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8 [2024成都]若有理数$m$，$n$满足$(m+4)^2 + \sqrt{n-5}=0$，则$(m+n)^2$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
B
解析
【分析】
本题可根据非负数的性质求解。首先明确平方运算的结果、算术平方根的结果都是非负数，当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能满足等式。据此我们可以分别列出关于m、n的方程，求出m、n的取值后代入待求式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$(m+4)^2 ≥ 0$，$\sqrt{n-5} ≥ 0$，且$(m+4)^2 + \sqrt{n-5}=0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}m+4=0 \\ n-5=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m=-4 \\ n=5\end{cases}$
将$m=-4$，$n=5$代入$(m+n)^2$得：
$(m+n)^2=(-4+5)^2=1^2=1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的非负性、乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握平方和算术平方根的非负性，利用“几个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质求出参数值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
本题可根据非负数的性质求解。首先明确平方运算的结果、算术平方根的结果都是非负数，当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能满足等式。据此我们可以分别列出关于m、n的方程，求出m、n的取值后代入待求式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$(m+4)^2 ≥ 0$，$\sqrt{n-5} ≥ 0$，且$(m+4)^2 + \sqrt{n-5}=0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}m+4=0 \\ n-5=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m=-4 \\ n=5\end{cases}$
将$m=-4$，$n=5$代入$(m+n)^2$得：
$(m+n)^2=(-4+5)^2=1^2=1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的非负性、乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握平方和算术平方根的非负性，利用“几个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质求出参数值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
9（1）[2025济南改编]一块面积为$5\ \mathrm{m}^2$的正方形桌布，其边长为
（2）[2024上海]已知$\sqrt{2x-1}=1$，则$x$的值为
$\sqrt{5}$
m；（2）[2024上海]已知$\sqrt{2x-1}=1$，则$x$的值为
1
。答案
(1) $\sqrt{5}$ (2) 1
解析
【分析】
（1）求正方形边长时，首先回忆正方形面积公式：正方形面积=边长²，已知面积求边长，本质是求面积的正的平方根也就是算术平方根，因为边长为正数，所以直接对面积取算术平方根即可。
（2）已知算术平方根的值求未知数时，根据算术平方根的定义，可将等式两边平方去掉根号，转化为一元一次方程求解，最后验证被开方数非负保证结果有效。
【解析】
（1）设正方形桌布的边长为$a\ \mathrm{m}$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2=5$
因为边长为正数，所以$a$是5的算术平方根，即$a=\sqrt{5}$。
（2）已知$\sqrt{2x-1}=1$，等式两边同时平方得：
$2x-1=1^2=1$
移项计算：$2x=1+1=2$
系数化为1得：$x=1$
验证：当$x=1$时，$2x-1=2×1-1=1≥0$，符合算术平方根被开方数非负的要求，因此$x=1$是方程的解。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$；(2) $1$
【知识点】
1.算术平方根的定义 2.正方形面积计算 3.一元一次方程解法
【点评】
本题为算术平方根相关的基础习题，核心考查算术平方根的概念与运算性质，掌握平方运算和开平方运算的互逆关系、算术平方根的非负性即可快速解题。
【难度系数】
0.9
（1）求正方形边长时，首先回忆正方形面积公式：正方形面积=边长²，已知面积求边长，本质是求面积的正的平方根也就是算术平方根，因为边长为正数，所以直接对面积取算术平方根即可。
（2）已知算术平方根的值求未知数时，根据算术平方根的定义，可将等式两边平方去掉根号，转化为一元一次方程求解，最后验证被开方数非负保证结果有效。
【解析】
（1）设正方形桌布的边长为$a\ \mathrm{m}$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得：
$a^2=5$
因为边长为正数，所以$a$是5的算术平方根，即$a=\sqrt{5}$。
（2）已知$\sqrt{2x-1}=1$，等式两边同时平方得：
$2x-1=1^2=1$
移项计算：$2x=1+1=2$
系数化为1得：$x=1$
验证：当$x=1$时，$2x-1=2×1-1=1≥0$，符合算术平方根被开方数非负的要求，因此$x=1$是方程的解。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$；(2) $1$
【知识点】
1.算术平方根的定义 2.正方形面积计算 3.一元一次方程解法
【点评】
本题为算术平方根相关的基础习题，核心考查算术平方根的概念与运算性质，掌握平方运算和开平方运算的互逆关系、算术平方根的非负性即可快速解题。
【难度系数】
0.9
10（1）$\sqrt{81}$的算术平方根是
（2）$\sqrt{(-5)^2}$的算术平方根是
3
；（2）$\sqrt{(-5)^2}$的算术平方根是
$\sqrt{5}$
。答案
(1) 3 【解析】根据算术平方根的概念先求出$\sqrt{81}$的值为9，从而将本题转化为求9的算术平方根，因此结果为3.
(2) $\sqrt{5}$
(2) $\sqrt{5}$
解析
【分析】
这两道题属于嵌套型求算术平方根的问题，解题思路分为两步：第一步先化简题干中给出的带根号的式子，得到一个确定的数值；第二步再对这个化简后的数值求算术平方根。注意不能直接对最内层的被开方数求算术平方根，否则会出现计算错误。
【解析】
（1）先计算$\sqrt{81}$的值：
因为$9^2=81$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{81}=9$；
再求9的算术平方根：
因为$3^2=9$，且算术平方根为非负数，所以9的算术平方根是3。
（2）先化简$\sqrt{(-5)^2}$：
先计算乘方得$(-5)^2=25$，因此$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$；
再求5的算术平方根：
不存在整数的平方等于5，因此5的算术平方根为$\sqrt{5}$。
【答案】
（1）3；（2）$\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是算术平方根部分的常见易错题，重点考查对算术平方根概念的理解，解题时需注意先完成二次根式的化简，再针对化简结果求解算术平方根，避免直接对原被开方数计算导致出错。
【难度系数】
0.7
这两道题属于嵌套型求算术平方根的问题，解题思路分为两步：第一步先化简题干中给出的带根号的式子，得到一个确定的数值；第二步再对这个化简后的数值求算术平方根。注意不能直接对最内层的被开方数求算术平方根，否则会出现计算错误。
【解析】
（1）先计算$\sqrt{81}$的值：
因为$9^2=81$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{81}=9$；
再求9的算术平方根：
因为$3^2=9$，且算术平方根为非负数，所以9的算术平方根是3。
（2）先化简$\sqrt{(-5)^2}$：
先计算乘方得$(-5)^2=25$，因此$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$；
再求5的算术平方根：
不存在整数的平方等于5，因此5的算术平方根为$\sqrt{5}$。
【答案】
（1）3；（2）$\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是算术平方根部分的常见易错题，重点考查对算术平方根概念的理解，解题时需注意先完成二次根式的化简，再针对化简结果求解算术平方根，避免直接对原被开方数计算导致出错。
【难度系数】
0.7
11 计算：
(1) $\sqrt{\dfrac{49}{144}} × \sqrt{\dfrac{144}{9}}$；
(2) $\sqrt{0.09} - \sqrt{0.25}$；
(3) $-\sqrt{3\dfrac{1}{16}} + \sqrt{4}$。
(1) $\sqrt{\dfrac{49}{144}} × \sqrt{\dfrac{144}{9}}$；
(2) $\sqrt{0.09} - \sqrt{0.25}$；
(3) $-\sqrt{3\dfrac{1}{16}} + \sqrt{4}$。
答案
(1) $\dfrac{7}{3}$ (2) $-0.2$ (3) $\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
这三道题均考查算术平方根的相关运算，解题核心是先根据算术平方根的定义（非负数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，结果为非负数）求出每个根式的值，再按照四则运算规则计算即可。具体思路：(1)可利用二次根式乘法性质$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$）先合并再开方，也可分别开方后相乘；(2)分别求出两个小数的算术平方根后做减法；(3)先把带分数化为假分数，再求出各算术平方根，最后做加减运算。
【解析】
(1) 利用二次根式乘法性质计算：
原式$=\sqrt{\dfrac{49}{144} × \dfrac{144}{9}}=\sqrt{\dfrac{49}{9}}=\dfrac{7}{3}$
(2) 先求各数的算术平方根再做减法：
$\sqrt{0.09}=0.3$，$\sqrt{0.25}=0.5$
原式$=0.3-0.5=-0.2$
(3) 先将带分数化为假分数再计算：
$3\dfrac{1}{16}=\dfrac{49}{16}$，故$-\sqrt{3\dfrac{1}{16}}=-\sqrt{\dfrac{49}{16}}=-\dfrac{7}{4}$，$\sqrt{4}=2$
原式$=-\dfrac{7}{4}+2=-\dfrac{7}{4}+\dfrac{8}{4}=\dfrac{1}{4}$
【答案】
(1) $\dfrac{7}{3}$ (2) $-0.2$ (3) $\dfrac{1}{4}$
【知识点】
算术平方根计算；二次根式运算；实数四则运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题型，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义，注意计算带分数的算术平方根时要先转化为假分数，运算过程中注意符号，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
这三道题均考查算术平方根的相关运算，解题核心是先根据算术平方根的定义（非负数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，结果为非负数）求出每个根式的值，再按照四则运算规则计算即可。具体思路：(1)可利用二次根式乘法性质$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$）先合并再开方，也可分别开方后相乘；(2)分别求出两个小数的算术平方根后做减法；(3)先把带分数化为假分数，再求出各算术平方根，最后做加减运算。
【解析】
(1) 利用二次根式乘法性质计算：
原式$=\sqrt{\dfrac{49}{144} × \dfrac{144}{9}}=\sqrt{\dfrac{49}{9}}=\dfrac{7}{3}$
(2) 先求各数的算术平方根再做减法：
$\sqrt{0.09}=0.3$，$\sqrt{0.25}=0.5$
原式$=0.3-0.5=-0.2$
(3) 先将带分数化为假分数再计算：
$3\dfrac{1}{16}=\dfrac{49}{16}$，故$-\sqrt{3\dfrac{1}{16}}=-\sqrt{\dfrac{49}{16}}=-\dfrac{7}{4}$，$\sqrt{4}=2$
原式$=-\dfrac{7}{4}+2=-\dfrac{7}{4}+\dfrac{8}{4}=\dfrac{1}{4}$
【答案】
(1) $\dfrac{7}{3}$ (2) $-0.2$ (3) $\dfrac{1}{4}$
【知识点】
算术平方根计算；二次根式运算；实数四则运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题型，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义，注意计算带分数的算术平方根时要先转化为假分数，运算过程中注意符号，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
12 已知$2a - 7$的算术平方根是$5$，$2a + b - 1$的算术平方根是$4$，求$-\sqrt{a} + b$的值.
答案
$\because 2a - 7$的算术平方根是$5$，$2a + b - 1$的算术平方根是$4$，$\therefore 2a - 7 = 25, 2a + b - 1 = 16$，解得$a = 16$，$b = -15$，$\therefore -\sqrt{a} + b = -\sqrt{16} -15 = -4 -15 = -19$
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的定义：若一个非负数x的算术平方根为y，则满足$x=y^2$（$y≥0$）。第一步，根据“$2a - 7$的算术平方根是5”，可列等式求出a的值；第二步，将求出的a代入“$2a + b - 1$的算术平方根是4”对应的等式，求出b的值；第三步，把a、b的值代入待求式$-\sqrt{a} + b$中计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$2a - 7$的算术平方根是5，$2a + b - 1$的算术平方根是4，
根据算术平方根的定义可得：
$2a - 7 = 5^2 = 25$，
$2a + b - 1 = 4^2 = 16$，
先解方程$2a - 7 = 25$，移项得$2a = 25 + 7 = 32$，解得$a = 16$。
将$a = 16$代入$2a + b - 1 = 16$中，得$2×16 + b - 1 = 16$，
计算得$32 + b - 1 = 16$，即$31 + b = 16$，解得$b = -15$。
将$a=16$，$b=-15$代入$-\sqrt{a} + b$得：
$-\sqrt{16} + (-15) = -4 - 15 = -19$。
【答案】
$-19$
【知识点】
算术平方根的定义；一元一次方程的解法；代数式求值
【点评】
本题核心是对算术平方根定义的应用，解题的关键是明确算术平方根的平方等于对应的被开方数，据此列出方程求出未知参数的值，再代入代数式计算即可，解题过程中注意开方运算的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平方根的定义：若一个非负数x的算术平方根为y，则满足$x=y^2$（$y≥0$）。第一步，根据“$2a - 7$的算术平方根是5”，可列等式求出a的值；第二步，将求出的a代入“$2a + b - 1$的算术平方根是4”对应的等式，求出b的值；第三步，把a、b的值代入待求式$-\sqrt{a} + b$中计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$2a - 7$的算术平方根是5，$2a + b - 1$的算术平方根是4，
根据算术平方根的定义可得：
$2a - 7 = 5^2 = 25$，
$2a + b - 1 = 4^2 = 16$，
先解方程$2a - 7 = 25$，移项得$2a = 25 + 7 = 32$，解得$a = 16$。
将$a = 16$代入$2a + b - 1 = 16$中，得$2×16 + b - 1 = 16$，
计算得$32 + b - 1 = 16$，即$31 + b = 16$，解得$b = -15$。
将$a=16$，$b=-15$代入$-\sqrt{a} + b$得：
$-\sqrt{16} + (-15) = -4 - 15 = -19$。
【答案】
$-19$
【知识点】
算术平方根的定义；一元一次方程的解法；代数式求值
【点评】
本题核心是对算术平方根定义的应用，解题的关键是明确算术平方根的平方等于对应的被开方数，据此列出方程求出未知参数的值，再代入代数式计算即可，解题过程中注意开方运算的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
13 新考向 阅读理解题 [2024 沭阳期末]我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两相乘得到的乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如：－9，－4，－1这三个数，$\sqrt{(-9)×(-4)}=6$，$\sqrt{(-9)×(-1)}=3$，$\sqrt{(-4)×(-1)}=2$，其结果6，3，2都是整数，故－1，－4，－9这三个数称为“完美组合数”.
（1）－18，－8，－2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
（2）若三个数－3，m，－12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
（1）－18，－8，－2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
（2）若三个数－3，m，－12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
答案
(1) $-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”
理由：$\because \sqrt{(-18)×(-8)} = 12,\sqrt{(-18)×(-2)} = 6$，$\sqrt{(-8)×(-2)} = 4$，$\therefore -18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”.
(2) $\because \sqrt{(-3)×(-12)} = 6$，$\therefore$ 分两种情况讨论：① 当$\sqrt{-3m}=12$时，$-3m=144$，$\therefore m=-48$.
② 当$\sqrt{-12m}=12$时，$-12m=144$，$\therefore m=-12$(不符合题意，舍去).综上所述，$m$的值是$-48$
理由：$\because \sqrt{(-18)×(-8)} = 12,\sqrt{(-18)×(-2)} = 6$，$\sqrt{(-8)×(-2)} = 4$，$\therefore -18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”.
(2) $\because \sqrt{(-3)×(-12)} = 6$，$\therefore$ 分两种情况讨论：① 当$\sqrt{-3m}=12$时，$-3m=144$，$\therefore m=-48$.
② 当$\sqrt{-12m}=12$时，$-12m=144$，$\therefore m=-12$(不符合题意，舍去).综上所述，$m$的值是$-48$
解析
【分析】
（1）判断是否为“完美组合数”需紧扣定义：先计算三个负整数两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数，则符合要求。
（2）先计算已知的-3与-12乘积的算术平方根，可得结果为6≠12，因此算术平方根为12的情况只能是-3和m相乘、-12和m相乘两种，分情况列方程求解后，结合“三个数互不相等”的条件舍去不符合的解即可。
【解析】
（1）$-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”，理由如下：
$\because \sqrt{(-18)×(-8)} = \sqrt{144}=12$，$\sqrt{(-18)×(-2)} = \sqrt{36}=6$，$\sqrt{(-8)×(-2)} = \sqrt{16}=4$，三个结果均为整数，
$\therefore -18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”。
（2）先计算已知两个数乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)} = \sqrt{36}=6≠12$，因此分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{-3m}=12$时，两边平方得$-3m=144$，解得$m=-48$，此时三个数为-3、-48、-12，互不相等，符合题意；
② 当$\sqrt{-12m}=12$时，两边平方得$-12m=144$，解得$m=-12$，与给出的数-12重复，不符合“三个互不相等的负整数”的要求，舍去。
综上所述，$m$的值是$-48$。
【答案】
（1）是“完美组合数”；
（2）$m=-48$
【知识点】
算术平方根运算，新定义问题，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，重点考查对算术平方根概念的理解和计算能力，解题时要严格贴合题干给出的定义和限制条件，第二问注意不要漏分类，也不要忘记舍去不符合要求的增解。
【难度系数】
0.7
（1）判断是否为“完美组合数”需紧扣定义：先计算三个负整数两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数，则符合要求。
（2）先计算已知的-3与-12乘积的算术平方根，可得结果为6≠12，因此算术平方根为12的情况只能是-3和m相乘、-12和m相乘两种，分情况列方程求解后，结合“三个数互不相等”的条件舍去不符合的解即可。
【解析】
（1）$-18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”，理由如下：
$\because \sqrt{(-18)×(-8)} = \sqrt{144}=12$，$\sqrt{(-18)×(-2)} = \sqrt{36}=6$，$\sqrt{(-8)×(-2)} = \sqrt{16}=4$，三个结果均为整数，
$\therefore -18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”。
（2）先计算已知两个数乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)} = \sqrt{36}=6≠12$，因此分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{-3m}=12$时，两边平方得$-3m=144$，解得$m=-48$，此时三个数为-3、-48、-12，互不相等，符合题意；
② 当$\sqrt{-12m}=12$时，两边平方得$-12m=144$，解得$m=-12$，与给出的数-12重复，不符合“三个互不相等的负整数”的要求，舍去。
综上所述，$m$的值是$-48$。
【答案】
（1）是“完美组合数”；
（2）$m=-48$
【知识点】
算术平方根运算，新定义问题，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，重点考查对算术平方根概念的理解和计算能力，解题时要严格贴合题干给出的定义和限制条件，第二问注意不要漏分类，也不要忘记舍去不符合要求的增解。
【难度系数】
0.7
