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7. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，若$∠ BAE=22.5°$，$EF ⊥ AB$，垂足为F，则EF的长为 （
A.1
B.2
C.$4-2\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{2}-4$
C
）A.1
B.2
C.$4-2\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{2}-4$
答案
7.C
解析
【分析】
解题可按三步思路推导：第一步利用正方形性质，得对角线平分内角，∠ABD、∠ADB均为45°，同时算出对角线BD的长度；第二步结合已知∠BAE=22.5°，计算△ADE的内角，得到等角对等边，求出DE长度，进而得到BE的长度；第三步根据EF⊥AB，判断△BEF是等腰直角三角形，用勾股定理推导等腰直角三角形直角边和斜边的关系，代入BE长度求出EF。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为4的正方形
∴AB=AD=4，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°
由勾股定理得对角线BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
∵∠BAE=22.5°
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-22.5°=67.5°
在△ADE中，∠AED=180°-∠ADB-∠DAE=180°-45°-67.5°=67.5°
∴∠DAE=∠AED，即△ADE是等腰三角形
∴DE=AD=4
∴BE=BD-DE=$4\sqrt{2}-4$
∵EF⊥AB，∠ABD=45°
∴△BEF是等腰直角三角形，EF=BF
由勾股定理得$EF^2+BF^2=BE^2$，即$2EF^2=BE^2$
∴$EF=\frac{BE}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}-4}{\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过角度推导得到等腰三角形，再结合等腰直角三角形的边的关系计算，需要熟练掌握特殊图形的角度、边长性质。
【难度系数】
0.6
解题可按三步思路推导：第一步利用正方形性质，得对角线平分内角，∠ABD、∠ADB均为45°，同时算出对角线BD的长度；第二步结合已知∠BAE=22.5°，计算△ADE的内角，得到等角对等边，求出DE长度，进而得到BE的长度；第三步根据EF⊥AB，判断△BEF是等腰直角三角形，用勾股定理推导等腰直角三角形直角边和斜边的关系，代入BE长度求出EF。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为4的正方形
∴AB=AD=4，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°
由勾股定理得对角线BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
∵∠BAE=22.5°
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-22.5°=67.5°
在△ADE中，∠AED=180°-∠ADB-∠DAE=180°-45°-67.5°=67.5°
∴∠DAE=∠AED，即△ADE是等腰三角形
∴DE=AD=4
∴BE=BD-DE=$4\sqrt{2}-4$
∵EF⊥AB，∠ABD=45°
∴△BEF是等腰直角三角形，EF=BF
由勾股定理得$EF^2+BF^2=BE^2$，即$2EF^2=BE^2$
∴$EF=\frac{BE}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}-4}{\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过角度推导得到等腰三角形，再结合等腰直角三角形的边的关系计算，需要熟练掌握特殊图形的角度、边长性质。
【难度系数】
0.6
8.如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD，CD上的点，且OE⊥OF，已知AD=6，则图中阴影部分的面积是
9
。答案
8.9
解析
【分析】
解决本题首先需要利用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分内角，对角线将正方形分成4个面积相等的等腰直角三角形，每个三角形的面积是正方形面积的1/4。再结合OE⊥OF的条件，通过角的等量代换证明三角形全等，将分散的两个阴影部分的面积转化为其中一个等腰直角三角形的面积，最后代入计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AD=6，
∴正方形ABCD的面积为$6×6=36$，
正方形对角线AC、BD交于点O，故$OA=OD$，$∠ OAE=∠ ODF=45°$，$∠ AOD=90°$，且$S_{△ DOC}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$。
∵$OE⊥ OF$，
∴$∠ EOF=90°$，
∴$∠ AOD - ∠ EOD = ∠ EOF - ∠ EOD$，即$∠ AOE=∠ DOF$。
在$△ AOE$和$△ DOF$中：
$\begin{cases}∠ OAE=∠ ODF \\OA=OD \\∠ AOE=∠ DOF\end{cases}$
∴$△ AOE≌△ DOF(ASA)$，
∴$S_{△ AOE}=S_{△ DOF}$。
∴阴影部分面积$=S_{△ AOE}+S_{△ COF}=S_{△ DOF}+S_{△ COF}=S_{△ DOC}=\frac{1}{4}×36=9$。
【答案】
9
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，面积转化计算
【点评】
本题的核心解题思路是面积转化，通过全等三角形将分散的阴影面积拼接成规则的三角形面积，避免分别计算两个阴影部分的面积，降低了解题难度，是几何面积计算中常用的方法。
【难度系数】
0.6
解决本题首先需要利用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分内角，对角线将正方形分成4个面积相等的等腰直角三角形，每个三角形的面积是正方形面积的1/4。再结合OE⊥OF的条件，通过角的等量代换证明三角形全等，将分散的两个阴影部分的面积转化为其中一个等腰直角三角形的面积，最后代入计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AD=6，
∴正方形ABCD的面积为$6×6=36$，
正方形对角线AC、BD交于点O，故$OA=OD$，$∠ OAE=∠ ODF=45°$，$∠ AOD=90°$，且$S_{△ DOC}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$。
∵$OE⊥ OF$，
∴$∠ EOF=90°$，
∴$∠ AOD - ∠ EOD = ∠ EOF - ∠ EOD$，即$∠ AOE=∠ DOF$。
在$△ AOE$和$△ DOF$中：
$\begin{cases}∠ OAE=∠ ODF \\OA=OD \\∠ AOE=∠ DOF\end{cases}$
∴$△ AOE≌△ DOF(ASA)$，
∴$S_{△ AOE}=S_{△ DOF}$。
∴阴影部分面积$=S_{△ AOE}+S_{△ COF}=S_{△ DOF}+S_{△ COF}=S_{△ DOC}=\frac{1}{4}×36=9$。
【答案】
9
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，面积转化计算
【点评】
本题的核心解题思路是面积转化，通过全等三角形将分散的阴影面积拼接成规则的三角形面积，避免分别计算两个阴影部分的面积，降低了解题难度，是几何面积计算中常用的方法。
【难度系数】
0.6
9.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EOF=90°.求证:CE=DF.
答案
证明:
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°,∠COD=90°,
∴∠DOF+∠COF=90°.
∵∠EOF=90°,即∠COE+∠COF=90°,
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF(ASA),
∴CE=DF.
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°,∠COD=90°,
∴∠DOF+∠COF=90°.
∵∠EOF=90°,即∠COE+∠COF=90°,
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF(ASA),
∴CE=DF.
解析
【分析】
要证明CE=DF，可通过证明两条线段所在的△COE和△DOF全等来推导。首先利用正方形的性质得到全等需要的边、角基础条件；再结合已知∠EOF=90°，根据同角的余角相等推出一组对应角相等，满足ASA全等判定条件，证完全等后对应边相等，即可得到结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OD，∠OCE=∠ODF=45°，∠COD=90°，
∴∠DOF+∠COF=90°。
∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°，
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF(ASA)，
∴CE=DF。
【答案】
CE=DF
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，余角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查利用三角形全等证明线段相等的常用思路，解题关键是熟练掌握正方形对角线的相关性质，结合直角条件推导等角，快速定位全等三角形的判定条件，是平面几何的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明CE=DF，可通过证明两条线段所在的△COE和△DOF全等来推导。首先利用正方形的性质得到全等需要的边、角基础条件；再结合已知∠EOF=90°，根据同角的余角相等推出一组对应角相等，满足ASA全等判定条件，证完全等后对应边相等，即可得到结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OD，∠OCE=∠ODF=45°，∠COD=90°，
∴∠DOF+∠COF=90°。
∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°，
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF(ASA)，
∴CE=DF。
【答案】
CE=DF
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，余角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查利用三角形全等证明线段相等的常用思路，解题关键是熟练掌握正方形对角线的相关性质，结合直角条件推导等角，快速定位全等三角形的判定条件，是平面几何的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ A=45°$，过点D作$ED ⊥ AD$交AB的延长线于点E，且$BE=AB$，连接BD，CE。
(1)求证：四边形BDCE是正方形；
(2)若P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且$PM=PB$，$∠ DPN=∠ BPM$。
求证：$AN=\sqrt{2}PB$。
(1)求证：四边形BDCE是正方形；
(2)若P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且$PM=PB$，$∠ DPN=∠ BPM$。
求证：$AN=\sqrt{2}PB$。
答案
证明:(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB//CD.
∵BE=AB,
∴BE=CD，
∴四边形BDCE是平行四边形.
∵ED⊥AD,∠A=45°，
∴∠A=∠DEA=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形.
又
∵AB=BE,
∴DB=BE,DB⊥BE，
∴四边形BDCE是正方形.
(2)
∵四边形BDCE是正方形，
∴BD=BE=AB,∠DBP=∠EBP=45°.
∵PM=PB,
∴∠PBM=∠PMB=45°，
∴∠BPM=90°,
∴∠DPN=∠BPM=90°,
∴∠DPB=∠NPM.
在△DBP和△NMP中,$\begin{cases}∠DPB=∠NPM,\\BP=MP,\\∠DBP=∠NMP,\end{cases}$
∴△DBP≌△NMP(ASA)，
∴DB=NM,
∴AB=NM,
∴AN=BM.
∵BP=PM,∠BPM=90°,
∴BM=$\sqrt{2}BP$,
∴AN=$\sqrt{2}BP$.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB//CD.
∵BE=AB,
∴BE=CD，
∴四边形BDCE是平行四边形.
∵ED⊥AD,∠A=45°，
∴∠A=∠DEA=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形.
又
∵AB=BE,
∴DB=BE,DB⊥BE，
∴四边形BDCE是正方形.
(2)
∵四边形BDCE是正方形，
∴BD=BE=AB,∠DBP=∠EBP=45°.
∵PM=PB,
∴∠PBM=∠PMB=45°，
∴∠BPM=90°,
∴∠DPN=∠BPM=90°,
∴∠DPB=∠NPM.
在△DBP和△NMP中,$\begin{cases}∠DPB=∠NPM,\\BP=MP,\\∠DBP=∠NMP,\end{cases}$
∴△DBP≌△NMP(ASA)，
∴DB=NM,
∴AB=NM,
∴AN=BM.
∵BP=PM,∠BPM=90°,
∴BM=$\sqrt{2}BP$,
∴AN=$\sqrt{2}BP$.
解析
【分析】
(1) 要证四边形BDCE是正方形，需先证它是平行四边形，再证明它有一组邻边相等且有一个内角是直角：首先利用平行四边形ABCD对边平行且相等的性质，结合已知BE=AB，可推出BE与CD平行且相等，先判定BDCE为平行四边形；再由ED⊥AD、∠A=45°可得△ADE是等腰直角三角形，结合AB=BE，利用等腰三角形三线合一的性质可证得DB=BE且DB⊥BE，即可判定平行四边形BDCE是正方形。
(2) 要证$AN=\sqrt{2}PB$，可通过线段等量转化推导：首先利用正方形的性质得∠PBM=45°，结合PM=PB可推出△BPM是等腰直角三角形，可得∠BPM=90°、$BM=\sqrt{2}PB$；再结合∠DPN=∠BPM推导得到∠DPB=∠NPM，证明△DBP≌△NMP得到DB=NM，等量代换得AB=NM，进而推出AN=BM，即可得到待证结论。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$。
∵$BE=AB$，
∴$BE=CD$，且$BE// CD$，
∴四边形BDCE是平行四边形。
∵$ED⊥ AD$，$∠A=45°$，
∴$∠A=∠DEA=45°$，
∴△ADE是等腰直角三角形。
又
∵$AB=BE$，
∴$DB=BE$，$DB⊥ BE$，
∴平行四边形BDCE是正方形。
(2) 证明：
∵四边形BDCE是正方形，
∴$BD=BE=AB$，$∠DBP=∠EBP=45°$。
∵$PM=PB$，
∴$∠PBM=∠PMB=45°$，
∴$∠BPM=90°$，
∴$∠DPN=∠BPM=90°$，
∴$∠DPB=∠NPM$。
在$△ DBP$和$△ NMP$中，
$\begin{cases}∠DPB=∠NPM,\\BP=MP,\\∠DBP=∠NMP=45°,\end{cases}$
∴$△ DBP≌△ NMP(\mathrm{ASA})$，
∴$DB=NM$，
∴$AB=NM$，
∴$AB+BN=NM+BN$，即$AN=BM$。
∵$BP=PM$，$∠BPM=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ BPM$中，由勾股定理得$BM=\sqrt{BP^2+PM^2}=\sqrt{2}BP$，
∴$AN=\sqrt{2}PB$。
【答案】
(1) 四边形BDCE是正方形，得证；
(2) $AN=\sqrt{2}PB$，得证。
【知识点】
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类习题，综合考查了特殊四边形、全等三角形和等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是熟练掌握特殊平行四边形的判定定理和性质，通过全等三角形实现线段关系的转化，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证四边形BDCE是正方形，需先证它是平行四边形，再证明它有一组邻边相等且有一个内角是直角：首先利用平行四边形ABCD对边平行且相等的性质，结合已知BE=AB，可推出BE与CD平行且相等，先判定BDCE为平行四边形；再由ED⊥AD、∠A=45°可得△ADE是等腰直角三角形，结合AB=BE，利用等腰三角形三线合一的性质可证得DB=BE且DB⊥BE，即可判定平行四边形BDCE是正方形。
(2) 要证$AN=\sqrt{2}PB$，可通过线段等量转化推导：首先利用正方形的性质得∠PBM=45°，结合PM=PB可推出△BPM是等腰直角三角形，可得∠BPM=90°、$BM=\sqrt{2}PB$；再结合∠DPN=∠BPM推导得到∠DPB=∠NPM，证明△DBP≌△NMP得到DB=NM，等量代换得AB=NM，进而推出AN=BM，即可得到待证结论。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$。
∵$BE=AB$，
∴$BE=CD$，且$BE// CD$，
∴四边形BDCE是平行四边形。
∵$ED⊥ AD$，$∠A=45°$，
∴$∠A=∠DEA=45°$，
∴△ADE是等腰直角三角形。
又
∵$AB=BE$，
∴$DB=BE$，$DB⊥ BE$，
∴平行四边形BDCE是正方形。
(2) 证明：
∵四边形BDCE是正方形，
∴$BD=BE=AB$，$∠DBP=∠EBP=45°$。
∵$PM=PB$，
∴$∠PBM=∠PMB=45°$，
∴$∠BPM=90°$，
∴$∠DPN=∠BPM=90°$，
∴$∠DPB=∠NPM$。
在$△ DBP$和$△ NMP$中，
$\begin{cases}∠DPB=∠NPM,\\BP=MP,\\∠DBP=∠NMP=45°,\end{cases}$
∴$△ DBP≌△ NMP(\mathrm{ASA})$，
∴$DB=NM$，
∴$AB=NM$，
∴$AB+BN=NM+BN$，即$AN=BM$。
∵$BP=PM$，$∠BPM=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ BPM$中，由勾股定理得$BM=\sqrt{BP^2+PM^2}=\sqrt{2}BP$，
∴$AN=\sqrt{2}PB$。
【答案】
(1) 四边形BDCE是正方形，得证；
(2) $AN=\sqrt{2}PB$，得证。
【知识点】
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类习题，综合考查了特殊四边形、全等三角形和等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是熟练掌握特殊平行四边形的判定定理和性质，通过全等三角形实现线段关系的转化，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
