7. 如图,两个反比例函数$y_1=\frac{4}{x}$和$y_2=\frac{2}{x}$在第一象限内的图象分别是$C_1$和$C_2$,设点$P$在$C_1$上,$PA⊥ x$轴于点$A$,交$C_2$于点$B$,则$△ POB$的面积为（）

A.4
B.2
C.1
D.6

7. C

【分析】
解题时首先回忆反比例函数系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。观察图形可知，$△ POB$的面积可转化为$△ POA$与$△ BOA$的面积差，分别计算两个直角三角形的面积再作差即可得到结果。
【解析】
∵ 点$P$在反比例函数$y_1=\frac{4}{x}$的图象$C_1$上，且$PA⊥x$轴，
∴ 根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ POA}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
∵ 点$B$在反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$的图象$C_2$上，且$BA⊥x$轴，
∴ 同理可得$S_{△ BOA}=\frac{1}{2}×|2|=1$。
∴ $S_{△ POB}=S_{△ POA}-S_{△ BOA}=2-1=1$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，面积差计算
【点评】
本题是反比例函数的常考基础题型，核心是对k的几何意义的理解与应用，将所求三角形面积转化为两个可直接计算的直角三角形的面积差是解题的关键，掌握该性质可快速求解此类题型。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$□ OABC$的顶点$B$在$y$轴上,顶点$A$在反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上,顶点$C$在反比例函数$y=\dfrac{10}{x}$的图象上,则$□ OABC$的面积是.

8. 16

【分析】
解题时先结合平行四边形对角线互相平分的性质，由顶点B在y轴上，可推出点A和点C的横坐标互为相反数；再设点A的横坐标为参数，结合反比例函数解析式表示出A、C两点的纵坐标，利用中点坐标公式求出点B的纵坐标；最后将平行四边形的面积拆分为两个同底的三角形面积之和，代入计算即可消去参数得到结果。
【解析】
解：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴对角线OB与AC互相平分，即OB的中点与AC的中点重合。
∵点B在y轴上，OB中点的横坐标为0，
∴点A和点C的横坐标互为相反数。
设点A的横坐标为 m （ m＜0 ，点A在第二象限），则点C的横坐标为 -m 。
∵点A在反比例函数$ y=-\dfrac{6}{x} $的图象上，
∴$ A(m, -\dfrac{6}{m}) $，
∵点C在反比例函数$ y=\dfrac{10}{x} $的图象上，
∴$ C(-m, -\dfrac{10}{m}) $。
设点B的坐标为 (0, b) ，由中点纵坐标相等可得：
$ \dfrac{-\dfrac{6}{m} + (-\dfrac{10}{m})}{2} = \dfrac{0 + b}{2} $，
解得$ b = -\dfrac{16}{m} $，即$ OB = b = -\dfrac{16}{m} $。
平行四边形 OABC 的面积$ = S_{△ OAB} + S_{△ OCB} $
$ S_{△ OAB} = \dfrac{1}{2} × OB × $|x_A|$ = \dfrac{1}{2} × (-\dfrac{16}{m}) × (-m) = 8 $，
$ S_{△ OCB} = \dfrac{1}{2} × OB × $|x_C|$ = \dfrac{1}{2} × (-\dfrac{16}{m}) × m = $不对，哦xC是-m＞0，|xC|=-m，所以也是8，总和为8+8=16。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质，反比例函数的性质，中点坐标公式
【点评】
本题是反比例函数与平面几何结合的典型题型，解题核心是利用平行四边形对角线的性质找到A、C两点坐标的关联，通过设参计算消去参数得到面积，能够较好地考查学生综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.65

9. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$边经过原点$O$，$BC// x$轴，双曲线$y=\frac{k}{x}$经过$A$，$B$两点。若$S_{△ ABC}=4$，则$k$的值为。

9. 1

【分析】
解题时首先利用反比例函数的中心对称性，可知过原点的直线与双曲线的两个交点A、B关于原点对称，两点坐标互为相反数；再结合BC//x轴、AB=AC的条件，可知△ABC为等腰三角形，对称轴为过A且垂直于BC的竖直线，据此可表示出C点的坐标；最后用坐标表示出△ABC的底和高，结合面积公式求出A点横纵坐标的乘积，结合反比例函数解析式的特征即可得到k的值。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象关于原点中心对称，且AB经过原点，
∴ A、B两点关于原点对称。
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），则点B的坐标为$(-a,-b)$，将A代入反比例函数得$b=\frac{k}{a}$，即$k=ab$。
∵ $BC// x$轴，
∴ 点C的纵坐标与点B相同，为$-b$。
又
∵ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形，底边BC的对称轴为过点A且垂直于BC的直线，
∵ BC为水平线段，
∴ 对称轴为直线$x=a$，即点B与点C关于直线$x=a$对称。
设点C的横坐标为$x$，由对称性质得$\frac{-a+x}{2}=a$，解得$x=3a$，即$C(3a,-b)$。
∴ 底边BC的长度为$3a - (-a)=4a$，$△ ABC$的高为A到BC的距离：$b - (-b)=2b$。
由$S_{△ ABC}=4$，得：
$\frac{1}{2} × 4a × 2b =4$
化简得$4ab=4$，即$ab=1$，
∴ $k=ab=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的对称性，等腰三角形的性质，反比例函数系数k的意义
【点评】
本题将反比例函数性质与等腰三角形性质结合，通过坐标法将几何条件转化为代数运算，是求解反比例函数中k值的典型题型，解题的关键是利用对称性找到各点坐标之间的关系。
【难度系数】
0.6

10. 如图，点A与点B在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上，点A的纵坐标为2，$BB'$与$AA'$均垂直于x轴，$B',A'$是垂足.
（1）求点A的坐标；
（2）求$△ BOB'$的面积；
（3）若点B的横坐标为2，求$△ OAB$的面积.

10. 解:(1) 当$y=2$时,则$x=\frac{8}{2}=4$,即点A的坐标是(4,2)；
(2) $S_{△ BOB'}=\frac{1}{2}×8=4$；
(3) 在$y=\frac{8}{x}$中,当$x=2$时,$y=\frac{8}{2}=4$,则B的坐标是(2,4),根据反比例函数的表达式有:$S_{△ OAA'}=S_{△ OBB'}=4$,则$S_{△ OAB}=S_{梯形BB'A'A}=\frac{1}{2}×(2+4)×2=6$.

【分析】
(1) 第1问求点A坐标：反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知点A纵坐标为2，将y=2代入$y=\frac{8}{x}$即可求出对应横坐标，得到A点坐标。
(2) 第2问求$△ BOB'$的面积：利用反比例函数k的几何意义，过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，本题k=8＞0，直接代入公式计算即可。
(3) 第3问求$△ OAB$的面积：先将点B的横坐标代入解析式求出纵坐标，得到B点坐标；观察图形可知$\mathrm{S}_{△ OAA'}=\mathrm{S}_{△ OBB'}$，因此$\mathrm{S}_{△ OAB}$可转化为梯形$BB'A'A$的面积，再利用梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将y=2代入反比例函数$y=\frac{8}{x}$中，得$2=\frac{8}{x}$，解得$x=4$，因此点A的坐标为(4,2)。
(2) 根据反比例函数k的几何意义，$\mathrm{S}_{△ BOB'}=\frac{1}{2}|k|$，代入k=8得$\mathrm{S}_{△ BOB'}=\frac{1}{2}×8=4$。
(3) 将x=2代入$y=\frac{8}{x}$中，得$y=\frac{8}{2}=4$，因此点B的坐标为(2,4)。由反比例函数k的几何意义可知$\mathrm{S}_{△ OAA'}=\mathrm{S}_{△ OBB'}=4$，因此$\mathrm{S}_{△ OAB}=\mathrm{S}_{梯形BB'A'A}$，梯形的上底$AA'=2$，下底$BB'=4$，高$A'B'=4-2=2$，代入梯形面积公式得$\mathrm{S}_{梯形BB'A'A}=\frac{1}{2}×(2+4)×2=6$，即$\mathrm{S}_{△ OAB}=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,2)}$；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 反比例函数k的几何意义
3. 不规则图形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，既考查了函数图象上点的坐标求解方法，也考查了利用k的几何意义简化面积计算的技巧，第三问的等面积转化是求解反比例函数相关不规则图形面积的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75

11. 如图,反比例函数 $y=\frac{k-3}{x}$ 的图象的一支位于第一象限.
(1) 该函数图象的另一支在第象限,k 的取值范围是;
(2) 点 A 在反比例函数的图象上,点 A 关于 x 轴的对称点为点 B,点 A 关于原点的对称点为点 C,若△ABC 的面积为 4,求 k 的值.

11. 解:(1) 三 $k＞3$
(2) 由题意,设点A的坐标为$(a,b)$,$\because$ 点A在该反比例函数位于第一象限的图象上,点B与点A关于x轴对称,点C与点A关于原点O对称,$\therefore a＞0,b＞0$,点B的坐标是$(a,-b)$,点C的坐标是$(-a,-b)$. $\therefore BC=a-(-a)=2a$,$AB=b+b=2b$. $\because △ ABC$的面积为4,$\therefore \frac{1}{2}×AB×BC=4$. $\therefore \frac{1}{2}×2a×2b=4$. $\therefore ab=2$. $\because$ 点A在反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$的位于第一象限的图象上,$\therefore k-3=ab=2$. 解得$k=5$.

【分析】
(1) 回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）中，当$m＞0$时，图象的两支分别位于第一、三象限；当$m＜0$时位于第二、四象限。已知该函数有一支在第一象限，说明系数$k-3＞0$，即可推出另一支所在象限和k的取值范围。
(2) 要求k的值，需先得到$k-3$的值。可先设点A的坐标，利用对称点的坐标规律写出B、C的坐标，观察发现$△ ABC$是直角三角形，结合面积公式求出横纵坐标的乘积$ab$，再根据反比例函数图象上点的坐标满足$xy=k-3$，即可求出k的值。
【解析】
(1) 根据反比例函数的图象性质，该函数一支在第一象限，说明$k-3＞0$，因此图象的另一支在第三象限；解不等式$k-3＞0$，得$k＞3$。
(2) 设点A的坐标为$(a,b)$，其中$a＞0,b＞0$。
∵点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点对称，
∴点B坐标为$(a,-b)$，点C坐标为$(-a,-b)$。
可得$BC=a-(-a)=2a$，$AB=b-(-b)=2b$，且$AB⊥ BC$，$△ ABC$为直角三角形。
已知$△ ABC$的面积为4，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×2b×2a=2ab=4$，
解得$ab=2$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$的图象上，
∴$b=\frac{k-3}{a}$，即$k-3=ab=2$，解得$k=5$。
【答案】
(1) 三；$k＞3$
(2) $k=5$
【知识点】
反比例函数的图象性质，对称点的坐标特征，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题属于反比例函数基础综合题，结合了坐标对称、三角形面积计算的知识点，解题核心是熟练掌握反比例函数的图象特征以及系数k与图象上点坐标的关系，推导思路清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.7