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8 如图,在$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$,交AC于点D,根据尺规作图的痕迹作射线AE,交BD于点I,连接CI,则下列说法错误的是 (
A.点I到边AB,AC的距离相等
B.CI平分$∠ ACB$
C.$∠ DIE=90°+\dfrac{1}{2}∠ ACB$
D.点I到A,B,C三点的距离相等
(第8题)
D
)A.点I到边AB,AC的距离相等
B.CI平分$∠ ACB$
C.$∠ DIE=90°+\dfrac{1}{2}∠ ACB$
D.点I到A,B,C三点的距离相等
(第8题)答案
8. D
解析
【分析】
首先根据尺规作图痕迹判断AE是∠BAC的角平分线，结合BD平分∠ABC，可得点I是△ABC的内心（三条内角平分线的交点），再结合角平分线的性质、内心的性质、三角形内角和定理逐一分析各选项，即可选出错误的结论。
【解析】
由尺规作图的痕迹可知，AE是∠BAC的角平分线，
∵BD平分∠ABC，AE平分∠BAC，两线交于点I，
∴点I是△ABC的内角平分线的交点，即△ABC的内心。
选项A：
∵I在∠BAC的角平分线上，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点I到AB、AC的距离相等，A说法正确，不符合题意；
选项B：三角形的内心是三条内角平分线的交点，因此CI平分∠ACB，B说法正确，不符合题意；
选项C：在△ABI中，∠IAB=½∠BAC，∠IBA=½∠ABC，
∴∠AIB=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-½(∠BAC+∠ABC)，
又
∵∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，代入得：
∠AIB=180°-½(180°-∠ACB)=90°+½∠ACB，
∵∠DIE与∠AIB是对顶角，
∴∠DIE=∠AIB=90°+½∠ACB，C说法正确，不符合题意；
选项D：点I是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，到三角形三个顶点距离相等的是三角形的外心（三边垂直平分线的交点），因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是先通过尺规作图痕迹识别角平分线，明确三角形内心的定义和性质，区分内心与外心的不同特点，结合角度推导即可判断各选项正误。
【难度系数】
0.7
首先根据尺规作图痕迹判断AE是∠BAC的角平分线，结合BD平分∠ABC，可得点I是△ABC的内心（三条内角平分线的交点），再结合角平分线的性质、内心的性质、三角形内角和定理逐一分析各选项，即可选出错误的结论。
【解析】
由尺规作图的痕迹可知，AE是∠BAC的角平分线，
∵BD平分∠ABC，AE平分∠BAC，两线交于点I，
∴点I是△ABC的内角平分线的交点，即△ABC的内心。
选项A：
∵I在∠BAC的角平分线上，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点I到AB、AC的距离相等，A说法正确，不符合题意；
选项B：三角形的内心是三条内角平分线的交点，因此CI平分∠ACB，B说法正确，不符合题意；
选项C：在△ABI中，∠IAB=½∠BAC，∠IBA=½∠ABC，
∴∠AIB=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-½(∠BAC+∠ABC)，
又
∵∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，代入得：
∠AIB=180°-½(180°-∠ACB)=90°+½∠ACB，
∵∠DIE与∠AIB是对顶角，
∴∠DIE=∠AIB=90°+½∠ACB，C说法正确，不符合题意；
选项D：点I是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，到三角形三个顶点距离相等的是三角形的外心（三边垂直平分线的交点），因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是先通过尺规作图痕迹识别角平分线，明确三角形内心的定义和性质，区分内心与外心的不同特点，结合角度推导即可判断各选项正误。
【难度系数】
0.7
9 [2025滨州]如图，$△ ABC$的两个外角的平分线$AD$，$CE$相交于点$O$，连接$BO$。若点$O$到$BC$的距离为$3.5$，$AB=4$，则$△ ABO$的面积为________。
答案
9. 7
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是△ABC两个外角平分线的交点，根据角平分线的性质可推出，点O到AB所在直线的距离等于点O到BC的距离，该距离就是△ABO中AB边上的高，最后代入三角形面积公式即可计算出结果。
【解析】
过点O作$OF⊥ AB$于点F，$OG⊥ BC$于点G。
∵ AD是△ABC的外角平分线，
∴ 点O到AB的距离等于点O到AC的距离；
∵ CE是△ABC的外角平分线，
∴ 点O到BC的距离等于点O到AC的距离；
∴ 点O到AB的距离 = 点O到BC的距离 = 3.5，即$OF=3.5$。
根据三角形面积公式，△ABO的底$AB=4$，AB边上的高$OF=3.5$，
则$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × OF = \frac{1}{2} × 4 × 3.5 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题侧重对角平分线性质的基础应用考查，解题的核心是明确三角形两个外角平分线的交点到三角形三边所在直线的距离相等，找到所求三角形对应边上的高即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是△ABC两个外角平分线的交点，根据角平分线的性质可推出，点O到AB所在直线的距离等于点O到BC的距离，该距离就是△ABO中AB边上的高，最后代入三角形面积公式即可计算出结果。
【解析】
过点O作$OF⊥ AB$于点F，$OG⊥ BC$于点G。
∵ AD是△ABC的外角平分线，
∴ 点O到AB的距离等于点O到AC的距离；
∵ CE是△ABC的外角平分线，
∴ 点O到BC的距离等于点O到AC的距离；
∴ 点O到AB的距离 = 点O到BC的距离 = 3.5，即$OF=3.5$。
根据三角形面积公式，△ABO的底$AB=4$，AB边上的高$OF=3.5$，
则$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × OF = \frac{1}{2} × 4 × 3.5 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题侧重对角平分线性质的基础应用考查，解题的核心是明确三角形两个外角平分线的交点到三角形三边所在直线的距离相等，找到所求三角形对应边上的高即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10如图，射线BG把$△ ABC$分成两个三角形，$AB=8$，$BC=12$，$S_{1}:S_{2}=2:3$.若$∠ A+∠ C=100°$，则$∠ ABG$的大小为________.
答案
10. $40°$
解析
【分析】
解题时首先从已知的∠A+∠C=100°入手，利用三角形内角和定理先求出∠ABC的度数。再观察S₁和S₂两个三角形，它们共顶点B，底边都在AC上，高相同，因此面积比等于对应底AG与GC的长度比。接着计算AB与BC的长度比，发现其与AG:GC相等，结合角平分线的判定定理可判断BG是∠ABC的角平分线，最后利用角平分线的性质即可求出∠ABG的度数。
【解析】
1. 求∠ABC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ ABC = 180° - (∠ A + ∠ C) = 180° - 100° = 80°$
2. 推导AG与GC的比例：
△ABG和△CBG的高相同（均为点B到AC的垂线段长度），因此面积比等于底边长的比，即
$S_1:S_2 = AG:GC = 2:3$
3. 判断BG为角平分线：
已知$AB=8$，$BC=12$，因此$AB:BC = 8:12 = 2:3$，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{AG}{GC}$。
根据三角形角平分线的判定定理，可知BG平分∠ABC。
4. 计算∠ABG：
$∠ ABG = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理，同高三角形面积性质，角平分线的判定
【点评】
本题将三角形面积、内角和、角平分线判定等知识点结合考查，解题的突破口是通过同高三角形的面积比得到边的比例关系，进而判断角平分线，难度适中，侧重对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先从已知的∠A+∠C=100°入手，利用三角形内角和定理先求出∠ABC的度数。再观察S₁和S₂两个三角形，它们共顶点B，底边都在AC上，高相同，因此面积比等于对应底AG与GC的长度比。接着计算AB与BC的长度比，发现其与AG:GC相等，结合角平分线的判定定理可判断BG是∠ABC的角平分线，最后利用角平分线的性质即可求出∠ABG的度数。
【解析】
1. 求∠ABC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ ABC = 180° - (∠ A + ∠ C) = 180° - 100° = 80°$
2. 推导AG与GC的比例：
△ABG和△CBG的高相同（均为点B到AC的垂线段长度），因此面积比等于底边长的比，即
$S_1:S_2 = AG:GC = 2:3$
3. 判断BG为角平分线：
已知$AB=8$，$BC=12$，因此$AB:BC = 8:12 = 2:3$，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{AG}{GC}$。
根据三角形角平分线的判定定理，可知BG平分∠ABC。
4. 计算∠ABG：
$∠ ABG = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理，同高三角形面积性质，角平分线的判定
【点评】
本题将三角形面积、内角和、角平分线判定等知识点结合考查，解题的突破口是通过同高三角形的面积比得到边的比例关系，进而判断角平分线，难度适中，侧重对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
11 如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,AC:BC=9:7.若BD=14,求AB的长.
答案
11. $\because CD$ 平分$∠ ACB,DE ⊥ AC,DF ⊥ BC,\therefore DE = DF.$ 设$△ ABC$ 中边 $AB$ 上的高为 $h.$ $\because AC : BC = 9 : 7,\therefore \dfrac{S_{△ ADC}}{S_{△ BCD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC · DE}{\dfrac{1}{2}BC · DF} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{9}{7}.$ 又$\because \dfrac{S_{△ ADC}}{S_{△ BCD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AD · h}{\dfrac{1}{2}BD · h} = \dfrac{AD}{BD},\therefore \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{9}{7}.$ $\because BD = 14,\therefore AD = \dfrac{9}{7} × 14 = 18,\therefore AB = AD + BD = 18 + 14 = 32$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先CD是∠ACB的角平分线，且DE⊥AC、DF⊥BC，根据角平分线的性质可直接得到DE=DF。要求AB的长度，已知BD的数值，只需算出AD的长度即可。我们可以通过△ADC和△BCD的面积比搭建等量关系：一方面两个三角形的面积可分别用底AC、BC和对应高DE、DF计算，结合AC:BC=9:7和DE=DF，可得到两个三角形的面积比；另一方面△ADC和△BCD以AD、BD为底时，高都是AB边上的高h，面积比等于底AD和BD的比，由此就能求出AD的长度，进而求出AB总长。
【解析】
∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设△ABC中AB边上的高为h。
∵ $AC:BC = 9:7$，
∴ $\dfrac{S_{△ ADC}}{S_{△ BCD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC · DE}{\dfrac{1}{2}BC · DF} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{9}{7}$。
又
∵ $\dfrac{S_{△ ADC}}{S_{△ BCD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AD · h}{\dfrac{1}{2}BD · h} = \dfrac{AD}{BD}$，
∴ $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{9}{7}$。
∵ BD = 14，
∴ $AD = \dfrac{9}{7} × 14 = 18$，
∴ $AB = AD + BD = 18 + 14 = 32$。
【答案】
32
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例的应用
【点评】
本题是角平分线性质的常规应用考题，解题核心是通过两种不同的三角形面积计算方式，将已知的边的比例转化为所求线段的比例，推导过程逻辑清晰，计算难度较低，需要熟练掌握角平分线的性质和三角形面积公式。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：首先CD是∠ACB的角平分线，且DE⊥AC、DF⊥BC，根据角平分线的性质可直接得到DE=DF。要求AB的长度，已知BD的数值，只需算出AD的长度即可。我们可以通过△ADC和△BCD的面积比搭建等量关系：一方面两个三角形的面积可分别用底AC、BC和对应高DE、DF计算，结合AC:BC=9:7和DE=DF，可得到两个三角形的面积比；另一方面△ADC和△BCD以AD、BD为底时，高都是AB边上的高h，面积比等于底AD和BD的比，由此就能求出AD的长度，进而求出AB总长。
【解析】
∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设△ABC中AB边上的高为h。
∵ $AC:BC = 9:7$，
∴ $\dfrac{S_{△ ADC}}{S_{△ BCD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC · DE}{\dfrac{1}{2}BC · DF} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{9}{7}$。
又
∵ $\dfrac{S_{△ ADC}}{S_{△ BCD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AD · h}{\dfrac{1}{2}BD · h} = \dfrac{AD}{BD}$，
∴ $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{9}{7}$。
∵ BD = 14，
∴ $AD = \dfrac{9}{7} × 14 = 18$，
∴ $AB = AD + BD = 18 + 14 = 32$。
【答案】
32
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例的应用
【点评】
本题是角平分线性质的常规应用考题，解题核心是通过两种不同的三角形面积计算方式，将已知的边的比例转化为所求线段的比例，推导过程逻辑清晰，计算难度较低，需要熟练掌握角平分线的性质和三角形面积公式。
【难度系数】
0.7
12 如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$∠ C=∠ E$,$BC=DE$,$CA=EA$,过点 A 作$AF⊥ DE$,垂足为 F,DE 交 CB 的延长线于点 G,连接 AG.
(1) 求证:GA 平分$∠ DGB$;
(2) 若$S_{四边形DGBA}=6$,$AF=\frac{3}{2}$,求 FG 的长.
(1) 求证:GA 平分$∠ DGB$;
(2) 若$S_{四边形DGBA}=6$,$AF=\frac{3}{2}$,求 FG 的长.
答案
12. (1) 过点 $A$ 作$AH ⊥ BC$ 于点 $H.$ 在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中,$\begin{cases}BC = DE,\\∠ C = ∠ E,\\CA = EA,\end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ ADE,\therefore S_{△ ABC} = S_{△ ADE},\therefore \dfrac{1}{2}BC · AH = \dfrac{1}{2}DE · AF,\therefore AH = AF.$ 又$\because AF ⊥ DE,AH ⊥ BC,\therefore GA$ 平分$∠ DGB$
(2) $\because △ ABC ≌ △ ADE,\therefore AB = AD.$ 在$\mathrm{Rt}△ ADF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABH$ 中,$\begin{cases}AD = AB,\\AF = AH,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADF ≌ \mathrm{Rt}△ ABH,\therefore S_{△ ADF} = S_{△ ABH},\therefore S_{\mathrm{四边形}DGBA} = S_{\mathrm{四边形}AFGH} = 6.$ 在 $\mathrm{Rt}△ AFG$ 和 $\mathrm{Rt}△ AHG$ 中,$\begin{cases}AG = AG,\\AF = AH,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt} △ AFG ≌ \mathrm{Rt} △ AHG, \therefore S_{△ AFG} = S_{△ AHG} = 3.$
$\because AF = \dfrac{3}{2},\therefore \dfrac{1}{2}FG · \dfrac{3}{2} = 3,\therefore FG = 4$
(2) $\because △ ABC ≌ △ ADE,\therefore AB = AD.$ 在$\mathrm{Rt}△ ADF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABH$ 中,$\begin{cases}AD = AB,\\AF = AH,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADF ≌ \mathrm{Rt}△ ABH,\therefore S_{△ ADF} = S_{△ ABH},\therefore S_{\mathrm{四边形}DGBA} = S_{\mathrm{四边形}AFGH} = 6.$ 在 $\mathrm{Rt}△ AFG$ 和 $\mathrm{Rt}△ AHG$ 中,$\begin{cases}AG = AG,\\AF = AH,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt} △ AFG ≌ \mathrm{Rt} △ AHG, \therefore S_{△ AFG} = S_{△ AHG} = 3.$
$\because AF = \dfrac{3}{2},\therefore \dfrac{1}{2}FG · \dfrac{3}{2} = 3,\therefore FG = 4$
解析
【分析】
(1) 要证明GA平分∠DGB，根据角平分线的判定定理，只需证明点A到∠DGB两边DE、BC的距离相等即可。首先利用已知的边角条件证明△ABC≌△ADE，得到两个三角形面积相等，结合底BC=DE，可推出两条高AF和AH（过A作AH⊥BC）相等，即可得证。
(2) 先利用全等三角形性质得AB=AD，通过HL证明Rt△ADF≌Rt△ABH，将四边形DGBA的面积转化为四边形AFGH的面积；再通过HL证明Rt△AFG≌Rt△AHG，得到△AFG的面积是四边形AFGH面积的一半，最后利用三角形面积公式即可求出FG的长度。
【解析】
(1) 过点$A$ 作$AH ⊥ BC$ 于点 $H.$
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中,
$\begin{cases}BC = DE,\\∠ C = ∠ E,\\CA = EA,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE(\mathrm{SAS}),\therefore S_{△ ABC} = S_{△ ADE},$
$\therefore \dfrac{1}{2}BC · AH = \dfrac{1}{2}DE · AF,$
又$\because BC=DE$，$\therefore AH = AF.$
又$\because AF ⊥ DE,AH ⊥ BC,$即点A到∠DGB两边的距离相等，
$\therefore GA$ 平分$∠ DGB$。
(2) $\because △ ABC ≌ △ ADE,\therefore AB = AD.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABH$ 中,
$\begin{cases}AD = AB,\\AF = AH,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF ≌ \mathrm{Rt}△ ABH(\mathrm{HL}),\therefore S_{△ ADF} = S_{△ ABH},$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}DGBA} = S_{\mathrm{四边形}AFGH} = 6.$
在 $\mathrm{Rt}△ AFG$ 和 $\mathrm{Rt}△ AHG$ 中,
$\begin{cases}AG = AG,\\AF = AH,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt} △ AFG ≌ \mathrm{Rt} △ AHG(\mathrm{HL}), \therefore S_{△ AFG} = S_{△ AHG} = 3.$
$\because AF = \dfrac{3}{2},$由三角形面积公式得$\dfrac{1}{2}FG · AF = 3$，
即$\dfrac{1}{2}FG · \dfrac{3}{2} = 3,\therefore FG = 4$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{FG=4}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定
3. 直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题综合考查了全等三角形的证明、角平分线的判定以及面积转化的思想，解题的关键是合理作出辅助线构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为规则图形的面积求解，需要熟练掌握全等三角形的各类判定定理。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明GA平分∠DGB，根据角平分线的判定定理，只需证明点A到∠DGB两边DE、BC的距离相等即可。首先利用已知的边角条件证明△ABC≌△ADE，得到两个三角形面积相等，结合底BC=DE，可推出两条高AF和AH（过A作AH⊥BC）相等，即可得证。
(2) 先利用全等三角形性质得AB=AD，通过HL证明Rt△ADF≌Rt△ABH，将四边形DGBA的面积转化为四边形AFGH的面积；再通过HL证明Rt△AFG≌Rt△AHG，得到△AFG的面积是四边形AFGH面积的一半，最后利用三角形面积公式即可求出FG的长度。
【解析】
(1) 过点$A$ 作$AH ⊥ BC$ 于点 $H.$
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中,
$\begin{cases}BC = DE,\\∠ C = ∠ E,\\CA = EA,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE(\mathrm{SAS}),\therefore S_{△ ABC} = S_{△ ADE},$
$\therefore \dfrac{1}{2}BC · AH = \dfrac{1}{2}DE · AF,$
又$\because BC=DE$，$\therefore AH = AF.$
又$\because AF ⊥ DE,AH ⊥ BC,$即点A到∠DGB两边的距离相等，
$\therefore GA$ 平分$∠ DGB$。
(2) $\because △ ABC ≌ △ ADE,\therefore AB = AD.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABH$ 中,
$\begin{cases}AD = AB,\\AF = AH,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF ≌ \mathrm{Rt}△ ABH(\mathrm{HL}),\therefore S_{△ ADF} = S_{△ ABH},$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}DGBA} = S_{\mathrm{四边形}AFGH} = 6.$
在 $\mathrm{Rt}△ AFG$ 和 $\mathrm{Rt}△ AHG$ 中,
$\begin{cases}AG = AG,\\AF = AH,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt} △ AFG ≌ \mathrm{Rt} △ AHG(\mathrm{HL}), \therefore S_{△ AFG} = S_{△ AHG} = 3.$
$\because AF = \dfrac{3}{2},$由三角形面积公式得$\dfrac{1}{2}FG · AF = 3$，
即$\dfrac{1}{2}FG · \dfrac{3}{2} = 3,\therefore FG = 4$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{FG=4}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定
3. 直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题综合考查了全等三角形的证明、角平分线的判定以及面积转化的思想，解题的关键是合理作出辅助线构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为规则图形的面积求解，需要熟练掌握全等三角形的各类判定定理。
【难度系数】
0.6
