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1 [2024 陕西改编]$\sqrt{\dfrac{9}{4}}$的值为（
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.$\pm\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{81}{16}$
A
）A.$\dfrac{3}{2}$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.$\pm\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{81}{16}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查算术平方根的定义，解题时首先要明确数学符号$\sqrt{}$表示的是求一个非负数的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负的，可先排除负数和正负都有的选项，再根据平方运算找到哪个正数的平方等于$\frac{9}{4}$，即可得到结果。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。
我们需要计算$\sqrt{\dfrac{9}{4}}$，也就是求$\frac{9}{4}$的算术平方根：
因为$(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$，且$\dfrac{3}{2}$是正数，
所以$\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对算术平方根概念的辨析，解题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，$\sqrt{}$仅表示非负的算术平方根，避免误选带正负号的选项。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平方根的定义，解题时首先要明确数学符号$\sqrt{}$表示的是求一个非负数的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负的，可先排除负数和正负都有的选项，再根据平方运算找到哪个正数的平方等于$\frac{9}{4}$，即可得到结果。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。
我们需要计算$\sqrt{\dfrac{9}{4}}$，也就是求$\frac{9}{4}$的算术平方根：
因为$(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$，且$\dfrac{3}{2}$是正数，
所以$\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对算术平方根概念的辨析，解题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，$\sqrt{}$仅表示非负的算术平方根，避免误选带正负号的选项。
【难度系数】
0.9
2 下列说法正确的是 （
A.64 的算术平方根是－8
B.$(-8)^2$ 的算术平方根是 8
C.1 的算术平方根是 $\pm1$
D.1000 的算术平方根是 10
B
）A.64 的算术平方根是－8
B.$(-8)^2$ 的算术平方根是 8
C.1 的算术平方根是 $\pm1$
D.1000 的算术平方根是 10
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是掌握算术平方根的定义与性质：算术平方根是指一个非负数的正的平方根，即正数的算术平方根为正数，0的算术平方根为0，负数没有算术平方根。解题时逐一计算每个选项中对应数的算术平方根，和选项表述对比即可判断正误。
【解析】
我们根据算术平方根的性质逐个分析选项：
A选项：因为$8^2=64$，正数的算术平方根为正数，所以64的算术平方根是8，不是-8，A错误；
B选项：先计算$(-8)^2=64$，64的算术平方根是8，因此该选项表述正确；
C选项：1的算术平方根是唯一的正数1，$\pm1$是1的平方根（包含正负两个），不是算术平方根，C错误；
D选项：$10^2=100≠1000$，1000的算术平方根为$\sqrt{1000}=10\sqrt{10}≠10$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.算术平方根的定义 2.算术平方根的非负性
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于混淆算术平方根和平方根的概念，误将算术平方根的结果认为有正负两个，另外计算时要先化简所求数的表达式，再求算术平方根，避免直接根据底数的符号判断结果。
【难度系数】
0.7
解题的核心是掌握算术平方根的定义与性质：算术平方根是指一个非负数的正的平方根，即正数的算术平方根为正数，0的算术平方根为0，负数没有算术平方根。解题时逐一计算每个选项中对应数的算术平方根，和选项表述对比即可判断正误。
【解析】
我们根据算术平方根的性质逐个分析选项：
A选项：因为$8^2=64$，正数的算术平方根为正数，所以64的算术平方根是8，不是-8，A错误；
B选项：先计算$(-8)^2=64$，64的算术平方根是8，因此该选项表述正确；
C选项：1的算术平方根是唯一的正数1，$\pm1$是1的平方根（包含正负两个），不是算术平方根，C错误；
D选项：$10^2=100≠1000$，1000的算术平方根为$\sqrt{1000}=10\sqrt{10}≠10$，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.算术平方根的定义 2.算术平方根的非负性
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于混淆算术平方根和平方根的概念，误将算术平方根的结果认为有正负两个，另外计算时要先化简所求数的表达式，再求算术平方根，避免直接根据底数的符号判断结果。
【难度系数】
0.7
3 [2025 沭阳段考]81 的算术平方根是
9
.答案
9
解析
【分析】
解题时首先要明确算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a（$x^2=a$），则这个正数x叫做a的算术平方根，且算术平方根的结果一定是非负数。接下来我们只需要找到满足平方等于81的正数，就能得到81的算术平方根。
【解析】
根据算术平方根的定义，我们需要找正数x满足$x^2=81$。
因为$9^2 = 81$，且9是正数，符合算术平方根的非负要求，所以81的算术平方根是9。
【答案】
9
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对算术平方根定义的掌握，做题时要注意区分算术平方根与平方根的差异，算术平方根仅取非负的结果，避免误写为±9。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a（$x^2=a$），则这个正数x叫做a的算术平方根，且算术平方根的结果一定是非负数。接下来我们只需要找到满足平方等于81的正数，就能得到81的算术平方根。
【解析】
根据算术平方根的定义，我们需要找正数x满足$x^2=81$。
因为$9^2 = 81$，且9是正数，符合算术平方根的非负要求，所以81的算术平方根是9。
【答案】
9
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对算术平方根定义的掌握，做题时要注意区分算术平方根与平方根的差异，算术平方根仅取非负的结果，避免误写为±9。
【难度系数】
0.9
4 “11是x的算术平方根”，用式子表示为
$\sqrt{x}=11$
.答案
$\sqrt{x}=11$
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的定义与表示方法：如果a是b的算术平方根，那么用式子表示为$\sqrt{b}=a$。本题中明确11是x的算术平方根，对应上述表示规则，将b替换为x，a替换为11即可得到对应的式子。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$a$的平方等于$b$，即$a^2=b$，则称$a$是$b$的算术平方根，记作$\sqrt{b}=a$。
已知11是x的算术平方根，即x的算术平方根等于11，按照算术平方根的记法，可列出式子$\sqrt{x}=11$。
【答案】
$\sqrt{x}=11$
【知识点】
算术平方根的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对算术平方根表示规则的掌握，只要熟记算术平方根的定义和书写规范即可正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆算术平方根的定义与表示方法：如果a是b的算术平方根，那么用式子表示为$\sqrt{b}=a$。本题中明确11是x的算术平方根，对应上述表示规则，将b替换为x，a替换为11即可得到对应的式子。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$a$的平方等于$b$，即$a^2=b$，则称$a$是$b$的算术平方根，记作$\sqrt{b}=a$。
已知11是x的算术平方根，即x的算术平方根等于11，按照算术平方根的记法，可列出式子$\sqrt{x}=11$。
【答案】
$\sqrt{x}=11$
【知识点】
算术平方根的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对算术平方根表示规则的掌握，只要熟记算术平方根的定义和书写规范即可正确作答。
【难度系数】
0.9
5 教材 P62 例 1 变式 求下列各数的算术平方根：
(1) 0.04；
(2) $\frac{1}{9}$；
(3) $6\frac{1}{4}$；
(4) $145^2 - 144^2$。
(1) 0.04；
(2) $\frac{1}{9}$；
(3) $6\frac{1}{4}$；
(4) $145^2 - 144^2$。
答案
(1) 0.2 (2) $\dfrac{1}{3}$ (3) $\dfrac{5}{2}$ (4) 17
解析
【分析】
解题核心是掌握算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}(a≥0)$。解题思路如下：先将每个待求的数化简为最简形式，再找到对应平方等于该数的正数即可：①小数直接找对应平方的正数；②分数分别对分子、分母找对应平方的正数；③带分数先化为假分数再计算；④含运算的式子先利用平方差公式算出结果，再求算术平方根。
【解析】
(1) 因为$0.2^2=0.04$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{0.04}=0.2$；
(2) 因为$(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$；
(3) 先把带分数化为假分数：$6\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{4}$，因为$(\dfrac{5}{2})^2=\dfrac{25}{4}$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{6\dfrac{1}{4}}=\dfrac{5}{2}$；
(4) 先用平方差公式计算算式结果：$145^2-144^2=(145-144)×(145+144)=1×289=289$，因为$17^2=289$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{145^2-144^2}=17$。
【答案】
(1) $0.2$；(2) $\dfrac{1}{3}$；(3) $\dfrac{5}{2}$；(4) $17$
【知识点】
算术平方根定义，平方差公式，乘方运算
【点评】
本题是算术平方根求解的基础题，解题时需注意先将所给数化简为最简形式后再计算，带分数要先转化为假分数，含有运算的式子先计算结果再求算术平方根，熟记常用平方数可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题核心是掌握算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}(a≥0)$。解题思路如下：先将每个待求的数化简为最简形式，再找到对应平方等于该数的正数即可：①小数直接找对应平方的正数；②分数分别对分子、分母找对应平方的正数；③带分数先化为假分数再计算；④含运算的式子先利用平方差公式算出结果，再求算术平方根。
【解析】
(1) 因为$0.2^2=0.04$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{0.04}=0.2$；
(2) 因为$(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}$；
(3) 先把带分数化为假分数：$6\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{4}$，因为$(\dfrac{5}{2})^2=\dfrac{25}{4}$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{6\dfrac{1}{4}}=\dfrac{5}{2}$；
(4) 先用平方差公式计算算式结果：$145^2-144^2=(145-144)×(145+144)=1×289=289$，因为$17^2=289$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{145^2-144^2}=17$。
【答案】
(1) $0.2$；(2) $\dfrac{1}{3}$；(3) $\dfrac{5}{2}$；(4) $17$
【知识点】
算术平方根定义，平方差公式，乘方运算
【点评】
本题是算术平方根求解的基础题，解题时需注意先将所给数化简为最简形式后再计算，带分数要先转化为假分数，含有运算的式子先计算结果再求算术平方根，熟记常用平方数可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
6 计算：
(1) $-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}$；
(2) $(\sqrt{17})^2$；
(3) $\sqrt{16}-\sqrt{81}$。
(1) $-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}$；
(2) $(\sqrt{17})^2$；
(3) $\sqrt{16}-\sqrt{81}$。
答案
(1) $-\dfrac{6}{5}$ (2) 17 (3) $-5$
解析
【分析】
这三道题均为算术平方根的基础运算题，解题思路如下：
1. 计算带分数的负算术平方根时，首先要将带分数化为假分数，再求出该假分数的算术平方根，最后带上原式的负号即可；
2. 第二题可直接利用算术平方根的性质：对于非负数$a$，$(\sqrt{a})^2=a$，代入数值直接计算；
3. 第三题先分别求出16和81的算术平方根，再按照有理数减法规则计算结果，注意运算符号不要出错。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{11}{25}=\dfrac{36}{25}$，
因为$(\dfrac{6}{5})^2=\dfrac{36}{25}$，所以$\sqrt{\dfrac{36}{25}}=\dfrac{6}{5}$，
因此$-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}=-\dfrac{6}{5}$；
(2) 根据算术平方根的性质，当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，
因为$17＞0$，所以$(\sqrt{17})^2=17$；
(3) 先计算两个算术平方根：
因为$4^2=16$，所以$\sqrt{16}=4$；因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$，
因此$\sqrt{16}-\sqrt{81}=4-9=-5$。
【答案】
(1) $-\dfrac{6}{5}$；(2) $17$；(3) $-5$
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的性质；有理数运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础考察题，解题时要注意带分数需先化为假分数再开方，牢记算术平方根的非负性及相关性质，避免运算时符号出错。
【难度系数】
0.8
这三道题均为算术平方根的基础运算题，解题思路如下：
1. 计算带分数的负算术平方根时，首先要将带分数化为假分数，再求出该假分数的算术平方根，最后带上原式的负号即可；
2. 第二题可直接利用算术平方根的性质：对于非负数$a$，$(\sqrt{a})^2=a$，代入数值直接计算；
3. 第三题先分别求出16和81的算术平方根，再按照有理数减法规则计算结果，注意运算符号不要出错。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{11}{25}=\dfrac{36}{25}$，
因为$(\dfrac{6}{5})^2=\dfrac{36}{25}$，所以$\sqrt{\dfrac{36}{25}}=\dfrac{6}{5}$，
因此$-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}=-\dfrac{6}{5}$；
(2) 根据算术平方根的性质，当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，
因为$17＞0$，所以$(\sqrt{17})^2=17$；
(3) 先计算两个算术平方根：
因为$4^2=16$，所以$\sqrt{16}=4$；因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$，
因此$\sqrt{16}-\sqrt{81}=4-9=-5$。
【答案】
(1) $-\dfrac{6}{5}$；(2) $17$；(3) $-5$
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的性质；有理数运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础考察题，解题时要注意带分数需先化为假分数再开方，牢记算术平方根的非负性及相关性质，避免运算时符号出错。
【难度系数】
0.8
7 [2025 南京]$10^{-6}$ 的算术平方根是 (
A.0.0001
B.0.001
C.$\pm0.0001$
D.$\pm0.001$
B
)A.0.0001
B.0.001
C.$\pm0.0001$
D.$\pm0.001$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果一定是非负数，据此可以先排除带有正负号的错误选项；再结合幂的乘方运算规则，计算出$10^{-6}$的算术平方根的具体数值，对应选出正确选项即可。
【解析】
第一步：根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负数，因此结果不可能带正负号，直接排除C、D选项。
第二步：计算$10^{-6}$的算术平方根：
设$x$为$10^{-6}$的算术平方根，则满足$x^2=10^{-6}$且$x＞0$。
根据幂的乘方运算，$(10^{-3})^2=10^{-3×2}=10^{-6}$，因此$x=10^{-3}=0.001$。
第三步：对应选项，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的概念；负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查算术平方根的非负性，需要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免误选带正负号的选项，同时要熟练掌握简单的指数幂运算。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果一定是非负数，据此可以先排除带有正负号的错误选项；再结合幂的乘方运算规则，计算出$10^{-6}$的算术平方根的具体数值，对应选出正确选项即可。
【解析】
第一步：根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负数，因此结果不可能带正负号，直接排除C、D选项。
第二步：计算$10^{-6}$的算术平方根：
设$x$为$10^{-6}$的算术平方根，则满足$x^2=10^{-6}$且$x＞0$。
根据幂的乘方运算，$(10^{-3})^2=10^{-3×2}=10^{-6}$，因此$x=10^{-3}=0.001$。
第三步：对应选项，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的概念；负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查算术平方根的非负性，需要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免误选带正负号的选项，同时要熟练掌握简单的指数幂运算。
【难度系数】
0.8
