解得$k=-10$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题重点考查反比例函数系数k的几何意义的应用，解题关键是结合平行于y轴的线段的坐标特点，准确找到三角形的底和对应高，同时要注意结合函数图象所在象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图像确定反比例函数位于第二象限，可先判断k为负数，排除正数选项；再利用AB平行y轴的性质，可知A、B横坐标相同，AB的长度等于A点纵坐标，AB到y轴的水平距离为B点横坐标的绝对值；结合三角形面积公式，将A点坐标满足反比例函数解析式（即$xy=k$）代入面积等式，即可求出k的值。
【解析】
设点B的坐标为$(a,0)$，其中$a＜0$。
∵$AB// y$轴，
∴点A的横坐标也为$a$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴点A的纵坐标为$\frac{k}{a}$，即线段AB的长度为$\frac{k}{a}$（$k＜0,a＜0$，故$\frac{k}{a}＞0$，符合长度为正的要求）。
又
∵点C在y轴上，
∴AB边到y轴的水平距离为$|a|=-a$，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB ×$AB到y轴的水平距离$=\frac{1}{2} × \frac{k}{a} × (-a)$，
化简后得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×(-k)$，
已知$S_{△ ABC}=5$，代入得$\frac{1}{2}×(-k)=5$，
解得$k=-10$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题重点考查反比例函数系数k的几何意义的应用，解题关键是结合平行于y轴的线段的坐标特点，准确找到三角形的底和对应高，同时要注意结合函数图象所在象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在平面直角坐标系中,点A是x轴上任意一点,BC//x轴,分别交$y=\frac{2}{x}(x＞0),y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象于B,C两点,若$△ ABC$的面积是3,则k的值为
-4
.答案
3. -4
解析
【分析】
解题时首先抓住BC//x轴的特征，可知B、C两点纵坐标相同，△ABC的高就是该纵坐标的长度，底为BC的长度。再结合反比例函数图象上点的坐标满足解析式的性质，用纵坐标表示出B、C两点的横坐标，进而表示出BC的长度，代入三角形面积公式后，未知的纵坐标会自动消元，即可得到关于k的方程求解。
【解析】
设点B、C的纵坐标为$y(y＞0)$，
∵点B在$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴B点横坐标为$\frac{2}{y}$，即$B(\frac{2}{y},y)$。
∵BC//x轴，点C在$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
∴C点纵坐标也为$y$，横坐标为$\frac{k}{y}$，即$C(\frac{k}{y},y)$。
则BC的长度为$\frac{2}{y}-\frac{k}{y}$，△ABC的高等于B、C到x轴的距离$y$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × y = 3$
代入BC的表达式：
$\frac{1}{2} × (\frac{2}{y}-\frac{k}{y}) × y =3$
化简得：$\frac{1}{2}(2 - k)=3$
解得：$k=-4$
【答案】
-4
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，解题的核心是利用平行于x轴的直线上点的坐标特征，结合反比例函数的性质表示线段长度，无需求出具体坐标即可通过消元计算k值，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住BC//x轴的特征，可知B、C两点纵坐标相同，△ABC的高就是该纵坐标的长度，底为BC的长度。再结合反比例函数图象上点的坐标满足解析式的性质，用纵坐标表示出B、C两点的横坐标，进而表示出BC的长度，代入三角形面积公式后，未知的纵坐标会自动消元，即可得到关于k的方程求解。
【解析】
设点B、C的纵坐标为$y(y＞0)$，
∵点B在$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴B点横坐标为$\frac{2}{y}$，即$B(\frac{2}{y},y)$。
∵BC//x轴，点C在$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
∴C点纵坐标也为$y$，横坐标为$\frac{k}{y}$，即$C(\frac{k}{y},y)$。
则BC的长度为$\frac{2}{y}-\frac{k}{y}$，△ABC的高等于B、C到x轴的距离$y$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × y = 3$
代入BC的表达式：
$\frac{1}{2} × (\frac{2}{y}-\frac{k}{y}) × y =3$
化简得：$\frac{1}{2}(2 - k)=3$
解得：$k=-4$
【答案】
-4
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，解题的核心是利用平行于x轴的直线上点的坐标特征，结合反比例函数的性质表示线段长度，无需求出具体坐标即可通过消元计算k值，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
4. 如图是反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$和$y=\frac{k_2}{x}(0＜k_1＜k_2)$在第一象限的图象，直线$AB// x$轴，并分别交两条曲线于$A,B$两点，若$S_{△ AOB}=4$，则$k_1 - k_2$的值为
-8
。答案
4. -8
解析
【分析】
解题时首先结合反比例函数的特征，想到反比例函数系数k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴或y轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。观察到直线$AB// x$轴，因此A、B两点纵坐标相同，我们可以设AB与y轴交于点C，将$△ AOB$的面积转化为$△ BOC$和$△ AOC$的面积差，进而建立$k_1$、$k_2$和已知面积的等量关系，最后求出$k_1 - k_2$的值。
【解析】
设直线$AB$与$y$轴交于点$C$。
$\because AB// x$轴，$\therefore AC⊥ y$轴，$BC⊥ y$轴。
$\because$点$A$在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1＞0)$的图象上，根据反比例函数$k$的几何意义，可得$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}k_1$。
同理，点$B$在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$的图象上，可得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}k_2$。
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ BOC}-S_{△ AOC}=\frac{1}{2}(k_2 - k_1)$。
已知$S_{△ AOB}=4$，代入得$\frac{1}{2}(k_2 - k_1)=4$，解得$k_2 - k_1=8$。
$\therefore k_1 - k_2 = -(k_2 - k_1)=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
1. 反比例函数系数k的几何意义
2. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考基础题型，核心考查对反比例函数系数k的几何意义的理解与应用，解题关键是将所求三角形的面积转化为两个符合k的几何意义的直角三角形的面积差，熟练掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合反比例函数的特征，想到反比例函数系数k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴或y轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。观察到直线$AB// x$轴，因此A、B两点纵坐标相同，我们可以设AB与y轴交于点C，将$△ AOB$的面积转化为$△ BOC$和$△ AOC$的面积差，进而建立$k_1$、$k_2$和已知面积的等量关系，最后求出$k_1 - k_2$的值。
【解析】
设直线$AB$与$y$轴交于点$C$。
$\because AB// x$轴，$\therefore AC⊥ y$轴，$BC⊥ y$轴。
$\because$点$A$在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1＞0)$的图象上，根据反比例函数$k$的几何意义，可得$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}k_1$。
同理，点$B$在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$的图象上，可得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}k_2$。
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ BOC}-S_{△ AOC}=\frac{1}{2}(k_2 - k_1)$。
已知$S_{△ AOB}=4$，代入得$\frac{1}{2}(k_2 - k_1)=4$，解得$k_2 - k_1=8$。
$\therefore k_1 - k_2 = -(k_2 - k_1)=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
1. 反比例函数系数k的几何意义
2. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考基础题型，核心考查对反比例函数系数k的几何意义的理解与应用，解题关键是将所求三角形的面积转化为两个符合k的几何意义的直角三角形的面积差，熟练掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 如图，若点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，$AM⊥x$轴于点M，$△ AMO$的面积为3.
(1) 求k的值；
(2) 当点A在反比例函数图象上运动时，其他条件不变，$△ AMO$的面积发生变化吗？说明你的理由.
(1) 求k的值；
(2) 当点A在反比例函数图象上运动时，其他条件不变，$△ AMO$的面积发生变化吗？说明你的理由.
答案
5. 解:(1) $\because △ AOM$的面积是3,$\therefore |k|=2×3=6$. 又$\because$ 图象在第二、四象限,$k＜0$,$\therefore k=-6$；
(2) $\because$ 点A是反比例函数$y=-\frac{6}{x}(x＞0)$图象上的点,$\therefore S_{△ AMO}=\frac{1}{2}|xy|=3$. $\therefore △ AMO$的面积不发生变化.
(2) $\because$ 点A是反比例函数$y=-\frac{6}{x}(x＞0)$图象上的点,$\therefore S_{△ AMO}=\frac{1}{2}|xy|=3$. $\therefore △ AMO$的面积不发生变化.
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。已知$△ AMO$的面积，可先求出$|k|$的值，再结合图象所在的象限判断k的符号，即可得到k的具体值。解决第(2)问时，结合k的几何意义可知，只要k是定值，该直角三角形的面积就固定为$\frac{1}{2}|k|$，和点A的位置无关，因此可判断面积是否变化。
【解析】
(1) 设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$，
∵$AM⊥x$轴，
∴$OM=|x|$，$AM=|y|$，
$S_{△ AMO}=\frac{1}{2}· OM· AM=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$，
已知$S_{△ AMO}=3$，
∴$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$，
由图象可知反比例函数图象在第二象限，
∴$k＜0$，故$k=-6$。
(2) $△ AMO$的面积不发生变化，理由如下：
由反比例函数系数k的几何意义可知，无论点A在图象上运动到哪个位置，都有$S_{△ AMO}=\frac{1}{2}|k|$，
∵$k=-6$为定值，
∴$S_{△ AMO}=\frac{1}{2}×|-6|=3$，即$△ AMO$的面积始终为3，不发生变化。
【答案】
(1) $k=-6$；
(2) $△ AMO$的面积不发生变化。
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义 2.反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数部分的基础常考题型，侧重考查系数k的几何意义的应用，熟记相关结论可快速解题，掌握该知识点对解决反比例函数和几何结合的题目有很大帮助。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。已知$△ AMO$的面积，可先求出$|k|$的值，再结合图象所在的象限判断k的符号，即可得到k的具体值。解决第(2)问时，结合k的几何意义可知，只要k是定值，该直角三角形的面积就固定为$\frac{1}{2}|k|$，和点A的位置无关，因此可判断面积是否变化。
【解析】
(1) 设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$，
∵$AM⊥x$轴，
∴$OM=|x|$，$AM=|y|$，
$S_{△ AMO}=\frac{1}{2}· OM· AM=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$，
已知$S_{△ AMO}=3$，
∴$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$，
由图象可知反比例函数图象在第二象限，
∴$k＜0$，故$k=-6$。
(2) $△ AMO$的面积不发生变化，理由如下：
由反比例函数系数k的几何意义可知，无论点A在图象上运动到哪个位置，都有$S_{△ AMO}=\frac{1}{2}|k|$，
∵$k=-6$为定值，
∴$S_{△ AMO}=\frac{1}{2}×|-6|=3$，即$△ AMO$的面积始终为3，不发生变化。
【答案】
(1) $k=-6$；
(2) $△ AMO$的面积不发生变化。
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义 2.反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数部分的基础常考题型，侧重考查系数k的几何意义的应用，熟记相关结论可快速解题，掌握该知识点对解决反比例函数和几何结合的题目有很大帮助。
【难度系数】
0.8
6. 如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与矩形ABCO的两边相交于E,F两点.若E是AB的中点,$S_{△ BEF}=1$,则k的值为 (
A.8
B.6
C.4
D.2
C
)A.8
B.6
C.4
D.2
答案
6. C
解析
【分析】
这道题可通过设点坐标的方法求解：首先利用反比例函数上点的坐标特征，结合E是AB中点的条件，分别表示出E、B、F三点的坐标，再用坐标表示出△BEF两条直角边的长度，最后代入三角形面积公式建立关于k的方程，求解即可得到k的值。
【解析】
设点E的坐标为$(a, \frac{k}{a})$（$a＞0$），
∵ 四边形ABCO是矩形，E是AB的中点，
∴ 点B的横坐标为$2a$，纵坐标与E相同，即$B(2a, \frac{k}{a})$，
∵ 点F在BC边上，同时在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 点F的横坐标为$2a$，代入反比例函数解析式得纵坐标为$\frac{k}{2a}$，即$F(2a, \frac{k}{2a})$，
∴ $BE = 2a - a = a$，$BF = \frac{k}{a} - \frac{k}{2a} = \frac{k}{2a}$，
∵ $S_{△ BEF}=1$，且△BEF是直角三角形，
∴ $\frac{1}{2} × BE × BF = 1$，
代入得：$\frac{1}{2} × a × \frac{k}{2a} = 1$，
化简得：$\frac{k}{4}=1$，解得$k=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，通过设参数表示点坐标的方法，将线段长度用参数和k表示，结合面积公式建立方程即可求解，解题过程中参数会自然消去，不需要求出参数的具体值。
【难度系数】
0.6
这道题可通过设点坐标的方法求解：首先利用反比例函数上点的坐标特征，结合E是AB中点的条件，分别表示出E、B、F三点的坐标，再用坐标表示出△BEF两条直角边的长度，最后代入三角形面积公式建立关于k的方程，求解即可得到k的值。
【解析】
设点E的坐标为$(a, \frac{k}{a})$（$a＞0$），
∵ 四边形ABCO是矩形，E是AB的中点，
∴ 点B的横坐标为$2a$，纵坐标与E相同，即$B(2a, \frac{k}{a})$，
∵ 点F在BC边上，同时在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 点F的横坐标为$2a$，代入反比例函数解析式得纵坐标为$\frac{k}{2a}$，即$F(2a, \frac{k}{2a})$，
∴ $BE = 2a - a = a$，$BF = \frac{k}{a} - \frac{k}{2a} = \frac{k}{2a}$，
∵ $S_{△ BEF}=1$，且△BEF是直角三角形，
∴ $\frac{1}{2} × BE × BF = 1$，
代入得：$\frac{1}{2} × a × \frac{k}{2a} = 1$，
化简得：$\frac{k}{4}=1$，解得$k=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，通过设参数表示点坐标的方法，将线段长度用参数和k表示，结合面积公式建立方程即可求解，解题过程中参数会自然消去，不需要求出参数的具体值。
【难度系数】
0.6
