1. 将$-\frac{1}{3}x^3y - x^2y^2$提公因式$-\frac{1}{3}x^2y$后，另一个因式是（）

A.$x^2 - 3xy$
B.$x + 3y$
C.$x^2 - xy$
D.$x^2 + xy$

1.B

【分析】
这道题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：题目已经给出公因式为$-\frac{1}{3}x^2y$，要得到剩下的另一个因式，只需将原多项式的每一项分别除以这个公因式，再把所得的商相加即可，计算时要注意符号规则和同底数幂的除法运算规则，避免出错。
【解析】
用原多项式除以公因式$-\frac{1}{3}x^2y$，逐项计算：
1. 计算第一项除以公因式：
$(-\frac{1}{3}x^3y) ÷ (-\frac{1}{3}x^2y) = (-\frac{1}{3}÷ -\frac{1}{3}) × (x^3÷ x^2) × (y÷ y) = x$
2. 计算第二项除以公因式：
$(-x^2y^2) ÷ (-\frac{1}{3}x^2y) = (-1÷ -\frac{1}{3}) × (x^2÷ x^2) × (y^2÷ y) = 3y$
3. 将两个商相加，得到另一个因式为$x+3y$。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；整式除法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提取公因式后剩余因式的计算方法，解题时要特别注意符号运算和同底数幂的次数计算，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.8

2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）

A.$x(a+b)-y(a+b)+1=(a+b)(x-y)+1$
B.$am+b=a(m+\dfrac{b}{a})$
C.$-12m^2n+8mn^2=-4mn(3m-2n)$
D.$8a^3b=4ab· 2a^2$

2.C

【分析】
要判断变形是否为因式分解，首先明确因式分解的核心判定标准：①变形的对象是多项式；②变形后的结果必须是几个整式的乘积的形式，不能含有剩余加减项；③每个因式都必须是整式（分母不含字母）。解题时只需对照这三个标准逐一排查选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：变形结果为$(a+b)(x-y)+1$，含有加法运算，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解；
选项B：变形结果中的因式$m+\frac{b}{a}$含有分式$\frac{b}{a}$，不符合因式分解要求的“整式乘积”的条件，不属于因式分解；
选项C：左边是多项式$-12m^2n+8mn^2$，右边是两个整式$-4mn$和$(3m-2n)$的乘积，且左右两边相等，符合因式分解的定义，属于因式分解；
选项D：左边的$8a^3b$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的变形对象要求，不属于因式分解。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，核心考查对因式分解定义的理解，判断时需紧扣“多项式变整式乘积”的核心要求，常见易错点是忽略因式必须为整式、结果不是纯乘积形式的问题。
【难度系数】
0.8

3. 下列式子:①$a^2 - \frac{1}{6}a + \frac{1}{6}$;②$x^2 - xy + y^2$;③$x^2 - xy + \frac{1}{4}y^2$;④$\frac{1}{4}a^4b^2 - a^2b + 1$;⑤$m^2 + 4n^2 - 4mn$. 其中能写成完全平方式的式子有 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

3.B

【分析】
解题的关键是牢记完全平方式的结构特征：完全平方式是形如$a^2\pm2ab+b^2$的三项式，其中两项是两个整式的平方且均为正，第三项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负。我们只需逐个将给出的式子和完全平方式的结构对照，就能判断是否符合要求。
【解析】
我们对照完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$的特征逐个判断：
①$a^2 - \frac{1}{6}a + \frac{1}{6}$：假设它是完全平方式，设为$(a - m)^2 = a^2 - 2ma + m^2$，对比一次项系数得$-2m=-\frac{1}{6}$，解得$m=\frac{1}{12}$，此时常数项应为$m^2=\frac{1}{144}$，和原式的常数项$\frac{1}{6}$不相等，故①不能写成完全平方式。
②$x^2 - xy + y^2$：两个平方项为$x^2$和$y^2$，对应完全平方式的中间项应为$\pm 2xy$，原式中间项为$-xy$，不符合要求，故②不能写成完全平方式。
③$x^2 - xy + \frac{1}{4}y^2$：$x^2$是$x$的平方，$\frac{1}{4}y^2$是$\frac{1}{2}y$的平方，中间项$-xy=-2× x×\frac{1}{2}y$，完全符合完全平方式的特征，可写成$(x-\frac{1}{2}y)^2$，故③符合要求。
④$\frac{1}{4}a^4b^2 - a^2b + 1$：$\frac{1}{4}a^4b^2$是$\frac{1}{2}a^2b$的平方，1是1的平方，中间项$-a^2b=-2×\frac{1}{2}a^2b×1$，符合完全平方式的特征，可写成$(\frac{1}{2}a^2b - 1)^2$，故④符合要求。
⑤$m^2 + 4n^2 - 4mn$：$m^2$是$m$的平方，$4n^2$是$2n$的平方，中间项$-4mn=-2× m×2n$，符合完全平方式的特征，可写成$(m-2n)^2$，故⑤符合要求。
综上，能写成完全平方式的是③④⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；完全平方式判定
【点评】
本题核心考查对完全平方式结构的理解，解题时要先找准式子中的两个平方项，再验证中间项是否为两个平方项底数乘积的2倍，掌握公式结构就能快速判断，避免出错。
【难度系数】
0.7

4. 判断$2^{2023} + 2^{2024}$的结果不能被（）

A.3整除
B.4整除
C.5整除
D.6整除

4.C

【分析】
解题时首先观察到式子是两个同底数幂相加，我们可以利用提公因式法先对原式进行化简，找到公因式是次数更低的$2^{2023}$，提取公因式后将原式转化为几个因数相乘的形式，再逐一分析各选项中的数是否是化简后结果的因数，就能判断能否被整除。
【解析】
解：先对原式提取公因式$2^{2023}$化简：
$\begin{aligned}2^{2023} + 2^{2024}&=2^{2023} + 2^{2023}×2\\&=2^{2023}×(1+2)\\&=3×2^{2023}\end{aligned}$
接下来逐一分析选项：
A. 化简结果含有因数3，能被3整除，不符合题意；
B. $2^{2023}=2^2×2^{2021}=4×2^{2021}$，因此化简结果含有因数4，能被4整除，不符合题意；
C. 化简结果的因数只有2和3，不含因数5，不能被5整除，符合题意；
D. $6=2×3$，化简结果同时含有因数2和3，能被6整除，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；乘方的意义；整除判断
【点评】
本题通过对幂的和进行因式分解简化运算，再结合整除的性质判断，解题核心是正确提取公因式将原式转化为乘积形式，属于基础类运算题，掌握提公因式的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7

5.分解因式:$2a^2 - 8 =$.

5.2(a+2)(a-2)

【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题两项都含有公因式2，因此先提取公因式；提取公因式后得到$a^2-4$，符合“两个数的平方差”的结构，可套用平方差公式继续分解；最后检查因式是否能再分解，确保分解彻底。
【解析】
1. 提取公因式2：
$2a^2 - 8 = 2(a^2 - 4)$
2. 对$a^2-4$运用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$分解，此处$m=a$，$n=2$：
$a^2 - 4 = (a+2)(a-2)$
3. 整理得到最终分解结果。
【答案】
$2(a+2)(a-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，需要牢记分解步骤，特别要注意提取公因式后需检查剩余部分是否还能继续分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8

6.多项式$x^2 -4x +m$可分解为$(x+3)·(x-7)$，则$m=$.

6.-21

【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。因式分解的结果展开后与原多项式完全相等，因此我们先将右侧的两个整式相乘展开，再通过对比左右两边多项式的常数项，即可求出m的值。
【解析】
∵ 多项式$x^2 -4x +m$分解因式的结果为$(x+3)(x-7)$
∴ $x^2 -4x +m = (x+3)(x-7)$
根据多项式乘多项式法则展开右侧：
$(x+3)(x-7) = x^2 -7x +3x - 3×7 = x^2 -4x -21$
左右两个多项式相等，对应常数项相等，因此$m = -21$
【答案】
-21
【知识点】
多项式乘多项式，因式分解的性质，对应项系数相等
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解因式分解和整式乘法是互逆运算，只要熟练掌握多项式乘法的计算规则，认真计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8

7.下列各式:①$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$；②$a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$；③$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$；④$(a-b)^2=(a-b)(a-b)$；⑤$a^2+4ab+4b^2=a(a+4b)+4b^2$.其中属于分解因式的是.

7.②

【分析】
要判断哪些式子属于分解因式，首先要明确分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形就是分解因式。解题时我们可以依据定义的两个核心特征逐一判断：第一，变形的对象必须是多项式；第二，变形的最终结果必须是几个整式的乘积的形式，同时还要注意区分分解因式和整式乘法是互逆的变形过程。
【解析】
首先明确分解因式的判定标准：①变形前的式子是多项式；②变形后的式子是几个整式的积的形式；③变形前后式子的值相等。
对各个式子逐一分析：
式子①：左边是整式的乘积$(a+2b)^2$，右边是多项式，属于整式乘法运算，不是分解因式；
式子②：左边是多项式$a^2+4ab+4b^2$，右边是两个整式$(a+2b)$的乘积形式，完全符合分解因式的定义，属于分解因式；
式子③：左边是整式的乘积$(a-b)(a+b)$，右边是多项式，属于整式乘法运算，不是分解因式；
式子④：左边$(a-b)^2$本身就是表示两个$(a-b)$相乘的幂形式，该变形只是表述了乘方的意义，没有将多项式转化为整式乘积的变形过程，不属于分解因式；
式子⑤：右边$a(a+4b)+4b^2$是和的形式，不是几个整式的积的形式，不属于分解因式。
综上，只有②属于分解因式。
【答案】
②
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题考查对分解因式概念的理解与应用，解题的关键是准确掌握分解因式的两个核心判定特征，要注意区分整式乘法和分解因式是互逆的变形过程，避免混淆二者。
【难度系数】
0.8

8.阅读下列题目的解题过程：
已知$(a^2 + b^2)^4 - 8(a^2 + b^2)^2 + 16 = 0$，求$a^2 + b^2$的值.
错解:设$(a^2 + b^2)^2 = m$,则原式可化为$m^2 - 8m + 16 = 0$,即$(m - 4)^2 = 0$,$m = 4$.
由此$(a^2 + b^2)^2 = 4$,所以$a^2 + b^2 = ±2$.
(1)指出上面解题过程错误的原因是什么,正确的值是多少?
(2)请你用以上方法把$(a + b)^2 - 14(a + b) + 49$分解因式.

(1)$a^2 + b^2 ≥ 0,a^2 + b^2 ≠ -2$. 正确的值是$a^2 + b^2 = 2$.
(2)$(a+b-7)^2$

【分析】
(1) 解第一问时，首先回忆平方数的非负性：任意实数的平方都大于等于0，因此$a^2≥0$、$b^2≥0$，二者的和$a^2+b^2$也必然是非负数。错解在得到$(a^2+b^2)^2=4$后，没有考虑$a^2+b^2$的取值范围，直接开平方得到正负两个结果，没有舍去不符合要求的负值，因此出错，只需舍去$-2$即可得到正确结果。
(2) 解第二问时，使用题中给出的换元法，将$a+b$看作一个整体设为新的未知数，原式就转化为常见的完全平方形式，利用完全平方公式分解后再将整体代回即可得到结果。
【解析】
(1) 因为$a^2≥0$，$b^2≥0$，所以$a^2 + b^2 ≥ 0$，不可能为负数，错解忽略了$a^2 + b^2$的非负性，错误保留了负值结果。
由$(a^2 + b^2)^2=4$开平方得$a^2 + b^2 = ±2$，结合$a^2 + b^2 ≥ 0$舍去$-2$，因此$a^2 + b^2 = 2$。
(2) 设$m = a + b$，则原式可化为$m^2 -14m +49$，根据完全平方差公式可得$m^2 -14m +49 = (m -7)^2$，将$m = a + b$代回，得原式分解结果为$(a + b -7)^2$。
【答案】
(1) 错误原因：$a^2 + b^2 ≥ 0$，$a^2 + b^2 ≠ -2$，正确的值是$a^2 + b^2 = 2$；
(2) $(a+b-7)^2$
【知识点】
非负数的性质、换元法、完全平方公式因式分解
【点评】
本题侧重考查换元思想的应用，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件（如代数式的取值范围），避免出现多解错误，同时要熟练掌握完全平方公式的结构，灵活对多项式进行因式分解。
【难度系数】
0.7

9.两个连续奇数的平方差一定是 （）

A.6 的倍数
B.16 的倍数
C.12 的倍数
D.8 的倍数

9.D

【分析】
要判断两个连续奇数的平方差的特征，首先可以用含整数的代数式表示出两个连续奇数，再利用平方差公式对它们的平方差进行化简，最后根据化简结果的因数特征判断属于哪个数的倍数，也可以通过举特殊例子快速验证选项。
【解析】
设两个连续奇数分别为$2n-1$和$2n+1$（$n$为整数），则它们的平方差为：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=[(2n+1)-(2n-1)][(2n+1)+(2n-1)]\\&=(2n+1-2n+1)(2n+1+2n-1)\\&=2×4n\\&=8n\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$8n$一定是8的倍数。
也可通过特殊值验证：如两个连续奇数1和3，平方差为$3^2-1^2=9-1=8$，是8的倍数；3和5的平方差为$25-9=16$，也是8的倍数，结论成立。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，奇数的表示，倍数判定
【点评】
本题是整式乘法的典型应用题，既可以通过代数化简得到通用结论，也可以用特殊值法快速排除错误选项，考查了将文字问题转化为代数式运算的能力。
【难度系数】
0.8

10. 正方形的面积为 $121x^2 + 22xy + y^2$ $(x＞0,y＞0)$，则这个正方形的周长是。

10.44x+4y

【分析】
解决本题的核心思路是利用正方形面积和边长的关系，结合因式分解求解：首先正方形的面积等于边长的平方，因此需要将给出的面积多项式转化为整式平方的形式，得到正方形的边长。观察多项式$121x^2 + 22xy + y^2$，符合完全平方和公式的结构，我们可以先通过完全平方公式对多项式因式分解得到边长，再根据正方形周长=4×边长计算最终结果。
【解析】
解：已知正方形的面积等于边长的平方，先对面积表达式因式分解：
$121x^2 + 22xy + y^2 = (11x)^2 + 2×11x· y + y^2$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得：
$121x^2 + 22xy + y^2 = (11x+y)^2$
因为$x＞0,y＞0$，所以正方形的边长为正数，即边长为$11x+y$。
再根据正方形周长公式：周长=4×边长，代入得：
周长$=4×(11x+y)=44x+4y$
【答案】
$44x+4y$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，正方形周长计算
【点评】
本题结合代数式运算与几何图形性质，考查对完全平方公式结构特征的掌握程度，解题的关键是准确识别完全平方式，正确因式分解得到边长后代入周长公式计算即可。
【难度系数】
0.7

11.分解因式 $9x^2 - y^2 - 4y - 4 =$ .

11.(3x+y+2)(3x-y-2)

【分析】
观察原式的结构，发现后三项含有y的二次项、一次项和常数项，可先将后三项添加括号并提取负号，凑成完全平方的形式，此时原式转化为两个平方项的差，再利用平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
解：$9x^2 - y^2 - 4y - 4$
$=9x^2 - (y^2 + 4y + 4)$
$=9x^2 - (y+2)^2$
$=(3x)^2 - (y+2)^2$
$=(3x + y + 2)(3x - y - 2)$
【答案】
$(3x+y+2)(3x-y-2)$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，分组分解法
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是观察多项式的项的特征，合理分组凑出公式适用的形式，分解过程中要注意符号变化，保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.6

12.若$a^2 - 4a + b^2 - 10b + 29 = 0$，则$a=$，$b=$。

12.2 5

【分析】
观察等式左边的结构，包含a的二次项、一次项，b的二次项、一次项和常数项，符合配方的特征。我们可以将常数项29拆分为4和25，分别和含a的项、含b的项组合成完全平方式，再根据“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解a、b的值。
【解析】
首先对原式进行配方：
将29拆分为4+25，原式可变形为：
$a^2 - 4a + 4 + b^2 - 10b + 25 = 0$
根据完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，对左边因式分解得：
$(a-2)^2 + (b-5)^2 = 0$
因为平方数具有非负性，即$(a-2)^2≥0$，$(b-5)^2≥0$，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此：
$a-2=0$，$b-5=0$
解得$a=2$，$b=5$。
【答案】
2；5
【知识点】
1.完全平方公式 2.非负数的性质
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题关键是将常数项合理拆分，凑出完全平方式，再结合非负数的性质求解，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征。
【难度系数】
0.7