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8 [2024 泗阳段考]如图，$\odot M$ 的半径为 2，圆心 M 的坐标为 $(3,4)$，P 是$\odot M$ 上的任意一点，$PA ⊥ PB$，且 PA，PB 与 x 轴分别交于 A，B 两点。若点 A，点 B 关于原点对称，当线段 AB 最短时，点 A 的坐标为
(-3,0)
。答案
8. $(-3,0)$
解析
【分析】
首先由PA⊥PB且A、B关于原点对称可知O是AB中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可推出AB=2PO，因此要使AB最短，只需PO最短即可。P是圆M上的点，点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，先计算OM的长度得到最短PO的长度，再结合OA=OP即可求出A点坐标。
【解析】
连接PO、OM：
1. 因为PA⊥PB，所以∠APB=90°，又A、B关于原点对称，即O为AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AB=2PO，因此AB最短等价于PO最短。
2. 当P为线段OM与⊙M的交点时，PO长度最短。已知圆心M坐标为(3,4)，由两点间距离公式得$OM=\sqrt{3^2+4^2}=5$，⊙M半径为2，因此PO的最小值为$OM-r=5-2=3$。
3. 由AB=2OA=2PO，可得OA=PO=3，又A在x轴负半轴，因此A点坐标为$(-3,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-3,0)}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，点与圆的最短距离，两点间距离公式
【点评】
本题的核心是将求AB最短的问题转化为求PO最短的问题，需要灵活运用直角三角形性质和点到圆的距离规律，对条件转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
首先由PA⊥PB且A、B关于原点对称可知O是AB中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可推出AB=2PO，因此要使AB最短，只需PO最短即可。P是圆M上的点，点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，先计算OM的长度得到最短PO的长度，再结合OA=OP即可求出A点坐标。
【解析】
连接PO、OM：
1. 因为PA⊥PB，所以∠APB=90°，又A、B关于原点对称，即O为AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AB=2PO，因此AB最短等价于PO最短。
2. 当P为线段OM与⊙M的交点时，PO长度最短。已知圆心M坐标为(3,4)，由两点间距离公式得$OM=\sqrt{3^2+4^2}=5$，⊙M半径为2，因此PO的最小值为$OM-r=5-2=3$。
3. 由AB=2OA=2PO，可得OA=PO=3，又A在x轴负半轴，因此A点坐标为$(-3,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-3,0)}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，点与圆的最短距离，两点间距离公式
【点评】
本题的核心是将求AB最短的问题转化为求PO最短的问题，需要灵活运用直角三角形性质和点到圆的距离规律，对条件转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
9 如图，在$□ ABCD$中，$∠ BCD$为钝角，$AE ⊥ BC$，$AF ⊥ CD$，垂足分别为$E$，$F$，连接$BD$。求证：$A$，$E$，$C$，$F$ 四点共圆。
答案
9. 连接AC,交BD于点O,连接OE,OF. $\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore OA=OC=\frac{1}{2}AC$,即O是AC的中点. $\because AE⊥ BC,AF⊥ CD,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AEC$和$\mathrm{Rt}△ AFC$中,$OE=\frac{1}{2}AC,OF=\frac{1}{2}AC$,$\therefore OA=OC=OE=OF,\therefore A,E,C,F$四点共圆
解析
【分析】
要证明四点共圆，结合圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察图形可知，AE⊥BC、AF⊥CD，因此△AEC和△AFC都是以AC为斜边的直角三角形，我们可以取AC的中点作为这个定点：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定AC与BD的交点O就是AC的中点；再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可推出O到A、E、C、F四个点的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，OF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OA=OC=\frac{1}{2}AC$，即O是AC的中点。
∵ $AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，
∴ △AEC和△AFC均为直角三角形，且AC为两个直角三角形的公共斜边。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，$OE=\frac{1}{2}AC$；
在$\mathrm{Rt}△ AFC$中，$OF=\frac{1}{2}AC$。
∴ $OA=OC=OE=OF$，
根据圆的定义，到定点O的距离等于定长$\frac{1}{2}AC$的所有点在同一个圆上，因此A，E，C，F四点共圆。
【答案】
A，E，C，F四点共圆，得证。
【知识点】
平行四边形性质；直角三角形斜边中线性质；圆的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是找准AC的中点作为公共圆心，将平行四边形、直角三角形的性质与圆的定义结合起来完成证明，能有效考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明四点共圆，结合圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察图形可知，AE⊥BC、AF⊥CD，因此△AEC和△AFC都是以AC为斜边的直角三角形，我们可以取AC的中点作为这个定点：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定AC与BD的交点O就是AC的中点；再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可推出O到A、E、C、F四个点的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，OF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OA=OC=\frac{1}{2}AC$，即O是AC的中点。
∵ $AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，
∴ △AEC和△AFC均为直角三角形，且AC为两个直角三角形的公共斜边。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，$OE=\frac{1}{2}AC$；
在$\mathrm{Rt}△ AFC$中，$OF=\frac{1}{2}AC$。
∴ $OA=OC=OE=OF$，
根据圆的定义，到定点O的距离等于定长$\frac{1}{2}AC$的所有点在同一个圆上，因此A，E，C，F四点共圆。
【答案】
A，E，C，F四点共圆，得证。
【知识点】
平行四边形性质；直角三角形斜边中线性质；圆的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是找准AC的中点作为公共圆心，将平行四边形、直角三角形的性质与圆的定义结合起来完成证明，能有效考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10 如图,在$Rt△ OAB$中,$∠ OAB=90°$,AC是斜边OB上的高,设到点O的距离等于OA的所有点组成的图形记为G,图形G与OB交于点D,连接AD.
（1）依题意补全图形；
（2）求证:AD平分$∠ BAC$.
（1）依题意补全图形；
（2）求证:AD平分$∠ BAC$.
答案
10. （1）如图所示
（2）$\because ∠ OAB=90°,\therefore ∠ OAD+∠ DAB=90°$.$\because AC$是斜边OB上的高,$\therefore AC⊥ OB,\therefore ∠ ACD=90°$. $\because △ ACD$的内角和为$180°$,$\therefore ∠ DAC+∠ ADO=90°$. $\because$ 图形G是$\odot O$,$\therefore OA=OD$,$\therefore ∠ OAD=∠ ADO$,$\therefore ∠ DAB=∠ DAC$,$\therefore AD$平分$∠ BAC$
解析
【分析】
（1）补全图形思路：根据“到点O的距离等于OA的所有点组成图形G”的描述，可知图形G是以O为圆心、OA长为半径的圆，画出该圆并找到它与OB的交点D即可完成补图。
（2）证明思路：要证AD平分∠BAC，即证∠DAB=∠DAC。首先利用直角三角形两锐角互余的性质，分别得到∠OAD+∠DAB=90°、∠DAC+∠ADO=90°；再根据圆的半径相等推出OA=OD，由等腰三角形等边对等角可得∠OAD=∠ADO，最后结合等角的余角相等即可推出∠DAB=∠DAC，完成证明。
【解析】
（1）依题意作图：以O为圆心，OA的长度为半径画圆，该圆与OB的交点即为点D，补全图形即可。
（2）证明过程：
已知∠OAB=90°，根据直角三角形两锐角互余，可得∠OAD + ∠DAB = 90°。
因为AC是斜边OB上的高，所以AC⊥OB，即∠ACD=90°，结合三角形内角和为180°，可得∠DAC + ∠ADO = 90°。
又因为图形G是以O为圆心、OA为半径的⊙O，OA和OD都是⊙O的半径，所以OA=OD，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠OAD=∠ADO。
结合前面两个互余的式子，根据等角的余角相等，即可推出∠DAB=∠DAC，因此AD平分∠BAC。
【答案】
（1）如图所示
（2）$\because ∠ OAB=90°,\therefore ∠ OAD+∠ DAB=90°$.
$\because AC$是斜边OB上的高,$\therefore AC⊥ OB,\therefore ∠ ACD=90°$. $\because △ ACD$的内角和为$180°$,$\therefore ∠ DAC+∠ ADO=90°$. $\because$ 图形G是$\odot O$,$\therefore OA=OD$,$\therefore ∠ OAD=∠ ADO$,$\therefore ∠ DAB=∠ DAC$,$\therefore AD$平分$∠ BAC$
【知识点】
1. 圆的定义
2. 等腰三角形的性质
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将圆的基本概念和三角形角度推导相结合，侧重考查逻辑推理能力，解题的核心是熟练运用等角的余角相等完成角度的等量代换。
【难度系数】
0.7
（1）补全图形思路：根据“到点O的距离等于OA的所有点组成图形G”的描述，可知图形G是以O为圆心、OA长为半径的圆，画出该圆并找到它与OB的交点D即可完成补图。
（2）证明思路：要证AD平分∠BAC，即证∠DAB=∠DAC。首先利用直角三角形两锐角互余的性质，分别得到∠OAD+∠DAB=90°、∠DAC+∠ADO=90°；再根据圆的半径相等推出OA=OD，由等腰三角形等边对等角可得∠OAD=∠ADO，最后结合等角的余角相等即可推出∠DAB=∠DAC，完成证明。
【解析】
（1）依题意作图：以O为圆心，OA的长度为半径画圆，该圆与OB的交点即为点D，补全图形即可。
（2）证明过程：
已知∠OAB=90°，根据直角三角形两锐角互余，可得∠OAD + ∠DAB = 90°。
因为AC是斜边OB上的高，所以AC⊥OB，即∠ACD=90°，结合三角形内角和为180°，可得∠DAC + ∠ADO = 90°。
又因为图形G是以O为圆心、OA为半径的⊙O，OA和OD都是⊙O的半径，所以OA=OD，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠OAD=∠ADO。
结合前面两个互余的式子，根据等角的余角相等，即可推出∠DAB=∠DAC，因此AD平分∠BAC。
【答案】
（1）如图所示
（2）$\because ∠ OAB=90°,\therefore ∠ OAD+∠ DAB=90°$.
$\because AC$是斜边OB上的高,$\therefore AC⊥ OB,\therefore ∠ ACD=90°$. $\because △ ACD$的内角和为$180°$,$\therefore ∠ DAC+∠ ADO=90°$. $\because$ 图形G是$\odot O$,$\therefore OA=OD$,$\therefore ∠ OAD=∠ ADO$,$\therefore ∠ DAB=∠ DAC$,$\therefore AD$平分$∠ BAC$
【知识点】
1. 圆的定义
2. 等腰三角形的性质
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将圆的基本概念和三角形角度推导相结合，侧重考查逻辑推理能力，解题的核心是熟练运用等角的余角相等完成角度的等量代换。
【难度系数】
0.7
