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7 分类讨论思想 在$△ ABC$中，$BC=10$，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且$DE=4$，则$AD+AE$的长为 （
A.6
B.10
C.6或14
D.6或10
C
）A.6
B.10
C.6或14
D.6或10
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先运用线段垂直平分线的性质，将AD、AE分别转化为相等的BD、CE，把求AD+AE的长度转化为求BD+CE的长度；再考虑D、E两点在BC上的位置存在两种不同情况，需分类计算避免漏解，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得：
$AD=BD$，$AE=CE$，因此$AD+AE=BD+CE$，分两种情况讨论：
情况1：点D在点E左侧
此时$BC=BD+DE+CE$，已知$BC=10$，$DE=4$
则$BD+CE=BC-DE=10-4=6$，即$AD+AE=6$
情况2：点D在点E右侧
此时$BC=BD+CE-DE$
则$BD+CE=BC+DE=10+4=14$，即$AD+AE=14$
综上，$AD+AE$的长为6或14，故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、分类讨论思想
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质做线段的等量转化，解题的易错点是容易忽略两个交点的位置有两种可能，导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先运用线段垂直平分线的性质，将AD、AE分别转化为相等的BD、CE，把求AD+AE的长度转化为求BD+CE的长度；再考虑D、E两点在BC上的位置存在两种不同情况，需分类计算避免漏解，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得：
$AD=BD$，$AE=CE$，因此$AD+AE=BD+CE$，分两种情况讨论：
情况1：点D在点E左侧
此时$BC=BD+DE+CE$，已知$BC=10$，$DE=4$
则$BD+CE=BC-DE=10-4=6$，即$AD+AE=6$
情况2：点D在点E右侧
此时$BC=BD+CE-DE$
则$BD+CE=BC+DE=10+4=14$，即$AD+AE=14$
综上，$AD+AE$的长为6或14，故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、分类讨论思想
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质做线段的等量转化，解题的易错点是容易忽略两个交点的位置有两种可能，导致漏解。
【难度系数】
0.7
8 整体思想 如图，∠AOB内有一点P，分别作出点P关于OA，OB的对称点$P_1$，$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN。当$P_1P_2=12\ \mathrm{cm}$时，$△ PMN$的周长为
12
cm。答案
8. 12
解析
【分析】
本题可利用轴对称与线段垂直平分线的性质，通过等量代换将△PMN的周长和已知长度的P₁P₂建立联系。首先明确：若两点关于某条直线对称，则该直线是这两点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们可以据此将PM转化为P₁M、PN转化为P₂N，再结合△PMN的周长组成，即可推导出其周长与P₁P₂长度相等。
【解析】
解：
∵点P与P₁关于OA对称，
∴OA是线段PP₁的垂直平分线，
∵点M在OA上，
∴PM = P₁M（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
同理，点P与P₂关于OB对称，OB是线段PP₂的垂直平分线，点N在OB上，
∴PN = P₂N。
△PMN的周长为：$PM + MN + PN$，
将$PM=P₁M$、$PN=P₂N$代入得：
$PM + MN + PN = P₁M + MN + P₂N = P₁P₂$，
已知$P₁P₂=12\ \mathrm{cm}$，因此△PMN的周长为12cm。
【答案】
12
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；周长计算
【点评】
本题是轴对称性质的典型应用题型，解题核心是通过等量代换将未知的三角形周长转化为已知线段的长度，很好地体现了整体转化的数学思想。
【难度系数】
0.8
本题可利用轴对称与线段垂直平分线的性质，通过等量代换将△PMN的周长和已知长度的P₁P₂建立联系。首先明确：若两点关于某条直线对称，则该直线是这两点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们可以据此将PM转化为P₁M、PN转化为P₂N，再结合△PMN的周长组成，即可推导出其周长与P₁P₂长度相等。
【解析】
解：
∵点P与P₁关于OA对称，
∴OA是线段PP₁的垂直平分线，
∵点M在OA上，
∴PM = P₁M（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
同理，点P与P₂关于OB对称，OB是线段PP₂的垂直平分线，点N在OB上，
∴PN = P₂N。
△PMN的周长为：$PM + MN + PN$，
将$PM=P₁M$、$PN=P₂N$代入得：
$PM + MN + PN = P₁M + MN + P₂N = P₁P₂$，
已知$P₁P₂=12\ \mathrm{cm}$，因此△PMN的周长为12cm。
【答案】
12
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；周长计算
【点评】
本题是轴对称性质的典型应用题型，解题核心是通过等量代换将未知的三角形周长转化为已知线段的长度，很好地体现了整体转化的数学思想。
【难度系数】
0.8
9 在$△ ABC$中，$∠ A=90°$.若BD是$△ ABC$的角平分线，且ED是BC的垂直平分线，垂足为E，则$∠ ABD$的大小为
30°
.答案
9. $30°$ 【解析】如图,$\because ED$ 是 $BC$ 的垂直平分线，
$\therefore CE = BE$，$∠ CED = ∠ BED = 90°$. 在 $△ CDE$ 和
$△ BDE$ 中,$\begin{cases} CE=BE, \\ ∠ CED=∠ BED, \\ DE=DE, \end{cases}$ $\therefore △ CDE ≌ △ BDE$
(SAS),$\therefore ∠ C=∠ DBE$. $\because BD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线,$\therefore ∠ DBE=∠ ABD$,$\therefore ∠ C=∠ DBE=∠ ABD$.
$\because ∠ A = 90°$, $\therefore ∠ C + ∠ DBE + ∠ ABD = 90°$,
$\therefore ∠ ABD=30°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先看到ED是BC的垂直平分线，可借助垂直平分线的性质得到边和直角相等，通过证明三角形全等推导出∠C和∠DBE相等；再结合BD是角平分线的条件，得到∠DBE和∠ABD相等，由此得出三个角∠C、∠DBE、∠ABD相等；最后利用△ABC是直角三角形，两个锐角和为90°，代入等量关系即可求出∠ABD的度数。
【解析】
$\because ED$是$BC$的垂直平分线，
$\therefore CE = BE$，$∠ CED = ∠ BED = 90°$.
在$△ CDE$和$△ BDE$中,
$\begin{cases} CE=BE, \\ ∠ CED=∠ BED, \\ DE=DE, \end{cases}$
$\therefore △ CDE ≌ △ BDE$（SAS）,
$\therefore ∠ C=∠ DBE$.
$\because BD$是$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ DBE=∠ ABD$,
$\therefore ∠ C=∠ DBE=∠ ABD$.
$\because ∠ A = 90°$,
$\therefore ∠ C + ∠ DBE + ∠ ABD = 90°$,
$\therefore 3∠ABD=90°$, 即$∠ABD=30°$.
【答案】
$30°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础的几何计算题，核心是梳理清楚不同条件对应的角等量关系，结合直角三角形的内角性质即可求解，解题时要注意不要漏找角的相等关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发：首先看到ED是BC的垂直平分线，可借助垂直平分线的性质得到边和直角相等，通过证明三角形全等推导出∠C和∠DBE相等；再结合BD是角平分线的条件，得到∠DBE和∠ABD相等，由此得出三个角∠C、∠DBE、∠ABD相等；最后利用△ABC是直角三角形，两个锐角和为90°，代入等量关系即可求出∠ABD的度数。
【解析】
$\because ED$是$BC$的垂直平分线，
$\therefore CE = BE$，$∠ CED = ∠ BED = 90°$.
在$△ CDE$和$△ BDE$中,
$\begin{cases} CE=BE, \\ ∠ CED=∠ BED, \\ DE=DE, \end{cases}$
$\therefore △ CDE ≌ △ BDE$（SAS）,
$\therefore ∠ C=∠ DBE$.
$\because BD$是$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ DBE=∠ ABD$,
$\therefore ∠ C=∠ DBE=∠ ABD$.
$\because ∠ A = 90°$,
$\therefore ∠ C + ∠ DBE + ∠ ABD = 90°$,
$\therefore 3∠ABD=90°$, 即$∠ABD=30°$.
【答案】
$30°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础的几何计算题，核心是梳理清楚不同条件对应的角等量关系，结合直角三角形的内角性质即可求解，解题时要注意不要漏找角的相等关系。
【难度系数】
0.7
10 新情境 生活实际 为了推进农村新型合作医疗改革，某镇准备新建一个医疗点P，使点P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A村、B村、C村不在同一条直线上，地理位置如图所示).请你用尺规作图的方法确定点P的位置(不写作法，保留作图痕迹).
答案
10. 如图,点 P 即为所求
解析
【分析】
要找到到A、B、C三个村距离都相等的点P，可依据线段垂直平分线的相关性质推导：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。因此到A、B距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到B、C（或A、C）距离相等的点都在BC（或AC）的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点同时满足到三个点距离相等，即为所求的点P。
【解析】
任选A、B、C三点连接得到的两条线段，分别作这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是点P，作图时保留尺规作垂直平分线的圆弧痕迹即可，最终得到的点P满足到A、B、C三村的距离相等。
【答案】
如图,点 P 即为所求
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题结合农村医疗点选址的生活情境，考查了线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是理解到两点距离相等的点的轨迹是对应线段的垂直平分线，熟练掌握尺规作线段垂直平分线的操作方法即可解决问题。
【难度系数】
0.8
要找到到A、B、C三个村距离都相等的点P，可依据线段垂直平分线的相关性质推导：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。因此到A、B距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到B、C（或A、C）距离相等的点都在BC（或AC）的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点同时满足到三个点距离相等，即为所求的点P。
【解析】
任选A、B、C三点连接得到的两条线段，分别作这两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是点P，作图时保留尺规作垂直平分线的圆弧痕迹即可，最终得到的点P满足到A、B、C三村的距离相等。
【答案】
如图,点 P 即为所求
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题结合农村医疗点选址的生活情境，考查了线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是理解到两点距离相等的点的轨迹是对应线段的垂直平分线，熟练掌握尺规作线段垂直平分线的操作方法即可解决问题。
【难度系数】
0.8
11 [2025 泗阳段考]如图,在$△ ABC$中,边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,MD,NE的延长线交于点O,连接AD,AE.
（1）若$BC=12$,求$△ ADE$的周长；
（2）判断点O是否在BC的垂直平分线上,并说明理由.
（1）若$BC=12$,求$△ ADE$的周长；
（2）判断点O是否在BC的垂直平分线上,并说明理由.
答案
11. (1) $\because AB,AC$ 的垂直平分线分别交 $BC$ 于点 $D$,
$E$,$\therefore AD=BD$,$AE=CE$,$\therefore AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=12$,$\therefore △ ADE$ 的周长为 12
(2) 点 $O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上 理由:如图,连接 $AO$,$BO$,$CO$.
$\because OM$,$ON$ 分别是 $AB$,$AC$ 的垂直平分线,$\therefore OA=OB$,$OA=OC$,$\therefore OB=OC$,$\therefore$ 点 $O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上.
解析
【分析】
（1）要求△ADE的周长，首先明确周长公式为AD+DE+AE，结合已知BC的长度，需将AD、AE转化为BC边上的线段。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得D在AB的垂直平分线上，故AD=BD；E在AC的垂直平分线上，故AE=CE，将其代入周长公式即可转化为BC的长度，直接计算即可。
（2）要判断点O是否在BC的垂直平分线上，依据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此只需证明OB=OC。连接AO、BO、CO，利用O在AB、AC的垂直平分线上，可得OA=OB、OA=OC，等量代换得OB=OC，即可证明结论。
【解析】
（1）
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，
已知BC=12，
∴△ADE的周长为12。
（2）点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
连接AO，BO，CO。
∵OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线，
∴根据线段垂直平分线的性质，得OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，
根据线段垂直平分线的判定，可得点O在BC的垂直平分线上。
【答案】
(1) $\because AB,AC$ 的垂直平分线分别交 $BC$ 于点 $D$,
$E$,$\therefore AD=BD$,$AE=CE$,$\therefore AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=12$,$\therefore △ ADE$ 的周长为 12
(2) 点 $O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上 理由:如图,连接 $AO$,$BO$,$CO$.
$\because OM$,$ON$ 分别是 $AB$,$AC$ 的垂直平分线,$\therefore OA=OB$,$OA=OC$,$\therefore OB=OC$,$\therefore$ 点 $O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；等量代换
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线相关定理的应用，第一问通过垂直平分线的性质实现线段的等量转化，可快速求出三角形周长；第二问通过构造辅助线，结合性质和判定定理即可完成证明，解题的核心是熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定，灵活进行线段关系的转化。
【难度系数】
0.8
（1）要求△ADE的周长，首先明确周长公式为AD+DE+AE，结合已知BC的长度，需将AD、AE转化为BC边上的线段。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得D在AB的垂直平分线上，故AD=BD；E在AC的垂直平分线上，故AE=CE，将其代入周长公式即可转化为BC的长度，直接计算即可。
（2）要判断点O是否在BC的垂直平分线上，依据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此只需证明OB=OC。连接AO、BO、CO，利用O在AB、AC的垂直平分线上，可得OA=OB、OA=OC，等量代换得OB=OC，即可证明结论。
【解析】
（1）
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，
已知BC=12，
∴△ADE的周长为12。
（2）点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
连接AO，BO，CO。
∵OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线，
∴根据线段垂直平分线的性质，得OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，
根据线段垂直平分线的判定，可得点O在BC的垂直平分线上。
【答案】
(1) $\because AB,AC$ 的垂直平分线分别交 $BC$ 于点 $D$,
$E$,$\therefore AD=BD$,$AE=CE$,$\therefore AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=12$,$\therefore △ ADE$ 的周长为 12
(2) 点 $O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上 理由:如图,连接 $AO$,$BO$,$CO$.
$\because OM$,$ON$ 分别是 $AB$,$AC$ 的垂直平分线,$\therefore OA=OB$,$OA=OC$,$\therefore OB=OC$,$\therefore$ 点 $O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；等量代换
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线相关定理的应用，第一问通过垂直平分线的性质实现线段的等量转化，可快速求出三角形周长；第二问通过构造辅助线，结合性质和判定定理即可完成证明，解题的核心是熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定，灵活进行线段关系的转化。
【难度系数】
0.8
12 如图，AB=CD，AC，BD 的垂直平分线 EM，EN 相交于点 E，连接 BE，DE，BC。求证：∠ABE=∠CDE。
答案
12. 如图,连接 $AE$,$CE$. $\because AC$,$BD$ 的垂直平分线 $EM$,
$EN$ 相交于点 $E$,$\therefore AE=CE$,$BE=DE$. 在 $△ ABE$ 和
$△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=DE, \\ AE=CE, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CDE$（SSS）,
$\therefore ∠ ABE=∠ CDE$
解析
【分析】要证明∠ABE=∠CDE，可通过证明两个角所在的三角形全等得到结论。首先观察图形，题中给出了AC、BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此可连接AE、CE，得到AE=CE、BE=DE，再结合已知条件AB=CD，即可通过SSS判定△ABE和△CDE全等，进而得到对应角相等。
【解析】
证明：连接$AE$,$CE$.
$\because AC$,$BD$ 的垂直平分线 $EM$,$EN$ 相交于点$E$,
$\therefore$ 根据线段垂直平分线的性质，可得 $AE=CE$,$BE=DE$.
在 $△ ABE$ 和 $△ CDE$ 中,
$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=DE, \\ AE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDE$（SSS）,
$\therefore$ 根据全等三角形的对应角相等，可得$∠ABE=∠CDE$.
【答案】
如图,连接 $AE$,$CE$. $\because AC$,$BD$ 的垂直平分线 $EM$,
$EN$ 相交于点 $E$,$\therefore AE=CE$,$BE=DE$. 在 $△ ABE$ 和
$△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=DE, \\ AE=CE, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CDE$（SSS）,
$\therefore ∠ABE=∠CDE$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 全等三角形SSS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合垂直平分线的性质添加合适的辅助线构造全等三角形，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
【解析】
证明：连接$AE$,$CE$.
$\because AC$,$BD$ 的垂直平分线 $EM$,$EN$ 相交于点$E$,
$\therefore$ 根据线段垂直平分线的性质，可得 $AE=CE$,$BE=DE$.
在 $△ ABE$ 和 $△ CDE$ 中,
$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=DE, \\ AE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDE$（SSS）,
$\therefore$ 根据全等三角形的对应角相等，可得$∠ABE=∠CDE$.
【答案】
如图,连接 $AE$,$CE$. $\because AC$,$BD$ 的垂直平分线 $EM$,
$EN$ 相交于点 $E$,$\therefore AE=CE$,$BE=DE$. 在 $△ ABE$ 和
$△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=DE, \\ AE=CE, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CDE$（SSS）,
$\therefore ∠ABE=∠CDE$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 全等三角形SSS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合垂直平分线的性质添加合适的辅助线构造全等三角形，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
