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综合与实践 光的传播与最短路径
【背景材料】
我国西汉时期的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践.
【探究任务1】证明反射路径最短.
（1）如图①，直线AB代表平面镜，点C代表一实物，点D代表眼睛，作实物C关于平面镜AB的对称点$C'$，连接$C'D$，交平面镜AB于点E，连接CE，则CE为入射光线，ED为反射光线.求证：$CE+DE$最短.
证明：如图，在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点$E'$，连接$DE',CE',C'E'$.在$△ C'DE'$中，$C'E'+DE'＞C'D(\_\_\_\_\_\_)$.
∵ 实物C与点$C'$关于平面镜AB对称，
∴ AB垂直平分$CC'$，∴ $CE=\_\_\_\_\_\_,CE'=C'E'(\_\_\_\_\_\_)$.
∵ $C'D=C'E+DE,C'E'+DE'＞C'D$，
∴ $CE'+DE'＞CE+DE$，即$CE+DE$最短.
【探究任务2】确定挡板的反射范围.
（2）如图②，若从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板EF上，请确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q.
【探究任务3】计算最短.
（3）如图③，一面镜子OA斜固定在地面OB上，且$∠ AOB=60°$，点P为距离地面OB 8 cm的一个光源，光线射出后，经过镜面D处反射到地面点E.当光线经过的路径长最短为10 cm时，PD的长为________cm.
【背景材料】
我国西汉时期的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践.
【探究任务1】证明反射路径最短.
（1）如图①，直线AB代表平面镜，点C代表一实物，点D代表眼睛，作实物C关于平面镜AB的对称点$C'$，连接$C'D$，交平面镜AB于点E，连接CE，则CE为入射光线，ED为反射光线.求证：$CE+DE$最短.
证明：如图，在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点$E'$，连接$DE',CE',C'E'$.在$△ C'DE'$中，$C'E'+DE'＞C'D(\_\_\_\_\_\_)$.
∵ 实物C与点$C'$关于平面镜AB对称，
∴ AB垂直平分$CC'$，∴ $CE=\_\_\_\_\_\_,CE'=C'E'(\_\_\_\_\_\_)$.
∵ $C'D=C'E+DE,C'E'+DE'＞C'D$，
∴ $CE'+DE'＞CE+DE$，即$CE+DE$最短.
【探究任务2】确定挡板的反射范围.
（2）如图②，若从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板EF上，请确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q.
【探究任务3】计算最短.
（3）如图③，一面镜子OA斜固定在地面OB上，且$∠ AOB=60°$，点P为距离地面OB 8 cm的一个光源，光线射出后，经过镜面D处反射到地面点E.当光线经过的路径长最短为10 cm时，PD的长为________cm.
答案
(1) 三角形的任意两边之和大于第三边；$C'E$；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2) 作点A关于平面镜I的对称点$A'$,连接$A'B,A'C$并延长,分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求
(3) 4
【解析】如图②,过点P作OA的对称点$P'$,则$P'D=PD$.过点$P'$作$P'H⊥OB$于点H,交OA于点D,过点P作$PF⊥P'D$于点F,当点H与点E重合时,光线经过的路径$PD+DE$最短,即$P'E=P'D+DE=PD+DE=10\ \mathrm{cm}.\ \because PC=8\ \mathrm{cm},\therefore$ 易得$EF=PC=8\ \mathrm{cm},\therefore P'F=10-8=2(\mathrm{cm}).\ \because$ 光线射出后,经过镜面D处反射到地面点E,$\therefore$ 易知$∠ ADP=∠ ODE=90°-60°=30°$. 又$\because ∠ ADP'=∠ ODE=30°$,$\therefore ∠ PDP'=60°.\ \because P'D=PD,\therefore △ PDP'$是等边三角形.$\because PF⊥ P'D,\therefore P'F=DF=2\ \mathrm{cm},\therefore PD=P'D=4\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
（1）本问证明反射路径最短，解题思路是利用轴对称性质将CE转化为对称点到E的距离，把CE+DE转化为两点之间的线段长，再借助三角形三边关系，证明任意其他点对应的路径和都大于该线段长，即可完成证明。
（2）要确定反射光线在EF上的最高、最低点，根据平面镜反射规律，反射光线的反向延长线必然经过发光点的对称点，因此连接对称点与空隙的两个边界点B、C，延长后与EF的交点就是所求的最值点。
（3）求PD的长度时，先作P关于镜面OA的对称点，将路径PD+DE转化为对称点到E的距离，根据点到直线垂线段最短确定最短路径的位置，再结合已知的路径长、点P到地面的高度和60°角的条件，推导特殊三角形的性质即可计算出PD的长。
【解析】
（1）在$△ C'DE'$中，根据三角形的任意两边之和大于第三边，可得$C'E'+DE'＞C'D$。
∵ 点C和$C'$关于AB对称，
∴AB垂直平分线段$CC'$，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$CE=C'E$，$CE'=C'E'$。
代入$C'D=C'E+DE=CE+DE$，即可得$CE'+DE'＞CE+DE$，即$CE+DE$最短。
（2）第一步：作点A关于平面镜I的对称点$A'$；第二步：分别连接$A'C$、$A'B$并延长，两条延长线与EF的交点分别为P、Q，此时P就是反射光线在EF上的最高点，Q就是最低点。
（3）作点P关于OA的对称点$P'$，由轴对称性质得$P'D=PD$，因此路径长$PD+DE=P'D+DE$。根据点到直线的距离最短，当$P'H⊥OB$（此时H和E重合）时，路径长最短，即$P'E=10\ \mathrm{cm}$。
已知P到OB的距离$PC=8\ \mathrm{cm}$，过P作$PF⊥P'H$于点F，可得$EF=PC=8\ \mathrm{cm}$，因此$P'F=P'E-EF=10-8=2\ \mathrm{cm}$。
由反射规律得$∠ ADP=∠ ODE=90°-∠ AOB=30°$，又$∠ ADP'=∠ ADP=30°$，因此$∠ PDP'=60°$，结合$P'D=PD$，可知$△ PDP'$是等边三角形。
根据等边三角形三线合一的性质，$PF⊥P'D$则$P'F=DF=2\ \mathrm{cm}$，因此$PD=P'D=P'F+DF=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 三角形的任意两边之和大于第三边；$C'E$；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2) 作点A关于平面镜I的对称点$A'$,连接$A'B,A'C$并延长,分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求
(3) 4
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题结合光的反射的实际场景，将几何知识和生活应用相结合，考查了轴对称在最短路径问题中的使用，既需要学生熟练掌握对称、线段垂直平分线、等边三角形的相关性质，也能锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
（1）本问证明反射路径最短，解题思路是利用轴对称性质将CE转化为对称点到E的距离，把CE+DE转化为两点之间的线段长，再借助三角形三边关系，证明任意其他点对应的路径和都大于该线段长，即可完成证明。
（2）要确定反射光线在EF上的最高、最低点，根据平面镜反射规律，反射光线的反向延长线必然经过发光点的对称点，因此连接对称点与空隙的两个边界点B、C，延长后与EF的交点就是所求的最值点。
（3）求PD的长度时，先作P关于镜面OA的对称点，将路径PD+DE转化为对称点到E的距离，根据点到直线垂线段最短确定最短路径的位置，再结合已知的路径长、点P到地面的高度和60°角的条件，推导特殊三角形的性质即可计算出PD的长。
【解析】
（1）在$△ C'DE'$中，根据三角形的任意两边之和大于第三边，可得$C'E'+DE'＞C'D$。
∵ 点C和$C'$关于AB对称，
∴AB垂直平分线段$CC'$，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$CE=C'E$，$CE'=C'E'$。
代入$C'D=C'E+DE=CE+DE$，即可得$CE'+DE'＞CE+DE$，即$CE+DE$最短。
（2）第一步：作点A关于平面镜I的对称点$A'$；第二步：分别连接$A'C$、$A'B$并延长，两条延长线与EF的交点分别为P、Q，此时P就是反射光线在EF上的最高点，Q就是最低点。
（3）作点P关于OA的对称点$P'$，由轴对称性质得$P'D=PD$，因此路径长$PD+DE=P'D+DE$。根据点到直线的距离最短，当$P'H⊥OB$（此时H和E重合）时，路径长最短，即$P'E=10\ \mathrm{cm}$。
已知P到OB的距离$PC=8\ \mathrm{cm}$，过P作$PF⊥P'H$于点F，可得$EF=PC=8\ \mathrm{cm}$，因此$P'F=P'E-EF=10-8=2\ \mathrm{cm}$。
由反射规律得$∠ ADP=∠ ODE=90°-∠ AOB=30°$，又$∠ ADP'=∠ ADP=30°$，因此$∠ PDP'=60°$，结合$P'D=PD$，可知$△ PDP'$是等边三角形。
根据等边三角形三线合一的性质，$PF⊥P'D$则$P'F=DF=2\ \mathrm{cm}$，因此$PD=P'D=P'F+DF=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 三角形的任意两边之和大于第三边；$C'E$；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2) 作点A关于平面镜I的对称点$A'$,连接$A'B,A'C$并延长,分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求
(3) 4
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题结合光的反射的实际场景，将几何知识和生活应用相结合，考查了轴对称在最短路径问题中的使用，既需要学生熟练掌握对称、线段垂直平分线、等边三角形的相关性质，也能锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
