登录
1 如图，OB平分∠AOC，D，E，F分别是射线OA，OB，OC上的点，点D，E，F与点O都不重合，连接ED，EF.要使△DOE≌△FOE，可以添加的条件是 （
A.$OD=OE$
B.$OE=OF$
C.$∠ ODE=∠ OED$
D.$∠ ODE=∠ OFE$
（第1题）
D
）A.$OD=OE$
B.$OE=OF$
C.$∠ ODE=∠ OED$
D.$∠ ODE=∠ OFE$
（第1题）答案
1. D
解析
【分析】
首先由已知OB平分∠AOC，可得∠DOE=∠FOE，同时△DOE和△FOE有公共边OE=OE，即已经具备一组角相等、一组公共边相等的条件。要判定两个三角形全等，只需再补充一组对应角相等（满足AAS/ASA判定），或补充夹角的另一组对应边OD=OF（满足SAS判定）即可。接下来逐一验证各选项是否符合全等判定的要求即可。
【解析】
已知OB平分∠AOC，因此∠ DOE=∠ FOE，且OE是△DOE和△FOE的公共边，即OE=OE。
对各选项逐一分析：
选项A：OD=OE是△DOE内部的边相等，不是两个三角形的对应相等边，无法判定全等，不符合要求；
选项B：OE=OF不是两个三角形的对应相等边，无法判定全等，不符合要求；
选项C：∠ ODE=∠ OED仅能说明△DOE为等腰三角形，无法得到△FOE的对应角相等，不能判定全等，不符合要求；
选项D：当∠ ODE=∠ OFE时，在△DOE和△FOE中：
$ \begin{cases}$
∠ ODE=∠ OFE \\
∠ DOE=∠ FOE \\
OE=OE
$ \end{cases} $符合全等三角形的AAS判定，因此△ DOE≌△ FOE，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义、全等三角形AAS判定
【点评】
本题考查全等三角形判定的应用，解题时先梳理已有的等量条件，再结合全等判定定理逐一验证选项即可，需注意区分对应边、对应角，不要混淆非对应量导致判断错误。
【难度系数】
0.8
首先由已知OB平分∠AOC，可得∠DOE=∠FOE，同时△DOE和△FOE有公共边OE=OE，即已经具备一组角相等、一组公共边相等的条件。要判定两个三角形全等，只需再补充一组对应角相等（满足AAS/ASA判定），或补充夹角的另一组对应边OD=OF（满足SAS判定）即可。接下来逐一验证各选项是否符合全等判定的要求即可。
【解析】
已知OB平分∠AOC，因此∠ DOE=∠ FOE，且OE是△DOE和△FOE的公共边，即OE=OE。
对各选项逐一分析：
选项A：OD=OE是△DOE内部的边相等，不是两个三角形的对应相等边，无法判定全等，不符合要求；
选项B：OE=OF不是两个三角形的对应相等边，无法判定全等，不符合要求；
选项C：∠ ODE=∠ OED仅能说明△DOE为等腰三角形，无法得到△FOE的对应角相等，不能判定全等，不符合要求；
选项D：当∠ ODE=∠ OFE时，在△DOE和△FOE中：
$ \begin{cases}$
∠ ODE=∠ OFE \\
∠ DOE=∠ FOE \\
OE=OE
$ \end{cases} $符合全等三角形的AAS判定，因此△ DOE≌△ FOE，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义、全等三角形AAS判定
【点评】
本题考查全等三角形判定的应用，解题时先梳理已有的等量条件，再结合全等判定定理逐一验证选项即可，需注意区分对应边、对应角，不要混淆非对应量导致判断错误。
【难度系数】
0.8
2 分类讨论思想 在$△ ABC$和$△ DEF$中，$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ E$，要使$△ ABC≌△ DEF$（不添加其他字母及辅助线），则需补充一个条件，合适的条件共有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
2. B
解析
【分析】
已知△ABC和△DEF已有两组角对应相等（∠A=∠D，∠B=∠E），结合全等三角形的判定规则，两角对应相等时，只需补充任意一组对应边相等即可判定全等，我们逐一列举符合要求的对应边即可得到合适的条件数量。
【解析】
已知∠A=∠D，∠B=∠E，可补充的全等判定条件如下：
1. 补充夹边$AB=DE$，满足两角及其夹边对应相等，根据ASA判定定理可证$△ABC≌△DEF$；
2. 补充$BC=EF$，BC是∠A的对边，EF是∠D的对边，满足两角及其中一角的对边对应相等，根据AAS判定定理可证$△ABC≌△DEF$；
3. 补充$AC=DF$，AC是∠B的对边，DF是∠E的对边，满足两角及其中一角的对边对应相等，根据AAS判定定理可证$△ABC≌△DEF$。
综上，合适的条件共有3个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；分类讨论思想；对应边识别
【点评】
本题核心考查已知两角对应相等时全等判定条件的补充，解题时要注意补充的边必须是两个三角形的对应边，避免因对应关系判断错误出现漏算、错算的情况。
【难度系数】
0.7
已知△ABC和△DEF已有两组角对应相等（∠A=∠D，∠B=∠E），结合全等三角形的判定规则，两角对应相等时，只需补充任意一组对应边相等即可判定全等，我们逐一列举符合要求的对应边即可得到合适的条件数量。
【解析】
已知∠A=∠D，∠B=∠E，可补充的全等判定条件如下：
1. 补充夹边$AB=DE$，满足两角及其夹边对应相等，根据ASA判定定理可证$△ABC≌△DEF$；
2. 补充$BC=EF$，BC是∠A的对边，EF是∠D的对边，满足两角及其中一角的对边对应相等，根据AAS判定定理可证$△ABC≌△DEF$；
3. 补充$AC=DF$，AC是∠B的对边，DF是∠E的对边，满足两角及其中一角的对边对应相等，根据AAS判定定理可证$△ABC≌△DEF$。
综上，合适的条件共有3个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；分类讨论思想；对应边识别
【点评】
本题核心考查已知两角对应相等时全等判定条件的补充，解题时要注意补充的边必须是两个三角形的对应边，避免因对应关系判断错误出现漏算、错算的情况。
【难度系数】
0.7
3 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E。若AE=5，则BC的长为
5
。答案
3. 5
解析
【分析】
要求BC的长度，可通过证明BC与已知长度的AE所在的三角形全等，得到二者相等。首先根据AD//BC的条件可得到两组内错角相等，再结合O是AB中点得到一组对应边相等，利用“角角边（AAS）”即可证明△OAE和△OBC全等，最后根据全等三角形对应边相等就能求出BC的长。
【解析】
解：$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ OAE=∠ OBC$，$∠ E=∠ OCB$（两直线平行，内错角相等）。
$\because O$是$AB$的中点，
$\therefore AO=BO$。
在$△ OAE$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}∠ E=∠ OCB \\∠ OAE=∠ OBC \\AO=BO\end{cases}$
$\therefore △ OAE≌△ OBC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BC=AE=5$。
【答案】
5
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是结合已知条件找到全等三角形，利用全等性质得到对应边相等，熟练掌握平行线性质和全等三角形判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要求BC的长度，可通过证明BC与已知长度的AE所在的三角形全等，得到二者相等。首先根据AD//BC的条件可得到两组内错角相等，再结合O是AB中点得到一组对应边相等，利用“角角边（AAS）”即可证明△OAE和△OBC全等，最后根据全等三角形对应边相等就能求出BC的长。
【解析】
解：$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ OAE=∠ OBC$，$∠ E=∠ OCB$（两直线平行，内错角相等）。
$\because O$是$AB$的中点，
$\therefore AO=BO$。
在$△ OAE$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}∠ E=∠ OCB \\∠ OAE=∠ OBC \\AO=BO\end{cases}$
$\therefore △ OAE≌△ OBC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BC=AE=5$。
【答案】
5
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是结合已知条件找到全等三角形，利用全等性质得到对应边相等，熟练掌握平行线性质和全等三角形判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$，$DE ⊥ AB$，垂足为$E$。若$BC=4$，$DE=1.6$，则$BD$的长为
2.4
。答案
4. 2.4
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推出DC=DE；再结合BC的总长度，BD的长度等于BC减去DC的长度，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：DC=DE=1.6，
又
∵BC=4，
∴BD=BC - DC=4 - 1.6=2.4。
【答案】
2.4
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查角平分线性质的应用，解题关键是准确识别角平分线和两条垂线的条件，快速找到相等线段完成计算，思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推出DC=DE；再结合BC的总长度，BD的长度等于BC减去DC的长度，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：DC=DE=1.6，
又
∵BC=4，
∴BD=BC - DC=4 - 1.6=2.4。
【答案】
2.4
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查角平分线性质的应用，解题关键是准确识别角平分线和两条垂线的条件，快速找到相等线段完成计算，思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
5 [2025 淮安]如图,在△ABC 和△ADE 中,点 D 在 BC 上,∠B=∠ADE,AC=AE,∠BAD=∠CAE.求证:△ABC≌△ADE.
答案
5. $\because ∠BAD = ∠CAE, \therefore ∠BAD + ∠CAD = ∠CAE + ∠CAD,即∠BAC = ∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中,\begin{cases}∠BAC=∠DAE,\\∠B=∠ADE,\\AC=AE,\end{cases} \therefore △ABC ≌ △ADE (AAS)$
解析
【分析】
要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：已给出一组对应角相等∠B=∠ADE、一组对应边相等AC=AE，还需要推导得到另一组对应角相等。观察已知∠BAD=∠CAE，将两个角同时加上公共角∠CAD，即可得到△ABC和△ADE的对应角∠BAC=∠DAE，此时满足全等三角形“角角边”的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because ∠BAD = ∠CAE$
$\therefore ∠BAD + ∠CAD = ∠CAE + ∠CAD$，即$∠BAC = ∠DAE$
在△ABC和△ADE中：
$\begin{cases}∠BAC=∠DAE,\\∠B=∠ADE,\\AC=AE,\end{cases}$
$\therefore △ABC ≌ △ADE \ (\mathrm{AAS})$
【答案】
$\because ∠BAD = ∠CAE, \therefore ∠BAD + ∠CAD = ∠CAE + ∠CAD,即∠BAC = ∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中,\begin{cases}∠BAC=∠DAE,\\∠B=∠ADE,\\AC=AE,\end{cases} \therefore △ABC ≌ △ADE (AAS)$
【知识点】
1. 角的和差运算
2. 全等三角形AAS判定
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题，重点考查角的等量代换能力和全等判定定理的应用，只要能通过已知等角推导出所需的对应角相等，结合熟记的全等判定规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：已给出一组对应角相等∠B=∠ADE、一组对应边相等AC=AE，还需要推导得到另一组对应角相等。观察已知∠BAD=∠CAE，将两个角同时加上公共角∠CAD，即可得到△ABC和△ADE的对应角∠BAC=∠DAE，此时满足全等三角形“角角边”的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because ∠BAD = ∠CAE$
$\therefore ∠BAD + ∠CAD = ∠CAE + ∠CAD$，即$∠BAC = ∠DAE$
在△ABC和△ADE中：
$\begin{cases}∠BAC=∠DAE,\\∠B=∠ADE,\\AC=AE,\end{cases}$
$\therefore △ABC ≌ △ADE \ (\mathrm{AAS})$
【答案】
$\because ∠BAD = ∠CAE, \therefore ∠BAD + ∠CAD = ∠CAE + ∠CAD,即∠BAC = ∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中,\begin{cases}∠BAC=∠DAE,\\∠B=∠ADE,\\AC=AE,\end{cases} \therefore △ABC ≌ △ADE (AAS)$
【知识点】
1. 角的和差运算
2. 全等三角形AAS判定
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题，重点考查角的等量代换能力和全等判定定理的应用，只要能通过已知等角推导出所需的对应角相等，结合熟记的全等判定规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
6 如图，$AB// DE$，$AC// DF$，$AC=DF$，添加下列条件不能判定$△ ABC≌△ DEF$ 的是 （
A.$AB=DE$
B.$∠ B=∠ E$
C.$EF=BC$
D.$EF// BC$
C
）A.$AB=DE$
B.$∠ B=∠ E$
C.$EF=BC$
D.$EF// BC$
答案
6. C
解析
【分析】
首先根据已知的两组对边分别平行的条件，结合平行线的性质可推导出△ABC和△DEF的一组对应角∠A=∠D，再结合题目给出的AC=DF，我们已经得到了一组对应边相等、一组对应角相等的前提条件。接下来只需将每个选项的条件作为补充，对照三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA无法判定全等）逐一验证，即可找出不能判定全等的选项。
【解析】
解：设AB交DF于点G，
∵AB//DE，
∴∠D=∠FGA（两直线平行，同位角相等），
∵AC//DF，
∴∠A=∠FGA（两直线平行，同位角相等），
∴∠A=∠D，又已知AC=DF，逐个分析选项：
A. 若添加AB=DE，在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}AB=DE\\∠A=∠D\\AC=DF\end{array} $
满足SAS判定定理，可证△ABC≌△DEF，不符合题意；
B. 若添加∠B=∠E，在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E\\∠A=∠D\\AC=DF\end{array} $
满足AAS判定定理，可证△ABC≌△DEF，不符合题意；
C. 若添加EF=BC，此时已知条件为AC=DF，∠A=∠D，EF=BC，属于SSA的情况，SSA不能判定三角形全等，符合题意；
D. 若添加EF//BC，结合AB//DE，可得∠B=∠E（两直线平行，同位角相等），后续证明同选项B，满足AAS判定定理，可证△ABC≌△DEF，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的典型基础题，解题时需要先从已知条件推导出可直接使用的角相等的结论，再结合补充条件对照判定规则验证，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误判。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的两组对边分别平行的条件，结合平行线的性质可推导出△ABC和△DEF的一组对应角∠A=∠D，再结合题目给出的AC=DF，我们已经得到了一组对应边相等、一组对应角相等的前提条件。接下来只需将每个选项的条件作为补充，对照三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA无法判定全等）逐一验证，即可找出不能判定全等的选项。
【解析】
解：设AB交DF于点G，
∵AB//DE，
∴∠D=∠FGA（两直线平行，同位角相等），
∵AC//DF，
∴∠A=∠FGA（两直线平行，同位角相等），
∴∠A=∠D，又已知AC=DF，逐个分析选项：
A. 若添加AB=DE，在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}AB=DE\\∠A=∠D\\AC=DF\end{array} $
满足SAS判定定理，可证△ABC≌△DEF，不符合题意；
B. 若添加∠B=∠E，在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E\\∠A=∠D\\AC=DF\end{array} $
满足AAS判定定理，可证△ABC≌△DEF，不符合题意；
C. 若添加EF=BC，此时已知条件为AC=DF，∠A=∠D，EF=BC，属于SSA的情况，SSA不能判定三角形全等，符合题意；
D. 若添加EF//BC，结合AB//DE，可得∠B=∠E（两直线平行，同位角相等），后续证明同选项B，满足AAS判定定理，可证△ABC≌△DEF，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的典型基础题，解题时需要先从已知条件推导出可直接使用的角相等的结论，再结合补充条件对照判定规则验证，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误判。
【难度系数】
0.7
7 如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上的两点，CE⊥AD，BF⊥AD。若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为
$a+b-c$
(用含a，b，c的代数式表示)。答案
7. $a + b - c$
【解析】设 AB 与 CD 交于点 P.
$\because AB ⊥ CD, CE⊥ AD, BF ⊥ AD, \therefore ∠APD = ∠CED = ∠AFB = 90°, \therefore ∠A + ∠D = 90°, ∠C + ∠D = 90°, \therefore ∠A = ∠C. 在△ABF 和△CDE 中,\begin{cases}∠AFB=∠CED,\\∠A=∠C,\\AB=CD,\end{cases} \therefore △ABF ≌ △CDE (AAS),$
$\therefore AF=CE=a,BF=DE=b. 又\because EF=c,\therefore AD=AF+DE-EF=a+b-c.$
【解析】设 AB 与 CD 交于点 P.
$\because AB ⊥ CD, CE⊥ AD, BF ⊥ AD, \therefore ∠APD = ∠CED = ∠AFB = 90°, \therefore ∠A + ∠D = 90°, ∠C + ∠D = 90°, \therefore ∠A = ∠C. 在△ABF 和△CDE 中,\begin{cases}∠AFB=∠CED,\\∠A=∠C,\\AB=CD,\end{cases} \therefore △ABF ≌ △CDE (AAS),$
$\therefore AF=CE=a,BF=DE=b. 又\because EF=c,\therefore AD=AF+DE-EF=a+b-c.$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件分析：已知AB与CD垂直且相等，CE、BF均垂直于AD，首先可由垂直的性质得到多个直角，再根据“同角的余角相等”推出∠A=∠C，结合AB=CD的条件，即可用AAS证明△ABF和△CDE全等，得到对应边AF=CE、DE=BF；最后分析AD的线段组成：AF与DE相加时，公共部分EF被重复计算了一次，因此减去EF即可得到AD的长度。
【解析】
设AB与CD交于点P。
$\because AB ⊥ CD, CE⊥ AD, BF ⊥ AD$，
$\therefore ∠APD = ∠CED = ∠AFB = 90°$，
$\therefore ∠A + ∠D = 90°, ∠C + ∠D = 90°$，
$\therefore ∠A = ∠C$。
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}∠AFB=∠CED\\∠A=∠C\\AB=CD\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CDE (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AF=CE=a,BF=DE=b$。
又$\because EF=c$，
$\therefore AD=AF+DE-EF=a+b-c$。
【答案】
$\boldsymbol{a + b - c}$
【知识点】
1. 同角的余角相等
2. AAS判定全等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，解题的关键是通过角度互余推导等角，完成全等三角形的证明，再结合线段和差关系计算，需要注意重叠线段的处理。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件分析：已知AB与CD垂直且相等，CE、BF均垂直于AD，首先可由垂直的性质得到多个直角，再根据“同角的余角相等”推出∠A=∠C，结合AB=CD的条件，即可用AAS证明△ABF和△CDE全等，得到对应边AF=CE、DE=BF；最后分析AD的线段组成：AF与DE相加时，公共部分EF被重复计算了一次，因此减去EF即可得到AD的长度。
【解析】
设AB与CD交于点P。
$\because AB ⊥ CD, CE⊥ AD, BF ⊥ AD$，
$\therefore ∠APD = ∠CED = ∠AFB = 90°$，
$\therefore ∠A + ∠D = 90°, ∠C + ∠D = 90°$，
$\therefore ∠A = ∠C$。
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}∠AFB=∠CED\\∠A=∠C\\AB=CD\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CDE (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AF=CE=a,BF=DE=b$。
又$\because EF=c$，
$\therefore AD=AF+DE-EF=a+b-c$。
【答案】
$\boldsymbol{a + b - c}$
【知识点】
1. 同角的余角相等
2. AAS判定全等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题，解题的关键是通过角度互余推导等角，完成全等三角形的证明，再结合线段和差关系计算，需要注意重叠线段的处理。
【难度系数】
0.7
