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1. $△ ABC$的角平分线AD是 （
A.射线AD
B.射线DA
C.直线AD
D.线段AD
D
）A.射线AD
B.射线DA
C.直线AD
D.线段AD
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形角平分线的定义，同时区分直线、射线、线段的不同特征。首先回忆：三角形的角平分线是内角平分线与对边相交后，顶点到交点之间的部分，它有两个明确的端点，属于线段。接下来逐一排除错误选项：首先直线没有端点，可直接排除；射线只有一个端点，可无限延伸，不符合三角形角平分线有两个端点的特征；最后确认线段AD符合定义即可。
【解析】
根据三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
可知△ABC的角平分线AD，两个端点分别为顶点A和AD与BC的交点D，属于线段：
选项A：射线AD只有一个端点A，可向D方向无限延伸，是普通角的平分线的形式，不是三角形的角平分线，排除；
选项B：射线DA端点为D，方向错误，排除；
选项C：直线AD没有端点，可向两端无限延伸，不符合要求，排除；
选项D：线段AD符合三角形角平分线的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的概念；直线、射线、线段的区分
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分三角形的角平分线与普通角的平分线的差异：普通角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段，牢记概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确三角形角平分线的定义，同时区分直线、射线、线段的不同特征。首先回忆：三角形的角平分线是内角平分线与对边相交后，顶点到交点之间的部分，它有两个明确的端点，属于线段。接下来逐一排除错误选项：首先直线没有端点，可直接排除；射线只有一个端点，可无限延伸，不符合三角形角平分线有两个端点的特征；最后确认线段AD符合定义即可。
【解析】
根据三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
可知△ABC的角平分线AD，两个端点分别为顶点A和AD与BC的交点D，属于线段：
选项A：射线AD只有一个端点A，可向D方向无限延伸，是普通角的平分线的形式，不是三角形的角平分线，排除；
选项B：射线DA端点为D，方向错误，排除；
选项C：直线AD没有端点，可向两端无限延伸，不符合要求，排除；
选项D：线段AD符合三角形角平分线的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的概念；直线、射线、线段的区分
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分三角形的角平分线与普通角的平分线的差异：普通角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段，牢记概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.如果三角形的三条高线的交点是三角形的顶点，那么这个三角形是 （
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆不同类型三角形的三条高线交点的位置特征，逐一对应题干条件判断即可：先明确题干要求是“三条高线的交点是三角形的顶点”，依次分析锐角、钝角、直角三角形的高线交点位置，找到符合条件的三角形类型。
【解析】
我们分别分析三类三角形的高线交点位置：
1. 锐角三角形：三条高线都在三角形内部，交点也在三角形内部，不是三角形的顶点，不符合要求；
2. 钝角三角形：有两条高线在三角形外部，三条高线的交点在三角形外部，不是三角形的顶点，不符合要求；
3. 直角三角形：两条直角边本身就是三角形的两条高线，它们的交点就是直角顶点，第三条斜边上的高线也经过直角顶点，因此三条高线的交点就是三角形的直角顶点，符合题干条件。
因此这个三角形是直角三角形，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高线；三角形的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分不同类型三角形高线交点的位置，牢记相关性质即可快速准确答题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆不同类型三角形的三条高线交点的位置特征，逐一对应题干条件判断即可：先明确题干要求是“三条高线的交点是三角形的顶点”，依次分析锐角、钝角、直角三角形的高线交点位置，找到符合条件的三角形类型。
【解析】
我们分别分析三类三角形的高线交点位置：
1. 锐角三角形：三条高线都在三角形内部，交点也在三角形内部，不是三角形的顶点，不符合要求；
2. 钝角三角形：有两条高线在三角形外部，三条高线的交点在三角形外部，不是三角形的顶点，不符合要求；
3. 直角三角形：两条直角边本身就是三角形的两条高线，它们的交点就是直角顶点，第三条斜边上的高线也经过直角顶点，因此三条高线的交点就是三角形的直角顶点，符合题干条件。
因此这个三角形是直角三角形，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高线；三角形的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分不同类型三角形高线交点的位置，牢记相关性质即可快速准确答题。
【难度系数】
0.8
3.如果在$△ ABC$中，$∠ A=70° - ∠ B$，那么$∠ C$等于（
A.$35°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$140°$
C
）A.$35°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$140°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路：首先回忆三角形内角和的核心知识点，三角形三个内角的和固定为180°。题目给出了∠A和∠B的数量关系，我们可以先通过移项变形求出∠A与∠B的角度和，再用三角形内角和减去∠A和∠B的和，就能直接算出∠C的度数。
【解析】
已知在△ABC中，∠A=70°-∠B，
对等式移项可得：∠A + ∠B = 70°，
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°，
将∠A+∠B=70°代入公式可得：
∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 70° = 110°。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形内角和定理的直接应用，解题的关键是从已知条件中推导得到∠A与∠B的角度和，再代入公式计算即可，运算难度低，熟练掌握基础定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆三角形内角和的核心知识点，三角形三个内角的和固定为180°。题目给出了∠A和∠B的数量关系，我们可以先通过移项变形求出∠A与∠B的角度和，再用三角形内角和减去∠A和∠B的和，就能直接算出∠C的度数。
【解析】
已知在△ABC中，∠A=70°-∠B，
对等式移项可得：∠A + ∠B = 70°，
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°，
将∠A+∠B=70°代入公式可得：
∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 70° = 110°。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形内角和定理的直接应用，解题的关键是从已知条件中推导得到∠A与∠B的角度和，再代入公式计算即可，运算难度低，熟练掌握基础定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
4. 如图1, $AC⊥ BC, CD⊥ AB, DE⊥ BC$. 下列说法中, 错误的是 （
A.在$△ ABC$中, $AC$是$BC$边上的高
B.在$△ BCD$中, $DE$是$BC$边上的高
C.在$△ ABE$中, $DE$是$BE$边上的高
D.在$△ ACD$中, $AD$是$CD$边上的高
C
）A.在$△ ABC$中, $AC$是$BC$边上的高
B.在$△ BCD$中, $DE$是$BC$边上的高
C.在$△ ABE$中, $DE$是$BE$边上的高
D.在$△ ACD$中, $AD$是$CD$边上的高
答案
4.C
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。判断时需紧扣两个要点：①所说的高必须从对应三角形的某个顶点出发；②该线段要与指定的边互相垂直。我们只需逐一验证四个选项是否符合这两个要点即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 在△ABC中，已知AC⊥BC，AC是从△ABC的顶点A出发，垂直于对边BC的线段，符合高的定义，因此AC是BC边上的高，A说法正确，不符合题意。
B. 在△BCD中，已知DE⊥BC，DE是从△BCD的顶点D出发，垂直于对边BC的线段，符合高的定义，因此DE是BC边上的高，B说法正确，不符合题意。
C. 在△ABE中，三角形的三个顶点是A、B、E，而DE的端点D不是△ABE的顶点，不满足“高要从三角形顶点出发”的要求，因此DE不是△ABE中BE边上的高，C说法错误，符合题意。
D. 在△ACD中，已知CD⊥AB，即CD⊥AD，AD是从△ACD的顶点A出发，垂直于对边CD的线段，符合高的定义，因此AD是CD边上的高，D说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确理解三角形高的定义，判断时要先明确对应的三角形，再核对高的两个判定要素，避免混淆不同三角形的边和对应的高。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是牢记三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。判断时需紧扣两个要点：①所说的高必须从对应三角形的某个顶点出发；②该线段要与指定的边互相垂直。我们只需逐一验证四个选项是否符合这两个要点即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 在△ABC中，已知AC⊥BC，AC是从△ABC的顶点A出发，垂直于对边BC的线段，符合高的定义，因此AC是BC边上的高，A说法正确，不符合题意。
B. 在△BCD中，已知DE⊥BC，DE是从△BCD的顶点D出发，垂直于对边BC的线段，符合高的定义，因此DE是BC边上的高，B说法正确，不符合题意。
C. 在△ABE中，三角形的三个顶点是A、B、E，而DE的端点D不是△ABE的顶点，不满足“高要从三角形顶点出发”的要求，因此DE不是△ABE中BE边上的高，C说法错误，符合题意。
D. 在△ACD中，已知CD⊥AB，即CD⊥AD，AD是从△ACD的顶点A出发，垂直于对边CD的线段，符合高的定义，因此AD是CD边上的高，D说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确理解三角形高的定义，判断时要先明确对应的三角形，再核对高的两个判定要素，避免混淆不同三角形的边和对应的高。
【难度系数】
0.8
5. 如图2，D为AC上一点，$AD=DC$，E为BC上一点，$BE=EC$。下列说法不正确的是（
A.DE是$△ BCD$的中线
B.BD是$△ ABC$的中线
C.D为AC的中点，E为BC的中点
D.$∠ C$的对边是DE
D
）A.DE是$△ BCD$的中线
B.BD是$△ ABC$的中线
C.D为AC的中点，E为BC的中点
D.$∠ C$的对边是DE
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先结合题目给出的AD=DC、BE=EC的条件，先确定D、E分别是AC、BC的中点，再回忆三角形中线的定义（连接三角形一个顶点和对边中点的线段是三角形的中线）、三角形中角的对边的定义（在同一个三角形中，一个角的对边是不包含这个角顶点的边，且对边的对应关系要依托具体的三角形存在），逐个判断四个选项的正误，选出说法错误的选项即可。
【解析】
已知AD=DC，BE=EC，逐一分析选项：
1. 由AD=DC可得D是AC的中点，由BE=EC可得E是BC的中点，因此C选项说法正确；
2. 在△ABC中，AC边的中点是D，连接顶点B与D的线段BD是△ABC的中线，因此B选项说法正确；
3. 在△BCD中，BC边的中点是E，连接顶点D与E的线段DE是△BCD的中线，因此A选项说法正确；
4. 角的对边是对应具体三角形而言的，未明确所属三角形时，不能直接说∠C的对边是DE：例如在△ABC中，∠C的对边是AB，在△BCD中∠C的对边是BD，仅在△CDE中∠C的对边是DE，因此D选项说法错误。
综上，本题选不正确的选项为D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线定义；线段中点定义；三角形对边的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确掌握中线、中点、角与对边的对应关系，易错点是容易忽略角的对边必须依托具体的三角形才能确定，不能脱离三角形单独判断角的对边。
【难度系数】
0.8
解题时先结合题目给出的AD=DC、BE=EC的条件，先确定D、E分别是AC、BC的中点，再回忆三角形中线的定义（连接三角形一个顶点和对边中点的线段是三角形的中线）、三角形中角的对边的定义（在同一个三角形中，一个角的对边是不包含这个角顶点的边，且对边的对应关系要依托具体的三角形存在），逐个判断四个选项的正误，选出说法错误的选项即可。
【解析】
已知AD=DC，BE=EC，逐一分析选项：
1. 由AD=DC可得D是AC的中点，由BE=EC可得E是BC的中点，因此C选项说法正确；
2. 在△ABC中，AC边的中点是D，连接顶点B与D的线段BD是△ABC的中线，因此B选项说法正确；
3. 在△BCD中，BC边的中点是E，连接顶点D与E的线段DE是△BCD的中线，因此A选项说法正确；
4. 角的对边是对应具体三角形而言的，未明确所属三角形时，不能直接说∠C的对边是DE：例如在△ABC中，∠C的对边是AB，在△BCD中∠C的对边是BD，仅在△CDE中∠C的对边是DE，因此D选项说法错误。
综上，本题选不正确的选项为D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线定义；线段中点定义；三角形对边的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确掌握中线、中点、角与对边的对应关系，易错点是容易忽略角的对边必须依托具体的三角形才能确定，不能脱离三角形单独判断角的对边。
【难度系数】
0.8
6. 如图3,(1)AE平分∠BAC,交BC于点E,则AE叫作
(2)若AF=FC,则△ABC的一条中线是
△ABC的角平分线
,∠BAE
=∠CAE
=$\frac{1}{2}$∠BAC
;(2)若AF=FC,则△ABC的一条中线是
BF
,$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}$$S_{△ABC}$
.答案
6.(1)△ABC的角平分线 BAE CAE BAC
(2)BF $S_{△ABC}$
(2)BF $S_{△ABC}$
解析
【分析】
解题时先回忆三角形角平分线、中线的相关定义和性质：①三角形角平分线的定义是平分内角且端点分别为顶点和对边上交点的线段，它会把对应内角分成两个相等的小角，大小为原角的一半；②三角形中线的定义是连接顶点和对边中点的线段，中线会把三角形分成面积相等的两个小三角形，因为两个小三角形等底同高。按照定义对应题目条件逐一推导即可。
【解析】
(1) 根据三角形角平分线的定义，AE平分∠BAC且交BC于E，因此AE是△ABC的角平分线；角平分线平分对应内角，可得∠BAE = ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC。
(2) 由AF=FC可知F是AC边的中点，根据三角形中线的定义，连接顶点B和AC中点F的线段BF是△ABC的中线；△ABF和△CBF等底（AF=FC）、同高（B到AC的公共高），因此面积相等，可得$S_{△ABF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
【答案】
(1)△ABC的角平分线；BAE；CAE；BAC
(2)BF；$S_{△ABC}$
【知识点】
三角形角平分线定义；三角形中线定义；中线等分三角形面积
【点评】
本题是几何基础概念题，重点考查对三角形中角平分线、中线两类特殊线段的概念和性质的掌握，牢记相关定义和性质就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形角平分线、中线的相关定义和性质：①三角形角平分线的定义是平分内角且端点分别为顶点和对边上交点的线段，它会把对应内角分成两个相等的小角，大小为原角的一半；②三角形中线的定义是连接顶点和对边中点的线段，中线会把三角形分成面积相等的两个小三角形，因为两个小三角形等底同高。按照定义对应题目条件逐一推导即可。
【解析】
(1) 根据三角形角平分线的定义，AE平分∠BAC且交BC于E，因此AE是△ABC的角平分线；角平分线平分对应内角，可得∠BAE = ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC。
(2) 由AF=FC可知F是AC边的中点，根据三角形中线的定义，连接顶点B和AC中点F的线段BF是△ABC的中线；△ABF和△CBF等底（AF=FC）、同高（B到AC的公共高），因此面积相等，可得$S_{△ABF}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
【答案】
(1)△ABC的角平分线；BAE；CAE；BAC
(2)BF；$S_{△ABC}$
【知识点】
三角形角平分线定义；三角形中线定义；中线等分三角形面积
【点评】
本题是几何基础概念题，重点考查对三角形中角平分线、中线两类特殊线段的概念和性质的掌握，牢记相关定义和性质就能快速作答。
【难度系数】
0.9
7. 如图4，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC=11.5，AC=11.5，AD=9，求BE的长。
图4
图4答案
7.9
解析
【分析】
我们可以用等积法求解BE的长度：同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高的乘积的一半来计算，两种计算方式得到的面积是相等的。△ABC的面积既可以用BC为底、AD为对应高计算，也可以用AC为底、BE为对应高计算，因此可以列出等式求解BE。
【解析】
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×对应高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×AC×BE$
两边同时消去$\frac{1}{2}$，得：$BC×AD=AC×BE$
已知$BC=11.5$，$AC=11.5$，$AD=9$，代入上式：
$11.5×9=11.5×BE$
两边同时除以11.5，解得$BE=9$
【答案】
9
【知识点】
三角形面积计算，等积法
【点评】
本题主要考查利用三角形面积的不同表达方式求解高的长度，掌握等积法的应用是解题关键，这种方法在求解线段长度问题中经常使用。
【难度系数】
0.75
我们可以用等积法求解BE的长度：同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高的乘积的一半来计算，两种计算方式得到的面积是相等的。△ABC的面积既可以用BC为底、AD为对应高计算，也可以用AC为底、BE为对应高计算，因此可以列出等式求解BE。
【解析】
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×对应高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×AC×BE$
两边同时消去$\frac{1}{2}$，得：$BC×AD=AC×BE$
已知$BC=11.5$，$AC=11.5$，$AD=9$，代入上式：
$11.5×9=11.5×BE$
两边同时除以11.5，解得$BE=9$
【答案】
9
【知识点】
三角形面积计算，等积法
【点评】
本题主要考查利用三角形面积的不同表达方式求解高的长度，掌握等积法的应用是解题关键，这种方法在求解线段长度问题中经常使用。
【难度系数】
0.75
8.如图5,高BD与CE交于O点.若∠BAC=72°,则∠DOE的度数为 （
A.72°
B.18°
C.108°
D.162°
C
）A.72°
B.18°
C.108°
D.162°
答案
8.C
解析
【分析】
要求∠DOE的度数，首先观察图形可知∠DOE在四边形AEOD中，已知BD、CE是三角形的高，可得四边形AEOD中有两个直角，再结合已知∠BAC=72°，利用四边形内角和为360°即可求出∠DOE的度数。
【解析】
∵BD、CE是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，即∠AEO=90°，∠ADO=90°。
∵四边形的内角和为360°，
∴在四边形AEOD中，∠BAC + ∠AEO + ∠ADO + ∠DOE = 360°。
将∠BAC=72°，∠AEO=90°，∠ADO=90°代入上式，得：
∠DOE = 360° - 72° - 90° - 90° = 108°。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义；四边形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是结合高的性质得到直角，再利用四边形内角和公式列式计算，解题时也可通过三角形外角的性质求解，方法灵活。
【难度系数】
0.7
要求∠DOE的度数，首先观察图形可知∠DOE在四边形AEOD中，已知BD、CE是三角形的高，可得四边形AEOD中有两个直角，再结合已知∠BAC=72°，利用四边形内角和为360°即可求出∠DOE的度数。
【解析】
∵BD、CE是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，即∠AEO=90°，∠ADO=90°。
∵四边形的内角和为360°，
∴在四边形AEOD中，∠BAC + ∠AEO + ∠ADO + ∠DOE = 360°。
将∠BAC=72°，∠AEO=90°，∠ADO=90°代入上式，得：
∠DOE = 360° - 72° - 90° - 90° = 108°。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义；四边形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是结合高的性质得到直角，再利用四边形内角和公式列式计算，解题时也可通过三角形外角的性质求解，方法灵活。
【难度系数】
0.7
