8 如图,在△ABC 和△EDF 中,∠B=∠D=90°,点 A,E,C,F 在同一条直线上,AE=CF,BC 的延长线交 DF 于点 M,∠MCF=∠F.求证:BC=DF.

8. $\because ∠MCF = ∠F, ∠MCF = ∠ACB, \therefore ∠ACB = ∠F. \because AE = CF, \therefore AE + EC = CF + EC,即 AC = EF. 在△ABC 和△EDF 中,\begin{cases}∠B=∠D,\\∠ACB=∠F,\\AC=EF,\end{cases}$
$\therefore △ABC≌△EDF(AAS),\therefore BC=DF$

【分析】
要证明BC=DF，可通过证明BC、DF所在的△ABC和△EDF全等实现。首先梳理全等所需的条件：已知∠B=∠D=90°，已经有一组对应角相等；已知AE=CF，根据等式的性质，两边同时加上公共线段EC，可得到AC=EF，即一组对应边相等；再结合已知∠MCF=∠F，且∠MCF与∠ACB是对顶角，二者相等，通过等量代换可得∠ACB=∠F，得到第二组对应角相等。此时“角角边”的全等判定条件已齐备，证得三角形全等后，对应边BC=DF即可得证。
【解析】
证明：
$\because ∠MCF = ∠F, ∠MCF = ∠ACB$（对顶角相等），
$\therefore ∠ACB = ∠F$。
$\because AE = CF$，
$\therefore AE + EC = CF + EC$（等式的性质），即 $AC = EF$。
在$△ ABC$和$△ EDF$中，
$\begin{cases}∠B=∠D,\\∠ACB=∠F,\\AC=EF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BC=DF$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$BC=DF$
【知识点】
对顶角相等；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题的关键是通过线段和差、角的等量代换得到三角形全等的判定条件，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7

9 [2025 内江改编]如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE=BF，AE//BF，∠ECD=∠FDC，连接CF，DE.
（1）求证：CE=DF；
（2）若AC=2，CD=4，求AB的长.

9. （1）$\because AE // BF, \therefore ∠A = ∠B. \because ∠ACE + ∠ECD = 180°, ∠BDF + ∠FDC = 180°, ∠ECD = ∠FDC, \therefore ∠ACE = ∠BDF. 在△ACE 和△BDF 中,\begin{cases}∠A=∠B,\\∠ACE=∠BDF,\\AE=BF,\end{cases} \therefore △ACE ≌ △BDF (AAS),$
$\therefore CE=DF$
（2）由(1)知,$△ACE≌△BDF,\therefore AC=BD=2. \because AC=2,CD=4,\therefore AB=AC+CD+BD=2+4+2=8,\therefore AB 的长为 8$

【分析】
（1）要证明CE=DF，可通过证明CE、DF所在的三角形全等来实现。首先由AE//BF可得到内错角∠A=∠B；再结合已知∠ECD=∠FDC，根据等角的补角相等可推出∠ACE=∠BDF，结合已知条件AE=BF，即可用“AAS”判定△ACE≌△BDF，根据全等三角形对应边相等即可得到CE=DF。
（2）由（1）的全等结论可得对应边AC=BD，已知AC、CD的长度，AB是线段AC、CD、BD的和，代入数值计算即可求出AB的长度。
【解析】
（1）证明：$\because AE // BF$，$\therefore ∠ A = ∠ B$。
$\because ∠ ACE + ∠ ECD = 180°$，$∠ BDF + ∠ FDC = 180°$，且$∠ ECD = ∠ FDC$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ BDF$。
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ B \\∠ ACE = ∠ BDF \\AE = BF\end{cases}$
$\therefore △ ACE ≌ △ BDF \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore CE = DF$。
（2）解：由（1）知$△ ACE ≌ △ BDF$，$\therefore AC = BD = 2$。
$\because AC = 2$，$CD = 4$，
$\therefore AB = AC + CD + BD = 2 + 4 + 2 = 8$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boxed{8}$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题核心是结合已知条件推导三角形全等的判定条件，再利用全等三角形的性质得到对应边相等，进而求解线段长度，考查对基础几何定理的理解与应用能力。
【难度系数】
0.8

10 如图,在△ABC中,AP为中线,过点B作BM⊥AP于点M,过点C作CN⊥AP,交AP的延长线于点N.在PA的延长线上取一点Q,连接BQ,使∠Q=∠CAN.判断AQ与MP的数量关系,并说明理由. (第10题)

10. $AQ = 2MP$ 理由: $\because AP$ 为 $△ABC$ 的中线,
$\therefore BP = CP. \because BM ⊥ AP, CN ⊥ AP, \therefore ∠BMP = ∠BMQ = ∠CNP = 90°. 在△BMP 和△CNP 中,\begin{cases}∠BMP=∠CNP,\\∠BPM=∠CPN,\\BP=CP,\end{cases} \therefore △BMP ≌ △CNP ( AAS ),$
$\therefore MP = NP, BM = CN. 在△BMQ 和△CNA 中,\begin{cases}∠Q=∠CAN,\\∠BMQ=∠CNA,\\BM=CN,\end{cases} \therefore △BMQ ≌ △CNA ( AAS ),$
$\therefore MQ = NA, \therefore AQ + AM = MN + AM, \therefore AQ = MN. \because MN = MP + PN = 2MP, \therefore AQ = 2MP.$

【分析】
要判断AQ与MP的数量关系，可按以下思路推导：第一步，先利用AP是中线得到BP=CP，结合BM、CN都垂直AP的条件，通过AAS证明△BMP和△CNP全等，得到MP=NP、BM=CN，可得MN=2MP的关系；第二步，结合已知∠Q=∠CAN，以及BM⊥AP、CN⊥AP的直角条件，再通过AAS证明△BMQ和△CNA全等，得到MQ=NA；第三步，对MQ和NA做线段和差拆分，消去公共部分AM，得到AQ=MN，结合第一步的MN=2MP，即可推出AQ和MP的数量关系。
【解析】
解：$AQ = 2MP$，理由如下：
$\because AP$为$△ ABC$的中线，
$\therefore BP = CP$。
$\because BM ⊥ AP$，$CN ⊥ AP$，
$\therefore ∠ BMP = ∠ BMQ = ∠ CNP = ∠ CNA = 90°$。
在$△ BMP$和$△ CNP$中，
$\begin{cases}∠ BMP=∠ CNP,\\∠ BPM=∠ CPN,\\BP=CP,\end{cases}$
$\therefore △ BMP ≌ △ CNP (\mathrm{AAS})$，
$\therefore MP = NP$，$BM = CN$。
在$△ BMQ$和$△ CNA$中，
$\begin{cases}∠ Q=∠ CAN,\\∠ BMQ=∠ CNA,\\BM=CN,\end{cases}$
$\therefore △ BMQ ≌ △ CNA (\mathrm{AAS})$，
$\therefore MQ = NA$。
$\because MQ = AQ + AM$，$NA = MN + AM$，
$\therefore AQ + AM = MN + AM$，即$AQ = MN$。
又$\because MN = MP + PN = MP + MP = 2MP$，
$\therefore AQ = 2MP$。
【答案】
$AQ=2MP$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；三角形中线的定义
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题，解题的关键是两次利用AAS判定三角形全等，再结合线段的和差关系进行等量代换得到结论，要求能够结合已知条件从复杂图形中筛选出全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.6