登录
9.如图6，D是△ABC中AC边上一点，E是BD上一点，则∠1，∠2，∠A之间的大小关系是（
A.∠2＞∠1＞∠A
B.∠1＞∠2＞∠A
C.∠A＞∠1＞∠2
D.∠A＞∠2＞∠1
A
）A.∠2＞∠1＞∠A
B.∠1＞∠2＞∠A
C.∠A＞∠1＞∠2
D.∠A＞∠2＞∠1
答案
9.A
解析
【分析】
本题可利用三角形外角的性质比较角的大小，解题思路如下：首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。第一步先判断∠1和∠A的大小关系，∠1是△ABD的外角，据此可得∠1与∠A的大小；第二步判断∠2和∠1的大小关系，∠2是△CDE的外角，据此可得∠2与∠1的大小，最后整合两个结论即可得到三个角的大小关系。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
1. ∠1是△ABD的外角，因此∠1 = ∠A + ∠ABD，所以∠1 ＞ ∠A；
2. ∠2是△CDE的外角，因此∠2 = ∠1 + ∠DCE，所以∠2 ＞ ∠1。
综上可得：∠2 ＞ ∠1 ＞ ∠A，因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是比较角大小的基础题，解题核心是准确识别每个角对应的三角形外角，结合外角性质逐步推导即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
本题可利用三角形外角的性质比较角的大小，解题思路如下：首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。第一步先判断∠1和∠A的大小关系，∠1是△ABD的外角，据此可得∠1与∠A的大小；第二步判断∠2和∠1的大小关系，∠2是△CDE的外角，据此可得∠2与∠1的大小，最后整合两个结论即可得到三个角的大小关系。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
1. ∠1是△ABD的外角，因此∠1 = ∠A + ∠ABD，所以∠1 ＞ ∠A；
2. ∠2是△CDE的外角，因此∠2 = ∠1 + ∠DCE，所以∠2 ＞ ∠1。
综上可得：∠2 ＞ ∠1 ＞ ∠A，因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是比较角大小的基础题，解题核心是准确识别每个角对应的三角形外角，结合外角性质逐步推导即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
10.如图7，BD是△ABC的中线，AB=6 cm，BC=4 cm，则△ABD与△BCD的周长相差
图7 图8
2
cm. 图7 图8
答案
10.2
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义，明确中线可以将对边分成两条相等的线段；再分别写出两个三角形的周长表达式，观察找出两个周长中的相同部分（公共边BD、相等的AD和CD），作差时相同部分会抵消，最终只需计算AB和BC的差值即可得到结果。
【解析】
解：
∵BD是△ABC的中线
∴点D是AC的中点，即AD=CD
△ABD的周长 = AB + BD + AD
△BCD的周长 = BC + BD + CD
两个三角形的周长差为：
(AB + BD + AD) - (BC + BD + CD)
= AB - BC + (BD - BD) + (AD - CD)
因为AD=CD，所以AD-CD=0，BD-BD=0
代入AB=6cm，BC=4cm，可得差值为6-4=2（cm）
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题核心是利用中线性质得到相等的线段，通过作差抵消周长中的公共部分和相等部分，简化计算过程，避免了无意义的完整周长求解，是三角形相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的定义，明确中线可以将对边分成两条相等的线段；再分别写出两个三角形的周长表达式，观察找出两个周长中的相同部分（公共边BD、相等的AD和CD），作差时相同部分会抵消，最终只需计算AB和BC的差值即可得到结果。
【解析】
解：
∵BD是△ABC的中线
∴点D是AC的中点，即AD=CD
△ABD的周长 = AB + BD + AD
△BCD的周长 = BC + BD + CD
两个三角形的周长差为：
(AB + BD + AD) - (BC + BD + CD)
= AB - BC + (BD - BD) + (AD - CD)
因为AD=CD，所以AD-CD=0，BD-BD=0
代入AB=6cm，BC=4cm，可得差值为6-4=2（cm）
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题核心是利用中线性质得到相等的线段，通过作差抵消周长中的公共部分和相等部分，简化计算过程，避免了无意义的完整周长求解，是三角形相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
11.如图8,在$△ ABC$中,已知点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$,则$S_{\mathrm{阴影}}=$
1 cm²
.答案
11.1 cm²
解析
【分析】
解题核心是利用“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高的三角形面积相等）”的规律。我们从已知的大三角形面积出发，结合各中点对应的中线关系，逐步推导阴影部分面积：首先根据D是BC中点，得出△ABD和△ACD的面积；再根据E是AD中点，算出△BCE的面积；最后根据F是CE中点，即可求出阴影部分面积。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，AD是△ABC的中线
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
∵点E是AD的中点，BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
∵点F是CE的中点，BF是△BCE的中线
∴$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$1\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查三角形中线和面积的关系，解题时要理清各中线对应的三角形，按照从大到小的顺序逐步推导面积关系，熟练掌握中线分等面积的规律就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高的三角形面积相等）”的规律。我们从已知的大三角形面积出发，结合各中点对应的中线关系，逐步推导阴影部分面积：首先根据D是BC中点，得出△ABD和△ACD的面积；再根据E是AD中点，算出△BCE的面积；最后根据F是CE中点，即可求出阴影部分面积。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，AD是△ABC的中线
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
∵点E是AD的中点，BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
∵点F是CE的中点，BF是△BCE的中线
∴$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$1\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查三角形中线和面积的关系，解题时要理清各中线对应的三角形，按照从大到小的顺序逐步推导面积关系，熟练掌握中线分等面积的规律就能快速解题。
【难度系数】
0.7
12.如图9,在△ABC中,∠A=48°,BP,CP分别是△ABC的外角平分线,求∠P的度数. 
答案
12.66°
解析
【分析】
要求∠P的度数，可将∠P放在△PBC中，利用三角形内角和定理求解，因此需要先求出∠PBC与∠PCB的和。已知BP、CP是△ABC的外角平分线，我们可以先结合△ABC的内角和求出两个外角的总和，再根据角平分线的性质得到∠PBC+∠PCB的度数，最后代入三角形内角和公式即可求出∠P。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=48°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 48° = 132°$
△ABC顶点B、C处的两个外角和为：
$(180° - ∠ ABC) + (180° - ∠ ACB) = 360° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 360° - 132° = 228°$
∵BP、CP分别是这两个外角的平分线
∴$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2} × 228° = 114°$
在△PBC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ P = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 114° = 66°$
【答案】
66°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，核心是将待求角放在三角形中，通过角平分线的性质把未知角的和与已知角建立关联，考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠P的度数，可将∠P放在△PBC中，利用三角形内角和定理求解，因此需要先求出∠PBC与∠PCB的和。已知BP、CP是△ABC的外角平分线，我们可以先结合△ABC的内角和求出两个外角的总和，再根据角平分线的性质得到∠PBC+∠PCB的度数，最后代入三角形内角和公式即可求出∠P。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=48°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 48° = 132°$
△ABC顶点B、C处的两个外角和为：
$(180° - ∠ ABC) + (180° - ∠ ACB) = 360° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 360° - 132° = 228°$
∵BP、CP分别是这两个外角的平分线
∴$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2} × 228° = 114°$
在△PBC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ P = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 114° = 66°$
【答案】
66°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，核心是将待求角放在三角形中，通过角平分线的性质把未知角的和与已知角建立关联，考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13.如图10，AE为$△ ABC$的角平分线，CD为$△ ABC$的高，AE与CD交于点F.若$∠ B=30°$，$∠ ACB=75°$，求$∠ AFC$的度数. 
答案
13.$∠AFC=127.5°$
解析
【分析】
要求∠AFC的度数，可利用三角形内角和定理求解，先计算△AFC中∠CAF和∠ACF的度数即可。首先根据△ABC的内角和为180°，结合已知的∠B和∠ACB求出∠BAC的度数；再利用角平分线的性质得到∠CAF的度数；然后根据三角形高的定义得到∠ADC=90°，在△ADC中求出∠ACF的度数；最后用三角形内角和180°减去∠CAF与∠ACF的和，就能得到∠AFC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 30° - 75° = 75°$
∵AE为$△ ABC$的角平分线
∴$∠ CAF = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 75° = 37.5°$
∵CD为$△ ABC$的高
∴$CD ⊥ AB$，即$∠ ADC = 90°$
在$△ ADC$中，$∠ ACF = ∠ ACD = 180° - ∠ ADC - ∠ BAC = 180° - 90° -75° =15°$
在$△ AFC$中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ AFC = 180° - ∠ CAF - ∠ ACF = 180° - 37.5° -15° =127.5°$
【答案】
$∠ AFC=127.5°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是理清图中角之间的数量关系，结合三角形的相关性质逐步推导计算，熟练掌握三角形的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
要求∠AFC的度数，可利用三角形内角和定理求解，先计算△AFC中∠CAF和∠ACF的度数即可。首先根据△ABC的内角和为180°，结合已知的∠B和∠ACB求出∠BAC的度数；再利用角平分线的性质得到∠CAF的度数；然后根据三角形高的定义得到∠ADC=90°，在△ADC中求出∠ACF的度数；最后用三角形内角和180°减去∠CAF与∠ACF的和，就能得到∠AFC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 30° - 75° = 75°$
∵AE为$△ ABC$的角平分线
∴$∠ CAF = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 75° = 37.5°$
∵CD为$△ ABC$的高
∴$CD ⊥ AB$，即$∠ ADC = 90°$
在$△ ADC$中，$∠ ACF = ∠ ACD = 180° - ∠ ADC - ∠ BAC = 180° - 90° -75° =15°$
在$△ AFC$中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ AFC = 180° - ∠ CAF - ∠ ACF = 180° - 37.5° -15° =127.5°$
【答案】
$∠ AFC=127.5°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是理清图中角之间的数量关系，结合三角形的相关性质逐步推导计算，熟练掌握三角形的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
14.如图11，点E,F,G分别在直线CD,AB,AD上，已知∠A=∠D，∠CEB=∠BFG.(1)FG与BE平行吗？请说明理由；(2)若∠D=30°，∠BFG=135°，求∠FGD的度数.
图11
图11答案
14.(1)平行,理由略.
(2)$∠FGD=75°$
(2)$∠FGD=75°$
解析
【分析】
（1）判断FG与BE是否平行，可先由∠A=∠D推出AB//CD，再根据平行线的性质得到∠CEB与∠B互补，结合已知∠CEB=∠BFG等量代换得到∠BFG与∠B互补，即可根据平行线判定定理得到FG//BE；
（2）求∠FGD的度数，先由∠A=∠D得到∠A的度数，再利用三角形外角的性质求出∠AGF的度数，最后根据邻补角的和为180°即可算出∠FGD的度数。
【解析】
(1) FG与BE平行，理由如下：
已知∠A=∠D，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$；
由$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ CEB + ∠ B = 180°$；
又已知$∠ CEB=∠ BFG$，等量代换得$∠ BFG + ∠ B = 180°$；
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可证得$FG// BE$。
(2) 已知$∠ D=30°$，$∠ A=∠ D$，则$∠ A=30°$；
$∠ BFG$是$△ AFG$的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得$∠ BFG = ∠ A + ∠ AGF$；
将$∠ BFG=135°$，$∠ A=30°$代入，得$∠ AGF = 135° - 30° = 105°$；
$∠ AGF$与$∠ FGD$互为邻补角，因此$∠ AGF + ∠ FGD = 180°$，
则$∠ FGD = 180° - 105° = 75°$。
【答案】
(1) 平行，理由见解析；(2) $∠ FGD=75°$
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形外角性质，邻补角定义
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题的关键是熟练掌握平行线的判定、性质以及角度相关的基础性质，能够根据已知条件完成角的数量关系的转化。
【难度系数】
0.7
（1）判断FG与BE是否平行，可先由∠A=∠D推出AB//CD，再根据平行线的性质得到∠CEB与∠B互补，结合已知∠CEB=∠BFG等量代换得到∠BFG与∠B互补，即可根据平行线判定定理得到FG//BE；
（2）求∠FGD的度数，先由∠A=∠D得到∠A的度数，再利用三角形外角的性质求出∠AGF的度数，最后根据邻补角的和为180°即可算出∠FGD的度数。
【解析】
(1) FG与BE平行，理由如下：
已知∠A=∠D，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$；
由$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ CEB + ∠ B = 180°$；
又已知$∠ CEB=∠ BFG$，等量代换得$∠ BFG + ∠ B = 180°$；
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可证得$FG// BE$。
(2) 已知$∠ D=30°$，$∠ A=∠ D$，则$∠ A=30°$；
$∠ BFG$是$△ AFG$的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得$∠ BFG = ∠ A + ∠ AGF$；
将$∠ BFG=135°$，$∠ A=30°$代入，得$∠ AGF = 135° - 30° = 105°$；
$∠ AGF$与$∠ FGD$互为邻补角，因此$∠ AGF + ∠ FGD = 180°$，
则$∠ FGD = 180° - 105° = 75°$。
【答案】
(1) 平行，理由见解析；(2) $∠ FGD=75°$
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形外角性质，邻补角定义
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题的关键是熟练掌握平行线的判定、性质以及角度相关的基础性质，能够根据已知条件完成角的数量关系的转化。
【难度系数】
0.7
