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13.已知$a+b=\frac{7}{4},ab=\frac{3}{4}$,求$\frac{1}{2}a^3b+\frac{1}{2}ab^3$的值.
答案
13.$\dfrac{75}{128}$
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现两项都含有公因式$\frac{1}{2}ab$，第一步可以先提取公因式对代数式进行因式分解；分解后得到含有$a^2+b^2$的式子，而已知条件给出了$a+b$和$ab$的值，我们可以利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将已知的$a+b$、$ab$整体代入计算即可，不需要单独求出a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}a^3b+\frac{1}{2}ab^3&=\frac{1}{2}ab(a^2+b^2)\\&=\frac{1}{2}ab[(a+b)^2-2ab]\end{aligned}$
将$a+b=\frac{7}{4}$，$ab=\frac{3}{4}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×[(\frac{7}{4})^2 - 2×\frac{3}{4}]\\&=\frac{3}{8}×(\frac{49}{16}-\frac{3}{2})\\&=\frac{3}{8}×(\frac{49}{16}-\frac{24}{16})\\&=\frac{3}{8}×\frac{25}{16}\\&=\frac{75}{128}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{75}{128}$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的关键是先对代数式因式分解，再结合完全平方公式的变形，采用整体代入的方法计算，避免求解单个未知数的繁琐，需要熟练掌握完全平方公式的常见变形形式。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式的结构，发现两项都含有公因式$\frac{1}{2}ab$，第一步可以先提取公因式对代数式进行因式分解；分解后得到含有$a^2+b^2$的式子，而已知条件给出了$a+b$和$ab$的值，我们可以利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将已知的$a+b$、$ab$整体代入计算即可，不需要单独求出a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}a^3b+\frac{1}{2}ab^3&=\frac{1}{2}ab(a^2+b^2)\\&=\frac{1}{2}ab[(a+b)^2-2ab]\end{aligned}$
将$a+b=\frac{7}{4}$，$ab=\frac{3}{4}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×[(\frac{7}{4})^2 - 2×\frac{3}{4}]\\&=\frac{3}{8}×(\frac{49}{16}-\frac{3}{2})\\&=\frac{3}{8}×(\frac{49}{16}-\frac{24}{16})\\&=\frac{3}{8}×\frac{25}{16}\\&=\frac{75}{128}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{75}{128}$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的关键是先对代数式因式分解，再结合完全平方公式的变形，采用整体代入的方法计算，避免求解单个未知数的繁琐，需要熟练掌握完全平方公式的常见变形形式。
【难度系数】
0.7
14.由多项式的乘法法则知:若$(x+a) · (x+b)=x^2+px+q$,则$p=a+b,q=a · b$;反过来$x^2+px+q=(x+a) · (x+b)$.要将多项式$x^2+px+q$进行分解,关键是找到两个数$a,b$,使$a+b=p,a · b=q$,如对多项式$x^2-3x+2$,有$p=-3,q=2,a=-1,b=-2$,此时$(-1)+(-2)=-3,(-1) × (-2)=2$,所以$x^2-3x+2$可分解为$(x-1)(x-2)$,即$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.
(1)根据以上分解填写下表:
(2)根据表格,还可得出如下结论:
当$q$是正数时,应分解成的两个因数$a,b$
当$q$是负数时,应分解成的两个因数$a,b$
(3)分解因式:
①$x^2 - x -12$;
②$x^2 -7x +6$.
(1)根据以上分解填写下表:
(2)根据表格,还可得出如下结论:
当$q$是正数时,应分解成的两个因数$a,b$
同
(填“同”或“异”)号,$a+b$的符号与 p
相同;当$q$是负数时,应分解成的两个因数$a,b$
异
(填“同”或“异”)号,$a,b$中绝对值较大的因数的符号与 p
相同.(3)分解因式:
①$x^2 - x -12$;
②$x^2 -7x +6$.
答案
(1)9 20 4 5 $(x+4)(x+5)$
$-9$ 20 $-4$ $-5$ $(x-4)(x-5)$
1 $-20$ $-4$ 5 $(x-4)(x+5)$
$-1$ $-20$ 4 $-5$ $(x+4)(x-5)$
(2)同 $p$ 异 $p$
(3)①$(x+3)(x-4)$ ②$(x-1)(x-6)$
$-9$ 20 $-4$ $-5$ $(x-4)(x-5)$
1 $-20$ $-4$ 5 $(x-4)(x+5)$
$-1$ $-20$ 4 $-5$ $(x+4)(x-5)$
(2)同 $p$ 异 $p$
(3)①$(x+3)(x-4)$ ②$(x-1)(x-6)$
解析
【分析】
本题考查利用十字相乘法对形如$x^2+px+q$的二次三项式因式分解，解题思路如下：①首先明确$x^2+px+q=(x+a)(x+b)$的核心关系：一次项系数$p=a+b$，常数项$q=ab$；②解决第(1)问时，对每个多项式先确定对应的$p$、$q$，再找到满足和为$p$、积为$q$的两个数$a$、$b$，最后写出分解结果；③第(2)问观察表格中$q$的正负与$a$、$b$符号的关联，结合有理数乘、加法的符号规律总结结论；④第(3)问直接运用上述规律，找到对应的$a$、$b$即可完成因式分解。
【解析】
(1) 对每个多项式依次分析：
① 多项式$x^2+9x+20$：一次项系数$p=9$，常数项$q=20$，找到$a=4$、$b=5$，满足$4+5=9$，$4×5=20$，分解结果为$(x+4)(x+5)$；
② 多项式$x^2-9x+20$：一次项系数$p=-9$，常数项$q=20$，找到$a=-4$、$b=-5$，满足$(-4)+(-5)=-9$，$(-4)×(-5)=20$，分解结果为$(x-4)(x-5)$；
③ 多项式$x^2+x-20$：一次项系数$p=1$，常数项$q=-20$，找到$a=-4$、$b=5$，满足$(-4)+5=1$，$(-4)×5=-20$，分解结果为$(x-4)(x+5)$；
④ 多项式$x^2-x-20$：一次项系数$p=-1$，常数项$q=-20$，找到$a=4$、$b=-5$，满足$4+(-5)=-1$，$4×(-5)=-20$，分解结果为$(x+4)(x-5)$。
(2) 观察表格规律：当$q$为正数时，$ab=q＞0$，故$a$、$b$同号，$a+b=p$，因此$a+b$的符号与$p$相同；当$q$为负数时，$ab=q＜0$，故$a$、$b$异号，两数相加的符号由绝对值较大的数决定，因此$a$、$b$中绝对值较大的因数的符号与$p$相同。
(3) 分解因式：
① $x^2-x-12$：$p=-1$，$q=-12$，找到$3$和$-4$，$3+(-4)=-1$，$3×(-4)=-12$，因此$x^2-x-12=(x+3)(x-4)$；
② $x^2-7x+6$：$p=-7$，$q=6$，找到$-1$和$-6$，$(-1)+(-6)=-7$，$(-1)×(-6)=6$，因此$x^2-7x+6=(x-1)(x-6)$。
【答案】
(1)$9$ $20$ $4$ $5$ $(x+4)(x+5)$
$-9$ $20$ $-4$ $-5$ $(x-4)(x-5)$
$1$ $-20$ $-4$ $5$ $(x-4)(x+5)$
$-1$ $-20$ $4$ $-5$ $(x+4)(x-5)$
(2)同 $p$ 异 $p$
(3)①$(x+3)(x-4)$ ②$(x-1)(x-6)$
【知识点】
十字相乘法因式分解，有理数乘法法则，有理数加法法则
【点评】
本题围绕十字相乘法分解二次三项式设计，从规则应用到规律总结再到实战练习，层层递进，能有效帮助理解并掌握十字相乘法的核心逻辑，是因式分解部分的基础典型题，找准满足条件的$a$、$b$是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题考查利用十字相乘法对形如$x^2+px+q$的二次三项式因式分解，解题思路如下：①首先明确$x^2+px+q=(x+a)(x+b)$的核心关系：一次项系数$p=a+b$，常数项$q=ab$；②解决第(1)问时，对每个多项式先确定对应的$p$、$q$，再找到满足和为$p$、积为$q$的两个数$a$、$b$，最后写出分解结果；③第(2)问观察表格中$q$的正负与$a$、$b$符号的关联，结合有理数乘、加法的符号规律总结结论；④第(3)问直接运用上述规律，找到对应的$a$、$b$即可完成因式分解。
【解析】
(1) 对每个多项式依次分析：
① 多项式$x^2+9x+20$：一次项系数$p=9$，常数项$q=20$，找到$a=4$、$b=5$，满足$4+5=9$，$4×5=20$，分解结果为$(x+4)(x+5)$；
② 多项式$x^2-9x+20$：一次项系数$p=-9$，常数项$q=20$，找到$a=-4$、$b=-5$，满足$(-4)+(-5)=-9$，$(-4)×(-5)=20$，分解结果为$(x-4)(x-5)$；
③ 多项式$x^2+x-20$：一次项系数$p=1$，常数项$q=-20$，找到$a=-4$、$b=5$，满足$(-4)+5=1$，$(-4)×5=-20$，分解结果为$(x-4)(x+5)$；
④ 多项式$x^2-x-20$：一次项系数$p=-1$，常数项$q=-20$，找到$a=4$、$b=-5$，满足$4+(-5)=-1$，$4×(-5)=-20$，分解结果为$(x+4)(x-5)$。
(2) 观察表格规律：当$q$为正数时，$ab=q＞0$，故$a$、$b$同号，$a+b=p$，因此$a+b$的符号与$p$相同；当$q$为负数时，$ab=q＜0$，故$a$、$b$异号，两数相加的符号由绝对值较大的数决定，因此$a$、$b$中绝对值较大的因数的符号与$p$相同。
(3) 分解因式：
① $x^2-x-12$：$p=-1$，$q=-12$，找到$3$和$-4$，$3+(-4)=-1$，$3×(-4)=-12$，因此$x^2-x-12=(x+3)(x-4)$；
② $x^2-7x+6$：$p=-7$，$q=6$，找到$-1$和$-6$，$(-1)+(-6)=-7$，$(-1)×(-6)=6$，因此$x^2-7x+6=(x-1)(x-6)$。
【答案】
(1)$9$ $20$ $4$ $5$ $(x+4)(x+5)$
$-9$ $20$ $-4$ $-5$ $(x-4)(x-5)$
$1$ $-20$ $-4$ $5$ $(x-4)(x+5)$
$-1$ $-20$ $4$ $-5$ $(x+4)(x-5)$
(2)同 $p$ 异 $p$
(3)①$(x+3)(x-4)$ ②$(x-1)(x-6)$
【知识点】
十字相乘法因式分解，有理数乘法法则，有理数加法法则
【点评】
本题围绕十字相乘法分解二次三项式设计，从规则应用到规律总结再到实战练习，层层递进，能有效帮助理解并掌握十字相乘法的核心逻辑，是因式分解部分的基础典型题，找准满足条件的$a$、$b$是解题的核心。
【难度系数】
0.7
15.下面是数学小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
请你在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)分解因式：$4a^2 -9 +b^2 -4ab$；
(2)若$a-b=-5$，$b-c=3$，求式子$ab - bc + ac -a^2$的值。
请你在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)分解因式：$4a^2 -9 +b^2 -4ab$；
(2)若$a-b=-5$，$b-c=3$，求式子$ab - bc + ac -a^2$的值。
答案
(1)$(2a-b+3)(2a-b-3)$
(2)$-(a-b)(a-c)$ $-10$
(2)$-(a-b)(a-c)$ $-10$
解析
【分析】
(1) 观察待分解的式子$4a^2 -9 +b^2 -4ab$，发现$4a^2$、$-4ab$、$b^2$可组成完全平方结构，参考乙的分组思路，先将这三项分为一组，常数项$-9$单独为一组，先用完全平方公式分解第一组，再用平方差公式完成整体因式分解即可。
(2) 先对所求代数式$ab - bc + ac -a^2$进行因式分解，参考甲的提公因式分组思路，将式子合理分组后逐组提公因式，化简为含已知条件的形式；再根据$a-b$和$b-c$的值求出$a-c$的值，代入化简后的式子即可计算结果。
【解析】
(1) $4a^2 -9 +b^2 -4ab$
$\begin{split}&=(4a^2 -4ab +b^2) -9\\&=(2a-b)^2 - 3^2\\&=(2a-b+3)(2a-b-3)\end{split}$
(2) 先化简代数式$ab - bc + ac -a^2$：
$\begin{split}ab - bc + ac -a^2&=(ab -a^2)+(ac - bc)\\&=a(b-a)+c(a-b)\\&=-a(a-b)+c(a-b)\\&=(a-b)(c-a)\\&=-(a-b)(a-c)\end{split}$
已知$a-b=-5$，$b-c=3$，两式相加得$a-c=(a-b)+(b-c)=-5+3=-2$，代入化简后的式子：
原式$=-(-5)×(-2)=-10$
【答案】
(1) $(2a-b+3)(2a-b-3)$
(2) $-10$
【知识点】
分组分解法因式分解，公式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题核心是对分组分解法因式分解的考查，解题时要根据式子的结构特点合理分组，再结合提公因式、乘法公式完成因式分解，代数式求值类问题优先化简再代入计算可大幅降低运算量。
【难度系数】
0.7
(1) 观察待分解的式子$4a^2 -9 +b^2 -4ab$，发现$4a^2$、$-4ab$、$b^2$可组成完全平方结构，参考乙的分组思路，先将这三项分为一组，常数项$-9$单独为一组，先用完全平方公式分解第一组，再用平方差公式完成整体因式分解即可。
(2) 先对所求代数式$ab - bc + ac -a^2$进行因式分解，参考甲的提公因式分组思路，将式子合理分组后逐组提公因式，化简为含已知条件的形式；再根据$a-b$和$b-c$的值求出$a-c$的值，代入化简后的式子即可计算结果。
【解析】
(1) $4a^2 -9 +b^2 -4ab$
$\begin{split}&=(4a^2 -4ab +b^2) -9\\&=(2a-b)^2 - 3^2\\&=(2a-b+3)(2a-b-3)\end{split}$
(2) 先化简代数式$ab - bc + ac -a^2$：
$\begin{split}ab - bc + ac -a^2&=(ab -a^2)+(ac - bc)\\&=a(b-a)+c(a-b)\\&=-a(a-b)+c(a-b)\\&=(a-b)(c-a)\\&=-(a-b)(a-c)\end{split}$
已知$a-b=-5$，$b-c=3$，两式相加得$a-c=(a-b)+(b-c)=-5+3=-2$，代入化简后的式子：
原式$=-(-5)×(-2)=-10$
【答案】
(1) $(2a-b+3)(2a-b-3)$
(2) $-10$
【知识点】
分组分解法因式分解，公式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题核心是对分组分解法因式分解的考查，解题时要根据式子的结构特点合理分组，再结合提公因式、乘法公式完成因式分解，代数式求值类问题优先化简再代入计算可大幅降低运算量。
【难度系数】
0.7
