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7 新情境 生活实际 [2024 通辽]如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心O。若AB=1 m，CD=2.5 m，则拱门所在圆的半径为（
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
B
）A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案
7. B
【解析】连接 $OA,OB. \because OA=OB,D$ 为 $AB$ 的中点，$\therefore CD ⊥ AB, AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m}.$ 设拱门所在圆的半径为 $r\ \mathrm{m}$,则 $OA=OC=r\ \mathrm{m}, OD=(2.5-r)\ \mathrm{m}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADO$ 中,由勾股定理,得 $OA^2=AD^2+OD^2$,即 $r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$,解得 $r=1.3, \therefore$ 拱门所在圆的半径为 $1.3\ \mathrm{m}.$
【解析】连接 $OA,OB. \because OA=OB,D$ 为 $AB$ 的中点，$\therefore CD ⊥ AB, AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m}.$ 设拱门所在圆的半径为 $r\ \mathrm{m}$,则 $OA=OC=r\ \mathrm{m}, OD=(2.5-r)\ \mathrm{m}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADO$ 中,由勾股定理,得 $OA^2=AD^2+OD^2$,即 $r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$,解得 $r=1.3, \therefore$ 拱门所在圆的半径为 $1.3\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
这是一道结合生活情境的圆的几何计算题，解题思路如下：首先观察图形，AB是圆的弦，D是AB中点，CD过圆心O，根据垂径定理可知CD⊥AB，可得到直角三角形ADO；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形各边的长度，再利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径长度。
【解析】
连接OA，
∵OA、OB都是圆的半径，
∴OA=OB，
又
∵D为AB的中点，根据垂径定理可得CD⊥AB，且$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{m}$。
设拱门所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m}$，
∵CD=2.5 m，
∴$OD=CD-OC=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ADO$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入对应数据得：$r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$，
展开方程右边：$r^2=0.25+6.25-5r+r^2$，
两边消去$r^2$，整理得：$5r=6.5$，
解得$r=1.3$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题以生活中常见的圆形拱门为情境，考查圆的相关性质与勾股定理的结合应用，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，通过设未知数建立方程求解，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
这是一道结合生活情境的圆的几何计算题，解题思路如下：首先观察图形，AB是圆的弦，D是AB中点，CD过圆心O，根据垂径定理可知CD⊥AB，可得到直角三角形ADO；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形各边的长度，再利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径长度。
【解析】
连接OA，
∵OA、OB都是圆的半径，
∴OA=OB，
又
∵D为AB的中点，根据垂径定理可得CD⊥AB，且$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{m}$。
设拱门所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m}$，
∵CD=2.5 m，
∴$OD=CD-OC=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ADO$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入对应数据得：$r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$，
展开方程右边：$r^2=0.25+6.25-5r+r^2$，
两边消去$r^2$，整理得：$5r=6.5$，
解得$r=1.3$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题以生活中常见的圆形拱门为情境，考查圆的相关性质与勾股定理的结合应用，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，通过设未知数建立方程求解，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
8 在平面直角坐标系中，以点(3,0)为圆心，5为半径作圆，则该圆与y轴的交点的坐标为
$(0,4),(0,-4)$
.答案
8. $(0,4),(0,-4)$
解析
【分析】
要确定圆与y轴的交点坐标，首先明确y轴上所有点的横坐标都为0，因此可设交点坐标为(0,y)；再结合圆的性质：圆上任意一点到圆心的距离等于半径，利用两点间距离公式（或勾股定理）列关于y的方程，求解后即可得到交点坐标。
【解析】
设该圆与y轴的交点坐标为$\boldsymbol{(0,y)}$。
已知圆的圆心为$(3,0)$，半径为$5$，根据圆的性质，交点到圆心的距离等于半径，由两点间距离公式可得：
$\sqrt{(0-3)^2+(y-0)^2}=5$
等式两边同时平方得：
$9+y^2=25$
移项计算得：
$y^2=16$
解得$y=4$或$y=-4$。
因此该圆与y轴的交点坐标为$(0,4)$、$(0,-4)$。
【答案】
$(0,4),(0,-4)$
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 坐标轴点的坐标特征
3. 勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用圆的性质和坐标轴上点的坐标特点建立方程计算，是圆相关性质的基础应用，需熟练掌握该类题型的求解思路。
【难度系数】
0.8
要确定圆与y轴的交点坐标，首先明确y轴上所有点的横坐标都为0，因此可设交点坐标为(0,y)；再结合圆的性质：圆上任意一点到圆心的距离等于半径，利用两点间距离公式（或勾股定理）列关于y的方程，求解后即可得到交点坐标。
【解析】
设该圆与y轴的交点坐标为$\boldsymbol{(0,y)}$。
已知圆的圆心为$(3,0)$，半径为$5$，根据圆的性质，交点到圆心的距离等于半径，由两点间距离公式可得：
$\sqrt{(0-3)^2+(y-0)^2}=5$
等式两边同时平方得：
$9+y^2=25$
移项计算得：
$y^2=16$
解得$y=4$或$y=-4$。
因此该圆与y轴的交点坐标为$(0,4)$、$(0,-4)$。
【答案】
$(0,4),(0,-4)$
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 坐标轴点的坐标特征
3. 勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用圆的性质和坐标轴上点的坐标特点建立方程计算，是圆相关性质的基础应用，需熟练掌握该类题型的求解思路。
【难度系数】
0.8
9 教材变式题 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$CD⊥ AB$于点D。已知$CD=4$，$AD=2$，则$\odot O$的半径为
$5$
。答案
9. 5
【解析】连接 $OC.$ 设 $\odot O$ 的半径为 $r$,则 $OC=r, OD=OA-AD=r-2.$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDO$ 中,$OC^2=CD^2+OD^2$,即 $r^2=4^2+(r-2)^2$,解得 $r=5. \therefore \odot O$ 的半径为 5.
【解析】连接 $OC.$ 设 $\odot O$ 的半径为 $r$,则 $OC=r, OD=OA-AD=r-2.$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDO$ 中,$OC^2=CD^2+OD^2$,即 $r^2=4^2+(r-2)^2$,解得 $r=5. \therefore \odot O$ 的半径为 5.
解析
【分析】
要求$\odot O$的半径，可通过构造直角三角形结合勾股定理求解：首先连接圆心$O$和圆上点$C$得到半径$OC$，设半径长度为$r$，根据同圆半径相等可得$OC=OA=r$，结合已知$AD=2$，可表示出$OD=r-2$；由于$CD⊥ AB$，$△ CDO$为直角三角形，代入勾股定理即可列出关于$r$的方程，解方程即可得到半径的值。
【解析】
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OA=r$。
$\because OD=OA-AD$，$AD=2$，
$\therefore OD=r-2$。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDO=90°$，$△ CDO$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，由勾股定理得：$OC^2=CD^2+OD^2$，
将$CD=4$代入得：$r^2=4^2+(r-2)^2$，
展开整理得：$4r=20$，
解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆的半径性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题关键是掌握“连半径构造直角三角形”的常用辅助线做法，将已知条件转化到直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，是方程思想在几何计算中的典型应用。
【难度系数】
0.7
要求$\odot O$的半径，可通过构造直角三角形结合勾股定理求解：首先连接圆心$O$和圆上点$C$得到半径$OC$，设半径长度为$r$，根据同圆半径相等可得$OC=OA=r$，结合已知$AD=2$，可表示出$OD=r-2$；由于$CD⊥ AB$，$△ CDO$为直角三角形，代入勾股定理即可列出关于$r$的方程，解方程即可得到半径的值。
【解析】
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OA=r$。
$\because OD=OA-AD$，$AD=2$，
$\therefore OD=r-2$。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDO=90°$，$△ CDO$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，由勾股定理得：$OC^2=CD^2+OD^2$，
将$CD=4$代入得：$r^2=4^2+(r-2)^2$，
展开整理得：$4r=20$，
解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆的半径性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题关键是掌握“连半径构造直角三角形”的常用辅助线做法，将已知条件转化到直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，是方程思想在几何计算中的典型应用。
【难度系数】
0.7
10 如图，过A，C，D三点的圆的圆心为点E，过B，F，E三点的圆的圆心为点D。如果∠BAC=63°，那么∠ABC=
$18$
°。答案
10. 18
【解析】如图
,连接 $CE,DE. \because DE=BD, \therefore ∠ 2=∠ ABC.$同理,可得 $∠ 5=∠ 6, ∠ 3=∠ BAC=63°. \because ∠ 6=∠ 2+∠ ABC=2∠ ABC, ∠ CEB=∠ BAC+∠ 3=126°, \therefore ∠ 1=180°-∠ 5-∠ 6=180°-4∠ ABC, \therefore ∠ CEB=∠ 1+∠ 2=180°-3∠ ABC=126°, \therefore ∠ ABC=18°.$
解析
【分析】
解题时首先结合圆的圆心性质：同圆的所有半径相等，因此连接CE、DE构造等腰三角形；设∠ABC为未知数，利用等腰三角形两底角相等、三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步将图中相关角用含∠ABC的式子表示，再根据角的和差关系列方程即可求解。
【解析】
如图，连接$CE,DE$。
∵ 点D是过B，F，E三点的圆的圆心，
∴ $DE=BD$，
∴ $∠2=∠ABC$。
∵ 点E是过A，C，D三点的圆的圆心，
∴ $EC=ED=EA$，
∴ $∠3=∠BAC=63°$，$∠5=∠6$。
由三角形外角性质可得$∠6=∠2+∠ABC=2∠ABC$，因此$∠5=∠6=2∠ABC$。
在$△ CED$中，$∠1=180°-∠5-∠6=180°-4∠ABC$。
又
∵ $∠CEB$是$△ AEC$的外角，
∴ $∠CEB=∠BAC+∠3=63°+63°=126°$。
同时$∠CEB=∠1+∠2$，代入得：$180°-4∠ABC + ∠ABC = 126°$，即$180°-3∠ABC=126°$，解得$∠ABC=18°$。
【答案】
18
【知识点】
圆的半径相等，等腰三角形性质，三角形外角定理
【点评】
本题属于圆的性质与三角形角的关系的综合应用题，解题核心是通过连接辅助线构造等腰三角形，将已知角和未知角建立关联，借助方程思想求解角度。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合圆的圆心性质：同圆的所有半径相等，因此连接CE、DE构造等腰三角形；设∠ABC为未知数，利用等腰三角形两底角相等、三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步将图中相关角用含∠ABC的式子表示，再根据角的和差关系列方程即可求解。
【解析】
如图
，连接$CE,DE$。∵ 点D是过B，F，E三点的圆的圆心，
∴ $DE=BD$，
∴ $∠2=∠ABC$。
∵ 点E是过A，C，D三点的圆的圆心，
∴ $EC=ED=EA$，
∴ $∠3=∠BAC=63°$，$∠5=∠6$。
由三角形外角性质可得$∠6=∠2+∠ABC=2∠ABC$，因此$∠5=∠6=2∠ABC$。
在$△ CED$中，$∠1=180°-∠5-∠6=180°-4∠ABC$。
又
∵ $∠CEB$是$△ AEC$的外角，
∴ $∠CEB=∠BAC+∠3=63°+63°=126°$。
同时$∠CEB=∠1+∠2$，代入得：$180°-4∠ABC + ∠ABC = 126°$，即$180°-3∠ABC=126°$，解得$∠ABC=18°$。
【答案】
18
【知识点】
圆的半径相等，等腰三角形性质，三角形外角定理
【点评】
本题属于圆的性质与三角形角的关系的综合应用题，解题核心是通过连接辅助线构造等腰三角形，将已知角和未知角建立关联，借助方程思想求解角度。
【难度系数】
0.6
11 [2025河南]如图,四边形ABCD是平行四边形,以BC为直径的圆交AD于点E.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹,不写作法).
（2）若E是AD的中点,连接OA,CE.求证:四边形AOCE是平行四边形.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹,不写作法).
（2）若E是AD的中点,连接OA,CE.求证:四边形AOCE是平行四边形.
答案
11. （1）如图
,点$O$即为所求 （2）$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AD=BC, AD// BC$,即 $AE// OC. \because E$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore AE=\frac{1}{2}AD. \because OC=\frac{1}{2}BC, \therefore AE=OC, \therefore$ 四边形 $AOCE$ 是平行四边形
解析
【分析】
（1）要确定以BC为直径的圆的圆心O，圆心是直径BC的中点，因此只需作出线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点就是所求的圆心O，符合尺规作图的要求。
（2）要证明四边形AOCE是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合E是AD中点、O是BC中点的条件，推导得到AE与OC平行且相等，即可完成证明。
【解析】
（1）作图：作线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点即为圆心O，作图痕迹符合要求即可。
（2）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD=BC$，$AD// BC$，
∴ $AE// OC$。
∵ E是AD的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD$。
又
∵ O是BC的中点，
∴ $OC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AE=OC$。
∵ AE和OC平行且相等，
∴ 四边形AOCE是平行四边形。
【答案】
（1）如图，点$O$即为所求
（2）$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AD=BC, AD// BC$,即 $AE// OC. \because E$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore AE=\frac{1}{2}AD. \because OC=\frac{1}{2}BC, \therefore AE=OC, \therefore$ 四边形 $AOCE$ 是平行四边形
【知识点】
1. 圆心的确定
2. 平行四边形的性质
3. 平行四边形的判定
【点评】
本题包含尺规作图和几何证明两部分，作图题考查线段垂直平分线的基本作图技能，证明题侧重平行四边形性质与判定定理的应用，逻辑清晰，是几何部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）要确定以BC为直径的圆的圆心O，圆心是直径BC的中点，因此只需作出线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点就是所求的圆心O，符合尺规作图的要求。
（2）要证明四边形AOCE是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合E是AD中点、O是BC中点的条件，推导得到AE与OC平行且相等，即可完成证明。
【解析】
（1）作图：作线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点即为圆心O，作图痕迹符合要求即可。
（2）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD=BC$，$AD// BC$，
∴ $AE// OC$。
∵ E是AD的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD$。
又
∵ O是BC的中点，
∴ $OC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AE=OC$。
∵ AE和OC平行且相等，
∴ 四边形AOCE是平行四边形。
【答案】
（1）如图
，点$O$即为所求（2）$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AD=BC, AD// BC$,即 $AE// OC. \because E$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore AE=\frac{1}{2}AD. \because OC=\frac{1}{2}BC, \therefore AE=OC, \therefore$ 四边形 $AOCE$ 是平行四边形
【知识点】
1. 圆心的确定
2. 平行四边形的性质
3. 平行四边形的判定
【点评】
本题包含尺规作图和几何证明两部分，作图题考查线段垂直平分线的基本作图技能，证明题侧重平行四边形性质与判定定理的应用，逻辑清晰，是几何部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
12 如图，AC是$\odot O$的直径，点B在$\odot O$上（不与点A，C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交$\odot O$于点E，$∠ AOB=3∠ D$. 求证：$DE=OB$.
答案
12. 连接 $OE.$ 设 $∠ D=x. \because OB=OE, \therefore ∠ B=∠ OEB. \because ∠ OEB$ 是 $△ DEO$ 的外角, $\therefore ∠ OEB=∠ D+∠ DOE=x+∠ DOE. \because ∠ AOB$ 是 $△ BOD$ 的外角, $\therefore ∠ AOB=∠ B+∠ D=∠ OEB+∠ D=x+∠ DOE+x=∠ DOE+2x. \because ∠ AOB=3∠ D=3x, \therefore ∠ DOE+2x=3x$,即$∠ DOE=x=∠ D, \therefore DE=OE, \therefore DE=OB$
解析
【分析】
要证明$DE=OB$，首先$OB$是$\odot O$的半径，因此可尝试证明$DE$等于$\odot O$的另一条半径，故优先考虑作辅助线连接$OE$。接下来结合已知$∠AOB=3∠D$，可设$∠D$为未知数，利用等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步推导角的等量关系，最终证明$∠D=∠DOE$，通过等角对等边得到$DE=OE$，再结合$OE=OB$即可完成证明。
【解析】
连接 $OE.$ 设 $∠ D=x$.
$\because OB=OE$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore ∠ B=∠ OEB$（等腰三角形等边对等角）.
$\because ∠ OEB$ 是 $△ DEO$ 的外角，
$\therefore ∠ OEB=∠ D+∠ DOE=x+∠ DOE$（三角形外角的性质）.
$\because ∠ AOB$ 是 $△ BOD$ 的外角，
$\therefore ∠ AOB=∠ B+∠ D=∠ OEB+∠ D=x+∠ DOE+x=∠ DOE+2x$.
$\because ∠ AOB=3∠ D=3x$，
$\therefore ∠ DOE+2x=3x$，即$∠ DOE=x=∠ D$，
$\therefore DE=OE$（等角对等边），
又$\because OE=OB$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore DE=OB$.
【答案】
已证得$DE=OB$
【知识点】
1. 圆的半径相等 2. 三角形外角性质 3. 等腰三角形判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形性质的基础综合题，解题的核心是通过连接半径构造等腰三角形，结合角度关系推导等边，熟练掌握相关基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要证明$DE=OB$，首先$OB$是$\odot O$的半径，因此可尝试证明$DE$等于$\odot O$的另一条半径，故优先考虑作辅助线连接$OE$。接下来结合已知$∠AOB=3∠D$，可设$∠D$为未知数，利用等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步推导角的等量关系，最终证明$∠D=∠DOE$，通过等角对等边得到$DE=OE$，再结合$OE=OB$即可完成证明。
【解析】
连接 $OE.$ 设 $∠ D=x$.
$\because OB=OE$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore ∠ B=∠ OEB$（等腰三角形等边对等角）.
$\because ∠ OEB$ 是 $△ DEO$ 的外角，
$\therefore ∠ OEB=∠ D+∠ DOE=x+∠ DOE$（三角形外角的性质）.
$\because ∠ AOB$ 是 $△ BOD$ 的外角，
$\therefore ∠ AOB=∠ B+∠ D=∠ OEB+∠ D=x+∠ DOE+x=∠ DOE+2x$.
$\because ∠ AOB=3∠ D=3x$，
$\therefore ∠ DOE+2x=3x$，即$∠ DOE=x=∠ D$，
$\therefore DE=OE$（等角对等边），
又$\because OE=OB$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore DE=OB$.
【答案】
已证得$DE=OB$
【知识点】
1. 圆的半径相等 2. 三角形外角性质 3. 等腰三角形判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形性质的基础综合题，解题的核心是通过连接半径构造等腰三角形，结合角度关系推导等边，熟练掌握相关基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
