登录
1 [2025 沭阳段考]如图，AD 是 Rt△ABC 的角平分线，∠C=90°，DC=3，则点 D 到 AB 的距离为（
A.2
B.3
C.4
D.5
（第1题）
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
（第1题）答案
1. B
解析
【分析】
解题时先明确所求为点D到AB的距离，结合已知条件AD是角平分线、∠C=90°，联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先确定点D在∠BAC的角平分线上，点D到AC边的距离就是DC的长度（因为∠C=90°，DC⊥AC），那么点D到AB的距离就和DC长度相等，代入已知DC=3即可得到结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，线段DE的长度即为点D到AB的距离。
∵AD是Rt△ABC的角平分线，∠C=90°（即DC⊥AC），
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DC，
又
∵DC=3，
∴DE=3，即点D到AB的距离为3。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线性质的直接应用，解题关键是熟记角平分线的性质，无需复杂计算即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解题时先明确所求为点D到AB的距离，结合已知条件AD是角平分线、∠C=90°，联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先确定点D在∠BAC的角平分线上，点D到AC边的距离就是DC的长度（因为∠C=90°，DC⊥AC），那么点D到AB的距离就和DC长度相等，代入已知DC=3即可得到结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，线段DE的长度即为点D到AB的距离。
∵AD是Rt△ABC的角平分线，∠C=90°（即DC⊥AC），
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DC，
又
∵DC=3，
∴DE=3，即点D到AB的距离为3。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线性质的直接应用，解题关键是熟记角平分线的性质，无需复杂计算即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2如图，$∠ AOB=70°$，$QC⊥ OA$于点$C$，$QD⊥ OB$于点$D$。若$QC=QD$，则$∠ AOQ$的大小为
35°
。答案
2. 35°
解析
【分析】
首先观察已知条件：QC垂直于OA、QD垂直于OB，说明QC、QD是点Q到∠AOB两边的距离，又已知QC=QD，根据角平分线的判定定理，可推出OQ是∠AOB的角平分线，再根据角平分线的定义，∠AOQ等于∠AOB的一半，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
∵ QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD
∴ OQ平分∠AOB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
∴ $∠ AOQ = \frac{1}{2}∠ AOB$
又
∵ $∠ AOB=70°$
∴ $∠ AOQ = \frac{1}{2}×70° = 35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
角平分线的判定、角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线相关的基础题，核心考查角平分线判定定理的应用，只要熟练掌握“到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一结论，结合角平分线的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件：QC垂直于OA、QD垂直于OB，说明QC、QD是点Q到∠AOB两边的距离，又已知QC=QD，根据角平分线的判定定理，可推出OQ是∠AOB的角平分线，再根据角平分线的定义，∠AOQ等于∠AOB的一半，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
∵ QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD
∴ OQ平分∠AOB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
∴ $∠ AOQ = \frac{1}{2}∠ AOB$
又
∵ $∠ AOB=70°$
∴ $∠ AOQ = \frac{1}{2}×70° = 35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
角平分线的判定、角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线相关的基础题，核心考查角平分线判定定理的应用，只要熟练掌握“到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一结论，结合角平分线的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3在$△ ABC$中，$AD$为$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$于点$E$，$F$为$AC$上的一点，且$∠ DFA=100°$，则$DE$
＜
$DF$（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）。答案
3. ＜
解析
【分析】
解题时先结合已知的角平分线和DE⊥AB的条件，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们过D作AC的垂线段DG，可得到DE和DG相等；接下来比较DG和DF的大小，根据垂线段最短的性质，点到直线的所有连线中垂线段最短，可知作为垂线段的DG小于斜线段DF，进而就能得到DE和DF的大小关系。
【解析】
过点D作DG⊥AC于点G。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DG⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：DE = DG。
∵DG是点D到直线AC的垂线段，DF是点D到直线AC上点F的斜线段，
根据垂线段最短可知：DG ＜ DF，
∴DE = DG ＜ DF，故应填“＜”。
【答案】
＜
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题考查角平分线性质的基础应用，解题的关键是正确作出辅助线构造出角平分线上的点到角两边的距离，再结合垂线段的性质比较线段长度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的角平分线和DE⊥AB的条件，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们过D作AC的垂线段DG，可得到DE和DG相等；接下来比较DG和DF的大小，根据垂线段最短的性质，点到直线的所有连线中垂线段最短，可知作为垂线段的DG小于斜线段DF，进而就能得到DE和DF的大小关系。
【解析】
过点D作DG⊥AC于点G。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DG⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：DE = DG。
∵DG是点D到直线AC的垂线段，DF是点D到直线AC上点F的斜线段，
根据垂线段最短可知：DG ＜ DF，
∴DE = DG ＜ DF，故应填“＜”。
【答案】
＜
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题考查角平分线性质的基础应用，解题的关键是正确作出辅助线构造出角平分线上的点到角两边的距离，再结合垂线段的性质比较线段长度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
4在$△ ABC$中，$AB=4$，$AC=3$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，则$△ ABD$与$△ ACD$的面积之比为
4:3
。答案
4. 4:3
解析
【分析】
要计算△ABD与△ACD的面积之比，首先回忆三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$。观察两个三角形：它们的底边AB、AC分别是∠BAC的两边，且AD是角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB、AC的垂线段长度（即两个三角形对应底边上的高）相等。当高相等时，两个三角形的面积比就等于对应底边的长度之比，由此可推出结果。
【解析】
过点D作$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$于点F。
∵AD是△ABC的角平分线，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴根据角平分线的性质可得：$DE=DF$。
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}×AB×DE}{\frac{1}{2}×AC×DF}=\frac{AB}{AC}$。
又
∵$AB=4$，$AC=3$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{4}{3}$，即两个三角形的面积之比为$4:3$。
【答案】
$4:3$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过角平分线的性质得到两个三角形等高的关系，将面积比转化为对应底边的长度比，思路清晰难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算△ABD与△ACD的面积之比，首先回忆三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$。观察两个三角形：它们的底边AB、AC分别是∠BAC的两边，且AD是角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB、AC的垂线段长度（即两个三角形对应底边上的高）相等。当高相等时，两个三角形的面积比就等于对应底边的长度之比，由此可推出结果。
【解析】
过点D作$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$于点F。
∵AD是△ABC的角平分线，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴根据角平分线的性质可得：$DE=DF$。
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}×AB×DE}{\frac{1}{2}×AC×DF}=\frac{AB}{AC}$。
又
∵$AB=4$，$AC=3$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{4}{3}$，即两个三角形的面积之比为$4:3$。
【答案】
$4:3$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过角平分线的性质得到两个三角形等高的关系，将面积比转化为对应底边的长度比，思路清晰难度较低。
【难度系数】
0.8
5 [2025沭阳段考]如图，O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD=4.若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为
34
.答案
5. 34
解析
【分析】
首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知O是△ABC两条角平分线的交点，可知O到△ABC三边的距离都相等，都等于OD的长度4。求△ABC的面积时，可将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为4，底之和就是△ABC的周长，代入数值计算即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵O是△ABC两条角平分线的交点，OD⊥BC，OD=4，
∴根据角平分线的性质可得：OE=OD=4，OF=OD=4，即O到△ABC三边的距离均为4。
已知△ABC的周长为17，即AB+BC+AC=17，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF$
$=\frac{1}{2}×4× AB+\frac{1}{2}×4× BC+\frac{1}{2}×4× AC$
$=\frac{1}{2}×4×(AB+BC+AC)$
$=2×17=34$
【答案】
34
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题关键是掌握三角形角平分线交点（内心）到三边距离相等的性质，通过分割法将大三角形面积转化为三个小三角形面积之和，结合周长整体代入计算，巧妙运用整体思想简化运算。
【难度系数】
0.7
首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知O是△ABC两条角平分线的交点，可知O到△ABC三边的距离都相等，都等于OD的长度4。求△ABC的面积时，可将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为4，底之和就是△ABC的周长，代入数值计算即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵O是△ABC两条角平分线的交点，OD⊥BC，OD=4，
∴根据角平分线的性质可得：OE=OD=4，OF=OD=4，即O到△ABC三边的距离均为4。
已知△ABC的周长为17，即AB+BC+AC=17，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF$
$=\frac{1}{2}×4× AB+\frac{1}{2}×4× BC+\frac{1}{2}×4× AC$
$=\frac{1}{2}×4×(AB+BC+AC)$
$=2×17=34$
【答案】
34
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题关键是掌握三角形角平分线交点（内心）到三边距离相等的性质，通过分割法将大三角形面积转化为三个小三角形面积之和，结合周长整体代入计算，巧妙运用整体思想简化运算。
【难度系数】
0.7
6 如图，$CE ⊥ AB$ 于点 $E$，$BF ⊥ AC$ 于点 $F$，$CE$，$BF$ 相交于点 $D$，且 $BD=CD$. 求证：点 $D$ 在 $∠ BAC$ 的平分线上.
答案
6. $\because CE ⊥ AB,BF ⊥ AC,\therefore ∠ DEB = ∠ DFC = 90°.$
在 $△ DEB$ 和 $△ DFC$ 中, $\begin{cases}∠ DEB = ∠ DFC,\\∠ EDB = ∠ FDC,\\BD = CD,\end{cases}$
$\therefore △ DEB ≌ △ DFC(\mathrm{AAS}),\therefore DE = DF.$ 又$\because DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,\therefore$ 点 $D$ 在$∠ BAC$ 的平分线上
在 $△ DEB$ 和 $△ DFC$ 中, $\begin{cases}∠ DEB = ∠ DFC,\\∠ EDB = ∠ FDC,\\BD = CD,\end{cases}$
$\therefore △ DEB ≌ △ DFC(\mathrm{AAS}),\therefore DE = DF.$ 又$\because DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,\therefore$ 点 $D$ 在$∠ BAC$ 的平分线上
解析
【分析】
要证明点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的距离DE和DF相等。已知CE⊥AB、BF⊥AC，可得∠DEB与∠DFC均为直角，再结合已知BD=CD，以及对顶角∠EDB=∠FDC，可通过AAS判定△DEB和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等即可得到DE=DF，进而推出结论。
【解析】
$\because CE ⊥ AB,BF ⊥ AC,\therefore ∠ DEB = ∠ DFC = 90°.$
在 $△ DEB$ 和 $△ DFC$ 中,
$\begin{cases}∠ DEB = ∠ DFC,\\∠ EDB = ∠ FDC,\\BD = CD,\end{cases}$
$\therefore △ DEB ≌ △ DFC(\mathrm{AAS}),\therefore DE = DF.$
又$\because DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,\therefore$ 点 $D$ 在$∠ BAC$ 的平分线上。
【答案】
点$D$在$∠ BAC$的平分线上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础证明题，解题核心是先通过全等三角形得到点到角两边的垂线段相等，再结合角平分线的判定定理得出结论，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要证明点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的距离DE和DF相等。已知CE⊥AB、BF⊥AC，可得∠DEB与∠DFC均为直角，再结合已知BD=CD，以及对顶角∠EDB=∠FDC，可通过AAS判定△DEB和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等即可得到DE=DF，进而推出结论。
【解析】
$\because CE ⊥ AB,BF ⊥ AC,\therefore ∠ DEB = ∠ DFC = 90°.$
在 $△ DEB$ 和 $△ DFC$ 中,
$\begin{cases}∠ DEB = ∠ DFC,\\∠ EDB = ∠ FDC,\\BD = CD,\end{cases}$
$\therefore △ DEB ≌ △ DFC(\mathrm{AAS}),\therefore DE = DF.$
又$\because DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,\therefore$ 点 $D$ 在$∠ BAC$ 的平分线上。
【答案】
点$D$在$∠ BAC$的平分线上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础证明题，解题核心是先通过全等三角形得到点到角两边的垂线段相等，再结合角平分线的判定定理得出结论，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7 如图，OD平分∠AOB，OA=OB，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N。求证：PM=PN。
（第7题）
（第7题）答案
7. $\because OD$ 平分$∠ AOB,\therefore ∠ BOD = ∠ AOD.$ 在$△ BOD$和$△ AOD$ 中,$\begin{cases}OB = OA,\\∠ BOD = ∠ AOD,\\OD = OD,\end{cases}$ $\therefore △ BOD ≌ △ AOD(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ BDO = ∠ ADO,$ 即 $DP$ 平分$∠ BDA.$ 又$\because PM ⊥ BD,PN ⊥ AD,\therefore PM = PN$
解析
【分析】
要证明PM=PN，已知PM⊥BD、PN⊥AD，结合角平分线的性质可知，只需证明点P在∠BDA的角平分线上，即证∠BDO=∠ADO；要得到这组等角，可通过证明△BOD和△AOD全等来实现，已知OD平分∠AOB可得∠BOD=∠AOD，同时有OA=OB、公共边OD，满足SAS全等的判定条件，按此思路逐步推导即可得证。
【解析】
证明：
∵ OD平分∠AOB，
∴ ∠BOD = ∠AOD。
在$△ BOD$和$△ AOD$中，
$\begin{cases}OB = OA,\\∠BOD = ∠AOD,\\OD = OD,\end{cases}$
$\therefore △ BOD ≌ △ AOD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠BDO = ∠ADO$，即$DP$平分$∠BDA$。
又$\because PM ⊥ BD,PN ⊥ AD$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PM=PN$。
【答案】
$PM=PN$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，将全等三角形的判定、性质与角平分线的性质结合考查，解题的关键是先通过全等得到角相等，确定角平分线后即可利用性质得到线段相等，解题时要注意梳理条件与结论之间的逻辑关系。
【难度系数】
0.7
要证明PM=PN，已知PM⊥BD、PN⊥AD，结合角平分线的性质可知，只需证明点P在∠BDA的角平分线上，即证∠BDO=∠ADO；要得到这组等角，可通过证明△BOD和△AOD全等来实现，已知OD平分∠AOB可得∠BOD=∠AOD，同时有OA=OB、公共边OD，满足SAS全等的判定条件，按此思路逐步推导即可得证。
【解析】
证明：
∵ OD平分∠AOB，
∴ ∠BOD = ∠AOD。
在$△ BOD$和$△ AOD$中，
$\begin{cases}OB = OA,\\∠BOD = ∠AOD,\\OD = OD,\end{cases}$
$\therefore △ BOD ≌ △ AOD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠BDO = ∠ADO$，即$DP$平分$∠BDA$。
又$\because PM ⊥ BD,PN ⊥ AD$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PM=PN$。
【答案】
$PM=PN$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，将全等三角形的判定、性质与角平分线的性质结合考查，解题的关键是先通过全等得到角相等，确定角平分线后即可利用性质得到线段相等，解题时要注意梳理条件与结论之间的逻辑关系。
【难度系数】
0.7
