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1 下列说法中，正确的是 （
A.弦是直径
B.圆上任意两点间的线段叫作圆弧
C.直径是弦
D.过圆心的线段是直径
C
）A.弦是直径
B.圆上任意两点间的线段叫作圆弧
C.直径是弦
D.过圆心的线段是直径
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题的核心是先明确弦、直径、圆弧的准确定义，再逐一将选项与定义比对判断正误即可。首先回忆三个核心定义：①弦：连接圆上任意两点的线段；②直径：经过圆心的弦，是圆中最长的弦；③弧：圆上任意两点间的部分，是曲线而非线段。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，因此弦不一定是直径，该选项错误。
选项B：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，圆弧是曲线，不是线段，该选项错误。
选项C：直径符合弦的定义（两端都在圆上的线段），且是经过圆心的特殊弦，该选项正确。
选项D：过圆心的线段，需要两个端点都在圆上才是直径，若端点不在圆上则不属于直径，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
弦的定义；直径的定义；弧的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆弦与直径的从属关系、圆弧与线段的区别，只要准确记忆相关定义就能快速判断。
【难度系数】
0.9
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题的核心是先明确弦、直径、圆弧的准确定义，再逐一将选项与定义比对判断正误即可。首先回忆三个核心定义：①弦：连接圆上任意两点的线段；②直径：经过圆心的弦，是圆中最长的弦；③弧：圆上任意两点间的部分，是曲线而非线段。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，因此弦不一定是直径，该选项错误。
选项B：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，圆弧是曲线，不是线段，该选项错误。
选项C：直径符合弦的定义（两端都在圆上的线段），且是经过圆心的特殊弦，该选项正确。
选项D：过圆心的线段，需要两个端点都在圆上才是直径，若端点不在圆上则不属于直径，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
弦的定义；直径的定义；弧的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆弦与直径的从属关系、圆弧与线段的区别，只要准确记忆相关定义就能快速判断。
【难度系数】
0.9
2 如图,点A,B,C在$\odot O$上,$AC// OB$,$∠ BAO=25°$,则$∠ BOC$的度数为 （
A.$25°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$80°$
（第2题）
B
）A.$25°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$80°$
（第2题）答案
2. B
解析
【分析】
解题时先利用圆的半径相等得到等腰△OAB，求出∠ABO的度数；再根据平行线的内错角相等得到∠CAB的度数；最后根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可算出∠BOC的度数。
【解析】
∵OA、OB均为⊙O的半径，
∴OA=OB，△OAB为等腰三角形，
∴∠ABO=∠BAO=25°。
∵AC//OB，
∴∠CAB=∠ABO=25°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠CAB是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠BOC=2∠CAB=2×25°=50°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、平行线的性质、圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，将圆的性质与平行线、三角形的知识结合考查，解题的关键是理清角之间的转化关系，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用圆的半径相等得到等腰△OAB，求出∠ABO的度数；再根据平行线的内错角相等得到∠CAB的度数；最后根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可算出∠BOC的度数。
【解析】
∵OA、OB均为⊙O的半径，
∴OA=OB，△OAB为等腰三角形，
∴∠ABO=∠BAO=25°。
∵AC//OB，
∴∠CAB=∠ABO=25°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠CAB是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠BOC=2∠CAB=2×25°=50°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、平行线的性质、圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，将圆的性质与平行线、三角形的知识结合考查，解题的关键是理清角之间的转化关系，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=12$.若以点$C$为圆心,$CB$长为半径的圆恰好经过$AB$的中点$D$,则$AC$的长为
$6\sqrt{3}$
.答案
3. $6\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，△ABC是直角三角形，D为斜边AB的中点，可先利用直角三角形斜边中线的性质求出CD的长度；再结合D在圆C上，可知CD与CB均为圆C的半径，二者相等，由此得到CB的长度；最后在Rt△ABC中，利用勾股定理即可计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得 $CD=\frac{1}{2}AB$。
∵ AB=12，
∴ $CD=\frac{1}{2}×12=6$。
∵ 点D在以C为圆心、CB长为半径的圆上，
∴ CB=CD=6（同圆的半径相等）。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{12^2 - 6^2}=\sqrt{144 - 36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的基本性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是快速找到题干中隐含的等量关系：直角三角形斜边中线与圆半径相等，进而结合勾股定理求解，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，△ABC是直角三角形，D为斜边AB的中点，可先利用直角三角形斜边中线的性质求出CD的长度；再结合D在圆C上，可知CD与CB均为圆C的半径，二者相等，由此得到CB的长度；最后在Rt△ABC中，利用勾股定理即可计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得 $CD=\frac{1}{2}AB$。
∵ AB=12，
∴ $CD=\frac{1}{2}×12=6$。
∵ 点D在以C为圆心、CB长为半径的圆上，
∴ CB=CD=6（同圆的半径相等）。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{12^2 - 6^2}=\sqrt{144 - 36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的基本性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是快速找到题干中隐含的等量关系：直角三角形斜边中线与圆半径相等，进而结合勾股定理求解，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4 [2024 北京]如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，OD平分$∠ AOC$.求证:$OD// BC$.
答案
4. $\because OB = OC, \therefore ∠ B = ∠ C. \because ∠ AOC$ 是 $△ OBC$ 的外角，$\therefore ∠ AOC=∠ B + ∠ C, \therefore ∠ AOC = 2∠ B. \because OD$ 平分 $∠ AOC$，$\therefore ∠ AOC=2∠ AOD, \therefore ∠ B = ∠ AOD, \therefore OD// BC$
解析
【分析】
要证明OD//BC，可依据平行线的判定定理，通过证明同位角、内错角相等或同旁内角互补推导。首先结合圆的性质，同圆半径相等可得OB=OC，推出△OBC为等腰三角形，两底角∠B=∠C；再利用三角形外角的性质得到∠AOC和∠B的数量关系；结合OD平分∠AOC的条件，可推导出同位角∠AOD=∠B，即可证明两直线平行。
【解析】
证明：
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OB = OC$，
∴ $∠B = ∠C$。
∵ $∠AOC$是$△ OBC$的外角，
∴ $∠AOC=∠B + ∠C$，
代入$∠B=∠C$可得$∠AOC = 2∠B$。
∵ OD平分$∠AOC$，
∴ $∠AOC=2∠AOD$，
等量代换得$2∠AOD=2∠B$，即$∠AOD = ∠B$。
根据同位角相等，两直线平行，可得$OD// BC$。
【答案】
$\because OB = OC, \therefore ∠ B = ∠ C. \because ∠ AOC$ 是 $△ OBC$ 的外角，$\therefore ∠ AOC=∠ B + ∠ C, \therefore ∠ AOC = 2∠ B. \because OD$ 平分 $∠ AOC$，$\therefore ∠ AOC=2∠ AOD, \therefore ∠ B = ∠ AOD, \therefore OD// BC$
【知识点】
圆的基本性质、平行线的判定、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础证明题，综合考查圆的性质、三角形外角性质和平行线判定，解题核心是梳理角之间的数量关系，找到判定平行的相等角，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明OD//BC，可依据平行线的判定定理，通过证明同位角、内错角相等或同旁内角互补推导。首先结合圆的性质，同圆半径相等可得OB=OC，推出△OBC为等腰三角形，两底角∠B=∠C；再利用三角形外角的性质得到∠AOC和∠B的数量关系；结合OD平分∠AOC的条件，可推导出同位角∠AOD=∠B，即可证明两直线平行。
【解析】
证明：
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OB = OC$，
∴ $∠B = ∠C$。
∵ $∠AOC$是$△ OBC$的外角，
∴ $∠AOC=∠B + ∠C$，
代入$∠B=∠C$可得$∠AOC = 2∠B$。
∵ OD平分$∠AOC$，
∴ $∠AOC=2∠AOD$，
等量代换得$2∠AOD=2∠B$，即$∠AOD = ∠B$。
根据同位角相等，两直线平行，可得$OD// BC$。
【答案】
$\because OB = OC, \therefore ∠ B = ∠ C. \because ∠ AOC$ 是 $△ OBC$ 的外角，$\therefore ∠ AOC=∠ B + ∠ C, \therefore ∠ AOC = 2∠ B. \because OD$ 平分 $∠ AOC$，$\therefore ∠ AOC=2∠ AOD, \therefore ∠ B = ∠ AOD, \therefore OD// BC$
【知识点】
圆的基本性质、平行线的判定、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础证明题，综合考查圆的性质、三角形外角性质和平行线判定，解题核心是梳理角之间的数量关系，找到判定平行的相等角，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
5 如图所示为两个同心圆，圆心为O，AB是大圆的弦，点M，N在弦AB上，且MN是小圆的弦，延长OM，ON分别交大圆于点C，D。
（1）求证：$CM=DN$；
（2）一题多解 猜想线段AM与BN之间的大小关系，并加以证明。
（1）求证：$CM=DN$；
（2）一题多解 猜想线段AM与BN之间的大小关系，并加以证明。
答案
5. （1）由题意,得 $OM=ON,OC=OD, \therefore OC-OM=OD-ON$,即 $CM=DN$
（2）$AM=BN$
解法一(构造全等三角形):如图
,连接$OA,OB. \because OM=ON,OA=OB, \therefore ∠ OMN=∠ ONM, ∠ A=∠ B, \therefore ∠ OMA=∠ ONB, \therefore △ OMA ≌ △ ONB, \therefore AM=BN$解法二(利用等腰三角形的性质):如图
,连接$OA,OB$,过点$O$作$AB$的垂线,垂足为$H. \because △ OMN$与$△ OAB$都是等腰三角形,$\therefore MH=NH,AH=BH, \therefore AH-MH=BH-NH$,即$AM=BN$解析
【分析】
（1）要证明$CM=DN$，观察线段的组成可知$CM=OC-OM$，$DN=OD-ON$。根据同心圆的性质，大圆半径$OC=OD$，小圆半径$OM=ON$，将两个等式作差即可推出结论。
（2）首先猜想$AM=BN$，有两种常见解题思路：
思路一：构造全等三角形，将$AM$、$BN$分别放在$△ OMA$和$△ ONB$中，连接$OA$、$OB$，利用同心圆半径相等得到两组边相等，再结合等腰三角形底角相等推出对应角相等，证明三角形全等即可得证。
思路二：利用垂径定理和等腰三角形三线合一的性质，过圆心作弦$AB$的垂线，可得该垂线同时平分$AB$和$MN$，将两段相等的线段作差即可推出$AM=BN$。
【解析】
（1）证明：
$\because$ 两个圆为同心圆，圆心为$O$
$\therefore OC、OD$是大圆半径，故$OC=OD$；$OM、ON$是小圆半径，故$OM=ON$
$\therefore OC-OM=OD-ON$，即$CM=DN$。
（2）猜想$AM=BN$，证明如下：
解法一：
如图，连接$OA、OB$。
$\because OA、OB$是大圆半径，$\therefore OA=OB$，得$∠ A=∠ B$
$\because OM=ON$，$\therefore ∠ OMN=∠ ONM$，故$180°-∠ OMN=180°-∠ ONM$，即$∠ OMA=∠ ONB$
在$△ OMA$和$△ ONB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\∠ OMA=∠ ONB \\OA=OB\end{cases}$
$\therefore △ OMA ≌ △ ONB（AAS）$，$\therefore AM=BN$。
解法二：
如图，连接$OA、OB$，过点$O$作$OH⊥ AB$，垂足为$H$。
$\because OA=OB$，$OH⊥ AB$，根据垂径定理可得$AH=BH$
$\because OM=ON$，$OH⊥ MN$，根据等腰三角形三线合一可得$MH=NH$
$\therefore AH-MH=BH-NH$，即$AM=BN$。
【答案】
（1）$CM=DN$，证明成立；
（2）$AM=BN$
解法一(构造全等三角形):如图,连接$OA,OB. \because OM=ON,OA=OB, \therefore ∠ OMN=∠ ONM, ∠ A=∠ B, \therefore ∠ OMA=∠ ONB, \therefore △ OMA ≌ △ ONB, \therefore AM=BN$
解法二(利用等腰三角形的性质):如图,连接$OA,OB$,过点$O$作$AB$的垂线,垂足为$H. \because △ OMN$与$△ OAB$都是等腰三角形,$\therefore MH=NH,AH=BH, \therefore AH-MH=BH-NH$,即$AM=BN$
【知识点】
同心圆的性质、全等三角形判定与性质、垂径定理
【点评】
本题是圆的基础性质综合题，核心是利用同心圆半径相等的特征，结合三角形相关知识推导结论，两种不同的解题思路可以帮助学生打通不同知识点的关联，巩固几何基础证明的方法。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$CM=DN$，观察线段的组成可知$CM=OC-OM$，$DN=OD-ON$。根据同心圆的性质，大圆半径$OC=OD$，小圆半径$OM=ON$，将两个等式作差即可推出结论。
（2）首先猜想$AM=BN$，有两种常见解题思路：
思路一：构造全等三角形，将$AM$、$BN$分别放在$△ OMA$和$△ ONB$中，连接$OA$、$OB$，利用同心圆半径相等得到两组边相等，再结合等腰三角形底角相等推出对应角相等，证明三角形全等即可得证。
思路二：利用垂径定理和等腰三角形三线合一的性质，过圆心作弦$AB$的垂线，可得该垂线同时平分$AB$和$MN$，将两段相等的线段作差即可推出$AM=BN$。
【解析】
（1）证明：
$\because$ 两个圆为同心圆，圆心为$O$
$\therefore OC、OD$是大圆半径，故$OC=OD$；$OM、ON$是小圆半径，故$OM=ON$
$\therefore OC-OM=OD-ON$，即$CM=DN$。
（2）猜想$AM=BN$，证明如下：
解法一：
如图
，连接$OA、OB$。$\because OA、OB$是大圆半径，$\therefore OA=OB$，得$∠ A=∠ B$
$\because OM=ON$，$\therefore ∠ OMN=∠ ONM$，故$180°-∠ OMN=180°-∠ ONM$，即$∠ OMA=∠ ONB$
在$△ OMA$和$△ ONB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\∠ OMA=∠ ONB \\OA=OB\end{cases}$
$\therefore △ OMA ≌ △ ONB（AAS）$，$\therefore AM=BN$。
解法二：
如图
，连接$OA、OB$，过点$O$作$OH⊥ AB$，垂足为$H$。$\because OA=OB$，$OH⊥ AB$，根据垂径定理可得$AH=BH$
$\because OM=ON$，$OH⊥ MN$，根据等腰三角形三线合一可得$MH=NH$
$\therefore AH-MH=BH-NH$，即$AM=BN$。
【答案】
（1）$CM=DN$，证明成立；
（2）$AM=BN$
解法一(构造全等三角形):如图
,连接$OA,OB. \because OM=ON,OA=OB, \therefore ∠ OMN=∠ ONM, ∠ A=∠ B, \therefore ∠ OMA=∠ ONB, \therefore △ OMA ≌ △ ONB, \therefore AM=BN$解法二(利用等腰三角形的性质):如图
,连接$OA,OB$,过点$O$作$AB$的垂线,垂足为$H. \because △ OMN$与$△ OAB$都是等腰三角形,$\therefore MH=NH,AH=BH, \therefore AH-MH=BH-NH$,即$AM=BN$【知识点】
同心圆的性质、全等三角形判定与性质、垂径定理
【点评】
本题是圆的基础性质综合题，核心是利用同心圆半径相等的特征，结合三角形相关知识推导结论，两种不同的解题思路可以帮助学生打通不同知识点的关联，巩固几何基础证明的方法。
【难度系数】
0.8
6 如图，OA，OB是$\odot O$的半径，点C在$\odot O$上，$∠ AOB=30°$，$∠ OBC=40°$，则$∠ OAC$的度数为（
A.$20°$
B.$22°$
C.$25°$
D.$26°$
C
）A.$20°$
B.$22°$
C.$25°$
D.$26°$
答案
6. C
【解析】连接 $OC. \because OC=OB, \therefore ∠ OCB=∠ OBC=40°$,
$\therefore ∠ BOC=180°-40° × 2=100°, \therefore ∠ AOC=∠ BOC+∠ AOB=100°+30°=130°. \because OC=OA, \therefore ∠ OAC=∠ OCA=\frac{1}{2}(180°-∠ AOC)=25°.$
【解析】连接 $OC. \because OC=OB, \therefore ∠ OCB=∠ OBC=40°$,
$\therefore ∠ BOC=180°-40° × 2=100°, \therefore ∠ AOC=∠ BOC+∠ AOB=100°+30°=130°. \because OC=OA, \therefore ∠ OAC=∠ OCA=\frac{1}{2}(180°-∠ AOC)=25°.$
解析
【分析】
本题要求∠OAC的度数，观察图形可知OA、OB、OC都是圆的半径，长度相等，因此可通过连接辅助线OC构造等腰三角形求解。解题思路如下：第一步，连接OC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠OBC=40°求出△OBC的顶角∠BOC；第二步，结合已知∠AOB=30°，求出∠AOC的度数；第三步，在等腰△OAC中，利用三角形内角和定理求出底角∠OAC的度数即可。
【解析】
连接$OC$，
$\because OC、OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore OC=OB$，
$\therefore ∠OCB=∠OBC=40°$，
在$△ OBC$中，$∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=180°-40°×2=100°$，
$\therefore ∠AOC=∠BOC+∠AOB=100°+30°=130°$，
又$\because OC、OA$都是$\odot O$的半径，$\therefore OC=OA$，
$\therefore ∠OAC=∠OCA$，
在$△ OAC$中，$∠OAC=\frac{1}{2}×(180°-∠AOC)=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆的半径性质 2. 等腰三角形性质 3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是利用圆的半径相等构造等腰三角形，将已知角度和未知角度建立联系，解题过程中要注意圆心角的和差关系的正确运用。
【难度系数】
0.7
本题要求∠OAC的度数，观察图形可知OA、OB、OC都是圆的半径，长度相等，因此可通过连接辅助线OC构造等腰三角形求解。解题思路如下：第一步，连接OC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠OBC=40°求出△OBC的顶角∠BOC；第二步，结合已知∠AOB=30°，求出∠AOC的度数；第三步，在等腰△OAC中，利用三角形内角和定理求出底角∠OAC的度数即可。
【解析】
连接$OC$，
$\because OC、OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore OC=OB$，
$\therefore ∠OCB=∠OBC=40°$，
在$△ OBC$中，$∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=180°-40°×2=100°$，
$\therefore ∠AOC=∠BOC+∠AOB=100°+30°=130°$，
又$\because OC、OA$都是$\odot O$的半径，$\therefore OC=OA$，
$\therefore ∠OAC=∠OCA$，
在$△ OAC$中，$∠OAC=\frac{1}{2}×(180°-∠AOC)=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆的半径性质 2. 等腰三角形性质 3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是利用圆的半径相等构造等腰三角形，将已知角度和未知角度建立联系，解题过程中要注意圆心角的和差关系的正确运用。
【难度系数】
0.7
