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1. 一个三角形的三个内角中 （
A.至少有一个角等于 $ 90° $
B.至少有一个角大于 $ 90° $
C.可能只有一个角小于 $ 90° $
D.不可能三个角都小于 $ 60° $
D
）A.至少有一个角等于 $ 90° $
B.至少有一个角大于 $ 90° $
C.可能只有一个角小于 $ 90° $
D.不可能三个角都小于 $ 60° $
答案
1.D
解析
【分析】
解题核心依据是三角形内角和为180°的定理，我们可以通过举反例或者推导内角和是否符合定理的方式，逐一判断每个选项的正误：首先回忆不同类型三角形的内角度数特点，再对每个选项假设成立，验证内角和是否满足180°即可。
【解析】
已知任意三角形的内角和均为180°，逐个分析选项：
A. 锐角三角形的三个内角都小于90°，比如等边三角形三个角都是60°，不存在等于90°的角，因此A错误；
B. 锐角三角形、直角三角形都没有大于90°的内角，比如直角三角形仅一个角为90°，剩余两个角之和为90°，均小于90°，因此B错误；
C. 若三角形只有一个角小于90°，则剩余两个角都≥90°，这两个角的和就≥180°，加上小于90°的角后总内角和会超过180°，不符合三角形内角和定理，因此C错误；
D. 假设三角形三个角都小于60°，则三个内角的和会小于60°×3=180°，不符合三角形内角和为180°的定理，因此不可能三个角都小于60°，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查对三角形内角和定理的灵活运用，通过举反例或简单推导即可判断选项，是对基础概念的常规考查，熟练掌握三角形内角和为180°是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题核心依据是三角形内角和为180°的定理，我们可以通过举反例或者推导内角和是否符合定理的方式，逐一判断每个选项的正误：首先回忆不同类型三角形的内角度数特点，再对每个选项假设成立，验证内角和是否满足180°即可。
【解析】
已知任意三角形的内角和均为180°，逐个分析选项：
A. 锐角三角形的三个内角都小于90°，比如等边三角形三个角都是60°，不存在等于90°的角，因此A错误；
B. 锐角三角形、直角三角形都没有大于90°的内角，比如直角三角形仅一个角为90°，剩余两个角之和为90°，均小于90°，因此B错误；
C. 若三角形只有一个角小于90°，则剩余两个角都≥90°，这两个角的和就≥180°，加上小于90°的角后总内角和会超过180°，不符合三角形内角和定理，因此C错误；
D. 假设三角形三个角都小于60°，则三个内角的和会小于60°×3=180°，不符合三角形内角和为180°的定理，因此不可能三个角都小于60°，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查对三角形内角和定理的灵活运用，通过举反例或简单推导即可判断选项，是对基础概念的常规考查，熟练掌握三角形内角和为180°是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2.下列说法中，正确的是 （
A.三角形的三个内角与三个外角的和是$540°$
B.三角形的外角大于它的内角
C.三角形的外角都比锐角大
D.三角形的内角没有大于$60°$的
A
）A.三角形的三个内角与三个外角的和是$540°$
B.三角形的外角大于它的内角
C.三角形的外角都比锐角大
D.三角形的内角没有大于$60°$的
答案
2.A
解析
【分析】
解答这道题需要结合三角形内角和、外角和以及外角的相关性质，逐个分析选项判断正误：首先回忆三角形内角和、外角和的固定数值，再明确三角形外角性质的适用前提，依次排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°；任意三角形的三个外角的和为360°，两者相加总和为180°+360°=540°，该说法正确。
2. 分析选项B：三角形的外角仅大于和它不相邻的内角，与外角相邻的内角和外角互补，若内角为钝角，其相邻外角为锐角，此时外角小于内角，该说法错误。
3. 分析选项C：当三角形的内角为钝角时，它对应的外角是锐角，这个锐角外角可能小于其他锐角，例如内角为150°时，对应的外角为30°，小于60°的锐角，该说法错误。
4. 分析选项D：三角形的内角可以大于60°，例如内角为90°的直角三角形、内角为120°的钝角三角形，都存在大于60°的内角，该说法错误。
综上，只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对三角形内角、外角相关性质的理解和记忆，做题时要注意外角性质中“不相邻”这个关键前提，避免因概念记忆不严谨出错。
【难度系数】
0.8
解答这道题需要结合三角形内角和、外角和以及外角的相关性质，逐个分析选项判断正误：首先回忆三角形内角和、外角和的固定数值，再明确三角形外角性质的适用前提，依次排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°；任意三角形的三个外角的和为360°，两者相加总和为180°+360°=540°，该说法正确。
2. 分析选项B：三角形的外角仅大于和它不相邻的内角，与外角相邻的内角和外角互补，若内角为钝角，其相邻外角为锐角，此时外角小于内角，该说法错误。
3. 分析选项C：当三角形的内角为钝角时，它对应的外角是锐角，这个锐角外角可能小于其他锐角，例如内角为150°时，对应的外角为30°，小于60°的锐角，该说法错误。
4. 分析选项D：三角形的内角可以大于60°，例如内角为90°的直角三角形、内角为120°的钝角三角形，都存在大于60°的内角，该说法错误。
综上，只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对三角形内角、外角相关性质的理解和记忆，做题时要注意外角性质中“不相邻”这个关键前提，避免因概念记忆不严谨出错。
【难度系数】
0.8
3.若一等腰三角形的一边长为6 cm，一边长为8 cm，则此等腰三角形的周长为（
A.20 cm
B.22 cm
C.20 cm或22 cm
D.非以上答案
C
）A.20 cm
B.22 cm
C.20 cm或22 cm
D.非以上答案
答案
3.C
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质分类讨论边长，首先等腰三角形两条腰长度相等，题目给出两条不同的边长，因此要分两种情况讨论：①6cm为腰长，8cm为底边长；②8cm为腰长，6cm为底边长。同时需要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：等腰三角形的两腰长度相等，分两种情况讨论：
1. 当腰长为6cm时，三角形三边长分别为6cm、6cm、8cm。
验证三边关系：$6+6=12＞8$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$6+6+8=20\mathrm{cm}$。
2. 当腰长为8cm时，三角形三边长分别为8cm、8cm、6cm。
验证三边关系：$8+8=16＞6$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$8+8+6=22\mathrm{cm}$。
综上，该等腰三角形的周长为20cm或22cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题易错点在于容易忽略分类讨论漏解，或求出边长后未验证是否满足三角形三边关系，解题时要养成分类讨论后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
本题需要结合等腰三角形的性质分类讨论边长，首先等腰三角形两条腰长度相等，题目给出两条不同的边长，因此要分两种情况讨论：①6cm为腰长，8cm为底边长；②8cm为腰长，6cm为底边长。同时需要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：等腰三角形的两腰长度相等，分两种情况讨论：
1. 当腰长为6cm时，三角形三边长分别为6cm、6cm、8cm。
验证三边关系：$6+6=12＞8$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$6+6+8=20\mathrm{cm}$。
2. 当腰长为8cm时，三角形三边长分别为8cm、8cm、6cm。
验证三边关系：$8+8=16＞6$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$8+8+6=22\mathrm{cm}$。
综上，该等腰三角形的周长为20cm或22cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题易错点在于容易忽略分类讨论漏解，或求出边长后未验证是否满足三角形三边关系，解题时要养成分类讨论后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
4. 在$△ ABC$中，已知$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，则该三角形是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.形状无法确定
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.形状无法确定
答案
4.B
解析
【分析】
首先明确任意三角形的内角和为180°，题目给出了三个内角的数量关系，我们可以通过设未知数的方法，将三个内角用同一个未知数表示，再结合三角形内角和定理列方程求解，算出最大角的度数后即可判断三角形的类型。具体思考步骤：第一步以最小的∠A为基础设未知数，用含未知数的式子表示∠B和∠C；第二步根据内角和为180°列方程并求解；第三步计算最大角的度数，对应判断三角形类型。
【解析】
设$∠ A = x$，
$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，
$\therefore ∠ B = 2x$，$∠ C = 3x$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
$\therefore ∠ C = 3x = 3×30° = 90°$
有一个角为直角的三角形是直角三角形，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题核心是根据已知角的数量关系设未知数，结合三角形内角和定理建立方程求出各角的度数，进而判断三角形形状，是三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
首先明确任意三角形的内角和为180°，题目给出了三个内角的数量关系，我们可以通过设未知数的方法，将三个内角用同一个未知数表示，再结合三角形内角和定理列方程求解，算出最大角的度数后即可判断三角形的类型。具体思考步骤：第一步以最小的∠A为基础设未知数，用含未知数的式子表示∠B和∠C；第二步根据内角和为180°列方程并求解；第三步计算最大角的度数，对应判断三角形类型。
【解析】
设$∠ A = x$，
$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，
$\therefore ∠ B = 2x$，$∠ C = 3x$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
$\therefore ∠ C = 3x = 3×30° = 90°$
有一个角为直角的三角形是直角三角形，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题核心是根据已知角的数量关系设未知数，结合三角形内角和定理建立方程求出各角的度数，进而判断三角形形状，是三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
5. 如图
，在$△ ABC$中，D是边AC延长线上一点，则$∠ BCD$的度数是（
A.$136°$
B.$134°$
C.$98°$
D.$160°$
，在$△ ABC$中，D是边AC延长线上一点，则$∠ BCD$的度数是（C
）A.$136°$
B.$134°$
C.$98°$
D.$160°$
答案
5.C
解析
【分析】
本题需要求解∠BCD的度数，首先观察图形特征：∠BCD是△ABC的外角，有两种常见解题思路：思路1：直接利用三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，找到∠BCD对应的两个不相邻内角∠A和∠B，相加即可得到结果；思路2：先根据三角形内角和为180°计算出△ABC中∠ACB的度数，再利用∠BCD和∠ACB互为邻补角、和为180°，计算得到∠BCD的度数。
【解析】
方法一：利用三角形外角性质求解
∵∠BCD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠BCD = ∠A + ∠B
代入已知∠A=38°，∠B=60°，可得：
∠BCD = 38° + 60° = 98°
方法二：利用三角形内角和与邻补角性质求解
在△ABC中，三角形内角和为180°，因此：
∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 38° - 60° = 82°
∵∠BCD与∠ACB互为邻补角，两角之和为180°
∴∠BCD = 180° - ∠ACB = 180° - 82° = 98°
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，主要考查三角形相关性质的应用，熟练掌握三角形外角性质或内角和定理即可快速得出答案，解题时注意识别外角对应的内角，避免计算失误。
【难度系数】
0.9
本题需要求解∠BCD的度数，首先观察图形特征：∠BCD是△ABC的外角，有两种常见解题思路：思路1：直接利用三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，找到∠BCD对应的两个不相邻内角∠A和∠B，相加即可得到结果；思路2：先根据三角形内角和为180°计算出△ABC中∠ACB的度数，再利用∠BCD和∠ACB互为邻补角、和为180°，计算得到∠BCD的度数。
【解析】
方法一：利用三角形外角性质求解
∵∠BCD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠BCD = ∠A + ∠B
代入已知∠A=38°，∠B=60°，可得：
∠BCD = 38° + 60° = 98°
方法二：利用三角形内角和与邻补角性质求解
在△ABC中，三角形内角和为180°，因此：
∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 38° - 60° = 82°
∵∠BCD与∠ACB互为邻补角，两角之和为180°
∴∠BCD = 180° - ∠ACB = 180° - 82° = 98°
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，主要考查三角形相关性质的应用，熟练掌握三角形外角性质或内角和定理即可快速得出答案，解题时注意识别外角对应的内角，避免计算失误。
【难度系数】
0.9
6.有四条线段，长度分别是9 cm，7 cm，6 cm，3 cm，选其中三条组成三角形，则选择的方法有 （
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
C
）A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
6.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确三角形的三边判定条件：三角形任意两边之和大于第三边。解题时第一步先列出从4条线段中任选3条的所有可能组合（共4种，可通过每次排除1条线段的方法快速枚举），第二步对每个组合逐一用三边关系判断是否能构成三角形，为了简化计算，判断时只需计算两条较短线段的长度和，与最长线段比较即可：若两短边之和大于最长边，则可以构成三角形，反之则不能。最后统计符合条件的组合数就能得到答案。
【解析】
首先列出从4条线段中选3条的所有4种组合，逐一判断：
1. 选9cm、7cm、6cm：两短边和为$6+7=13\mathrm{cm}$，$13＞9$，满足三边关系，可构成三角形；
2. 选9cm、7cm、3cm：两短边和为$3+7=10\mathrm{cm}$，$10＞9$，满足三边关系，可构成三角形；
3. 选9cm、6cm、3cm：两短边和为$3+6=9\mathrm{cm}$，$9=9$，不满足三边关系，不可构成三角形；
4. 选7cm、6cm、3cm：两短边和为$3+6=9\mathrm{cm}$，$9＞7$，满足三边关系，可构成三角形。
综上，能构成三角形的组合共3种。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形三边关系 2.分类枚举
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，解题时需先完整枚举所有可能的组合，避免漏解；判断时使用两短边之和与最长边比较的技巧，可减少计算量，需要特别注意“两边之和等于第三边时不能构成三角形”这个易错点。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确三角形的三边判定条件：三角形任意两边之和大于第三边。解题时第一步先列出从4条线段中任选3条的所有可能组合（共4种，可通过每次排除1条线段的方法快速枚举），第二步对每个组合逐一用三边关系判断是否能构成三角形，为了简化计算，判断时只需计算两条较短线段的长度和，与最长线段比较即可：若两短边之和大于最长边，则可以构成三角形，反之则不能。最后统计符合条件的组合数就能得到答案。
【解析】
首先列出从4条线段中选3条的所有4种组合，逐一判断：
1. 选9cm、7cm、6cm：两短边和为$6+7=13\mathrm{cm}$，$13＞9$，满足三边关系，可构成三角形；
2. 选9cm、7cm、3cm：两短边和为$3+7=10\mathrm{cm}$，$10＞9$，满足三边关系，可构成三角形；
3. 选9cm、6cm、3cm：两短边和为$3+6=9\mathrm{cm}$，$9=9$，不满足三边关系，不可构成三角形；
4. 选7cm、6cm、3cm：两短边和为$3+6=9\mathrm{cm}$，$9＞7$，满足三边关系，可构成三角形。
综上，能构成三角形的组合共3种。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形三边关系 2.分类枚举
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，解题时需先完整枚举所有可能的组合，避免漏解；判断时使用两短边之和与最长边比较的技巧，可减少计算量，需要特别注意“两边之和等于第三边时不能构成三角形”这个易错点。
【难度系数】
0.7
7.已知一个三角形的周长为15 cm，且其中的两边长都等于第三边长的2倍，那么这个三角形中最短边的长为 （
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
C
）A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
答案
7.C
解析
【分析】
首先明确三角形周长的定义：三角形的周长是三条边的长度之和。题目说明有两边长都等于第三边长的2倍，可判断第三边就是最短边，我们可以用方程思想解题：先设最短边的长度为未知数，用含未知数的式子表示另外两条边的长度，再结合周长为15cm的条件列方程，最后解方程求出结果即可。
【解析】
设这个三角形的第三边（即最短边）长为$ x $ cm，由题意可知另外两条边的长度均为$ 2x $ cm。
根据三角形周长公式列方程：
$ x + 2x + 2x = 15 $
合并同类项得：$ 5x = 15 $
系数化为1得：$ x = 3 $
因此最短边的长度为3cm，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形周长计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的几何结合方程的应用题，解题核心是找准三条边的数量关系，结合周长公式建立方程，熟练掌握方程思想能快速解决这类边长计算问题。
【难度系数】
0.8
首先明确三角形周长的定义：三角形的周长是三条边的长度之和。题目说明有两边长都等于第三边长的2倍，可判断第三边就是最短边，我们可以用方程思想解题：先设最短边的长度为未知数，用含未知数的式子表示另外两条边的长度，再结合周长为15cm的条件列方程，最后解方程求出结果即可。
【解析】
设这个三角形的第三边（即最短边）长为$ x $ cm，由题意可知另外两条边的长度均为$ 2x $ cm。
根据三角形周长公式列方程：
$ x + 2x + 2x = 15 $
合并同类项得：$ 5x = 15 $
系数化为1得：$ x = 3 $
因此最短边的长度为3cm，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形周长计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的几何结合方程的应用题，解题核心是找准三条边的数量关系，结合周长公式建立方程，熟练掌握方程思想能快速解决这类边长计算问题。
【难度系数】
0.8
8.在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=2:3:5$，则$∠ B=$
54°
.答案
8.54°
解析
【分析】
解题首先要用到三角形内角和为180°的核心性质，题目给出三个内角的度数比，我们可以通过设每份角度为未知数的方法，结合内角和列方程求出每份的度数，再根据∠B对应的份数计算它的度数；也可以直接用按比例分配的方法，用内角和乘∠B占总份数的占比得出结果，两种方法都紧扣内角和性质和比例计算的基础知识点。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，且∠A:∠B:∠C=2:3:5
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x
根据三角形内角和定理列方程：
$2x+3x+5x=180°$
合并同类项得：$10x=180°$
解得：$x=18°$
∴$∠ B=3x=3×18°=54°$
【答案】
$54°$
【知识点】
三角形内角和定理，比例的应用
【点评】
本题属于基础题，将三角形的基本性质和比例计算结合考查，解题的关键是牢记三角形内角和为180°，结合比例关系即可快速算出对应角度。
【难度系数】
0.8
解题首先要用到三角形内角和为180°的核心性质，题目给出三个内角的度数比，我们可以通过设每份角度为未知数的方法，结合内角和列方程求出每份的度数，再根据∠B对应的份数计算它的度数；也可以直接用按比例分配的方法，用内角和乘∠B占总份数的占比得出结果，两种方法都紧扣内角和性质和比例计算的基础知识点。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，且∠A:∠B:∠C=2:3:5
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x
根据三角形内角和定理列方程：
$2x+3x+5x=180°$
合并同类项得：$10x=180°$
解得：$x=18°$
∴$∠ B=3x=3×18°=54°$
【答案】
$54°$
【知识点】
三角形内角和定理，比例的应用
【点评】
本题属于基础题，将三角形的基本性质和比例计算结合考查，解题的关键是牢记三角形内角和为180°，结合比例关系即可快速算出对应角度。
【难度系数】
0.8
9.在$△ ABC$中，$∠ B=70°$，$∠ A=68°$，CD是$∠ ACB$的平分线，则$∠ ADC=$
91°
.答案
9.91°
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，第一步先利用△ABC已知的两个内角度数，求出第三个内角∠ACB的度数；第二步结合角平分线的定义，求出∠ACD（或∠BCD）的度数；最后可通过两种思路计算∠ADC：一是在△ADC中再次运用三角形内角和定理计算，二是利用三角形外角性质，将∠ADC看作△BCD的外角，等于∠B与∠BCD的和，两种方法均可快速得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 68° - 70° = 42°$
∵CD是∠ACB的平分线
∴$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 42° = 21°$
∵∠ADC是△BCD的外角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴$∠ ADC = ∠ B + ∠ BCD = 70° + 21° = 91°$
（也可在△ADC中用内角和计算：$∠ ADC=180°-68°-21°=91°$）
【答案】
$91°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查三角形相关基础性质和角平分线定义的综合运用，解题时只要理清各个角之间的数量关系，按步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，第一步先利用△ABC已知的两个内角度数，求出第三个内角∠ACB的度数；第二步结合角平分线的定义，求出∠ACD（或∠BCD）的度数；最后可通过两种思路计算∠ADC：一是在△ADC中再次运用三角形内角和定理计算，二是利用三角形外角性质，将∠ADC看作△BCD的外角，等于∠B与∠BCD的和，两种方法均可快速得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 68° - 70° = 42°$
∵CD是∠ACB的平分线
∴$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 42° = 21°$
∵∠ADC是△BCD的外角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴$∠ ADC = ∠ B + ∠ BCD = 70° + 21° = 91°$
（也可在△ADC中用内角和计算：$∠ ADC=180°-68°-21°=91°$）
【答案】
$91°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查三角形相关基础性质和角平分线定义的综合运用，解题时只要理清各个角之间的数量关系，按步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.8
10.如图2,已知直线$a// b$,则$∠A=$
18°
. 答案
10.18°
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知直线a//b，首先利用平行线同位角相等的性质得到与55°相等的角，这个角同时是△ABD的外角，再根据三角形外角的性质，即三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，用外角的度数减去已知的37°，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵直线a//b，AC为两条平行线的截线，
∴∠BDC = 55°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
已知∠ABD=37°，代入计算可得：
∠A = ∠BDC - ∠ABD = 55° - 37° = 18°。
【答案】
18°
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查平行线性质和三角形外角性质的综合应用，解题的关键是准确识别图形中同位角、外角的位置关系，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征，已知直线a//b，首先利用平行线同位角相等的性质得到与55°相等的角，这个角同时是△ABD的外角，再根据三角形外角的性质，即三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，用外角的度数减去已知的37°，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵直线a//b，AC为两条平行线的截线，
∴∠BDC = 55°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
已知∠ABD=37°，代入计算可得：
∠A = ∠BDC - ∠ABD = 55° - 37° = 18°。
【答案】
18°
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查平行线性质和三角形外角性质的综合应用，解题的关键是准确识别图形中同位角、外角的位置关系，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
11. 如图3，已知BE，CE分别平分∠ABC和∠ACB.若∠A=66°，求∠BEC的度数.
答案
11.123°
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理和角平分线的定义：第一步先在△ABC中，利用三角形内角和为180°，结合已知∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的和；第二步根据角平分线的性质，得出∠EBC、∠ECB分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠EBC与∠ECB的和；第三步在△BEC中，再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BEC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$
已知$∠ A=66°$，代入得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 66° = 114°$
∵BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ ACB$
∴$∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×114° = 57°$
在△BEC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BEC = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 180° - 57° = 123°$
【答案】
$123°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的核心是熟练运用三角形内角和定理，结合角平分线的性质完成角度的转化计算，这类题型是三角形章节的高频考点。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆三角形内角和定理和角平分线的定义：第一步先在△ABC中，利用三角形内角和为180°，结合已知∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的和；第二步根据角平分线的性质，得出∠EBC、∠ECB分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠EBC与∠ECB的和；第三步在△BEC中，再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BEC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$
已知$∠ A=66°$，代入得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 66° = 114°$
∵BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ ACB$
∴$∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×114° = 57°$
在△BEC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BEC = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 180° - 57° = 123°$
【答案】
$123°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的核心是熟练运用三角形内角和定理，结合角平分线的性质完成角度的转化计算，这类题型是三角形章节的高频考点。
【难度系数】
0.75
12.如果△ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边长为4，那么这个三角形的最长边长可能为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
12.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合已知的周长和固定边长，先求出另外两条边的和，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）以及“最长边”的限制，结合边长为整数的条件，推导最长边的可能取值。具体思考步骤：①先算剩余两边的和；②设最长边为未知数，用和表示出第三边；③根据“最长边≥其余两边”“较短两边之和＞最长边”两个限制列不等式，求解后结合整数条件筛选即可。
【解析】
已知△ABC周长为11，其中一边长为4，因此另外两条边的长度之和为：$11 - 4 = 7$。
设这个三角形的最长边长为$x$，则第三条边的长度为$7 - x$。
根据“$x$是最长边”可得：
$x ≥ 4$，且$x ≥ 7 - x$，解得$x ≥ 4$；
再根据三角形三边关系：较短两边之和大于最长边，可得：
$4 + (7 - x) ＞ x$
化简得：$11 ＞ 2x$，即$x ＜ 5.5$。
因为边长为整数，所以$x$的最大可能取值为5。
验证：当最长边为5时，三边长为2、4、5，满足$2 + 4 ＞ 5$，符合三角形三边关系；若$x=6$，则三边长为1、4、6，$1 + 4 ＜ 6$，不满足三边关系，排除。
因此最长边长可能为5。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系，不等式应用，整数解求解
【点评】
本题核心考查三角形三边关系的实际应用，解题时要注意挖掘“边长为整数”“最长边”这些隐含限制条件，通过设未知数列不等式的方式可以快速缩小取值范围，最后要注意验证所得边长是否满足三角形构成条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先结合已知的周长和固定边长，先求出另外两条边的和，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）以及“最长边”的限制，结合边长为整数的条件，推导最长边的可能取值。具体思考步骤：①先算剩余两边的和；②设最长边为未知数，用和表示出第三边；③根据“最长边≥其余两边”“较短两边之和＞最长边”两个限制列不等式，求解后结合整数条件筛选即可。
【解析】
已知△ABC周长为11，其中一边长为4，因此另外两条边的长度之和为：$11 - 4 = 7$。
设这个三角形的最长边长为$x$，则第三条边的长度为$7 - x$。
根据“$x$是最长边”可得：
$x ≥ 4$，且$x ≥ 7 - x$，解得$x ≥ 4$；
再根据三角形三边关系：较短两边之和大于最长边，可得：
$4 + (7 - x) ＞ x$
化简得：$11 ＞ 2x$，即$x ＜ 5.5$。
因为边长为整数，所以$x$的最大可能取值为5。
验证：当最长边为5时，三边长为2、4、5，满足$2 + 4 ＞ 5$，符合三角形三边关系；若$x=6$，则三边长为1、4、6，$1 + 4 ＜ 6$，不满足三边关系，排除。
因此最长边长可能为5。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系，不等式应用，整数解求解
【点评】
本题核心考查三角形三边关系的实际应用，解题时要注意挖掘“边长为整数”“最长边”这些隐含限制条件，通过设未知数列不等式的方式可以快速缩小取值范围，最后要注意验证所得边长是否满足三角形构成条件。
【难度系数】
0.7
