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8 [2025泗洪期中]“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成（如图②），两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动。若∠BDE=78°，则∠CDE的大小是（
A.$60°$
B.$76°$
C.$78°$
D.$84°$
B
）A.$60°$
B.$76°$
C.$78°$
D.$84°$
答案
8. B
解析
【分析】
已知OC=CD=DE，可知△OCD和△CDE都是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可设∠O的度数为x，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，用含x的式子表示出∠BDE，结合已知∠BDE=78°求出x的值，最后利用平角为180°的性质即可求出∠CDE的大小。
【解析】
解：
∵OC=CD=DE，
∴△OCD和△CDE均为等腰三角形，
∴∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC。
设∠O=x，则∠CDO=x，
由三角形外角的性质可得：∠DCE=∠O+∠CDO=2x，
∴∠DEC=∠DCE=2x。
同理，∠BDE是△ODE的外角，
∴∠BDE=∠O+∠DEC=x+2x=3x。
已知∠BDE=78°，
∴3x=78°，解得x=26°，即∠CDO=26°。
∵O、D、B三点共线，∠ODB为平角，
∴∠CDO+∠CDE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=180°-∠CDO-∠BDE=180°-26°-78°=76°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题以三等分角仪为背景，考查等腰三角形性质与角度计算的综合应用，解题的核心是通过等边对等角找到各角度之间的数量关系，通过设未知数快速求解。
【难度系数】
0.7
已知OC=CD=DE，可知△OCD和△CDE都是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可设∠O的度数为x，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，用含x的式子表示出∠BDE，结合已知∠BDE=78°求出x的值，最后利用平角为180°的性质即可求出∠CDE的大小。
【解析】
解：
∵OC=CD=DE，
∴△OCD和△CDE均为等腰三角形，
∴∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC。
设∠O=x，则∠CDO=x，
由三角形外角的性质可得：∠DCE=∠O+∠CDO=2x，
∴∠DEC=∠DCE=2x。
同理，∠BDE是△ODE的外角，
∴∠BDE=∠O+∠DEC=x+2x=3x。
已知∠BDE=78°，
∴3x=78°，解得x=26°，即∠CDO=26°。
∵O、D、B三点共线，∠ODB为平角，
∴∠CDO+∠CDE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=180°-∠CDO-∠BDE=180°-26°-78°=76°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题以三等分角仪为背景，考查等腰三角形性质与角度计算的综合应用，解题的核心是通过等边对等角找到各角度之间的数量关系，通过设未知数快速求解。
【难度系数】
0.7
9 [2024云南]已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高.若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为（
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$
C
）A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先明确△ABC是等腰三角形，BC为底边，AF是底边上的高，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AF同时是∠BAC的角平分线；再根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知点F到AB的距离，即可直接得出点F到AC的距离。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，AF是底边BC上的高，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，AF平分∠BAC，即AF是∠BAC的角平分线。
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，点F在∠BAC的角平分线AF上，且点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离等于点F到直线AB的距离，即为3。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题侧重考查基础几何性质的综合应用，解题的核心是通过等腰三角形底边上的高推导出其为顶角的角平分线，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手：首先明确△ABC是等腰三角形，BC为底边，AF是底边上的高，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AF同时是∠BAC的角平分线；再根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知点F到AB的距离，即可直接得出点F到AC的距离。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，AF是底边BC上的高，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，AF平分∠BAC，即AF是∠BAC的角平分线。
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，点F在∠BAC的角平分线AF上，且点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离等于点F到直线AB的距离，即为3。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题侧重考查基础几何性质的综合应用，解题的核心是通过等腰三角形底边上的高推导出其为顶角的角平分线，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
10 如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC，BC=BD，则∠ACB的大小为
$100°$
。答案
10. $100°$
解析
【分析】
首先根据题目给出的AE=AC、BC=BD两个条件，联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，可得到两组相等的角；再结合△DCE的内角和先求出∠CDE与∠CED的度数和，最后通过角的和差关系推导∠ACB与已知∠DCE的联系，进而求出∠ACB的大小。
【解析】
解：在△DCE中，已知∠DCE=40°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ CDE + ∠ CED = 180° - ∠ DCE = 180° - 40° = 140°$
∵ $AE=AC$，
∴ △ACE为等腰三角形，根据等边对等角得$∠ ACE = ∠ AEC = ∠ CED$
∵ $BC=BD$，
∴ △BCD为等腰三角形，根据等边对等角得$∠ BCD = ∠ BDC = ∠ CDE$
∴ $∠ ACE + ∠ BCD = ∠ CED + ∠ CDE = 140°$
又
∵ $∠ ACE + ∠ BCD = (∠ ACD + ∠ DCE) + (∠ BCE + ∠ DCE) = (∠ ACD + ∠ DCE + ∠ BCE) + ∠ DCE = ∠ ACB + ∠ DCE$
将$∠ DCE=40°$、$∠ ACE + ∠ BCD=140°$代入上式得：
$∠ ACB + 40° = 140°$
解得$∠ ACB = 140° - 40° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形内角和的综合应用题，解题核心是通过等量代换找到角之间的和差关系，建立已知角和待求角的联系。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的AE=AC、BC=BD两个条件，联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，可得到两组相等的角；再结合△DCE的内角和先求出∠CDE与∠CED的度数和，最后通过角的和差关系推导∠ACB与已知∠DCE的联系，进而求出∠ACB的大小。
【解析】
解：在△DCE中，已知∠DCE=40°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ CDE + ∠ CED = 180° - ∠ DCE = 180° - 40° = 140°$
∵ $AE=AC$，
∴ △ACE为等腰三角形，根据等边对等角得$∠ ACE = ∠ AEC = ∠ CED$
∵ $BC=BD$，
∴ △BCD为等腰三角形，根据等边对等角得$∠ BCD = ∠ BDC = ∠ CDE$
∴ $∠ ACE + ∠ BCD = ∠ CED + ∠ CDE = 140°$
又
∵ $∠ ACE + ∠ BCD = (∠ ACD + ∠ DCE) + (∠ BCE + ∠ DCE) = (∠ ACD + ∠ DCE + ∠ BCE) + ∠ DCE = ∠ ACB + ∠ DCE$
将$∠ DCE=40°$、$∠ ACE + ∠ BCD=140°$代入上式得：
$∠ ACB + 40° = 140°$
解得$∠ ACB = 140° - 40° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形内角和的综合应用题，解题核心是通过等量代换找到角之间的和差关系，建立已知角和待求角的联系。
【难度系数】
0.7
11（易错题）[2025 哈尔滨]在$△ ABC$中，$∠ A = 80°$，点$D$在射线$AB$上，$AD = AC$，连接$CD$，$∠ BCD = 10°$，则$∠ ABC$的大小为
$40°或60°$
。答案
11. $40°或60°$
解答本题时,需要分“点D在线段AB上”和“点D在线段AB的延长线上”两种情况讨论.
解答本题时,需要分“点D在线段AB上”和“点D在线段AB的延长线上”两种情况讨论.
解析
【分析】
本题中点D在射线AB上，需分点D在线段AB上、点D在线段AB的延长线上两种情况讨论。首先由AD=AC可得△ACD为等腰三角形，结合已知∠A=80°可求出等腰△ACD的底角度数，再结合∠BCD=10°求出△ABC中∠ACB的度数，最后利用三角形内角和定理即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
∵AD=AC，∠A=80°
∴∠ACD=∠ADC=(180°−∠A)÷2=(180°−80°)÷2=50°
∵∠BCD=10°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=50°+10°=60°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ABC=180°−∠A−∠ACB=180°−80°−60°=40°
② 当点D在线段AB的延长线上时：
∵AD=AC，∠A=80°
∴∠ACD=∠ADC=(180°−∠A)÷2=50°
∵∠BCD=10°
∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=50°−10°=40°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ABC=180°−∠A−∠ACB=180°−80°−40°=60°
综上，∠ABC的大小为40°或60°。
【答案】
40°或60°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略射线包含线段外的点的位置，出现漏解的情况；遇到几何题中无明确图形、出现射线等表述时，要注意考虑所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题中点D在射线AB上，需分点D在线段AB上、点D在线段AB的延长线上两种情况讨论。首先由AD=AC可得△ACD为等腰三角形，结合已知∠A=80°可求出等腰△ACD的底角度数，再结合∠BCD=10°求出△ABC中∠ACB的度数，最后利用三角形内角和定理即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
∵AD=AC，∠A=80°
∴∠ACD=∠ADC=(180°−∠A)÷2=(180°−80°)÷2=50°
∵∠BCD=10°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=50°+10°=60°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ABC=180°−∠A−∠ACB=180°−80°−60°=40°
② 当点D在线段AB的延长线上时：
∵AD=AC，∠A=80°
∴∠ACD=∠ADC=(180°−∠A)÷2=50°
∵∠BCD=10°
∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=50°−10°=40°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ABC=180°−∠A−∠ACB=180°−80°−40°=60°
综上，∠ABC的大小为40°或60°。
【答案】
40°或60°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略射线包含线段外的点的位置，出现漏解的情况；遇到几何题中无明确图形、出现射线等表述时，要注意考虑所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
12 [2025 河北]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上，∠BAF=∠EAD.
（1）求证：$△ ABC ≌ △ AFD$；
（2）若$BE=FE$，求证：$AC ⊥ BD$.
（1）求证：$△ ABC ≌ △ AFD$；
（2）若$BE=FE$，求证：$AC ⊥ BD$.
答案
12.（1）$\because ∠BAF=∠EAD,\therefore ∠BAF−∠CAF=∠EAD−∠CAF,\therefore ∠BAC=∠FAD$. 在$△ ABC$ 和$△ AFD$ 中, $\begin{cases} ∠BAC=∠FAD, \\ AC=AD, \\ ∠ACB=∠ADF, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ AFD$(ASA)
（2）由(1),得$△ ABC≌△ AFD,\therefore AB=AF$.
$\because BE=FE,\therefore AC⊥ BD$
（2）由(1),得$△ ABC≌△ AFD,\therefore AB=AF$.
$\because BE=FE,\therefore AC⊥ BD$
解析
【分析】
（1）要证明△ABC≌△AFD，已知AC=AD、∠ACB=∠ADB，还缺少一组对应角相等的条件。结合已知∠BAF=∠EAD，两个角同时减去公共角∠CAF，即可得到∠BAC=∠FAD，刚好满足ASA全等判定的条件，可完成全等证明。
（2）由（1）的全等结论可推出AB=AF，即△ABF是等腰三角形，已知BE=FE说明AE是等腰△ABF底边BF的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可直接得到AE⊥BD，即AC⊥BD。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠BAF=∠EAD$，
$\therefore ∠BAF−∠CAF=∠EAD−∠CAF$，即$∠BAC=∠FAD$。
在$△ ABC$ 和$△ AFD$ 中：
$\begin{cases} ∠BAC=∠FAD, \\ AC=AD, \\ ∠ACB=∠ADF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AFD(\mathrm{ASA})$。
（2）证明：
由（1）得$△ ABC≌△ AFD$，$\therefore AB=AF$，即△ABF为等腰三角形。
$\because BE=FE$，即AE是等腰△ABF底边BF上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，$AE⊥ BD$，
$\because$ 点E在AC上，$\therefore AC⊥ BD$。
【答案】
（1）$\because ∠BAF=∠EAD,\therefore ∠BAF−∠CAF=∠EAD−∠CAF,\therefore ∠BAC=∠FAD$. 在$△ ABC$ 和$△ AFD$ 中, $\begin{cases} ∠BAC=∠FAD, \\ AC=AD, \\ ∠ACB=∠ADF, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ AFD$(ASA)
（2）由(1),得$△ ABC≌△ AFD,\therefore AB=AF$.$\because BE=FE,\therefore AC⊥ BD$
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查全等三角形的判定和等腰三角形性质的应用，解题核心是通过角的和差推导全等所需的对应角相等，再结合等腰三角形三线合一的性质完成垂直证明，能有效训练基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABC≌△AFD，已知AC=AD、∠ACB=∠ADB，还缺少一组对应角相等的条件。结合已知∠BAF=∠EAD，两个角同时减去公共角∠CAF，即可得到∠BAC=∠FAD，刚好满足ASA全等判定的条件，可完成全等证明。
（2）由（1）的全等结论可推出AB=AF，即△ABF是等腰三角形，已知BE=FE说明AE是等腰△ABF底边BF的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可直接得到AE⊥BD，即AC⊥BD。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠BAF=∠EAD$，
$\therefore ∠BAF−∠CAF=∠EAD−∠CAF$，即$∠BAC=∠FAD$。
在$△ ABC$ 和$△ AFD$ 中：
$\begin{cases} ∠BAC=∠FAD, \\ AC=AD, \\ ∠ACB=∠ADF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AFD(\mathrm{ASA})$。
（2）证明：
由（1）得$△ ABC≌△ AFD$，$\therefore AB=AF$，即△ABF为等腰三角形。
$\because BE=FE$，即AE是等腰△ABF底边BF上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，$AE⊥ BD$，
$\because$ 点E在AC上，$\therefore AC⊥ BD$。
【答案】
（1）$\because ∠BAF=∠EAD,\therefore ∠BAF−∠CAF=∠EAD−∠CAF,\therefore ∠BAC=∠FAD$. 在$△ ABC$ 和$△ AFD$ 中, $\begin{cases} ∠BAC=∠FAD, \\ AC=AD, \\ ∠ACB=∠ADF, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ AFD$(ASA)
（2）由(1),得$△ ABC≌△ AFD,\therefore AB=AF$.$\because BE=FE,\therefore AC⊥ BD$
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查全等三角形的判定和等腰三角形性质的应用，解题核心是通过角的和差推导全等所需的对应角相等，再结合等腰三角形三线合一的性质完成垂直证明，能有效训练基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13 如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接FB，DE.求证：DE=FB.
答案
13. $\because △ ACD,△ BCE$分别是以AC,BC为底边的等腰三角形,$\therefore AD=CD,CE=EB,\therefore ∠A=∠DCA$.
$\because ∠A=∠CBE,\therefore ∠CBE=∠DCA,\therefore CD// BE$,
$\therefore ∠DCE=∠FEB. \because EF=AD,\therefore CD=EF$. 在$△ DCE$ 和$△ FEB$ 中, $\begin{cases} CD=EF, \\ ∠DCE=∠FEB, \\ CE=EB, \end{cases}$ $\therefore △ DCE≌△ FEB$(SAS),$\therefore DE=FB$
$\because ∠A=∠CBE,\therefore ∠CBE=∠DCA,\therefore CD// BE$,
$\therefore ∠DCE=∠FEB. \because EF=AD,\therefore CD=EF$. 在$△ DCE$ 和$△ FEB$ 中, $\begin{cases} CD=EF, \\ ∠DCE=∠FEB, \\ CE=EB, \end{cases}$ $\therefore △ DCE≌△ FEB$(SAS),$\therefore DE=FB$
解析
【分析】
要证明DE=FB，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先从已知的两个等腰三角形入手：等腰三角形两腰相等、底角相等，可先得到AD=CD、CE=EB、∠A=∠DCA；再结合已知∠A=∠CBE，可推出∠DCA=∠CBE，进而判定CD//BE，得到全等需要的一组等角∠DCE=∠FEB；再由EF=AD等量代换得到CD=EF，此时△DCE和△FEB满足两边及其夹角相等的全等判定条件，证明全等后即可得到对应边DE=FB。
【解析】
∵△ACD、△BCE分别是以AC、BC为底边的等腰三角形，
∴AD=CD，CE=EB，∠A=∠DCA，
∵∠A=∠CBE，
∴∠CBE=∠DCA，
∴CD//BE（同位角相等，两直线平行），
∴∠DCE=∠FEB（两直线平行，内错角相等），
∵EF=AD，AD=CD，
∴CD=EF，
在△DCE和△FEB中：
$\begin{cases} CD=EF, \\ ∠DCE=∠FEB, \\ CE=EB, \end{cases}$
∴△DCE≌△FEB（SAS），
∴DE=FB（全等三角形对应边相等）。
【答案】
DE=FB
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础的几何综合证明题，解题的关键是结合等腰三角形的性质、平行线的性质逐步推导，凑齐全等三角形的判定条件，通过全等三角形的性质得到待证的线段相等关系，解题时要注意梳理已知条件，逐步推导对应边角的等量关系。
【难度系数】
0.7
要证明DE=FB，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先从已知的两个等腰三角形入手：等腰三角形两腰相等、底角相等，可先得到AD=CD、CE=EB、∠A=∠DCA；再结合已知∠A=∠CBE，可推出∠DCA=∠CBE，进而判定CD//BE，得到全等需要的一组等角∠DCE=∠FEB；再由EF=AD等量代换得到CD=EF，此时△DCE和△FEB满足两边及其夹角相等的全等判定条件，证明全等后即可得到对应边DE=FB。
【解析】
∵△ACD、△BCE分别是以AC、BC为底边的等腰三角形，
∴AD=CD，CE=EB，∠A=∠DCA，
∵∠A=∠CBE，
∴∠CBE=∠DCA，
∴CD//BE（同位角相等，两直线平行），
∴∠DCE=∠FEB（两直线平行，内错角相等），
∵EF=AD，AD=CD，
∴CD=EF，
在△DCE和△FEB中：
$\begin{cases} CD=EF, \\ ∠DCE=∠FEB, \\ CE=EB, \end{cases}$
∴△DCE≌△FEB（SAS），
∴DE=FB（全等三角形对应边相等）。
【答案】
DE=FB
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础的几何综合证明题，解题的关键是结合等腰三角形的性质、平行线的性质逐步推导，凑齐全等三角形的判定条件，通过全等三角形的性质得到待证的线段相等关系，解题时要注意梳理已知条件，逐步推导对应边角的等量关系。
【难度系数】
0.7
