1 [2025宿迁期末]已知等腰三角形的一内角等于$40°$，则它的顶角等于 （）

A.$40°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$40°$或$100°$

1. D

【分析】
要解决这道题，首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和固定为180°。题目仅给出一个内角为40°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，分别计算对应顶角的度数，再验证两种情况是否都符合三角形内角和要求，最终确定正确答案。
【解析】
我们分两种情况计算顶角的度数：
1. 若已知的40°角是等腰三角形的顶角：此时顶角直接为40°，满足三角形内角和要求，成立。
2. 若已知的40°角是等腰三角形的底角：根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为40°，则顶角的度数为 $180° - 40° × 2 = 100°$，也满足三角形内角和要求，成立。
因此该等腰三角形的顶角为40°或100°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础常考题，易错点是忽略题目未明确40°角的类型，漏算其中一种情况，解题时需注意分情况讨论后要验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7

2 新情境 生活实际 [2024绥化改编]某城市几条道路的位置关系如图所示，道路$AB// CD$，道路AB与AE交于点A，其夹角$∠ BAE=50°$，道路CD与AE交于点F。城市规划部门想新修一条道路CE，要求$CF=EF$，则$∠ E$的大小为 （）

A.$23°$
B.$25°$
C.$27°$
D.$30°$
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）

2. B

【分析】
解题时先从已知条件出发：①由AB//CD，可利用平行线的同位角相等性质求出∠DFE的度数；②由CF=EF可知△CFE是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠C=∠E；③再结合三角形外角的性质（外角等于和它不相邻的两个内角之和），即可建立等式求出∠E的大小。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠BAE=50°，
根据两直线平行，同位角相等，可得∠DFE=∠BAE=50°。
∵CF=EF，
∴△CFE为等腰三角形，根据等边对等角得∠C=∠E。
∵∠DFE是△CFE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠DFE=∠C+∠E=2∠E，
∴∠E=∠DFE÷2=50°÷2=25°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合城市道路规划的生活情境，考查几何基础性质的综合应用，解题的关键是找准平行线的同位角、等腰三角形的等角以及外角的数量关系，属于基础类考题，侧重对基础知识点的掌握情况的考查。
【难度系数】
0.8

3 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$延长线上的一点，$∠ ACD=110°$，则$∠ A$的大小为（）

A.$70°$
B.$55°$
C.$40°$
D.$35°$

3. C

【分析】
解题时首先观察图形，已知D在BC的延长线上，因此∠ACD与∠ACB是邻补角，可先求出∠ACB的度数；再结合AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠ACB；最后利用三角形内角和为180°即可计算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ ∠ACD与∠ACB是邻补角，∠ACD=110°
∴ ∠ACB=180°-∠ACD=180°-110°=70°
又
∵ AB=AC
∴ △ABC是等腰三角形，∠B=∠ACB=70°
根据三角形内角和定理，∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-70°=40°
【答案】
C
【知识点】
邻补角的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查等腰三角形等边对等角的性质，结合邻补角定义和三角形内角和定理即可求解，解题时注意区分等腰三角形的底角和顶角，避免混淆角度关系。
【难度系数】
0.8

4 [2024 宿城期末]如图，在$△ ABC$中，$AB=AD=CD$，且$∠ C=40°$，则$∠ BAD$的大小为。

4. $20°$

【分析】
看到题目中有多组边相等的条件，优先联想等腰三角形“等边对等角”的性质。解题可从已知角度的△ADC入手：首先利用AD=CD和已知∠C的度数，求出△ADC其余内角的度数，再得到邻补角∠ADB的大小；接着根据AB=AD得到△ABD的底角相等，最后结合三角形内角和定理即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵$AD=CD$，
∴$△ ADC$为等腰三角形，$∠ DAC=∠ C=40°$，
∴$∠ ADC=180°-∠ DAC-∠ C=180°-40°-40°=100°$。
∵点D在BC上，$∠ ADB$与$∠ ADC$为邻补角，
∴$∠ ADB=180°-∠ ADC=180°-100°=80°$。
又
∵$AB=AD$，
∴$△ ABD$为等腰三角形，$∠ B=∠ ADB=80°$，
在$△ ABD$中，$∠ BAD=180°-∠ B-∠ ADB=180°-80°-80°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查等腰三角形边角关系的应用，解题时只要顺着等边对等角的性质逐层推导角的数量关系，即可顺利算出结果。
【难度系数】
0.8

5 [2025泗洪期中]如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ C=50°$,$DE⊥ AC$于点$E$,$FD⊥ AB$于点$D$,则$∠ EDF$的大小是.

5. $65°$

【分析】
解题思路如下：①首先根据已知AC=BC判断△ABC是等腰三角形，结合顶角∠C的度数，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，计算出底角∠A的度数；②再根据DE⊥AC、FD⊥AB得到两个直角，利用同角的余角相等的性质，推导得出∠EDF与∠A相等，即可求出∠EDF的度数。
【解析】
解：
∵$AC=BC$，$∠C=50°$
∴$△ ABC$为等腰三角形，$∠ A = ∠ B = \frac{180° - ∠ C}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$
∵$DE ⊥ AC$
∴$∠ AED = 90°$，在$Rt△ AED$中，$∠ A + ∠ ADE = 90°$
∵$FD ⊥ AB$
∴$∠ ADF = 90°$，即$∠ ADE + ∠ EDF = 90°$
根据同角的余角相等，可得$∠ EDF = ∠ A = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，余角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是先利用等腰三角形性质求出底角的度数，再结合垂直关系找到角之间的互余关系，整体难度不大，侧重对基础性质的应用考察。
【难度系数】
0.8

6 [2025 南充]如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC.求证:
(1) $△ ABC ≌ △ AED$;
(2) $∠ BCD = ∠ EDC$.

6.（1）$\because ∠BAD=∠EAC,\therefore ∠BAD−∠CAD=∠EAC−∠CAD,\therefore ∠BAC=∠EAD$. 在$△ ABC$ 和$△ AED$ 中, $\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ AED$(SAS)
（2）$\because AC=AD,\therefore ∠ACD=∠ADC$.
$\because △ ABC≌△ AED,\therefore ∠ACB=∠ADE,\therefore ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC,\therefore ∠BCD=∠EDC$

【分析】
（1）要证明$△ ABC≌△ AED$，已知两组边相等$AB=AE$、$AC=AD$，只需证明两组边的夹角相等即可。结合已知$∠ BAD=∠ EAC$，两个角同时减去公共角$∠ CAD$，即可得到夹角$∠ BAC=∠ EAD$，满足SAS全等判定的条件。
（2）要证明$∠ BCD=∠ EDC$，首先由$AC=AD$，根据等腰三角形等边对等角可得$∠ ACD=∠ ADC$；再结合（1）中全等三角形的对应角相等，得到$∠ ACB=∠ ADE$，将两个等式左右分别相加，即可推导出待证的角相等。
【解析】
（1）$\because ∠BAD=∠EAC$，
$\therefore ∠BAD−∠CAD=∠EAC−∠CAD$，即$∠BAC=∠EAD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS})$。
（2）$\because AC=AD$，
$\therefore ∠ACD=∠ADC$。
$\because △ ABC≌△ AED$，
$\therefore ∠ACB=∠ADE$，
$\therefore ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC$，
即$∠BCD=∠EDC$。
【答案】
（1）$△ ABC≌△ AED$，证明成立；
（2）$∠ BCD=∠ EDC$，证明成立。
【知识点】
1. SAS判定全等
2. 全等三角形的性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是通过角的和差得到全等三角形的判定条件，再结合全等、等腰三角形的性质推导角的等量关系，掌握相关判定和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

7 [2025 扬州]在如图所示的房屋人字梁架中，AB=AC，点 D 在 BC 上，下列条件不能说明 AD⊥BC 的是（）

A.∠ADB=∠ADC
B.∠B=∠C
C.BD=CD
D.AD 平分∠BAC

7. B

【分析】
本题已知△ABC为等腰三角形（AB=AC），需判断四个选项中哪个条件无法推出AD⊥BC。解题思路为：结合等腰三角形的固有性质和“三线合一”定理，逐一分析各选项：首先等腰三角形本身就具备两底角相等的性质，若给出的条件是其固有属性，则无法额外推导AD与BC的垂直关系；其余选项可通过三线合一或平角性质判断是否能得到垂直结论。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，本身就具有∠B=∠C的性质，逐一分析选项：
选项A：∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，因此∠ADB=∠ADC=90°，可直接得出AD⊥BC，不符合题意；
选项B：∠B=∠C是等腰△ABC的固有性质，添加该条件无法得到AD与BC的位置关系，不能说明AD⊥BC，符合题意；
选项C：BD=CD，说明AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，不符合题意；
选项D：AD平分∠BAC，说明AD是等腰△ABC的顶角角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三线合一、垂直的判定
【点评】
本题核心考查等腰三角形三线合一的应用，解题时需注意区分等腰三角形的固有性质和额外添加的判定条件，避免误将本身就成立的性质当作有效判定条件。
【难度系数】
0.7