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13.如图4所标注的4个角中,是△ABC的外角的是 （
A.∠1
B.∠2
C.∠3
D.∠4
图4 图5
B
）A.∠1
B.∠2
C.∠3
D.∠4
图4 图5
答案
13.B
解析
【分析】
要判断哪个角是△ABC的外角，首先要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。判断时需满足三个条件：①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形的边；③另一条边是三角形某条边的延长线。接下来对照这三个条件逐一分析4个角即可得出答案。
【解析】
根据三角形外角的定义逐个判断：
选项A的∠1：顶点不在△ABC的顶点上，不满足外角的构成条件，不是△ABC的外角；
选项B的∠2：顶点是△ABC的顶点C，一条边是△ABC的边AC，另一条边是BC的延长线，完全符合外角的定义，是△ABC的外角；
选项C的∠3：两条边都是△ABC的边，没有边是三角形边的延长线，属于△ABC的内角，不是外角；
选项D的∠4：顶点不在△ABC的顶点上，不满足外角的构成条件，不是△ABC的外角。
综上，是△ABC外角的为∠2。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握三角形外角的定义，对照定义逐一排查选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个角是△ABC的外角，首先要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。判断时需满足三个条件：①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形的边；③另一条边是三角形某条边的延长线。接下来对照这三个条件逐一分析4个角即可得出答案。
【解析】
根据三角形外角的定义逐个判断：
选项A的∠1：顶点不在△ABC的顶点上，不满足外角的构成条件，不是△ABC的外角；
选项B的∠2：顶点是△ABC的顶点C，一条边是△ABC的边AC，另一条边是BC的延长线，完全符合外角的定义，是△ABC的外角；
选项C的∠3：两条边都是△ABC的边，没有边是三角形边的延长线，属于△ABC的内角，不是外角；
选项D的∠4：顶点不在△ABC的顶点上，不满足外角的构成条件，不是△ABC的外角。
综上，是△ABC外角的为∠2。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握三角形外角的定义，对照定义逐一排查选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
14.如图5,在$△ ABC$中,点$E,F$分别在边$AB,AC$上,下列各式中,不成立的是
（
A.$∠ BOC=∠2+∠6+∠ A$
B.$∠2=∠5-∠ A$
C.$∠5=∠1+∠4$
D.$∠1=∠ ABC+∠4$
（
C
）A.$∠ BOC=∠2+∠6+∠ A$
B.$∠2=∠5-∠ A$
C.$∠5=∠1+∠4$
D.$∠1=∠ ABC+∠4$
答案
14.C
解析
【分析】
本题主要考查三角形外角性质的应用，解题时可利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一性质，逐个分析每个选项中的等式是否成立，最终选出不成立的选项即可。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，逐一验证选项：
选项A：∠BOC是△CEO的外角，因此∠BOC=∠2+∠BEC；又∠BEC是△AEC的外角，因此∠BEC=∠A+∠6，代入可得∠BOC=∠2+∠6+∠A，等式成立，不符合题意。
选项B：∠5是△ABE的外角，因此∠5=∠A+∠2，移项可得∠2=∠5-∠A，等式成立，不符合题意。
选项C：根据三角形外角性质，∠5与∠1、∠4不存在“外角等于不相邻两个内角和”的对应关系，等式不成立，符合题意。
选项D：∠1是△BCF的外角，因此∠1=∠ABC+∠4，等式成立，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确识别每个外角对应的两个不相邻内角，通过逐一排除法就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
本题主要考查三角形外角性质的应用，解题时可利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”这一性质，逐个分析每个选项中的等式是否成立，最终选出不成立的选项即可。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，逐一验证选项：
选项A：∠BOC是△CEO的外角，因此∠BOC=∠2+∠BEC；又∠BEC是△AEC的外角，因此∠BEC=∠A+∠6，代入可得∠BOC=∠2+∠6+∠A，等式成立，不符合题意。
选项B：∠5是△ABE的外角，因此∠5=∠A+∠2，移项可得∠2=∠5-∠A，等式成立，不符合题意。
选项C：根据三角形外角性质，∠5与∠1、∠4不存在“外角等于不相邻两个内角和”的对应关系，等式不成立，符合题意。
选项D：∠1是△BCF的外角，因此∠1=∠ABC+∠4，等式成立，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确识别每个外角对应的两个不相邻内角，通过逐一排除法就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
15.如图6,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB.若∠B=33°,则∠ACD=
33°
.答案
15.33°
解析
【分析】
解题时先找到图中的直角，结合直角三角形两个锐角互余的性质，分别得出∠B与∠A互余、∠ACD与∠A互余，再根据同角的余角相等的性质，就能推出∠ACD和∠B相等，代入已知的∠B的度数即可得到结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A + ∠ACD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
根据同角的余角相等，可得∠ACD = ∠B。
又
∵∠B=33°，
∴∠ACD=33°。
【答案】
33°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是找到与两个角都互余的公共角，利用余角的性质即可快速推导待求角的度数，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
解题时先找到图中的直角，结合直角三角形两个锐角互余的性质，分别得出∠B与∠A互余、∠ACD与∠A互余，再根据同角的余角相等的性质，就能推出∠ACD和∠B相等，代入已知的∠B的度数即可得到结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A + ∠ACD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
根据同角的余角相等，可得∠ACD = ∠B。
又
∵∠B=33°，
∴∠ACD=33°。
【答案】
33°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是找到与两个角都互余的公共角，利用余角的性质即可快速推导待求角的度数，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
16.如图7,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,则∠AOC+∠DOB的度数为
180°
.答案
16.180°
解析
【分析】
我们要求∠AOC和∠DOB的和，首先观察图形可知两个三角板的直角都以O为顶点，即∠AOB和∠COD都是90°。解题的核心是通过角的和差关系，把∠AOC拆分成几个小角的和，再和∠DOB合并，转化为两个直角的和来计算。第一步先写出两个三角板的直角度数，第二步将∠AOC拆分为∠AOB+∠BOC，第三步把∠AOC+∠DOB替换成∠AOB+∠BOC+∠DOB，此时发现∠BOC+∠DOB恰好是∠COD，最后代入两个直角的度数计算即可。
【解析】
解：由三角板的性质可知，∠AOB = ∠COD = 90°。
∵ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
∴ ∠AOC + ∠DOB = ∠AOB + ∠BOC + ∠DOB
又
∵ ∠BOC + ∠DOB = ∠COD
∴ ∠AOC + ∠DOB = ∠AOB + ∠COD = 90° + 90° = 180°
【答案】
180°
【知识点】
角的和差运算、直角的性质
【点评】
本题是角的计算类基础题，解题的关键是灵活运用角的和差关系，将待求的角的和转化为已知度数的直角的和，熟练掌握角的拆分与合并就能快速求解。
【难度系数】
0.8
我们要求∠AOC和∠DOB的和，首先观察图形可知两个三角板的直角都以O为顶点，即∠AOB和∠COD都是90°。解题的核心是通过角的和差关系，把∠AOC拆分成几个小角的和，再和∠DOB合并，转化为两个直角的和来计算。第一步先写出两个三角板的直角度数，第二步将∠AOC拆分为∠AOB+∠BOC，第三步把∠AOC+∠DOB替换成∠AOB+∠BOC+∠DOB，此时发现∠BOC+∠DOB恰好是∠COD，最后代入两个直角的度数计算即可。
【解析】
解：由三角板的性质可知，∠AOB = ∠COD = 90°。
∵ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
∴ ∠AOC + ∠DOB = ∠AOB + ∠BOC + ∠DOB
又
∵ ∠BOC + ∠DOB = ∠COD
∴ ∠AOC + ∠DOB = ∠AOB + ∠COD = 90° + 90° = 180°
【答案】
180°
【知识点】
角的和差运算、直角的性质
【点评】
本题是角的计算类基础题，解题的关键是灵活运用角的和差关系，将待求的角的和转化为已知度数的直角的和，熟练掌握角的拆分与合并就能快速求解。
【难度系数】
0.8
17.一个零件的形状如图8所示，按规定，当$∠ A=90°,∠ B=21°,∠ C=32°$时，才符合加工要求.检验人员量得$∠ BDC=150°$，这个零件是否合格？
答案
17.不合格.
解析
【分析】
要判断零件是否合格，需先计算出符合要求时∠BDC的理论值，再与测量值150°比较。观察图形是凹四边形，我们可以通过作辅助线构造三角形，利用三角形外角的性质，将∠BDC拆解为与已知角∠A、∠B、∠C相关的角度和，进而求出理论值判断是否合格。
【解析】
解：连接AD并延长至点E。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
可得：∠CDE是△ACD的外角，因此$∠ CDE=∠ C+∠ CAD$；
∠BDE是△ABD的外角，因此$∠ BDE=∠ B+∠ BAD$。
则$∠ BDC=∠ CDE+∠ BDE=∠ C+∠ CAD+∠ B+∠ BAD$，
又因为$∠ CAD+∠ BAD=∠ A=90°$，代入已知$∠ B=21°$，$∠ C=32°$，
得$∠ BDC=32°+21°+90°=143°$。
已知测量得$∠ BDC=150°$，$150°≠143°$，因此这个零件不符合要求。
【答案】
不合格
【知识点】
1. 三角形外角的性质
2. 角度的和差计算
【点评】
本题结合实际加工场景考查角度计算，解题的关键是通过作辅助线将不规则图形中的未知角转化为三角形的外角，利用外角性质建立已知角和未知角的关系，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要判断零件是否合格，需先计算出符合要求时∠BDC的理论值，再与测量值150°比较。观察图形是凹四边形，我们可以通过作辅助线构造三角形，利用三角形外角的性质，将∠BDC拆解为与已知角∠A、∠B、∠C相关的角度和，进而求出理论值判断是否合格。
【解析】
解：连接AD并延长至点E。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
可得：∠CDE是△ACD的外角，因此$∠ CDE=∠ C+∠ CAD$；
∠BDE是△ABD的外角，因此$∠ BDE=∠ B+∠ BAD$。
则$∠ BDC=∠ CDE+∠ BDE=∠ C+∠ CAD+∠ B+∠ BAD$，
又因为$∠ CAD+∠ BAD=∠ A=90°$，代入已知$∠ B=21°$，$∠ C=32°$，
得$∠ BDC=32°+21°+90°=143°$。
已知测量得$∠ BDC=150°$，$150°≠143°$，因此这个零件不符合要求。
【答案】
不合格
【知识点】
1. 三角形外角的性质
2. 角度的和差计算
【点评】
本题结合实际加工场景考查角度计算，解题的关键是通过作辅助线将不规则图形中的未知角转化为三角形的外角，利用外角性质建立已知角和未知角的关系，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
18.如图9,在△ABC中,AD为BC边上的高,∠ABC的平分线交AD于点E,交AC于点F.若∠DAC=24°,∠ABC=50°,求∠AFB的度数.
答案
18.∠AFB=91°
解析
【分析】
解题时先从已知的高入手，先利用直角三角形两个锐角互余求出∠C的度数；再根据角平分线的定义求出∠FBC的度数；最后利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即可求出∠AFB的度数。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠DAC=24°，
∴∠C=90°-∠DAC=90°-24°=66°。
∵BF平分∠ABC，∠ABC=50°，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
∵∠AFB是△BCF的外角，
∴∠AFB=∠FBC+∠C=25°+66°=91°。
【答案】
∠AFB=91°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题关键是结合图形梳理各角度之间的关系，逐步推导所求角度，计算过程较为简单，掌握相关基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的高入手，先利用直角三角形两个锐角互余求出∠C的度数；再根据角平分线的定义求出∠FBC的度数；最后利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即可求出∠AFB的度数。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠DAC=24°，
∴∠C=90°-∠DAC=90°-24°=66°。
∵BF平分∠ABC，∠ABC=50°，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
∵∠AFB是△BCF的外角，
∴∠AFB=∠FBC+∠C=25°+66°=91°。
【答案】
∠AFB=91°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题关键是结合图形梳理各角度之间的关系，逐步推导所求角度，计算过程较为简单，掌握相关基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
19. 如图10，在$△ ABC$中，AD，AF分别为$△ ABC$的中线和高，BE为$△ ABD$的角平分线.
（1）若$∠ BED = 60°$，$∠ BAD = 40°$，求$∠ BAF$的大小；
（2）若$△ ABC$的面积为40，$BD = 5$，求AF的长.
（1）若$∠ BED = 60°$，$∠ BAD = 40°$，求$∠ BAF$的大小；
（2）若$△ ABC$的面积为40，$BD = 5$，求AF的长.
答案
19.(1)∠BAF=50° (2)8
解析
【分析】
（1）求解∠BAF的大小，可先利用三角形外角的性质，由已知的∠BED和∠BAD求出∠ABE的度数，再结合角平分线的定义得到∠ABC的度数，最后根据高的性质得到直角三角形两锐角互余，即可求出∠BAF的度数。
（2）求AF的长，先根据中线的性质求出BC的长度，再代入三角形面积公式，即可解出AF的长度。
【解析】
（1）
∵ ∠BED是△ABE的外角，
∴ ∠BED = ∠ABE + ∠BAD，
已知∠BED=60°，∠BAD=40°，
∴ ∠ABE = ∠BED - ∠BAD = 60° - 40° = 20°，
∵ BE是△ABD的角平分线，
∴ ∠ABC = 2∠ABE = 2×20° = 40°，
∵ AF是△ABC的高，
∴ ∠AFB = 90°，
在Rt△ABF中，∠BAF + ∠ABC = 90°，
∴ ∠BAF = 90° - 40° = 50°。
（2）
∵ AD是△ABC的中线，BD=5，
∴ BC = 2BD = 2×5 = 10，
∵ AF是△ABC的高，$S_{△ ABC}=40$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×BC×AF = 40$，
代入BC=10得：$\frac{1}{2}×10×AF = 40$，
解得AF = 8。
【答案】
（1）$∠ BAF=50°$；（2）$AF=8$
【知识点】
三角形外角性质，三角形三线的定义，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形相关基础性质的应用，解题时需要准确运用外角性质、三线的定义以及面积公式，计算过程简单，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）求解∠BAF的大小，可先利用三角形外角的性质，由已知的∠BED和∠BAD求出∠ABE的度数，再结合角平分线的定义得到∠ABC的度数，最后根据高的性质得到直角三角形两锐角互余，即可求出∠BAF的度数。
（2）求AF的长，先根据中线的性质求出BC的长度，再代入三角形面积公式，即可解出AF的长度。
【解析】
（1）
∵ ∠BED是△ABE的外角，
∴ ∠BED = ∠ABE + ∠BAD，
已知∠BED=60°，∠BAD=40°，
∴ ∠ABE = ∠BED - ∠BAD = 60° - 40° = 20°，
∵ BE是△ABD的角平分线，
∴ ∠ABC = 2∠ABE = 2×20° = 40°，
∵ AF是△ABC的高，
∴ ∠AFB = 90°，
在Rt△ABF中，∠BAF + ∠ABC = 90°，
∴ ∠BAF = 90° - 40° = 50°。
（2）
∵ AD是△ABC的中线，BD=5，
∴ BC = 2BD = 2×5 = 10，
∵ AF是△ABC的高，$S_{△ ABC}=40$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×BC×AF = 40$，
代入BC=10得：$\frac{1}{2}×10×AF = 40$，
解得AF = 8。
【答案】
（1）$∠ BAF=50°$；（2）$AF=8$
【知识点】
三角形外角性质，三角形三线的定义，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形相关基础性质的应用，解题时需要准确运用外角性质、三线的定义以及面积公式，计算过程简单，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
