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7 新情境 生活实际 [2024 通辽]如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心O。若AB=1 m，CD=2.5 m，则拱门所在圆的半径为（
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
B
）A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案
7. B
【解析】连接 $OA,OB. \because OA=OB,D$ 为 $AB$ 的中点，$\therefore CD ⊥ AB, AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m}.$ 设拱门所在圆的半径为 $r\ \mathrm{m}$,则 $OA=OC=r\ \mathrm{m}, OD=(2.5-r)\ \mathrm{m}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADO$ 中,由勾股定理,得 $OA^2=AD^2+OD^2$,即 $r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$,解得 $r=1.3, \therefore$ 拱门所在圆的半径为 $1.3\ \mathrm{m}.$
【解析】连接 $OA,OB. \because OA=OB,D$ 为 $AB$ 的中点，$\therefore CD ⊥ AB, AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m}.$ 设拱门所在圆的半径为 $r\ \mathrm{m}$,则 $OA=OC=r\ \mathrm{m}, OD=(2.5-r)\ \mathrm{m}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADO$ 中,由勾股定理,得 $OA^2=AD^2+OD^2$,即 $r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$,解得 $r=1.3, \therefore$ 拱门所在圆的半径为 $1.3\ \mathrm{m}.$
8 在平面直角坐标系中，以点(3,0)为圆心，5为半径作圆，则该圆与y轴的交点的坐标为
$(0,4),(0,-4)$
.答案
8. $(0,4),(0,-4)$
9 教材变式题 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$CD⊥ AB$于点D。已知$CD=4$，$AD=2$，则$\odot O$的半径为
$5$
。答案
9. 5
【解析】连接 $OC.$ 设 $\odot O$ 的半径为 $r$,则 $OC=r, OD=OA-AD=r-2.$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDO$ 中,$OC^2=CD^2+OD^2$,即 $r^2=4^2+(r-2)^2$,解得 $r=5. \therefore \odot O$ 的半径为 5.
【解析】连接 $OC.$ 设 $\odot O$ 的半径为 $r$,则 $OC=r, OD=OA-AD=r-2.$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDO$ 中,$OC^2=CD^2+OD^2$,即 $r^2=4^2+(r-2)^2$,解得 $r=5. \therefore \odot O$ 的半径为 5.
10 如图，过A，C，D三点的圆的圆心为点E，过B，F，E三点的圆的圆心为点D。如果∠BAC=63°，那么∠ABC=
$18$
°。答案
10. 18
【解析】如图
,连接 $CE,DE. \because DE=BD, \therefore ∠ 2=∠ ABC.$同理,可得 $∠ 5=∠ 6, ∠ 3=∠ BAC=63°. \because ∠ 6=∠ 2+∠ ABC=2∠ ABC, ∠ CEB=∠ BAC+∠ 3=126°, \therefore ∠ 1=180°-∠ 5-∠ 6=180°-4∠ ABC, \therefore ∠ CEB=∠ 1+∠ 2=180°-3∠ ABC=126°, \therefore ∠ ABC=18°.$
11 [2025河南]如图,四边形ABCD是平行四边形,以BC为直径的圆交AD于点E.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹,不写作法).
（2）若E是AD的中点,连接OA,CE.求证:四边形AOCE是平行四边形.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹,不写作法).
（2）若E是AD的中点,连接OA,CE.求证:四边形AOCE是平行四边形.
答案
11. （1）如图
,点$O$即为所求 （2）$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AD=BC, AD// BC$,即 $AE// OC. \because E$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore AE=\frac{1}{2}AD. \because OC=\frac{1}{2}BC, \therefore AE=OC, \therefore$ 四边形 $AOCE$ 是平行四边形
12 如图，AC是$\odot O$的直径，点B在$\odot O$上（不与点A，C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交$\odot O$于点E，$∠ AOB=3∠ D$. 求证：$DE=OB$.
答案
12. 连接 $OE.$ 设 $∠ D=x. \because OB=OE, \therefore ∠ B=∠ OEB. \because ∠ OEB$ 是 $△ DEO$ 的外角, $\therefore ∠ OEB=∠ D+∠ DOE=x+∠ DOE. \because ∠ AOB$ 是 $△ BOD$ 的外角, $\therefore ∠ AOB=∠ B+∠ D=∠ OEB+∠ D=x+∠ DOE+x=∠ DOE+2x. \because ∠ AOB=3∠ D=3x, \therefore ∠ DOE+2x=3x$,即$∠ DOE=x=∠ D, \therefore DE=OE, \therefore DE=OB$
