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6 如图，点B，C，E在同一条直线上，AC//DE，BC＝DE，∠ACD＝∠B.若AC＝0.8 cm，则CE＝
0.8
cm.答案
6. 0.8 【解析】
∵ AC // DE ,
∴ ∠ACD = ∠D，∠E=∠BCA. 又
∵ ∠ACD = ∠B ,
∴ ∠D = ∠B. 在△DCE 和 △BAC 中，
$\begin{cases}∠D=∠B,\\DE=BC,\\∠E=∠BCA,\end{cases}$
∴ △DCE ≌ △BAC(ASA),
∴ CE=AC=0.8 cm.
∵ AC // DE ,
∴ ∠ACD = ∠D，∠E=∠BCA. 又
∵ ∠ACD = ∠B ,
∴ ∠D = ∠B. 在△DCE 和 △BAC 中，
$\begin{cases}∠D=∠B,\\DE=BC,\\∠E=∠BCA,\end{cases}$
∴ △DCE ≌ △BAC(ASA),
∴ CE=AC=0.8 cm.
解析
【分析】
要求CE的长度，已知AC的长度，可通过证明CE与AC所在的三角形全等得到二者的等量关系。首先利用平行线的性质推导角的关系，结合已知∠ACD=∠B进行等量代换，再结合给出的边相等的条件，判断是否满足全等三角形的判定定理，证明全等后根据对应边相等即可求出CE的长度。
【解析】
∵ AC // DE ,
∴ ∠ACD = ∠D（两直线平行，内错角相等），∠E=∠BCA（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠ACD = ∠B ,
∴ ∠D = ∠B（等量代换）。
在△DCE 和 △BAC 中，
$\begin{cases}∠D=∠B,\\DE=BC,\\∠E=∠BCA,\end{cases}$
∴ △DCE ≌ △BAC(ASA),
∴ CE=AC=0.8 cm。
【答案】
0.8
【知识点】
平行线的性质；ASA判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，解题的关键是借助平行线的性质完成角的等量转化，进而证明三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质求解线段长度，掌握全等三角形的判定方法和性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
要求CE的长度，已知AC的长度，可通过证明CE与AC所在的三角形全等得到二者的等量关系。首先利用平行线的性质推导角的关系，结合已知∠ACD=∠B进行等量代换，再结合给出的边相等的条件，判断是否满足全等三角形的判定定理，证明全等后根据对应边相等即可求出CE的长度。
【解析】
∵ AC // DE ,
∴ ∠ACD = ∠D（两直线平行，内错角相等），∠E=∠BCA（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠ACD = ∠B ,
∴ ∠D = ∠B（等量代换）。
在△DCE 和 △BAC 中，
$\begin{cases}∠D=∠B,\\DE=BC,\\∠E=∠BCA,\end{cases}$
∴ △DCE ≌ △BAC(ASA),
∴ CE=AC=0.8 cm。
【答案】
0.8
【知识点】
平行线的性质；ASA判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，解题的关键是借助平行线的性质完成角的等量转化，进而证明三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质求解线段长度，掌握全等三角形的判定方法和性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
7 新考向 探究题 如图，CE，BD交于点O，AO平分∠BAC，∠AOD=∠AOE，图中的全等三角形共有
4
对，它们分别是△AOD≌△AOE,△DOC≌△EOB,△AOC≌△AOB,△ACE≌△ABD
.答案
7. 4 △AOD≌△AOE,△DOC≌△EOB,△AOC≌△AOB,△ACE≌△ABD
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AO平分∠BAC可得∠OAD=∠OAE，结合已知∠AOD=∠AOE和公共边AO，可先证出最直观的△AOD≌△AOE，得到对应边、对应角相等的结论；再用该结论结合对顶角相等、补角的性质证△DOC≌△EOB，得到新的相等边角；接着通过线段和的关系推出AC=AB，结合角平分线条件证△AOC≌△AOB；最后利用公共角和已得的等边，证△ACE≌△ABD，统计总对数即可。
【解析】
1. 证明$\boldsymbol{△ AOD ≌ △ AOE}$：
∵AO平分∠BAC，
∴∠OAD=∠OAE，
在△AOD和△AOE中：
$\begin{cases}∠ OAD=∠ OAE \\AO=AO\quad(\mathrm{公共边}) \\∠ AOD=∠ AOE\quad(\mathrm{已知})\end{cases}$
∴△AOD≌△AOE（ASA），得AD=AE，OD=OE，∠ADO=∠AEO。
2. 证明$\boldsymbol{△ DOC ≌ △ EOB}$：
∵∠DOC和∠EOB是对顶角，
∴∠DOC=∠EOB，
又
∵∠CDO=180°-∠ADO，∠BEO=180°-∠AEO，
∴∠CDO=∠BEO，
在△DOC和△EOB中：
$\begin{cases}∠ CDO=∠ BEO \\OD=OE \\∠ DOC=∠ EOB\end{cases}$
∴△DOC≌△EOB（ASA），得CD=BE，∠C=∠B，OC=OB。
3. 证明$\boldsymbol{△ AOC ≌ △ AOB}$：
∵AC=AD+CD，AB=AE+BE，且AD=AE、CD=BE，
∴AC=AB，
在△AOC和△AOB中：
$\begin{cases}AC=AB \\∠ OAC=∠ OAB \\AO=AO\end{cases}$
∴△AOC≌△AOB（SAS）。
4. 证明$\boldsymbol{△ ACE ≌ △ ABD}$：
在△ACE和△ABD中：
$\begin{cases}AC=AB \\∠ CAE=∠ BAD\quad(\mathrm{公共角}) \\AE=AD\end{cases}$
∴△ACE≌△ABD（SAS）。
综上，全等三角形共有4对。
【答案】
4；$△ AOD ≌ △ AOE$，$△ DOC ≌ △ EOB$，$△ AOC ≌ △ AOB$，$△ ACE ≌ △ ABD$
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的综合探究题，解题的核心是循序渐进推导全等关系，先利用已知条件证明基础全等，再将其结论作为新的条件推导其余全等，需注意不要遗漏可能的全等组合。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：首先由AO平分∠BAC可得∠OAD=∠OAE，结合已知∠AOD=∠AOE和公共边AO，可先证出最直观的△AOD≌△AOE，得到对应边、对应角相等的结论；再用该结论结合对顶角相等、补角的性质证△DOC≌△EOB，得到新的相等边角；接着通过线段和的关系推出AC=AB，结合角平分线条件证△AOC≌△AOB；最后利用公共角和已得的等边，证△ACE≌△ABD，统计总对数即可。
【解析】
1. 证明$\boldsymbol{△ AOD ≌ △ AOE}$：
∵AO平分∠BAC，
∴∠OAD=∠OAE，
在△AOD和△AOE中：
$\begin{cases}∠ OAD=∠ OAE \\AO=AO\quad(\mathrm{公共边}) \\∠ AOD=∠ AOE\quad(\mathrm{已知})\end{cases}$
∴△AOD≌△AOE（ASA），得AD=AE，OD=OE，∠ADO=∠AEO。
2. 证明$\boldsymbol{△ DOC ≌ △ EOB}$：
∵∠DOC和∠EOB是对顶角，
∴∠DOC=∠EOB，
又
∵∠CDO=180°-∠ADO，∠BEO=180°-∠AEO，
∴∠CDO=∠BEO，
在△DOC和△EOB中：
$\begin{cases}∠ CDO=∠ BEO \\OD=OE \\∠ DOC=∠ EOB\end{cases}$
∴△DOC≌△EOB（ASA），得CD=BE，∠C=∠B，OC=OB。
3. 证明$\boldsymbol{△ AOC ≌ △ AOB}$：
∵AC=AD+CD，AB=AE+BE，且AD=AE、CD=BE，
∴AC=AB，
在△AOC和△AOB中：
$\begin{cases}AC=AB \\∠ OAC=∠ OAB \\AO=AO\end{cases}$
∴△AOC≌△AOB（SAS）。
4. 证明$\boldsymbol{△ ACE ≌ △ ABD}$：
在△ACE和△ABD中：
$\begin{cases}AC=AB \\∠ CAE=∠ BAD\quad(\mathrm{公共角}) \\AE=AD\end{cases}$
∴△ACE≌△ABD（SAS）。
综上，全等三角形共有4对。
【答案】
4；$△ AOD ≌ △ AOE$，$△ DOC ≌ △ EOB$，$△ AOC ≌ △ AOB$，$△ ACE ≌ △ ABD$
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的综合探究题，解题的核心是循序渐进推导全等关系，先利用已知条件证明基础全等，再将其结论作为新的条件推导其余全等，需注意不要遗漏可能的全等组合。
【难度系数】
0.6
8 [2025镇江]如图，$△ ABC ≌ △ DEF$，边BC与EF，DF分别交于点O，M，AC与EF交于点N，$OB=OE$.求证:$△ MOF ≌ △ NOC$.
答案
8.
∵ △ABC ≌ △DEF ,
∴ BC = EF , ∠F = ∠C.
∵ OB=OE ,
∴ BC−OB = EF−OE ,即 OC = OF. 在△MOF 和△NOC 中，
$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OF=OC,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴ △MOF≌△NOC(ASA)
∵ △ABC ≌ △DEF ,
∴ BC = EF , ∠F = ∠C.
∵ OB=OE ,
∴ BC−OB = EF−OE ,即 OC = OF. 在△MOF 和△NOC 中，
$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OF=OC,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴ △MOF≌△NOC(ASA)
解析
【分析】
要证明△MOF≌△NOC，需先找到两个三角形对应相等的边和角：首先由已知△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得对应边BC=EF、对应角∠F=∠C；再结合已知OB=OE，利用等式的性质，对BC和EF同时减去相等的线段OB和OE，即可推出OC=OF；另外△MOF和△NOC中有一组对顶角，根据对顶角相等可得∠MOF=∠NOC，此时两个三角形满足两角及其夹边对应相等，符合ASA全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
∵ △ABC ≌ △DEF ,
∴ BC = EF , ∠F = ∠C.
∵ OB=OE ,
∴ BC−OB = EF−OE ,即 OC = OF.
在△MOF 和△NOC 中，
$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OF=OC,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴ △MOF≌△NOC(ASA)
【答案】
△MOF≌△NOC
【知识点】
全等三角形的性质；全等三角形的ASA判定；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，学会从已知条件出发推导待证结论所需的边角关系，是巩固全等三角形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.85
要证明△MOF≌△NOC，需先找到两个三角形对应相等的边和角：首先由已知△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得对应边BC=EF、对应角∠F=∠C；再结合已知OB=OE，利用等式的性质，对BC和EF同时减去相等的线段OB和OE，即可推出OC=OF；另外△MOF和△NOC中有一组对顶角，根据对顶角相等可得∠MOF=∠NOC，此时两个三角形满足两角及其夹边对应相等，符合ASA全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
∵ △ABC ≌ △DEF ,
∴ BC = EF , ∠F = ∠C.
∵ OB=OE ,
∴ BC−OB = EF−OE ,即 OC = OF.
在△MOF 和△NOC 中，
$\begin{cases}∠MOF=∠NOC,\\OF=OC,\\∠F=∠C,\end{cases}$
∴ △MOF≌△NOC(ASA)
【答案】
△MOF≌△NOC
【知识点】
全等三角形的性质；全等三角形的ASA判定；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，学会从已知条件出发推导待证结论所需的边角关系，是巩固全等三角形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.85
9（易错题）如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC//EF，∠ABC＝∠EDF.请判断BC，DF的关系，并说明你的理由.
（第9题）
（第9题）答案
9. $BC// DF,BC=DF$ 理由:
∵ $∠ABC+∠CBD = 180°,∠EDF + ∠FDB = 180°,∠ABC = ∠EDF$,
∴ $∠CBD=∠FDB$,
∴ $BC// DF$.
∵ $AD=BE$,
∴ $AD−BD=BE−BD$,即 $AB=ED$.
∵ $AC// EF$,
∴ $∠A = ∠E$. 在△ABC 和 △EDF 中，
$\begin{cases}∠A=∠E,\\AB=ED,\\∠ABC=∠EDF,\end{cases}$
∴ $△ABC≌△EDF$(ASA),
∴ $BC=DF$.
易错分析
9. 解答本题时容易忽视BC与DF的位置关系.
∵ $∠ABC+∠CBD = 180°,∠EDF + ∠FDB = 180°,∠ABC = ∠EDF$,
∴ $∠CBD=∠FDB$,
∴ $BC// DF$.
∵ $AD=BE$,
∴ $AD−BD=BE−BD$,即 $AB=ED$.
∵ $AC// EF$,
∴ $∠A = ∠E$. 在△ABC 和 △EDF 中，
$\begin{cases}∠A=∠E,\\AB=ED,\\∠ABC=∠EDF,\end{cases}$
∴ $△ABC≌△EDF$(ASA),
∴ $BC=DF$.
易错分析
9. 解答本题时容易忽视BC与DF的位置关系.
解析
【分析】
要判断BC和DF的关系，需分别考虑位置关系和数量关系两方面。①位置关系：已知∠ABC=∠EDF，可通过等角的补角相等推导内错角相等，进而判断两条线段平行；②数量关系：要证线段相等，可证两条线段所在的△ABC和△EDF全等。先由AD=BE，减去公共部分BD得到AB=ED，再由AC//EF得到∠A=∠E，结合已知的∠ABC=∠EDF，即可用ASA证明两个三角形全等，得到BC=DF。
【解析】
解：BC和DF的关系为$BC// DF$且$BC=DF$，理由如下：
∵ $∠ ABC+∠ CBD = 180°,∠ EDF + ∠ FDB = 180°,∠ ABC = ∠ EDF$,
∴ $∠ CBD=∠ FDB$（等角的补角相等）,
∴ $BC// DF$（内错角相等，两直线平行）。
∵ $AD=BE$,
∴ $AD−BD=BE−BD$,即 $AB=ED$.
∵ $AC// EF$,
∴ $∠ A = ∠ E$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$ 和 $△ EDF$ 中，
$\begin{cases}∠ A=∠ E,\\AB=ED,\\∠ ABC=∠ EDF,\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ EDF$(ASA),
∴ $BC=DF$.
【答案】
$BC// DF$且$BC=DF$
【知识点】
平行线的性质与判定、ASA证三角形全等、等角的补角相等
【点评】
本题易漏答线段的位置关系，解题时需明确线段关系包含位置和数量两类。题目综合考查了平行线和全等三角形的相关知识，解题时可从已知条件出发，逐步推导角、边的相等关系，进而得到结论。
【难度系数】
0.7
要判断BC和DF的关系，需分别考虑位置关系和数量关系两方面。①位置关系：已知∠ABC=∠EDF，可通过等角的补角相等推导内错角相等，进而判断两条线段平行；②数量关系：要证线段相等，可证两条线段所在的△ABC和△EDF全等。先由AD=BE，减去公共部分BD得到AB=ED，再由AC//EF得到∠A=∠E，结合已知的∠ABC=∠EDF，即可用ASA证明两个三角形全等，得到BC=DF。
【解析】
解：BC和DF的关系为$BC// DF$且$BC=DF$，理由如下：
∵ $∠ ABC+∠ CBD = 180°,∠ EDF + ∠ FDB = 180°,∠ ABC = ∠ EDF$,
∴ $∠ CBD=∠ FDB$（等角的补角相等）,
∴ $BC// DF$（内错角相等，两直线平行）。
∵ $AD=BE$,
∴ $AD−BD=BE−BD$,即 $AB=ED$.
∵ $AC// EF$,
∴ $∠ A = ∠ E$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$ 和 $△ EDF$ 中，
$\begin{cases}∠ A=∠ E,\\AB=ED,\\∠ ABC=∠ EDF,\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ EDF$(ASA),
∴ $BC=DF$.
【答案】
$BC// DF$且$BC=DF$
【知识点】
平行线的性质与判定、ASA证三角形全等、等角的补角相等
【点评】
本题易漏答线段的位置关系，解题时需明确线段关系包含位置和数量两类。题目综合考查了平行线和全等三角形的相关知识，解题时可从已知条件出发，逐步推导角、边的相等关系，进而得到结论。
【难度系数】
0.7
10 如图，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$AD⊥ CE$，$BE⊥ CE$，垂足分别是$D$，$E$，$AD=3$，$BE=1$，求$DE$的长. 
（第10题）
（第10题）答案
10.
∵ $BE⊥CE,AD⊥CE$,
∴ $∠E = ∠ADC = 90°$,
∴ $∠EBC + ∠BCE = 90°,∠CAD + ∠DCA = 90°$.
∵ $∠ACB = ∠BCE + ∠DCA = 90°$,
∴ $∠EBC = ∠DCA,∠BCE = ∠CAD$. 在△CEB 和 △ADC 中，
$\begin{cases}∠EBC=∠DCA,\\BC=CA,\\∠BCE=∠CAD,\end{cases}$
∴ $△CEB ≌ △ADC$ ( ASA ),
∴ $BE=CD,CE=AD$.
∵ $BE=1,AD=3$,
∴ $CD=1,CE=3$,
∴ $DE=CE−CD=3−1=2$
∵ $BE⊥CE,AD⊥CE$,
∴ $∠E = ∠ADC = 90°$,
∴ $∠EBC + ∠BCE = 90°,∠CAD + ∠DCA = 90°$.
∵ $∠ACB = ∠BCE + ∠DCA = 90°$,
∴ $∠EBC = ∠DCA,∠BCE = ∠CAD$. 在△CEB 和 △ADC 中，
$\begin{cases}∠EBC=∠DCA,\\BC=CA,\\∠BCE=∠CAD,\end{cases}$
∴ $△CEB ≌ △ADC$ ( ASA ),
∴ $BE=CD,CE=AD$.
∵ $BE=1,AD=3$,
∴ $CD=1,CE=3$,
∴ $DE=CE−CD=3−1=2$
解析
【分析】
要计算DE的长度，可将其转化为求CE与CD的长度差。首先结合已知的多个垂直条件可得多个直角，再根据∠ACB=90°，利用“同角的余角相等”推导得到两组相等的角，结合AC=BC的已知条件，即可证明△CEB和△ADC全等，利用全等三角形对应边相等的性质得到CE、CD的长度，最终代入计算得到DE的长。
【解析】
∵ $BE⊥CE,AD⊥CE$,
∴ $∠E = ∠ADC = 90°$,
∴ $∠EBC + ∠BCE = 90°,∠CAD + ∠DCA = 90°$.
∵ $∠ACB = ∠BCE + ∠DCA = 90°$,
∴ $∠EBC = ∠DCA,∠BCE = ∠CAD$.
在△CEB 和 △ADC 中，
$\begin{cases}∠EBC=∠DCA,\\BC=CA,\\∠BCE=∠CAD,\end{cases}$
∴ $△CEB ≌ △ADC$ ( ASA ),
∴ $BE=CD,CE=AD$.
∵ $BE=1,AD=3$,
∴ $CD=1,CE=3$,
∴ $DE=CE−CD=3−1=2$
【答案】
$DE$的长为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. ASA判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 余角的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是利用垂直关系和直角的性质推导相等的角，进而证明三角形全等，再通过全等三角形对应边相等的性质转化线段长度求解，能很好地考查学生对全等判定和性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要计算DE的长度，可将其转化为求CE与CD的长度差。首先结合已知的多个垂直条件可得多个直角，再根据∠ACB=90°，利用“同角的余角相等”推导得到两组相等的角，结合AC=BC的已知条件，即可证明△CEB和△ADC全等，利用全等三角形对应边相等的性质得到CE、CD的长度，最终代入计算得到DE的长。
【解析】
∵ $BE⊥CE,AD⊥CE$,
∴ $∠E = ∠ADC = 90°$,
∴ $∠EBC + ∠BCE = 90°,∠CAD + ∠DCA = 90°$.
∵ $∠ACB = ∠BCE + ∠DCA = 90°$,
∴ $∠EBC = ∠DCA,∠BCE = ∠CAD$.
在△CEB 和 △ADC 中，
$\begin{cases}∠EBC=∠DCA,\\BC=CA,\\∠BCE=∠CAD,\end{cases}$
∴ $△CEB ≌ △ADC$ ( ASA ),
∴ $BE=CD,CE=AD$.
∵ $BE=1,AD=3$,
∴ $CD=1,CE=3$,
∴ $DE=CE−CD=3−1=2$
【答案】
$DE$的长为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. ASA判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 余角的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是利用垂直关系和直角的性质推导相等的角，进而证明三角形全等，再通过全等三角形对应边相等的性质转化线段长度求解，能很好地考查学生对全等判定和性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
11 [2025 开发区段考]如图，$△ ABC$ 的面积为 $18\ \mathrm{cm}^2$，$BP$ 平分$∠ ABC$，过点 $A$ 作 $AP⊥ BP$ 于点 $P$，则$△ PBC$ 的面积为 
（第 11 题）
9
$\mathrm{cm}^2$. （第 11 题）答案
11. 9 【解析】如图,延长 AP,交 BC 于点 E.
∵ BP 平分∠ABC,AP⊥BP,
∴ ∠ABP = ∠EBP,∠APB = ∠EPB = 90°.
∵ BP = BP ,
∴ △APB ≌ △EPB (ASA),
∴ AP = EP ,
∴ $S_{△APB}=S_{△EPB}=\frac{1}{2}S_{△ABE}$ , $S_{△APC}=S_{△EPC}=\frac{1}{2}S_{△ACE}$ ,
∴ $S_{△PBC}=S_{△EPB}+S_{△EPC}=\frac{1}{2}(S_{△ABE}+S_{△ACE})=\frac{1}{2}S_{△ABC}$.
∵ △ABC 的面积为 18 cm²,
∴ $S_{△PBC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×18=9(\mathrm{cm}^2).$
解析
【分析】
解这道题首先观察已知条件：BP是∠ABC的角平分线，且AP垂直于BP，这种“角平分线+垂直于角平分线的线段”的组合，常用辅助线是延长垂线段AP与BC相交，构造全等三角形。先通过角平分线、垂直的条件结合公共边证明△ABP和△EBP全等，得到P是线段AE的中点，再根据“等底同高的三角形面积相等”，可推导得出△PBC的面积是△ABC面积的一半，最后代入已知的△ABC面积计算即可。
【解析】
如图，延长AP，交BC于点E。
∵ BP平分∠ABC，AP⊥BP，
∴ ∠ABP = ∠EBP，∠APB = ∠EPB = 90°，
又
∵ BP = BP，
∴ △APB ≌ △EPB（ASA），
∴ AP = EP，
根据等底同高的三角形面积相等可得：
$S_{△APB}=S_{△EPB}=\frac{1}{2}S_{△ABE}$，$S_{△APC}=S_{△EPC}=\frac{1}{2}S_{△ACE}$，
∴ $S_{△PBC}=S_{△EPB}+S_{△EPC}=\frac{1}{2}(S_{△ABE}+S_{△ACE})=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，
∵ △ABC的面积为$18\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△PBC}=\frac{1}{2}×18=9(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题的核心是掌握“角平分线+垂直”类题型的辅助线构造方法，通过构造全等三角形得到线段中点，再利用等底同高的三角形面积相等建立待求面积与已知面积的关系，是三角形综合题的常见考法，熟练掌握对应辅助线作法可快速解题。
【难度系数】
0.6
解这道题首先观察已知条件：BP是∠ABC的角平分线，且AP垂直于BP，这种“角平分线+垂直于角平分线的线段”的组合，常用辅助线是延长垂线段AP与BC相交，构造全等三角形。先通过角平分线、垂直的条件结合公共边证明△ABP和△EBP全等，得到P是线段AE的中点，再根据“等底同高的三角形面积相等”，可推导得出△PBC的面积是△ABC面积的一半，最后代入已知的△ABC面积计算即可。
【解析】
如图，延长AP，交BC于点E。
∵ BP平分∠ABC，AP⊥BP，
∴ ∠ABP = ∠EBP，∠APB = ∠EPB = 90°，
又
∵ BP = BP，
∴ △APB ≌ △EPB（ASA），
∴ AP = EP，
根据等底同高的三角形面积相等可得：
$S_{△APB}=S_{△EPB}=\frac{1}{2}S_{△ABE}$，$S_{△APC}=S_{△EPC}=\frac{1}{2}S_{△ACE}$，
∴ $S_{△PBC}=S_{△EPB}+S_{△EPC}=\frac{1}{2}(S_{△ABE}+S_{△ACE})=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，
∵ △ABC的面积为$18\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△PBC}=\frac{1}{2}×18=9(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题的核心是掌握“角平分线+垂直”类题型的辅助线构造方法，通过构造全等三角形得到线段中点，再利用等底同高的三角形面积相等建立待求面积与已知面积的关系，是三角形综合题的常见考法，熟练掌握对应辅助线作法可快速解题。
【难度系数】
0.6
